・试题赏析・ 。７歆・７ （２０１ｏ年第７期・高中版） ５７ ２０１ ０年高考数学四川Ｉ卷理科（２０）题解法探究 ６４１０００ 四川省内江市第六中学２０１０年高考数学四川卷理科（２０）题：已知定点 １ 何代森 Ａ（一１，０），Ｆ（２，０），定直线ｆ： ＝÷，不在 轴上的动点Ｐ 与点Ｆ的距离是它到定直线ｚ的距离的２倍．设点Ｐ的 轨迹为Ｅ，过点，的直线交Ｅ于Ｂ，Ｃ两点，直线ＡＢ，ＡＣ 分别交 于点 ，Ⅳ＿ （Ｉ）求Ｅ的方程； （１Ｉ）试判断以线段ＭＮ为直径的圆是否过点Ｆ，并 说明理由． ｃ一 ＝２一 １三＝２，口 ＋６ ：ｃ ． ，Ｃ Ｚ ０ 解得ａ－－１，６：，３－，ｃ＝２． 由此可知，所求双曲线的中心在原点、焦点在 轴 上，故所求双曲线方程为Ｘ２＿｝＝１（ｙ≠０）． （Ⅱ）解法１①当直线ＢＣ与 轴不垂直时，设ＢＣ 的方程为ｙ＝ｋ（ 一２）（ ≠Ｏ）， 此题第（Ｉ）小题是以人教社教材中的例题改编的． 第（ＩＩ）小题是圆锥曲线的一个性质，带有数学探究的意 味，考查了解析几何的通性通法，并考查了函数与方程 的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与转 化的思想、特殊与一般的思想．由于本题的解法很多，这 能有效考查学生思维的发散性、灵活性、严谨性、选择 与双曲线方程Ｘ２＿予：ｌ（ｙ≠ｏ）联立消去ｙ得 （３－ｋ２）ｘ ＋４ｋ２ｘ一（４ ＋３）＝０． 由题意知，３－ｋ ≠Ｏ且△＞０．设Ｂ（ｘ。，Ｙ。），ｃ（ｘ２，Ｙ２）， 则 。拟：＝篙 ＝４酉ｋ２＋３， ＹｌＹ２： （ ｌ一２）（ ２—２）＝ｋ ［ ｌ ２—２（ｘ。＋ ２）＋４］ 性，心理学的研究表明，发散思维是创造性思维的核心， 从而，本题达到了考查考生创新意识的目标．因此，本题 是一道能有效考查数学基础知识、基本思想和思维能力 的优秀试题，值得探究和思考． 解（Ｉ）解法１（利用求轨迹方程的一般方法或 ｃ等一 ＝ 由 －， ≠一ｌ，则直线ＡＢ的方程为ｙ＝ 因此肼点的坐标为（ １， （ ＋１）， 称五步法） 啬）， 设Ｐ（ ，ｙ），则￣／ｉ 孵化简得 一 ：１（），≠０）． －２ Ｉｘ－＋ｌ， 而 争， ）． 同理可得蔚：（一寻， 詈 ）． 因此赢・南＝（一寻）ｘ（一吾）＋ 堡 ． 解法２（利用待定系数法） 设双曲线方程为 ， － 、 ２ ２～告＝１ ， Ｕ Ｕ 由题意知 ＋ｍ＝ １，ｃ＋ｍ＝２，一Ｃ＝２： ＋＋ 毳 ～ — ：０． ②当直线ＢＣ与 轴垂直时，其方程为ｘ＝２，则Ｂ（２，３）， ｃ（２，一３），ＡＢ的方程为，，＝ ＋ｌ，因此 点的坐标为（ ， ３）劢＝（ ３３）同理可得赢：（ ３，，— ．解得ｏ＝１，ｃ＝２，ｍ：０．所以双曲线方程为 一 ：１ （Ｙ≠０）． 解法３（利用圆锥曲线的第二定义） ３）． 由圆锥曲线的第二定义知，点Ｐ的轨迹是以Ｆ（２， ， ０）为焦点、定直线ｚ： ＝÷为相应准线的双曲线，从而此 因此 ３）ｘ（一 ３）＋（一 ３）× ３：０ 因此 ・肃：（一 ・删：（一 ）ｘ（一 ）＋（一 ）× ：，， ５８ 综上， ． ＝０，即ＦＭ＿Ｉ＿ＦＮ． ◆・？擞－７（２ｍｏ年第７期・高中版） ・试题赏析・ 堑二Ｌ下一：０．）ｂ－－１ 一 ． 故以线段ＭＮ为直径的圆过点 解法２ 设Ｂ（ ，Ｙ ），Ｃ（ ，Ｙ２），ＢＣ的中点为 ： ＋—＋ —Ｐ（ｘ０，Ｙｏ），则 ３ｘＩ －ｙＩ ＝３，３ｘ２ －ｙ２ ＝３， 两式相减。得 ３（ｘｌ ２）（ Ｉ－Ｘ２）－（ｙｌ＋Ｙ２）（Ｙｌ－Ｙ２）＝０， 从而ｋ＝ｋｎｃ＿ ｙ ｌ －ｙ ２： ３ｘｏＹ ｏ＝ ，（ｘｏ＃２）， 因此Ｙｏ ＝３ｘｏ ６ｘｏ，显然此式对 ＝２也成立． ｆ ＰＩ ＝（ ＋１） ＋Ｙｏ ＝（ ０＋１） ＋３ｘ０ 一６ｘ０ ＝（２ ｏ一１）２． 设Ｂ，ｃ到直线ｌ距离为ｄ ，ｄ２，则易得 ２ｄｌ＝２ｘｌ一１，２ｄ２：２ｘ２—１， ＩＢＣ Ｊ ＝（２ｄｌ＋２ｄ２）。＝（２ｘｌ一１＋２ｘ２一１） ＝４（２ ｏ一１）２． 所以ＩＢＣＩ＝２ＩＡＰＩ，所以仙上 ｃ． 又Ａ，，关于直线Ｚ对称，所以／＿ＭＦＮ＝９０￣， 故以ＭＮ为直径的圆过点 解法３因为直线ＢＣ与Ｘ轴不平行，故可设 ｃ的 方程为ｘ＝ｔｙ＋２，与双曲线方程 一等：１（ ≠０）联立消去 得 （３ｔ２－－１）ｙ２＋１２ｔｙ＋９＝Ｏ． 设Ｂ（ｘ ，Ｙ１），Ｃ（ｘ２，Ｙ２）， 则），。 ＝ ，），． ＝ ９， 一４ —３ｔ 一４ ｒ＋Ｘ２ 五 ｔＸ２ 而‘ 因为 ，， ≠一ｌ，所以直线 的方程为ｙ：－－ｘ￣ｌ（ ＋１）， 因此 点的坐标为（ １， ）， 寻， ）． 同理可得肃 寻， ）． 因此而・赢－（－ （一手 综上，—ＦＭ．赢：０，即ＦＭ＿ＬＦＮ． 故以线段ＭＮ为直径的圆过点 解法４因为直线ＢＣ与 轴不平行，故可设 Ｃ的 方程为 ＝ｔｙ＋２，与双曲线方程 一等＝ｌ（，，≠０），联立消 去 得 （３ｔｚ—Ｉ）ｙ２＋１２ｔｙ＋９＝０． 设Ｂ（ ｌ，ＹＩ），ｃ（ｘ２，Ｙ２）， 则 ， ＝而－１２ｔ），。）， ＝而９，．因为 。， ≠一ｌ－ 因此 ・ａ－－ｄ＝（ ＋１）（ ＋１） 。 ： ：—＿３ｔ １ ３ｔ １ ＝一＋ 十— 一十 十— 一３ｔ ‘＝Ｕ一 一 一１ ＝． 所以ＡＭＩＡＮ，所以ＡＢ上Ａ ｃ． 又 ，，关于直线ｚ对称，所以／＿ＭＦＮ＝９０。，所以以 ＭＮ为直径的圆过点 解法５由解法３，并设ＢＣ的中点为Ｐ（ｘ。，Ｙｏ），则 －６ｔ －２Ｙｏ ： 丁 ——，：３ｔ２一＝－１ ｏ ｔｙｏ ＋ｚ ．‘ ＰＩ ＝（％＋１） ＋Ｙｏ ＝ ９（ｔ２＋１） （３ｔ：－１） ’ ｌ ＢＣ Ｉ ＝（ ｌ ２） ＋（ｙ。 ） ＋１） ＋ｙ２）２－４ｙｔｙ２］－ ， 所以Ｊ ＢＣＩ＝２ ｆＡＰ｝，所以ＡＢＩＡＣ． 又Ａ，Ｆ关于直线Ｚ对称，所以／ＭＦＮ＝９０。， 所以以ＭＮ为直径的圆过点 解法６如图１，过Ｂ作 ， 准线Ｚ的垂线交ＦＭ的延长 线于点Ｄ，过ｃ作准线ｚ的垂 线交ＦＮ的延长线于点Ｅ，所 ＼ ／ 以 ＭＦＡ＝ ＢＤＦ。 ： 厶ＣＥＦ． Ｆ ＼ ／ 因为Ａ，Ｆ关于直线ｆ对 称， ｌ 图１ 所以曰。Ｄ关于直线ｆ对 称，ｃ，Ｅ关于直线ｆ对称． ・‘试题赏析・ 十。７擞－７（２０１０年第７期・高中版） ５９ ２０ １０年浙江卷文科压轴题的推广 ３６４０００福建省龙岩市第一中学 胡寅年 题已知ｍ是非零实数，抛物线ｃ： ＝２ｐｘ（ｘ＞Ｏ）的 一‘．．且线ＡＢ与硇彻玩伺网 Ａ ２ ．焦点Ｆ在直线ｚ： —ｍｙ一 ＝０上． 二 个不同的交点， （Ｉ）若ｍ＝２，求抛物线Ｃ的方程； （Ⅱ）设直线Ｚ与抛物线Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，过Ａ，曰 又 （一号，０）， 、 ．０ Ｍ Ｆ 分别作抛物线ｃ的准线的垂线，垂足为Ａ ，召 ，△ＡＡ Ｆ， ＡＢＢ。Ｆ的重心分别为Ｇ，Ⅱ求证：对任意非零实数ｒｌｚ，抛 物线ｃ的准线与 轴的交点在以线段ＧＨ为直径的圆 外． Ａ－（一号 ），Ｂ１（一号， ）， Ｙｌ＋Ｙｚ＝２ｐｍ，ＹＩ・Ｙ２＝－ｐ ， ・ｉ ．．明显地，２０１０年浙江卷文科压轴题，是一道以抛物 线几何性质为素材的解析几何试题，旨在考查学生分析 问题的能力．以下我们将它推广为一般情形． 定理设抛物线Ｃ：ｙＺ：２ｐｘ（ｘ＞Ｏ）的焦点为Ｆ，经过 ・．．Ｇ（ ，孕）， （ ，丁２ｙ２）， （ ＋号，２了Ｙ１）・（ ＋号，２了ｙ２） 图１ —ＧＭ： ＝点Ｆ的直线ｚ与抛物线ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，过Ａ，Ｂ分别 作抛物线ｃ的准线的垂线，垂足为Ａ ，Ｂ ，△ＡＡ Ｆ， ＡＢＢ Ｆ的重心分别为Ｇ，Ｈ求证：抛物线Ｃ的准线与 轴的交点不在以线段ＧＨ为直径的圆内． 证明设抛物线ｃ： ：２ｐｘ（ｘ＞Ｏ）的准线与 轴的 ＝：（ 十号）（ ＋号）＋ （孚＋ ）（孚＋ ）＋４丁ｙｌｙ２ ４）＋ｙ２）（ｍ２＋ Ｙ￣Ｙｚ２ｐｍ（ ｙ，２． ：———一９ ９ ２ ２ ＋——一。 ９ ＋９’９ 交点为 ，直线Ａ日的方程为 ＝ｍｙ＋ ，Ａ（ ，，Ｙ ）， ｒ ＝２ｐｘ， ｍｙ＋ ＇ ＝ ＋ ９・ ＋一ｆ ’ ９ 垡Ｂ（ｘ：， ），由｛Ｐ得方程 一 －ｐ ＝０， ： ≥ｏ， 因此点Ｍ不在以ＧＨ为直径的圆内． ，ＩＩ廿穗日期．２０１ＤＩ）６１５、 判别式△＝（一２ｐｒｏ） ＋４ｐ ＝４ｐ。（ｍ ＋１）＞０， 由已知ＦＢ，ＦＣ为 ，ｃ到直线ｚ距离的２倍， 所以ＦＢ＝ＢＤ，ＦＣ＝ＣＥ， 甄以厶ＢＤＦ＝／＿ＢＦＭ。厶ＣＥＦ：厶ＣＦＮ， 所以 所以 ＝Ｚ．ＢＦＭ， １ＶＦＡ＝ ＣＦＮ． ＭＦＡ＋厶ＢＦＭ七厶ＮＦＡ＋厶ＣＦＮ＝１８０ｏ， 所以ＢＤ ＝（２ｄ。） 一（ｄ。一１．５） ＝３ ＋３ｄ。一２．２５， ＣＥ ：（２ｄ ） 一（ｄ２—１．５） ＝３ｄ￣＋３ｄ２－２．２５， 所以ＡＢ ＝ＢＤ ＋（ｄ ＋１．５） ：４ ＋６ｄｌ， ＡＣ ＝ＣＥ ＋（ｄ２＋１．５） ＝４ｄ￣＋６ｄ２， ＋／ＮＦＡ＝９０。， ｌ 又因为 ＝筹 所以４ｄｌｄ２：３ｄｌ＋３ｄ２， ＝ ， Ｉ即 肘ＦⅣ＝９０。， 所以以ＭＮ为直径的圆过 点Ｆ． 所以ＡＢ２＋ＡＣ ：４ｄ２ｌ＋ｑ吐２２＋６ｄｌ＋６ｄ２ ＝４ｄ２ｌ十斗 ２２＋８ｄｄ２＝ Ｃ ， ， 解法７如图２，设Ｂ，Ｃ到 直线ｆ距离为ｄ ，毋，过Ｂ，ｃ作 轴的垂线，垂足为Ｄ，Ｅ，设直线２ ＧｔＥ｜ｒ —— ～＼ 所以ＡＢ＿Ｉ＿ＡＣ， 又Ａ，Ｆ关于直线Ｚ对称，所以／ＭＦＮ＝９０。， 所以以ＭＮ为直径的圆过点 Ｃ＼ ｌ （收稿日期：２０１００６１１） 与 轴交点为Ｇ，则ＣＤ：ｄ。，ＧＥ －ｄ２， 图２