２０１３年６月 解法探究 平面直角坐标系中三角形面积的求解策略 ⑧宁夏中卫市沙坡头区宣和镇张洪学校 张 宁 在近几年全国各地中考试题中，经常出现与平面直 角坐标系中三角形面积有关的问题，这类试题大多与一 次函数、二次函数及反比例函数的图像相结合，形式灵活 多样，具有一定的综合性．笔者结合２０１２年全国各地中考 试题，归纳出平面直角坐标系中三角形面积的几种求解 策略，与同行分享． 一、当三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴 平行时．可借助坐标轴或平行于坐标轴的直线上 的某一条线段作为三角形的边．第三个点到这条 边的距离作为三角形的高．直接利用三角形的面 积公式求解 例１（２０１２年云南）如图１，在平面直角坐标系中，０ 为原点，一次函数与反比例函数的图像相交于Ａ（２，１）、 Ｂ（一１，一２）两点，与祷由交于点 （１）分别求反比例函数和一次函数的解析式； （２）连接ＯＡ，求△ ＯＣ的面 ｙ 解析：（１）设一次函数解 析式为Ｙ ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），反比例 ／ｃ 函数解析式为 ＝旦（ｏ≠０）．将 Ａ（２，１）、Ｂ（一１，一２）代Ａ．ｙ ＝ ＋ 图１ ｂ，可得ｆ可得｛ 【２－ ｋ＋ｂ＝一２． 解得ｆ解得｛ 【６＝一１．＝１’ 所以Ｙ所以 一． 一１． 将 （２，１）代入ｙ２＝一ａ，Ｎｉ￣ａ＝２，所以）， ＝ ． （２）△ＡＯＣ的一边ＯＣ在 轴上，所以只需求出ＯＣ的 长，然后根据三角形的面积公式求出即可．因为直线４Ｂ与 轴相交于点ｃ，所以点Ｃ的纵坐标为０．当Ｙ ＝０时，ｘ＝ｌ，所 以ｃ（１，０），所以ＯＣ＝Ｉ．又因为点Ａ的坐标为（２，１），所以 △Ａ Ｄｃ的边Ｄｃ上的高为１．所以ｓ△Ａ ÷×ｌｘｌ＝ １． 点评：本题是一道关于反比例函数与一次函数图像 的交点问题的基础性试题．主要考查用待定系数法求一 次函数、反比例函数的表达式及平面直角坐标系中三角 形的面积的求法．由于△ＡＯＣ的边ＯＣ在 轴上．所以只要 求出ＯＣ的长及ＤＣ边上的高就可求出△ＡＤＣ的面积．ＯＣ是 直线ＡＢ与 轴相交所得出的线段．所以可根据直线ＡＢ的 表达式求出ＯＣ的长．再根据点Ａ的坐标可求出ＯＣ边上的 高．从而使问题解决．通过这类问题可以考查学生最基本 的计算能力和对最基本的解题方法的掌握情况．试题及 其解法具有一定的代表性．平面直角坐标系中其他类型 的三角形面积问题的解决原理与此题相同． 二、当所求三角形的面积不易直接计算时，可 通过求有关三角形面积的和或差而求得原三角形 的面积 例２（２０１２年山东济宁） 如图２，抛物线ｙ＝似 ＋６ ＿４与 轴交于４（４，０）、Ｂ（一２，０）两点， ｛ ｙ Ｐ Ａ｜． 与 自交于点ｃ，点腥线段ＡＢ 上一动点（端点除外），过点Ｐ 作肋∥４ ｃ，交ＢＣ于点Ｄ，连接 Ｃ 图２ ＣＰ （１）求该抛物线的解析式； （２）当动点眍动到何处时，Ｂｔ￣＝ＢＤ・ＢＣ； （３）当ＡＰＣＤ的面积最大时，求点Ｐ的坐标． 解析：（１）因为抛物线＿ｙ＝ ＋ｂｘ一４与 轴交于Ａ（４，０）、 （一２，０）两点， 所以１６ａ＋４ｂ－４＝Ｏ，』 ￣｛ ２， 【４。一２６—４＝０・ ｂ０ ＝－１．所以抛物线的解析式为ｙ＝÷ 一４． （２）设点Ｐ运动到点（ ，０）时，有ＢＰＺ＝ＢＤ・ＢＣ． 在ｙ＝÷ ２－ 一４中，令 ＝０时，则），一４． 所以点ｃ的坐标为（０，一４）． Ｎ￣ＰＤ／／ＡＣ，￣ｆｒ１）２ＡＢＰＤ ＡＢＡＣ，所以 ＝ ． 初中版中－ 毒ｉ：・？ 解法探究 因为ＢＣ＝Ｖ 丽 ＝ ２＝２、／ ，ＡＢ＝６，ＢＰ＝ｘ一 （一２）＝ ＋２， ／ｆ（ｂ￣ＢＤ＝孚 ２ 肚孚 ２）． ￣％ｊＢＨ：ＢＤ．ＢＣ，所以（ ＋２） ： （卅２）．２、／了， 解得 。： ４ Ｙ２－－２（不合题意，舍去）． 所以点Ｐ的坐标是（ ４，ｏ）． 所以当点隧动到（ ４，０）时，日Ｈ＝ＢＤ・ＢＣ． （３）因为△Ｂ肋一△ＢＡ 以 －（ ） ， 所 （ 幽ｔ－＝．：（ ｘ＋２ ２ｘ ｘ６ｘ４－ （ ） 又因为ｓ Ｒ ÷×（ ＋２）×４＝２（ ＋２）， 所以ｓ ｓ△旷ｓ△ ２（ ＋２）一÷（卅２） ：～ 一（ 一１）。＋３． ３ 当ｘ＝ｌ时，ｓ 舢有最大值３． 所以点Ｐ的坐标为（１，０）时，ＡＰＣＤ的面积最大． 点评：本题是一道关于二次函数的综合题，主要考查 抛物线上点的坐标与方程的关系、二元一次方程组和一 元二次方程的解法、相似三角形的性质和判定、二次函数 的最值以及平面直角坐标系中三角面积的求法．考查的 知识点较多．综合性较强．由于点Ｐ是动点．所以ＡＰＣＤ＠ 面积不易直接计算．根据已知ＰＤ／／ａＣ．可得ＡＢＰＤ＇１＇ ＡＢＡ Ｃ。根据相似三角形ＡＢＰＤ、ＡＢＡＣ的面积比．可表 示出ＡＢＰＤ＠面积．以ＢＰ为底．ＤＣ为高．可表示出ＡＢＰＣ 的面积，然后利用ＡＢＰＣ、 ＢＰＤ＠面积差表示ＡＰＣＤ＠ 面积．最后利用二次函数的性质即可求得当ＡＰＣＤ＠面 积最大时点Ｐ的坐标． 三、当三角形被坐标轴分割为若干个小三角 形时．可通过求小三角形的面积而求得原三角形 的面积 例３（２０１２年四川广安）如图３，已知双曲线ｙ： 和 直线＿ｙ＝ｍ ＋ｎ交于点Ａ和曰，Ｂ点的坐标是（２，一３），ＡＣ垂直Ｙ 轴于点ｃ，ＡＣ＝ ． 毒誊豢 十。？擞－？初中版 ２０１３年６月 （１）求双曲线和直线的解析式； （２）求△ＡＯＢ的面积． 解析：因为点Ｂ在反比例 ｋｙ 函数 ： 的图像上，所以矣 ／／／ ＤＣ ｔ ＝一３，解得 ＝一６，所以双曲线的 Ｏ 解析式是ｖ：一旦． 当４ｃ： 时，由一一６：３得 ＿４＿ 图 一 ，Ｚ ｖ 所以点Ａ坐标是（一 ，）３，４）． ３因为点４、Ｂ都在直线ｙ＝ｍｘ＋ｎＪ２，所以 一＿＝－，ｎ＋ｎ＝４， ２ｒｅ＋ｎ＝一３， 解得｛ｍ＝ ， ｌｎ＝１． 所以直线ＡＢ的解析式是ｙ一２ｘ＋１． （２）设直线ｙ＝一２ｘ＋ｌ与Ｙ轴的交点是点Ｄ，如图３所示． 当ｘ＝０时，由一２ｘ＋ｌ＝Ｏ得ｙ＝１． 所以点Ｄ坐标是（０，１），ＯＤ＝Ｉ． 所以ｓ ５ ｃ ｓ ×１× ＋ｌｘｌｘ２＝ｌ＿７４． ２点评：本题主要考查利用待定系数法确定函数的解 析式的方法．一般地．解析式中有几个待定系数即需要已 知几个点的坐标．解决时要注意先易后难，即先确定反比 例函数解析式．然后根据反比例函数的性质确定另一个 点的坐标．为求得一次函数或者是二次函数的解析式作 准备．计算平面直角坐标系中的三角形的面积．一般是取 坐标轴上的某边或者是与坐标轴平行的一边为基础计算 面积．但这里的△ＡＯＢ的面积不能直接这样计算．需要间 接计算．由于△ＡＯＢｉ￥＇ｙ轴（或 轴）分割为两个小三角形， 计算时可分别计算两小个三角形的面积，即先求△ＡＯＤ、 △ＢＯＤ的面积．然后计算△ＡＯＢ的面积．这里的点Ｄ还可 以是直线ＡＢ与 轴的交点． 四、当涉及的三角形没有被坐标轴分割为两 个三角形时，可过某个顶点作坐标轴的平行线， 将其分割为两个小三角形．或可过某个顶点作坐 标轴的平行线，将其扩充为一个大三角形，然后 通过求有关三角形面积的和或差而求得原三角 形的面积 例４（２０１２年湖南湘潭）如图４，抛物线ｙ＝ａｘ２－÷ 一２ ２０１３年６月 （。≠０）的图像与 轴交于４、Ｂ两点，与Ｙ轴交于点ｃ，已知日 点的坐标为（４，０）． （１）求抛物线的解析式； （２）试探究ＡＡＢＣ的外接 圆的圆心位置，并求出圆心的 坐标； ＼Ａ Ｂ （３）若点Ｍ是线段ＢＣ下方 、——／Ｍ 抛物线上一点，求△ Ｂｃ的面 图４ 积的最大值，并求出此时ＭＡ的坐标． 解析：（１）将Ｂ点的坐标（４，Ｏ）４Ｌ，ｋｙ＝似 一 一２（ｎ≠ ｏ），得 ． 故抛物线的解析式为ｙ＝ ２一寻 ＿２． （２）由（１）易求得点Ａ的坐标为（一１，０），点Ｃ的坐标为 （０，一２），所以ＯＡ＝１，０Ｃ＝２． ＸＮＮＯＢ＝４，所以 ＝５，ＡＣ＝、／了，ＢＣ＝２、／了． 所以Ａ Ｃ ＋ＢＣ ＝ＡＢ ， 故ＡＡＢＣ是直角三角形，厶４ＣＢ＝９０￣． 所以ＡＡＢＣ的外接圆的圆心位于 日的中点处，易求 得圆心的坐标为（寻，０）． （３）如图４，过点 乍ｙ轴的平行线，交曰Ｃ于点 设点 的坐标为（ｍ，ｎ），则ｎ＝ ｍｚ一号ｍ一２． 设直线ＢＣ的表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ，将Ｂ（４，０）、ｃ（ｏ，一２）分 ｉ ： ． 别代人＿ｙ＝ ＋６，易求得｛ ２ 【ｂ＝一２． 所以直线 ｃ的表达式为 ＝ 一２． 因为点Ⅳ在 ｃ上，且点Ⅳ的横坐标与点 的横坐标相 同，故点Ⅳ的坐标为（ｍ， １ ｍ一２）． 所以ＩＭＮＩ＝ １ ｍ一２一ｎ＝ｍ－２－（ １ ｍ２一 ｍ一２） ：一 ｍ２＋２ｍ． ２ 所以５ ５ ｓ ÷ｌ删ｌ Ｉ １．（４一ｍ） ＝２ｌＭＮｌ＝一ｍ２＋４ｍ＝一ｍ一２）２＋４． 由二次函数的性质可知，当ｍ＝２ｆｔ￣，，ＡＭＢＣ的面积有 最大值．面积的最大值为４． 解法探究 将ｍ＝２代入ｎ＝ ｍｚ一寻ｍ一２，得ｎ＝一３，故 点的坐标 为（２，一３）． 点评：本题是关于二次函数的综合题，该题的难度不 大．但用到的知识点比较琐碎．综合性比较强．考查的知 识点主要有二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、直角 三角形外接圆的性质、利用待定系数法求一次函数的表 达式以及坐标系中三角形面积的求法．熟练掌握直角三 角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关 键．ＡＭＢＣ的面积无法直接利用三角形的面积公式求得． 可过某个顶点作坐标轴的平行线．将其分割为两个小三 角形．然后通过求两个小三角形面积之和而求得原三角 形的面积． 五、三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积 的一半 如图５，过ＡＡＢＣ的三个顶点分别作出与水平线垂直 的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ＧＡＢＣ的“水平 宽”（。），中间的这条直线在 ＡＡＢＣ内部线段的长度叫 ＡＡＢＣ的“铅垂高（ ）”．我们可 Ｃ 得出一种计算三角形面积的 新方法：Ｓ １ 即三角形 Ｂ ，水乎宽 Ｚ 的面积等于水平宽与铅垂高 乘积的一半． 例５（２０１２年四川乐山）如图６，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为（ｍ，ｍ），点 的坐标为（ｎ，一１７，），抛物线经 过Ａ、０、Ｂ三点，连接ＯＡ、ＯＢ、ＡＢ，线段ＡＢ交Ｙ轴于点ｅ已 知实数ｍ、ｎ（ｍ ）分别是方程 ２一 一３＝０的两根． （１）求抛物线的解析式． （２）若点尸为线段ＯＢ上的一个动点（不与点Ｏ、Ｂ重合）， 直线Ｐｃ与抛物线交于Ｄ、Ｅ两点（点Ｄ在Ｙ轴右侧），连接ＯＤ、 Ｂ ①当△ＯＰＣ为等腰＿一角形时，求点Ｐ的坐标； ②求ＡＢＯＤ面积的最大值，并写出此时点Ｄ的坐标． 解析：（１）通过解方程可得出 、 两点的坐标，然后 利用待定系数法求出二次函数的解析式即可． 易得方程ｘＺ－２ｘ一３＝０的两根为 ＝３，Ｘ２＝一１． 因为ｍ＜ｎ，所以ｍ＝一１，ｎ＝３．所以 （一１，一１）， （３，一３）． 设抛物线的解析式为ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ，牛簪Ａ（一１，一１）、Ｂ（３，一３） 初中版中。？擞・？ 解法探究 分别代入可求得 一 ，６＝ ． 于是抛物线的解析式为 ＝一 ． （２）①易求得直线 Ｂ的解析式为ｙ＝一 一 ． 所以点ｃ的坐标为（０，一 ）． 易求得直线 Ｄ的解析式为ｙ＝ ． 因为ＡＯＰｃ为等腰三角形， 所以Ｄｃ＝Ｏ城０Ｊｐ＝ＰＣ或Ｄｃ＝Ｐｃ． 龇 分类讨论可得出Ｐｌ（ ，一 ４ ）＇ （ ，一号）， （丢，一 ３）．这里从略． Ｙ ０ ０ 一 以 图６ ７ ②如图７，过点Ｄ作ＤＱｆｆｙ轴，交０曰于点Ｑ，过点Ｂ作 ＢＨ Ｊ－舛由，垂足为Ｈ． 设Ｑ（ ，一 ），则Ｄ（ ，一≥ ２＋ ）． 于是可知ＡＢＯＤ￣竖直高为： ＩＱＤ＝－２＋２丢 —ｃ— 一 ２＋丢 ． 因为点Ｂ的坐标为（３，一３）， 所以ＡＢＯＤ＠水平宽为ＯＨ＝３． 所以ｓ一 一 １ 一 一 ． 因为０ ＜３，所以当 ＝ 时，ｓ取得最大值为 ，此时 。 一 点评：本题是一道关于二次函数的综合题．主要考查 了待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质和平 面直角坐标系中三角形面积的求法等知识．涉及的知识 点较多，综合性较强．要求得ＡＢＯＤ面积的最大值，首先 要用函数关系式表示出它的面积．然后结合二次函数的 性质求出符合条件的最大面积．本题中容易表ｉｆ－，ｃ出 ＡＢＯＤ￣水平宽度和竖直高度．然后直接利用公式求出 鬻 辫躺 中－？毒炙，？初中版 其面积． 六、当三角形是直角三角形时，直接利用三 角形的面积公式计算 例６ （２０１２年湖北黄石）如 图８，已知抛物线Ｃ．的函数解析式 为ｙ＝似 ＋ｂｘ一３ａ（ｂ＜Ｏ），若抛物线ｃ 经过点（０，一３），方程似。＋ｂｘ一３ａ＝Ｏ ｛ 的两根为 、Ｘ２且ｌ 。 ｌ＝４． ３ （１）求抛物线ｃ 的顶点坐标． 图８ （２）已知实数 ＞０，请证明： ＋ ＞１２，并说明 为何值 时才会有 ＋ ＝２． （３）若抛物线先向上平移４个单位，再向左平移１个单 位后得到抛物线Ｃ 设Ａ（ｉｎ，Ｙ。），Ｂ（ｎ，Ｙ：）是ｃ 上的两个不 同点，且满足厶４ＯＢ：９０。，ｍ＞Ｏ，ｎ＜０．请你用含有ｍ的表达 式表示出△ＡＯＢ的面积ｓ，并求出ｓ的最小值及ｓ取最小值 时直线０ 的解析式． （参考公式：在平面直角坐标系中，若ｐ（ｘ。，Ｙ ），Ｑ（ｘｚ， ），则Ｐ、Ｑ两点问的距离为、／ ） 解析：（１）抛物线的解析式为ｙ＝ｘ２－２ｘ一３＝（ 一１） ４，顶 点坐标为（１，一４）．这里从略． （２）将 ＋ 配成完全平方式，然后根据平方的非负 性即可得证．这里从略． （３）结合（１）中抛物线的解析式以及函数图像的平移 规律，可得出抛物线ｃ１的解析式为ｙ ，从而可知Ａ（ｍ， ｍ ），Ｂ（ｎ，ｎ ）． 在ＲｔＡＯＡＢ中，由勾股定理可知ＯＡ ＋ＯＢ ＝ＡＢ ， 所以ｍ ＋，ｎ ＋ｎ ＋ｎ ＝ｍ—ｎ） ＋（ｍ２－ｎ ） ，且口，ｎｎ＝一１． ＮＮｓ ｏ￣１ ＯＡ・ＯＢ＝ 佩・佩，ｍｎ＝一１， 所以ｓ ÷丽＝ ２、Ｖ／２＋ｍ２＋ ｍ＝ ＝丢、／（ｍ＋ ） ＝≥（ｍ＋ ）≥吉×２ 所以△４ＯＢ的面积ｓ的最小值为１，此１３，ｊｍ＝ｌ，Ａ（１，１）． 所以直线０４的解析式为ｙ＝ｘ． 点评：本题是一道关于二次函数的综合题，主要考查 待定系数法、曲线上点的坐标与方程的关系、一元二次方 程根与系数的关系、二次函数的性质、不等式的知识以及 ２０１３年６月 解法探究 灵活“变换’／［＝】 又 ’ 巧妙解题 ——变换在解几何题中的应用 ⑩江苏省金坛市第三中学 吴伟栋 一平移变换在几何解题中的应用 、２．角的平移 例２如图２，在四边形 在平移变换下，任何两组对应点总是构成一个平行 四边形的顶点．平面几何中涉及平行四边形或平行线时， ＡＢＣＤｄＰＥ、盼别为４Ｂ和ｃＤ 的中点ＡＤ和曰ｃ的延长线分 ，，常考虑使用平移变换． １．平移线段 别交ＥＦ的延长线于ＧＨ， ，Ｅ ＡＡＧＥ： Ｂ日Ｅ 图２ ． 例１ 如图１，Ｐ、Ｑ分别为梯形 ＢＣ＿，）两底４Ｄ、ＢＣＪｙ＿（ｔ￣Ｊ ， 求证：ＡＤ：ＢＣ＝ １直线 分析：证明线段相等，通常采用证明它们所在的三 ＰＱ￣ＡＢ、ｃＤ成等角． 求证：Ａ ： Ｄｅ 分析：如图１，ＡＢ和ＤＣ 角形全等的方法．如连接 ｃ，可以看到求证的线段ＡＤ和 ＢＣ分别在△ＡＣＤ和ＡＢＡＣ中，显然这两个三角形一般并 曰 Ｍ Ｑ 图１ Ｎ Ｃ 不全等．然而从所给条件看到，Ｅ、跷 Ｂ和ＣＤ的中点，为 证线段ＡＤ＝ＢＣ，只要证过中点作的中位线相等，或平移 角即可． 是梯形两腰，根据解题经验，一般总把这两条线段移至同 一个三角形内．考虑到ＡＤ／／ＢＣ，可以通过平移变换，将 证明：如图２，连接Ａ Ｃ，平移厶４ ＧＥ，使角顶点Ｇ和ＤＣ的 中点肘目重合，则ＡＧ边移至ＰＦ， ，、 ４Ｃ的中点，连接ＰＥ ＡＢ、ＤＣ分别移至 、矾这样，在ＡＰＭＮ中集中了条件和 结论，问题便容易得解． 证明：平移ＡＢ、ＤＣ至 、ＰＮ，Ｚ＿ＭＰＱ＝ ⅣＰｐ， ： ＡＢ，ＰＮ＝ＤＣ． ＰＥ： Ｂｃ．Ｐ ＿ｌＡＤ． ２ ２ 由／ＰＦＥ＝／＿ＡＧＥ， ＰＥＦ＝ ＥＨＢ， ＡＧＥ＝ ＢＨＥ． 得Ａ＿ＰＦＥ＝Ａ＿ＰＥＦ，则Ｐ 船，￣ＡＤ＝ＢＣ． ＭＱ—ＢＱ—ＢＭＢＱ Ｐ—ＢＱ－ＡＰ一１ —ＱＮ Ｑｃ——ＮＣ ＱＣ－ＰＤ ２ＢＱ－２ＡＰ ２ 则 ： ＰＮ ＯＮ ２ 平移变换的目的是把所给的图形移动一个位置，使 ：一１故一ＡＢ：１￣［ＩＡＢ： Ｄｃ． 图像和原图始终保持任两点的距离不变．由于移动位置， 给解题带来了方便． ，，ＤＣ ２ ２ 平面直角坐标系中三角形面积的求法．要确定抛物线Ｃ， 积值以及此时ｍ的值．从而由待定系数法确定直线ＯＡ的 解析式． 的顶点坐标。即要先求出抛物线的解析式．即确定待定系 数ａ、ｂ的值．已知抛物线的图像与ｖ轴交点．由此得到０：１． 从以上实例可以看出，平面直角坐标系中三角形面 然后从方程入手求ｂ的值，已知两根差的绝对值．将其进 行适当变形，转化为两根和、两根积的形式，结合根与系 积的有关试题主要考查学生应用一次函数、二次函数及 反比例函数的有关知识分析和解决三角形面积问题的能 力，解决这类问题的关键是结合函数的有关性质求出三 角形的一边长及这边上的高，通常要将三角形分解或扩 数的关系即可求出ｂ＝一２．要用含有ｍ的代数式表示出 △ＡＯＢ的面积．首先要用含有ｍ的代数式表示出ＯＡ与ＯＢ 的长．然后直接利用直角三角形的面积公式求出△ＯＡＢ 充为边在礴由或Ｙ轴上的三角形的面积和或差．在求解过 程中要充分利用数形结合思想．圃 的面积．结合不等式的相关知识可确定△ 的最小面 初中版中’ 擞－？ 羹
