［1］解：对采样数字系统，数字频率ω与模拟角频率Ω之间满足线性关系ω=ΩT。因此，
当T=0.01ms时，Ωc=
1Ωc==625Hz 2π16TT8T
ω1Ωπ当T=5µs时， Ωc=c=，fc=c==12500Hz
2π16TT8T
=
，fc=
ωc
π［2］解：Ha(s)的极点为：s1=−a+jb，s1=−a−jb
11
−jj
22+ 将Ha(s)部分分式展开： Ha(s)=
s−(−a−jb)s−(−a+jb)
所以有
H(z)=通分并化简整理得：
1−e(−a−jb)Tz−1
1j2−+
1−e(−a+jb)Tz−1
1j2
z−1e−αTsinbT
H(z)=
1−2z−1e−αTcosbT+z−2e−2αT
［3］解：归一化原型低通滤波器与带通滤波器之间的频率变换关系为：
2
Ω2−Ω0
Ω=
Ω⋅B
Ω0=Ωp1Ωp2=2π×100rad/s，B=2π×200rad/s，δp=2dB
Ωs1=2π×800rad/s，Ωs2=2π×1240rad/s，δs=15dB
因此，归一化原型低通滤波器的通带频率Ωp取1，通带处最小衰减为2dB。 同理可得归一化原型低通滤波器的阻带频率分别为：
2
Ω2−Ω0
Ωs1=
ΩB
2
Ω2−Ω0
=3.9375， Ωs2=
ΩB
=6.1597
Ω=Ωs2
Ω=Ωs1
因此，归一化原型低通滤波器的阻带频率Ωs=min(Ωs1,Ωs2)=3.9375，这是因为取较小的频率值，则较大的频率处一定满足衰减要求，阻带处最大衰减为15dB。
利用巴特沃斯低通滤波器设计归一化原型低通滤波器H(s) 利用归一化原型低通滤波器的指标，得巴特沃斯低通滤波器阶数N
1
⎛100.2−1⎞lg⎜⎟⎜101.5−1⎟
⎠=1.444 ⎝N≥
⎛1⎞2lg⎜⎟⎝3.9372⎠
取N=2，查表的归一化巴特沃斯原型低通滤波器的系统函数 HLP(s)=
1
s2+1.4142s+1
由归一化原型低通滤波器变换到实际模拟带通滤波器
2HBP(s)=HLP(s)s=s2+Ω0
s⋅B
s2B2
=2
222
(s+Ω0)+1.4142(s2+Ω0)sB+s2B2
［4］解：（1）用冲激响应不变法
① 确定数字滤波器指标
ωp=π/3rad，δp=3dB ωs=4π/5rad，δs=15dB
② 将数字滤波器指标转换为相应的模拟滤波器指标。因为在冲激响应不变法中，ω=ΩT，所以，
ΩP=
ωP
T=
=
π3
×30×103=10000πrad/s，δp=3dB
Ωs=
ωs
T4π×30×103=24000πrad/s，δs=15dB 5
③ 求模拟滤波器的系统函数Ha(s)。
(a)计算阶数N，采用Butterworth低通滤波器，根据设计指标，得
lg[(100.1δP−1)/(100.1δs−1)]
N≥=1.9569
2lg(Ωp/Ωs)
取N=2。
(b) 查表得到2阶巴特沃斯归一化低通原型：
1
HLP(s)=2
s+2s+1
(c) 频率变换，由归一化低通原型转换为实际的低通滤波器
Ha(s)=HLP(s)s=sΩP
=
Ω2p
s+2Ωps+Ω
2
2
p
=
108π2
s+10π2s+10π2
4
8
2
④ 将Ha(s)转换成H1(z)，可以调用MATLAB impinvar 函数直接求出，这样不用求极点以及部分分式展开。
2
0.4265z−1
H1(z)= −1−2
1−0.7040z+0.2274z
（2）用双线性变换法设计 ① 确定数字滤波器指标
ωp=π/3rad，δp=3dB
ωs=4π/5rad，δs=15dB
② 满足要求的模拟低通滤波器的指标
ωπ2
tanp=6×104tan=34641rad/s
26T
ω22πΩs=tans=6×104tan=18.466×104rad/s
5T2
ΩP=
③ 求模拟滤波器的系统函数Ha(s)
(a)计算阶数N，采用Butterworth低通滤波器，根据设计指标，得
lg[(100.1δP−1)/(100.1δs−1)]
N≥=1.0238
2lg(ΩP/Ωs)
取N=2。
(b) 查表得到2阶巴特沃斯归一化低通原型：
1
HLP(s)=2
s+2s+1
(c) 频率变换，由归一化低通原型转换为实际的低通滤波器 Ha(s)=HLP(s)s=sΩP
12.0×108
=2=2 482
s+4.90×10s+12.0×10s+2Ωps+Ωp
Ω2p
④ 用双线性变换法将Ha(s)转换成H(z) H(z)=Ha(s)s=21−z−1
［5］解：（1）Ha(s)=
T1+z−10.155+0.3101z−1+0.155z−2
=
1−0.6202z−1+0.2403z−2
111
=−2
s+5s+6s+2s+3
设T=1，用冲激响应不变法设计，则有
H(z)=T
∑
i=1
N
Ai0.855z−1
=
1−esiTz−11−0.1851z−1+0.0067z−2
设T=2，用双线性变换法设计，则有
0.083+0.1667z−1+0.083z−2
H(z)=Ha(s)|21−z−1=−1−2
s=1+0.833z+0.1667z−1T
1+z
（2）Ha(s)=
1s−0.5774is+0.5774i
=+
s2+s+1s+0.5−0.866is+0.5+0.866i
3
设T=2，用冲激响应不变法设计，则有
H(z)=T
∑
i=1
N
Ai0.8386z−1
=
1−esiTz−11+0.1181z−1+0.135z−2
设T=2，用双线性变换法设计，则有 H(z)=Ha(s)s=21−z−1
T1+z−111+2z−1+z−2
=2=
s+s+1s=1−z−13+z−2
1+z−10.3333+0.6667z−1s+0.3333z−2
=
1+0.3333z−2
［6］解：（1）由于u(n)=u(n)∗δ(n)=的阶跃响应s(n)为：
∑δ(n−m)，根据线性非移变系统的可加性可以得出系统
m=0
∞
s(n)=
k=−∞
∑h(k)
∑h(kT)
a∞
∞
如果h(n)=ha(nT)，则有s(n)=
k=−∞
（2）因为δ(n)=u(n)−u(n−1)
同样根据叠加原理可以得出该系统的单位取样响应h(n)为
h(n)=s(n)−s(n−1) 如果s(n)=ua(nT)，则
h(n)=ua(nT)−ua(nT−T)≠ha(nT)
［7］解：阶跃响应不变法是使数字滤波器的阶跃响应g(n)模拟滤波器的阶跃响应ga(t)，即将模拟滤波器的阶跃响应加以等间隔的抽样，使g(n)正好等于ga(t)的抽样值，满足
g(n)=ga(t)t=nT=ga(nT)，其中T是抽样周期。
设数字滤波器的系统函数为H(z)，如果其输入端作用于一个阶跃函数u(n)，则其输出端为阶跃响应g(n)，因而满足：
g(n)=u(n)∗h(n) 将此式两端取z变换可得：
G(z)=
所以
z
H(z) z−1z−1
G(z) z
H(z)=
对于模拟滤波器，设其系统函数为Ha(s)，如果输入端作用于一个阶跃函数u(t)，则其输出端
4
即为ga(t)，因而满足ga(t)=u(t)∗ha(t)，将此式两端取拉普拉斯变换可得Ga(s)=要满足阶跃响应不变，则应有
1
Ha(s)。 s
⎤⎡1
g(n)=ga(nT)=L−1⎢Ha(s)⎥⎦t=nT⎣s
将上式取z变换即得G(z)，将它代入H(z)=
z−1
G(z)，即得 z
H(z)=
z−1−1⎡1⎤
L⎢Ha(s)⎥
zs⎦t=nT⎣
这就是阶跃响应不变法由模拟滤波系统函数Ha(s)映射成数字系统函数H(z)的公式。
下面讨论该设计法的因果稳定性。如果Ha(s)因果稳定，则根据脉冲响应不变法的极点映射关系z=eskT，由于G(s)中的因子1/s引入极点s0=0这—极点转换到z平面上，形成G(s)的极点
p0=es0T=1，Ha(s)的极点均映射在z平面单位圆内。但H(z)=
z−1
G(z)正好有一零点z0=1。所z
以，单位圆上的零、极点对消。从而，因果稳定的Ha(s)用单位阶跃不变法转换成H(z)必然因果稳定。
［9］解： Ha(s)=
s+a1/21/2
=+
(s+a)2+b2s+a+jbs+a−jb
1−(a−jb)t⎤e⎥u(t) 2⎦
于是 ha(t)=⎢e−(a+jb)t+
⎡1
⎣2
按照冲激响应不变条件，可以写出
1⎡1⎤
h(n)=ha(t)t=nT=⎢e−(a+jb)nT+e−(a−jb)nT⎥u(n)
2⎣2⎦
因此，系统函数H(z)=
∑
n=0
∞
h(n)z−n=
1/21/2
+
1−e−aTe−jbTz−11−e−aTe+jbTz−1
1−e−aTcos(bT)z−1
=
1−2e−aTcos(bT)z−1+e−2aTz−2
［10］解：（1）已知Ha(s)=
∑(s−s)k=1
0
m
Ak
k
+Ga(s)
则 (s−s0)Ha(s)=
m
m
∑A(s−s)
k
0
k=1
m
m−k
+(s−s0)mGa(s)
令(s−s0)Ha(s)=f(s)，因为f(s)在s=s0处没有极点，所以可以在s0周围展开为泰勒级数，
5
(s−s0)Ha(s)=f(s)=∑
m
p=0
∞
1dpp
f(s)|(ss)−， s=s00p
p!ds
将上式与(s−s0)Ha(s)的表达式比较，对于p=0项，得到Am=f(s)|s=s0
对应于p=1项，得到Am−1=……
对应于一般项，得到Am−p
m
d
f(s)|s=s0 ds
1dp=f(s)|s=s0 p
p!ds
令Am−p
1dm−k1dm−k
=Ak，则Ak=f(s)|s=s0= limm−k[(s−s0)mHa(s)] m−k
(m−k)!ds(m−k)!s→s0ds
k
st
k−1
（2）因为Ak/(s−s0)是e0Akt
m
/(k−1)!的拉普拉斯变化，所以
es0tk−1ha(t)=∑tAku(t)+ga(t)
k=1(k−1)!
es0nT
（3） 因为h(n)=ha(nT)=∑(nT)k−1Aku(n)+ga(nT)u(n)，所以
k=1(k−1)!
m
H(z)=∑h(n)z
n=0m
∞
−n
∞
es0nTk−1−n
=∑∑(nT)Akz+∑ga(nT)z−n n=0k=1(k−1)!n=0
∞
m
k−1
Tk−11k−1k−1d =∑Ak(−1)z()+G(z) s0T−1k−1
dz1−ez(k−1)!k=1
［11］解：为了满足采样定理，减少冲激响应不变法引入的频率混叠失真，并降低对恢复滤波器的要求，取采样频率f=400Hz。
（1） 用双线性变换法
a) 确定数字滤波器的性能指标 通带边界频率：ωp=2πfp/f=通带最大衰减：δp=3dB 阻带截止频率：ωs=2πfs/f=通带最大衰减：δs=20dB
b) 进行预畸变校正，确定相应的模拟滤波器性能指标
2π×100π=rad 4002
2π×1503π=rad 4004
Ωp=
ωπ2
tanp=800tan=800rad/s，δp=3dB T24
6
ω23πtans=800tan=1931.37rad/s，δs=20dB T28
c) 设计相应的模拟滤波器，确定系统函数 根据设计指标，δp=3dB，δs=20dB，解得
Ωs=
lg[(100.1δP−1)/(100.1δs−1)]lg[(100.3−1)/(102−1)]N≥==2.61
2lg(Ωp/Ωs)2lg(800/1931.37)
取N=3，查表得到3阶Butterworth归一化低通原型系统函数
Han(s)=
归一化得
1
s3+2s2+2s+1
5.12×108
Ha(s)=Han(s)s=s=s=3
s+1.6×103s2+1.28×106s+5.12×108Ωc800
d) 用双线性变换法将Ha(s)映射成数字滤波器系统函数H(z)
H(z)=Ha(s)|21−z−1
s=
T1+z−10.1667+0.5z−1+0.5z−2+0.1667z−3
=
1−1.3278×10−15z−1+0.3333z−2+3.362×10−16z−3
（2） 用冲激响应不变法
a) 设计等效模拟滤波器Ha(s)
根据3dB截止频率fp=100Hz，阻带截止频率fs=150Hz，阻带最小衰减δs=20dB计算阶数
N
lg[(100.1δP−1)/(100.1δs−1)]lg[(100.3−1)/(102−1)]
==5.67 N≥
2lg(fp/fs)2lg(100/150)
取N=6，查表得到6阶Butterworth归一化低通原型系统函数
1
s6+3.8637s5+7.4641s4+9.1416s3+7.4641s2+3.8637s+1
以3dB截止频率Ωc=2π×100去归一化得模拟滤波器系统函数Ha(s)
Han(s)=
Ha(s)=6.1529×1016[s6+2.42765s5+2.9467s4+2.2676×109s3+1.1633×1012s2 +3.7836×1014s+6.1529×1016]−1
b) 调用MATLAB函数impivar，将 Ha(s) 转换成H(z)
H(z)=(9.6634×10−15+0.042z−1+0.3347z−2+0.2985z−3+0.0463z−4 +7.4472×10−4z−5)(1−0.7666z−1+0.7674z−2−0.3857z−3 +0.1310z−4−0.0260z−5+0.0023z−6)−1
［12］解：（1）求阶数N
lg[(100.1δP−1)/(100.1δs−1)]lg[(100.3−1)/(102−1)]
==3.3181 N≥
2lg(fp/fs)2lg(6/12)
取N=4
（2）求归一化系统函数Ha(s)
由阶数N=4查表得到4阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数Ha(s)
1
s4+2.6131s3+3.4142s2+2.6131s+1
（3）由归一化系统函数Ha(s)得到实际滤波器系统函数Ha(s)
Ha(s)=
7
由于δp=3dB，所以Ωc=Ωp=2πfp=2π×6×103rad/s，因此 Ha(s)=Ha(s)s=
sΩc
4Ωc
=4
224
s+2.6131Ωcs3+3.4142Ωcs+2.6131Ω3s+Ωcc
［13］解：（1）归一化低通滤波器的性能指标。已知模拟高通滤波器的性能指标：
δp=3dB，Ωp=2πfp=4π×104rad/s δs=15dB，Ωs=2πfp=2π×104rad/s
因此，归一化原型低通滤波器的技术指标为：
Ωp=1，δp=3dB Ωs=
ΩpΩs
=2，δs=15dB
（2）归一化模拟低通滤波器的系统函数Ha(s) a) 求阶数N，题目要求采用Butterworth类型，故
lg[(100.1δP−1)/(100.1δs−1)]lg[(100.3−1)/(101.5−1)]
N≥==2.47
2lg(Ωp/Ωs)2lg(1/2)
取N=3，查表得归一化的模拟低通传递函数Ha(s)：
Ha(s)=
因此，将s=
1
s3+2s2+2s+1
Ωc
带入上式得到实际高通滤波器的系统函数Ha(s)，即 s
sΩc
Ha(s)=Ha(s)s=
s3
=3
2
Ωc+2Ωcs+2Ωcs2+s3
式中Ωc=Ωp=2πfp=4π×104rad/s。 ［14］解：h(n)=ha(nT)=e
−0.9nT
u(nT)
−0.9nT
H(z)=
若e
−0.9T
n=−∞
∑h(n)z
∞
−n
=∑e
n=0
∞
z
−n
=∑(e−0.9Tz−1)n
n=0
∞
z−1<1，则
H(z)=
11−e
−0.9T
z
−1
8
若存在H(z)，则该系统只有一个极点，且其值为zp=e
−0.9T
，因为T>0，e
−0.9T
永远小于1，也
就是说该系统的极点在单位圆内，则此系统无论T取何值时，总是一个稳定系统。
该数字滤波器近似为低通滤波器。且T越小，滤波器频率混叠越小，滤波特性越好。反之，T越大，极点zp=e−0.9T离单位圆越远，ω=π附近衰减越小，而且频率混叠越严重，使数字滤波器频响特性不能模拟原模拟滤波器的频响特性。 ［15］解：只要找出对应于Ω=0的数字频率即可。
z+1s+1
，以z=ejω，s=jΩ代入该式得： →z=
z−1s−1
jΩ+1
ejω=
jΩ−1
因此，频率点的对应关系为
s平面 z平面 Ω=0 ω=π Ω=∞ ω=0
即将模拟低通中心频率Ω=0映射到ω=π处，所以是高通。
由s=
［16］解：(1) 根据题意，数字滤波器的性能指标为：
通带频率ωp=0.2πrad，通带最小衰减δp=1dB。 阻带频率ωs=0.3πrad，阻带最大衰减δs=10dB。
（2）模拟低通滤波器的性能指标为（采样周期T=1ms）
通带频率Ωp=ωp/T=200πrad/s，通带最小衰减δp=1dB。 阻带频率Ωp=ωp/T=300πrad/s，阻带最大衰减δs=10dB。
（3）用巴特沃斯滤波器设计法求模拟滤波器的系统函数
先求滤波器的阶数N及3dB截止频率Ωc，巴特沃斯滤波器的阶数：
⎡100.1δp−1⎤N≥lg⎢0.1δs⎥101−⎣⎦
将性能指标代入可求得N=4.3758，取整数N=5。
根据阶数N=5，查表得到归一化系统函数为： Han(s)=
⎡Ω⎤
2lg10⎢p⎥
⎣Ωs⎦
1
5432
s+3.236s+5.236s+5.236s+3.236s+1
我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，求得3dB截止频率Ωc。 Ωc=Ωs(10
0.1δs
−1)
−
12N
=300π(10−1)
−
110
=756.57(rad/s)
将s=s/Ωc代入Han(s)到中，得到实际的模拟滤波器的系统函数
9
Ha(s)=Han(s)s=s/Ω
c
(4) 将Ha(s)展开成部分分式然后利用冲激响应不变法式得到H(z)
0.0062z−1+0.0404z−2+0.0248z−3+0.0014z−4
H(z)=−1−2−3−4−5
1−2.6389z+3.1043z−1.9424z+0.6363z−0.0864z
［17］解：(1) 先做预畸变
模拟低通的技术指标为（采样周期T=1ms） 通带频率Ωp=
2
tan(ωp/2)=649.8394rad/s，通带最小衰减δp=1dB； T2
阻带频率Ωs=tan(ωs/2)=1019.1rad/s，阻带最大衰减δs=10dB。
T
（2）用巴特沃斯滤波器设计法求模拟滤波器的系统函数
先求滤波器的阶数N及3dB截止频率Ωc，巴特沃斯滤波器的阶数：
⎡100.1δp−1⎤
N≥log10⎢0.1δs⎥101−⎣⎦
将性能指标代入可求得N=4。
根据阶数N=4，查表得到归一化传输函数为：
⎡Ω⎤
2log10⎢p⎥
⎣Ωs⎦
Han(s)=
1
s4+2.6131s3+3.4142s2+2.6131s+1
（3）去归一化，求出Ha(s)
我们希望阻带指标刚好，让通带指标留有富裕量，求得3dB截止频率Ωc。 Ωc=Ωp(10
0.1δp
−1)
−
12N
=649.8×(10−1)
−
18
=774.311(rad/s)
Ha(s)=Han(s)s=s/Ω
c
4Ωc
=4 224
s+2.6131Ωcs3+3.4142Ωcs+2.6131Ω3s+Ωcc
（4）利用双线性变换法得到
0.0083+0.0333z−1+0.05z−2+0.0333z−3+0.0083z−4
H(z)=
1−2.0872z−1+1.8948z−2−0.8119z−3+0.1375z−4
［18］解：（1）数字高通滤波器的性能指标如下
δp=3dB， ωp=0.8πrad δs=18dB， ωs=0.5πrad
（2）模拟高通滤波器的性能指标如下： 令T=1，则有
10
22
tan(ωp/2)=6.155rad/s，Ωs=tan(ωs/2)=2rad/s TT
（3）归一化模拟低通滤波器的技术指标如下：
Ωp=
Ωp=1，Ωs=
（4）设计归一化模拟低通滤波器Han(s) 模拟滤波器的阶数N计算如下：
ΩpΩs
=3.07
lg[(100.1δP−1)/(100.1δs−1)]lg[(100.3−1)/(101.8−1)]N≥==1.8425
2lg(Ωp/Ωs)2lg(1/3.07)
取N=2，查表得归一化的模拟低通传递函数Han(s)：
Han(s)=
（5）去归一化，将s=
1s+2s+1
2
ΩcΩp
=带入上式得到实际高通滤波器的系统函数Ha(s) ss
s2s2
=2=2
2
s+2Ωcs+Ωcs+8.7045s+37.8716
Ha(s)=Ha(s)s=Ωc
s
（6）用双线性变换将模拟高通滤波器Ha(s)转换成数字高通H(z)
H(z)=Ha(s)s=21−z
−1
1+z−10.0675−0.135z−1+0.0675z−2=
1+1.1428z−1+0.4127z−2
［19］解：（1）确定数字带通滤波器的性能指标：
ωp1=0.25π， ωp2=0.45π，δp=3dB
ωs1=0.15π，ωs2=0.55π，δs=15dB
（2）将数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的性能指标。设T=1
Ωp1=2tanΩs1=2tan
ωp1
2
，Ωp2=2tan，Ωs1=2tan
ωp2
22
，δp=3dB
ωs1
2
ωs1
，δs=15dB
Ω0=Ωp1Ωp2，B=Ωp2−Ωp1
（3）利用频率变换关系，求出归一化原型低通滤波器的性能指标 对应于带通滤波器，归一化原型低通滤波器的相应通带频率分别为：
Ωp1
2
Ω2−Ω0=
ΩB
=
Ω=Ωp1
Ωp1−Ωp1Ωp2Ωp1(Ωp2−Ωp1)
2
=−1
11
Ωp2
2
Ω2−Ω0=
ΩB
=
Ω=Ωp2
Ωp2−Ωp1Ωp2Ωp2(Ωp2−Ωp1)
2
=1
因此，取归一化原型低通滤波器的通带频率Ωp为1，通带处最但衰减为3dB。 同理可得归一化原型低通滤波器的阻带频率分别为：
Ωs1=
Ω−ΩΩB
2
20Ω=Ωs1
=
Ω
2s1
−Ωp1Ωp2
tan2=tan
ωs1
2−tan
ωp1
2tan
ωp1ωp1
22)
Ωs1(Ωp2−Ωp1)ωs1
22
tan2(0.15π/2)-tan(0.25π/2)tan(0.45π/2)==−2.8042tan(0.15π/2)(tan(0.45π/2)−tan(0.25π/2))
2
Ω2−Ω0
Ωs2=
ΩB
(tan
ωp2
−tan
=1.9749
Ω=Ωs2
因此，取归一化原型低通滤波器的阻带频率Ωs=min(Ωs1,Ωs2)=1.9749，这是因为取较小的频率值，则较大的频率处一定满足衰减要求，阻带处最小衰减为15dB。
（4）利用巴特沃斯低通滤波器设计归一化原型低通滤波器H(s)。求得巴特沃斯低通滤波器阶数N，即：
lg[(100.3−1)/(101.5−1)]N≥=2.5176
2lg(1/1.9749)
因此，取N=3，截止频率(在3dB处)Ωc就是通带频率的值，即Ωc=Ωp=1。查表可得N=3的归一化巴特沃斯原型低通的滤波器的系统函数HLP(s)：
HLP(s)==
1s3+2s2+2s+1
（5）由归一化原型低通滤波器变换到实际模拟带通滤波器。将平面变换关系代入上式得到实际模拟带通滤波器的系统函数
HBP(s)=HLP(s)s=s2+Ω02=
sB
1
⎛s+Ω⎞⎛s+Ω⎞s+Ω
22+++1⎜⎟⎜⎟
sBsBsB⎝⎠⎝⎠
2
2
0
3
2
20
2
2
20
（6）实际模拟带通滤波器的数字化。利用双线性变换式代入HBP(s)得数字滤波器的系统函数，即：
H(z)=HBR(s)s=c1−z−1
1+z−10.0181−0.0543z−2−0.0543z−4−0.0181z−6
=
1−2.2722z−1+3.5153z−2−3.2688z−3+2.3131z−4−0.9629z−5+0.2781z−6
［20］解：（1）根据系统结构图可得系统的传递函数为：
12
1−z−1
H1(z)=
1+0.85z−1
系统的频率特性如图1所示，由图可知，该系统是一个高通滤波器。
40Magnitude (dB)200-20-40-6000.10.20.30.40.50.60.70.8Normalized Frequency (×π rad/sample)0.91100Phase (degrees)80604020000.10.20.30.40.50.60.70.8Normalized Frequency (×π rad/sample)0.91
图1 习题20系统的幅频和相频特性曲线图 (2) 因为给出的差分方程为：y(n)=x(n−2)−α[x(n−1)−y(n−1)]
Y(z)z−2−az−1
=故R(z)=，将R(z)代入H1(z)， X(z)1−az−1
z−2−az−1
1−−11−z−2−az1==
z−2−az−11−1.85az−1+0.85z−2
1+0.85
1−az−1
H2(z)=H1(z)z−1=z−2−az−1
1−az−1H2(z)的两个零点为z1.2=±1，因此，为了使系统因果稳定，两个极点必位于单位圆内。
系统的频率响应为
H2(e)=H2(z)z=ejω因此，当ω=0,π时，
jω1−e−j2ω= 1−1.85ae−jω+0.85e−j2ωH2(ejω)=0
所以，变换后的数字网络是带通滤波器。
［21］解：（1）将数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的性能指标。由于采用双线性变换法，则频率要进行预畸变。
fs2π×3×1032π×5×103
ωp=2π==0.5π ，ωs=2π==0.3π
fcfc20×10320×103
预畸变后的高通滤波器的通带频率和阻带频率分别为：
22
(2) 利用频率变换关系，可求出归一化原型低通滤波器的通带频率和阻带频率分别为
13
fp
Ωp=ctan
ωp
， Ωs=ctan
ωs
Ωp=1，Ωs=
ΩpΩs
ctan=ctan
ωpωs
2
2=1.9627
通带处最小衰减为3dB，阻带处最大衰减为30dB。
(3)利用巴特沃斯滤波器设计方法，设计原型归一化低通滤波器HLP(s)。 求得巴特沃斯低通滤波器的阶次N，即：
lg[(100.3−1)/(103−1)]N≥=5.1248
2lg(1/1.9627)
因此，取N=6，截止频率(在3dB处)Ωc=Ωp=1。归一化原型低通的滤波器的系统函数HLP(s)
HLP(s)=
1
65432s+3.864s+7.464s+9.1416s+7.464s+3.864s+1
求得实际高通滤波器的系统函数
HHP(s)=HLP(s)s=ΩpHHP(s)=HLP(s)s=Ωp ss(4) 利用Ωp=ctanωp2，求得数字滤波器的系统函数H(z)为 H(z)=HHP(s)s=c1−z−11+z−10.0394−0.2365z−1+0.5913z−2−0.7884z−3+0.5913z−4−0.2365z−5+0.0394z−6=1−0.3723z−1+0.8294z−2−0.1793z−3+0.1277z−4−0.0122z−5+0.002z−6系统的频率响应特性如图2所示。 0 Magnitude (dB)-100-200-300-40000.10.20.30.40.50.60.70.8Normalized Frequency (×π rad/sample)0.91200Phase (degrees)0-200-40000.10.20.30.40.50.60.70.8Normalized Frequency (×π rad/sample)0.91 图2 习题21系统频率响应图 14
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