北师大版八年级下册数学《期中检测题》及答案

期 中 测 试 卷

学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________

一．选择题（共8小题）

1.下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）

A.

2.下列方程中,关于x的一元二次方程是（ ） A. x2﹣x（x+3）＝0 C. x2﹣2x﹣3＝0

3.下列式子为最简二次根式的是（ ）

B. ax2+bx+c＝0 D. x2﹣2y﹣1＝0

A

4.用配方法解一元二次方程x26x20,以下正确是（ ） A. (x3)2 C. (x3)11 5.如果a＝22A. a+b＝0

.a2b2

B. C. D.

B.

a2 C. 12a D.

1 2B. (x3)11 D. (x3)2

221,b＝3﹣2,那么a与b的关系是（ ） 32B. a＝b

C. a＝

BD交于点O,过点O与AC垂直的直线交边AD于点E,则△CDE6.如图,▱ABCD的周长为22m,对角线AC、的周长为（ ）

的1 bD. a＞b

A. 8cm 7.

B. 9cm C. 10cm D. 11cm

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )

A. BC=AC B. CF⊥BF C. BD=DF D. AC=BF

8.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A的坐标为（4,3）,点D是边OC上的一点,点E在直线OB上,连接DE、CE,则DE+CE的最小值为（ ）

A. 5 B.

7+1 C. 25 D.

24 5二．填空题（共10小题）

9.要使代数式x5有意义,字母x必须满足的条件是_____． 10.计算326的结果是_____．

11.48与最简二次根式2a3是同类二次根式,则a＝_____．

F在BD上,要使四边形AECF是平行四边形,还需增加的一个条件是12.如图,BD是▱ABCD的对角线,点E、_____．

13.如图,在正方形ABCD中,△ABE为等边三角形,连接DE,CE,延长AE交CD于F点,则∠DEF度数为_____．

14.当a＜0时,化简|a2﹣2a|结果是_____．

,∠ABC＝80°,将△ABC绕点B逆时针旋转,得到△DBE,若DE∥BC,则旋转的15.如图,△ABC中,∠A＝60°最小度数为_____．

的16.若关于x的一元二次方程x2+（2k+4）x+k2＝0没有实数根,则k的取值范围是_____． 17.已知a,b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根,则a2+2b﹣3的值等于_____． 18.如图,AB∥CD,AB＝7,CD＝3,M、N分别是AC和BD的中点,则MN的长度_____．

三．解答题（共9小题）

19.计算： （1）23545； 356xy2x0,y0；

（2）3x2y（3）

48274153．

2220.已知x23,y23．求xxyy值．

21.用适当方法解方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）y（y﹣7）＝14﹣2y； （3）2x2﹣3x﹣1＝0．

、B（﹣1,0）、C（0,﹣3） 22.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3,﹣1）（1）点A关于坐标原点O对称的点的坐标为 ．

（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△A1B1C,A1A的长为 ．

23.已知：如图,在▱ABCD中,点E、F分别在BC、AD上,且BE＝DF 求证：AC、EF互相平分．

的

BD相交于点O,且点O是AC、BD的中点,点E在四边形ABCD的形外,且∠AEC＝∠BED如图,AC、24.已知：

＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．

25.已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0． (1)若该方程的一个根为1,求k的值；

(2)求证：不论k取何实数,该方程总有两个实数根．

26.如图,在△ABC中,AB＝AC,点D是边AB的点,DE∥BC交AC于点E,连接BE,点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点． （1）求证：FG＝FH；

（2）当∠A为多少度时,FG⊥FH?并说明理由．

,以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD,若正方形ABCD的对角线27.在Rt△AEB中,∠AEB＝90°交于点O（如图1）．

（1）求证：EO平分∠AEB；

（2）猜想线段OE与EB、EA之间的数量关系为 （直接写出结果,不要写出证明过程）；

（3）过点C作CF⊥EB于F,过点D作DH⊥EA于H,CF和DH的反向延长线交于点G（如图2）,求证：四边形EFGH为正方形．

答案与解析

一．选择题（共8小题）

1.下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B 【解析】 【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、图形不是中心对称轴图形,也不是轴对称图形,此选项错误； B、图形不是中心对称轴图形,是轴对称图形,此选项正确； C、图形是中心对称轴图形,也是轴对称图形,此选项错误； D、图形是中心对称轴图形,不是轴对称图形,此选项错误； 故选：B．

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合． 2.下列方程中,关于x的一元二次方程是（ ） A. x2﹣x（x+3）＝0 C. x2﹣2x﹣3＝0 【答案】C 【解析】 【分析】

一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案．

【详解】解：A、x2﹣x（x+3）＝0,化简后为﹣3x＝0,不是关于x的一元二次方程,故此选项不合题意；

B. ax2+bx+c＝0 D. x2﹣2y﹣1＝0

B、ax2+bx+c＝0,当a＝0时,不是关于x的一元二次方程,故此选项不合题意； C、x2﹣2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程,故此选项符合题意；

D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数,不是关于x一元二次方程,故此选项不合题意；

故选：C．

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义,判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 3.下列式子为最简二次根式是（ ） A.

a2b2 B.

【答案】A 【解析】 【分析】

判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行,或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2,且被开方数中不含有分母,被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．

【详解】A.a2b2符合最简二次根式的条件,是最简二次根式； B.a2＝|a|,可以化简,故不是最简二次根式；

C.12a23a,可以化简,故不是最简二次根式； D.12,可以化简,故不是最简二次根式； 22的的a2 C.

12a D.

1 2故选：A．

【点睛】本题考查最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

4.用配方法解一元二次方程x26x20,以下正确的是（ ） A. (x3)2 C. (x3)11 【答案】B 【解析】

22B. (x3)11 D. (x3)2

22【分析】

利用完全平方公式的特征在方程的两边同时加上11即可.

【详解】解：x26x21111,即x26x911,所以(x3)211. 故选：B.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程,灵活利用完全平方公式是应用配方法解题的关键. 5.如果a＝1,b＝3﹣2,那么a与b的关系是（ ） 32B. a＝b

C. a＝

A. a+b＝0 【答案】A 【解析】 【分析】

1 bD. a＞b

先利用分母有理化得到a＝﹣（3﹣2）,从而得到a与b的关系．

132【详解】∵a＝＝＝﹣（3﹣2）,

32(32)(32)而b＝3﹣2, ∴a＝﹣b,即a+b=0． 故选：A．

【点睛】本题考查了分母有理化,找出分母有理化因式3﹣2是解答本题的关键．

BD交于点O,过点O与AC垂直的直线交边AD于点E,则△CDE6.如图,▱ABCD的周长为22m,对角线AC、的周长为（ ）

A. 8cm 【答案】D 【解析】 【分析】

B. 9cm C. 10cm D. 11cm

由平行四边形的性质可得AB＝CD,AD＝BC,AO＝CO,可得AD+CD＝11cm,由线段垂直平分线的性质可得

AE＝CE,即可求△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝11cm． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD,AD＝BC,AO＝CO, 又∵EO⊥AC, ∴AE＝CE,

∵▱ABCD的周长为22cm, ∴2（AD+CD）＝22cm ∴AD+CD＝11cm

∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝11cm 故选D．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质,线段垂直平分线的性质,熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 7. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF,添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )

A. BC=AC 【答案】D 【解析】

B. CF⊥BF C. BD=DF D. AC=BF

【详解】解：∵EF垂直平分BC,∴BE=EC,BF=CF； ∵CF=BE,∴BE=EC=CF=BF； ∴四边形BECF是菱形．

当BC=AC时,∠ACB=90°,∠A=45°,∴∠EBC=45°； ∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°．∴菱形BECF是正方形． 故选项A不符合题意．

当CF⊥BF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故选项B不符合题意． 当BD=DF时,利用正方形的判定得出,菱形BECF是正方形,故选项C不符合题意．

当AC=BD时,无法得出菱形BECF是正方形,故选项D符合题意． 故选D．

8.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A的坐标为（4,3）,点D是边OC上的一点,点E在直线OB上,连接DE、CE,则DE+CE的最小值为（ ）

A. 5 【答案】D 【解析】 【分析】

B. 7+1 C. 25 D.

24 5首先根据菱形的对角线性质得到DE+CE的最小值=CF,再利用菱形的面积列出等量关系即可解题. 【详解】解：如下图,过点C作CF⊥OA与F,交OB于点E,过点E作ED⊥OC与D, ∵四边形OABC菱形,由菱形对角线互相垂直平分可知EF=ED, ∴DE+CE的最小值=CF, ∵A的坐标为（4,3）,

∴对角线分别是8和6,OA=5,

∴菱形的面积=24,（二分之一对角线的乘积）, 5, 即24=CF×解得：CF=

24, 5即DE+CE的最小值=故选D.

24, 5是

【点睛】本题考查了菱形的性质,图形中的最值问题,中等难度,利用菱形的对称性找到点E的位置并熟悉菱形面积的求法是解题关键.

二．填空题（共10小题）

9.要使代数式x5有意义,字母x必须满足的条件是_____． 【答案】x≥5 【解析】 【分析】

根据二次根式有意义,被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】∵代数式x5有意义, ∴x﹣5≥0, 解得x≥5． 故答案是：x≥5．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义． 10.计算326的结果是_____． 【答案】62 【解析】 【分析】

直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】326 ＝236 32 ＝2×＝62． 故答案为：62．

【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法运算,正确化简二次根式是解题关键． 11.48与最简二次根式2a3是同类二次根式,则a＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】

首先化简二次根式48=43,再根据同类二次根式定义可得2a﹣3＝3,再解即可． 【详解】4816343,

∵48与最简二次根式2a3是同类二次根式, ∴2a﹣3＝3, 解得：a＝3, 故答案为：3．

【点睛】此题主要考查了同类二次根式,关键是掌握把二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．

F在BD上,要使四边形AECF是平行四边形,还需增加的一个条件是12.如图,BD是▱ABCD的对角线,点E、_____．

【答案】BE＝DF（答案不唯一） 【解析】 【分析】

根据平行四边形的判定添加条件即可． 【详解】如图,连接AC交BD于点O,

∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AO＝CO,BO＝DO,

∴当BE＝DF时,可得OE＝OF,则四边形AECF为平行四边形, ∴可增加BE＝DF, 故答案

：BE＝DF（答案不唯一）．

【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质,掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 13.如图,在正方形ABCD中,△ABE为等边三角形,连接DE,CE,延长AE交CD于F点,则∠DEF的度数为_____．

【答案】105°【解析】 【分析】

根据四边形ABCD是正方形,可得AB=AD,∠BAD=90°,△ABC为等边三角形,可得AE=BE=AB,∠EAB=60°,从而AE=AD,∠EAD=30°,进而求得∠AED的度数,再根据平角定义即可求得∠DEF的度数． 【详解】∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD,∠BAD=90°, ∵△ABE为等边三角形, ∴AE=BE=AB,∠EAB=60°, ∴AE=AD,

∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=30°, ∴∠AED=∠ADE=

1（180°﹣30°）=75°, 2=105°∴∠DEF=180°﹣∠AED=180°﹣75°． 故答案为105°．

【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质,解决本题的关键是综合运用正方形的性质和等边三角形的性质．

14.当a＜0时,化简|a2﹣2a|结果是_____． 【答案】﹣3a 【解析】

【分析】

首先利用a的取值范围化简,进而去绝对值求出答案． 【详解】∵a＜0, ∴|a2﹣2a| ＝|﹣a﹣2a| ＝|﹣3a| ＝﹣3a． 故答案为：﹣3a．

【点睛】此题主要考查了二次根式的化简,正确化简二次根式是解题关键．

,∠ABC＝80°,将△ABC绕点B逆时针旋转,得到△DBE,若DE∥BC,则旋转的15.如图,△ABC中,∠A＝60°最小度数为_____．

【答案】40 【解析】 【分析】

根据三角形的内角和和旋转的性质以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】∵在△ABC中,∠A＝60°,∠ABC＝80°, ∴∠C＝180°﹣60°﹣80°＝40°,

∵将△ABC绕点B逆时针旋转,得到△DBE, ∴∠E＝∠C＝40°, ∵DE∥BC,

∴∠CBE＝∠E＝40°, ∴旋转的最小度数为40°, 故答案为：40°．

【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及平行线的性质的运用,解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．

16.若关于x的一元二次方程x2+（2k+4）x+k2＝0没有实数根,则k的取值范围是_____．

【答案】k＜﹣1 【解析】 【分析】

根据判别式的意义得到△＝（2k+4）2﹣4k2＜0,然后解不等式即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2+（2k+4）x+k2＝0没有实数根, ∴△＝（2k+4）2﹣4k2＜0, 解得k＜﹣1． 故答案为：k＜﹣1．

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时,方程有两个不相等的实数根；当△=0时,方程有两个相等的实数根；当△＜0时,方程无实数根． 17.已知a,b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根,则a2+2b﹣3的值等于_____． 【答案】2021 【解析】 【分析】

根据一元二次方程的根与系数的关系得出ab2,再结合原方程可知a22a2020,由此进一步求解即可.

【详解】∵a是一元二次方程的一个根, ∴a22a2020,

再由根与系数的关系可知：ab2, ∴a2+2b−3

＝a2−2a+2a+2b−3, ＝2020+2(a+b)−3 ＝2020+2×2−3 ＝2021, 故答案为：2021.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的性质与根与系数的关系的运用,熟练掌握相关概念是解题关键. 18.如图,AB∥CD,AB＝7,CD＝3,M、N分别是AC和BD的中点,则MN的长度_____．

【答案】2 【解析】 【分析】

连接并延长DM交AB于E,证明△AME≌△CMD,根据全等三角形的性质得到AE＝CD＝3,DM＝ME,求出BE,根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】连接并延长DM交AB于E,

∵AB∥CD, ∴∠C＝∠A,

在△AME和△CMD中,

AC, AMCMAMECMD∴△AME≌△CMD（ASA） ∴AE＝CD＝3,DM＝ME, ∴BE＝AB﹣AE＝4, ∵DM＝ME,DN＝NB, ∴MN是△DEB的中位线, ∴MN＝

1BE＝2, 2故答案为：2．

【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半是解题的关键．

三．解答题（共9小题）

19.计算： （1）23545； 356xy2x0,y0；

（2）3x2y（3）

48274153．

【答案】（1）6；（2）3xy2xy；（3）1+45． 【解析】 【分析】

（1）利用二次根式的乘法法则运算； （2）利用二次根式的乘法法则运算； （3）利用二次根式的除法法则运算． 【详解】（1）＝

23545 3523××545 35＝6； （2）3x2y6xy2x0,y0

＝3x2y*6xy2 ＝3xy2xy； （3）

48274153

＝4832734153 ＝4﹣3+45 ＝1+45．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式,然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍．

2220.已知x23,y23．求xxyy的值．

【答案】15 【解析】

【分析】

先根据完全平方公式对代数式x2xyy2进行变形可得:xyxy,

2xy1,代入变形后的代数式即可. 再根据x23,y23可分别计算出xy4, 【详解】因为x23,y23,

xy1, 所以xy4, 所以x2xyy2xyxy42115.

【点睛】本题主要考查代数式化简求值,二次根式加法和乘法计算,解决本题的关键是要熟练根据完全平方公式对代数式进行变形和二次根式加法乘法法则. 21.用适当的方法解方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）y（y﹣7）＝14﹣2y； （3）2x2﹣3x﹣1＝0．

【答案】（1）x1＝-1,x2＝5．（2）y1＝7,y2＝﹣2．（3）x1【解析】 【分析】

（1）根据因式分解法即可求出答案； （2）根据因式分解法即可求出答案． （3）利用公式法求解可得． 【详解】（1）x2﹣4x﹣5＝0, 分解因式得：（x+1）（x﹣5）＝0, 则x+1＝0或x﹣5＝0, 解得：x1＝-1,x2＝5． （2）y（y﹣7）＝14﹣2y, 移项得,y（y﹣7）-14+2y=0, 分解因式得：（y﹣7）（y+2）＝0, 则y﹣7＝0或y+2＝0, 解得：y1＝7,y2＝﹣2． （3）2x2﹣3x﹣1＝0,

2317317． ,x244∴a＝2,b＝﹣3,c＝﹣1,

2×则△＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝17＞0, ∴x1＝

317317,x2＝． 44【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

、B（﹣1,0）、C（0,﹣3） 22.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣3,﹣1）（1）点A关于坐标原点O对称的点的坐标为 ．

（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△A1B1C,A1A的长为 ．

【答案】（1）（3,1）；（2）作图见解析；26． 【解析】 【分析】

（1）根据对称性即可得点A关于坐标原点O对称点的坐标；

（2）根据旋转的性质即可将△ABC绕点C顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△A1B1C,进而可得A1A的长． 【详解】（1）∵A（﹣3,﹣1）,

∴点A关于坐标原点O对称的点的坐标为（3,1）． 故答案为：（3,1）；

（2）如图,△A1B1C即为所求,

A1A的长为：1252＝26． 故答案为：26．

【点睛】本题考查了作图-旋转变换,解决本题的关键是掌握旋转的性质．

的23.已知：如图,在▱ABCD中,点E、F分别在BC、AD上,且BE＝DF 求证：AC、EF互相平分．

【答案】证明见解析 【解析】 【分析】

连接AE、CF,证明四边形AECF为平行四边形即可得到AC、EF互相平分． 【详解】解：连接AE、CF,

∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC,AD﹦BC, 又∵DF﹦BE, ∴AF﹦CE, 又∵AF∥CE,

∴四边形AECF为平行四边形, ∴AC、EF互相平分．

【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质,正确添加辅助线是解题关键．

BD相交于点O,且点O是AC、BD的中点,点E在四边形ABCD的形外,且∠AEC＝∠BED如图,AC、24.已知：

＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．

【答案】见解析 【解析】

【分析】

连接EO,证四边形ABCD是平行四边形,在Rt△AEC中EO＝BD,即可得出结论．

【详解】证明：连接EO,如图所示：

11AC,在Rt△EBD中,EO＝BD,得到AC＝22

∵O是AC、BD的中点, ∴AO＝CO,BO＝DO,

∴四边形ABCD是平行四边形, 在Rt△EBD中, ∵O为BD中点, ∴EO＝

1BD, 21AC, 2在Rt△AEC中,∵O为AC的中点, ∴EO＝

∴AC＝BD,

又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴平行四边形ABCD是矩形．

【点睛】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质,关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 25.已知关于x的方程x2﹣(k+3)x+3k＝0． (1)若该方程的一个根为1,求k的值；

(2)求证：不论k取何实数,该方程总有两个实数根． 【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）把x＝1代入方程,即可求得k的值； （2）求出根的判别式是非负数即可.

【详解】(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0, 1﹣k﹣3+3k＝0 解得k＝1； (2)证明：

a1,b(k3),c3k b24ac

 △＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0,

所以不论k取何实数,该方程总有两个实数根．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式,熟练掌握相关知识点是解题关键.

26.如图,在△ABC中,AB＝AC,点D是边AB的点,DE∥BC交AC于点E,连接BE,点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点． （1）求证：FG＝FH；

（2）当∠A为多少度时,FG⊥FH?并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）当∠A＝90°时,FG⊥FH． 【解析】 【分析】

（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB,根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到AD＝AE,得到DB＝EC,根据三角形中位线定理证明结论；

（2）延长FG交AC于N,根据三角形中位线定理得到FH∥AC,FN∥AB,根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC． ∴∠ABC＝∠ACB,∵DE∥BC, ∴∠ADE＝∠ABC,∠AED＝∠ACB, ∴∠ADE＝∠AED, ∴AD＝AE, ∴DB＝EC,

∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点,

∴FG是△EDB的中位线,FH是△BCE的中位线, ∴FG＝

11BD,FH＝CE, 22∴FG＝FH；

（2）解：延长FG交AC于N,

∵FG是△EDB的中位线,FH是△BCE的中位线, ∴FH∥AC,FN∥AB, ∵FG⊥FH, ∴∠A＝90°,

∴当∠A＝90°时,FG⊥FH．

【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用、等腰三角形的性质,掌握三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半是解题的关键．

,以斜边AB为边向Rt△AEB形外作正方形ABCD,若正方形ABCD的对角线27.在Rt△AEB中,∠AEB＝90°交于点O（如图1）．

（1）求证：EO平分∠AEB；

（2）猜想线段OE与EB、EA之间的数量关系为 （直接写出结果,不要写出证明过程）；

（3）过点C作CF⊥EB于F,过点D作DH⊥EA于H,CF和DH的反向延长线交于点G（如图2）,求证：四边形EFGH为正方形．

【答案】（1）求证见解析；（2）2OE＝EB+EA；（3）见解析． 【解析】 【分析】

（1）延长EA至点F,使AF＝BE,连接OF,由SAS证得△OBE≌△OAF,得出OE＝OF,∠BEO＝∠AFO,由等腰三角形的性质与等量代换即可得出结论；

（2）判断出△EOF是等腰直角三角形,根据勾股定理即可得出结论；

（3）先根据ASA证得△ABE≌△ADH,△ABE≌△BCF,△ADH≌△DCG,△DCG≌△CBF,得出FG＝EF＝EH＝HG,再由∠F＝∠H＝∠AEB＝90°,由此可得出结论．

【详解】（1）证明：延长EA至点F,使AF＝BE,连接OF,如图所示：

∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BOA＝90°,OB＝OA, ∵∠AEB＝90°,

∴∠OBE+∠OAE＝360°﹣90°﹣90°＝180°, ∵∠OAE+∠OAF＝180°,

∴∠OBE＝∠OAE,在△OBE与△OAF中,

OB0AOBEOAF, BEAF∴△OBE≌△OAF（SAS）, ∴OE＝OF,∠BEO＝∠AFO, ∴∠AEO＝∠AFO, ∴∠BEO＝∠AEO, ∴EO平分∠AEB；

（2）解：2OE＝EB+EA,理由如下： 由（1）得：△OBE≌△OAF, ∴OE＝OF,∠BOE＝∠AOF, ∵∠BOE+∠AOE＝90°, ∴∠AOF+∠AOE＝90°,

∴∠EOF＝90°,

∴△EOF是等腰直角三角形, ∴2OE2＝EF2,

∵EF＝EA+AF＝EA+EB, ∴2OE2＝（EB+EA）2, ∴2OE＝EB+EA,

故答案为：2OE＝EB+EA； （3）证明：∵CF⊥EB,DH⊥EA, ∴∠F＝∠H＝∠AEB＝90°, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB＝AD,∠BAD＝90°,

∴∠EAB+∠DAH＝90°,∠EAB+∠ABE＝90°,∠ADH+∠DAH＝90°, ∴∠EAB＝∠HDA,∠ABE＝∠DAH． 在△ABE与△ADH中,

EABHDA, ABADABEDAH∴△ABE≌△ADH（ASA）, ∴BE＝AH,AE＝DH,

同理可得：△ABE≌△BCF,△ADH≌△DCG,△DCG≌△CBF, ∴BE＝CF,AE＝BF,AH＝DG,DH＝CG,DG＝CF,CG＝BF, ∴CG+FC＝BF+BE＝AE+AH＝DH+DG, ∴FG＝EF＝EH＝HG, ∵∠F＝∠H＝∠AEB＝90°, ∴四边形EFGH为正方形．

【点睛】本题是四边形综合题,主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线定义等知识；熟练掌握正方形的判定和性质,作辅助线构建全等三角形是解题的关键．