现代控制理论课后习题答案

绪 论

为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。

根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。

本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！

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这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。

本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！

2014年6月2日

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第一章 控制系统的状态空间表达式

1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式

U(s)+-K1KpsK1+-KpsK1s+-1J1sKbJ2s2(s)Kns图1-27系统方块结构图

解：系统的模拟结构图如下：

Kp+U(s)-K1Kp+-K1Kpx6+-K1x5+++-1J1x4x3KbJ2x2x1(s)Kn图1-30双输入--双输出系统模拟结构图

系统的状态方程如下：

x1x2x2Kbx3J2KpKpKn1x3x3x4x5x6J1J1J1J1 x4x3x5K1x3K1X6x6K1KKx11x61uKpKpKp令(s)y，则yx1

所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为

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1xx2x3x4x5x600000K1Kp10Kb0J2Kp0J10100K1000KnJ1000001J000000x10xKp20xJ130ux400xK15K1K1x6Kp

Kpx1x2x3y100000x4x5x6

1-2有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1L2i1CUi2---------Uc---------R2图1-28 电路图

解：由图，令i1x1,i2x2,ucx3，输出量yR2x2

R1x1L1x1x3u有电路原理可知：L2x2R2x2x3x1x2Cx3



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x1R111x1x3uL1L1L1R21x2x3L2L2既得

x2x3

11x1x2CCyR2x2写成矢量矩阵形式为：

R1L1x1。x02。x31C。0R2L21C11L1x1L11x20uL2x30 0y0R2x10x2x3

1-3 有机械系统如图1.29所示,M1和M2分别受外力f1和f2的作用.求以M1和M2的运动速度为输出的状态空间表达式.

\\y2 c2 K1 M2 f2(t) B1 M1 f1(t) y1 c1 K2 B2

解:以弹簧的伸长度y1，y2 质量块M1， M2的速率c1，c2作为状态变量 即 x1=y1，x2=y2，x3=c1，x4=c2

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根据牛顿定律，对M1有：M1dc1=f1-k1(y1-y2)-B1(c1-c2)

dt对M2有：M2dc2=f2+k1(y1-y2)+B1(c1-c2)-k2y2-B2c2

dt3=f1-k1(x1-x2)-B1(x3-x4) 将x1,x2,x3,x4代入上面两个式子，得 M1x4=f2+k1(x1-x2)+B1(x3-x4)-k2x2-B2x4 M2x1=x3 整理得 x

2=x4 x

3=x1kkBBf1-1x1+1x2-1x3+1x4 M1M1M1M1M11kkkBBB4= xf2+1x1-12x2+1x3-12x4

M2M2M2M2M2输出状态空间表达式为 y1=c1=x3 y2=c2=x4

1-4 两输入u1，u2，两输出y1，y2的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

u1b1+---y1a1a5a6++a21u2b2+---a3y2

a4图1-30双输入--双输出系统模拟结构图

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解：系统的状态空间表达式如下所示：

x1100x1000x2a2a10ax2b06x31001x1u30x40a5a4a00b3x42

y1000x110x200x3x4s100(sIA)a2sa10a610s1 0a5a4sa3

s100100W(sIA)1Ba2sa10a6b0ux(s)10s11 0a5a4sa000b32s1001W(s)C(sIA)1B1000a2sa10a06uy001010s1b10a5a4sa030

s100a2sa10a6210X]I00X21X22s1[X1XX16[I4

40a6X23X]240a5a4sa33

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述

(1)y5y..7y.3yu.2u

7

000b2 河南城建学院电气与信息工程学院自动化现代控制理论习题库

(2)y5y7y3yu3u2u

......列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的的模拟结构图。 (1) 解:由微分方程得：系统的传递函数为W（s）=则状态空间表达式为：

.x1010x10.x2001x20u.375x13x3

x1y210x2x3s2s35s7s32

相应的模拟结构图如下：

5 U1    X2 2 x38 7 y

x1 3 河南城建学院电气与信息工程学院自动化现代控制理论习题库

(2) 解：由微分方程得：系统的传递函数为W（s）=s3s23s225s7s3

则状态空间表达式为：

x.1.x010x102001x0u.x37523x31 x1y231x2x3相应的模拟结构图如下：

13u+-2++y--5x3x2x173 1-6 已知系统传递函数(1)W(S)10(S1)S(S1)(S3)

(2)W(s)6(s1)s(s2)(s3)2,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相

应的模拟结构图 解：(1)由 W(S)10(S1)S(S1)(S3)可得到系统表达式为

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x1010x10x2001x20u34x30x31x1y10100x2x3求得A的特征矢量110p11,p23,p30910则可构成变换矩阵T110Tp1p2p3130190求得T的逆矩阵M031M1231031033计算得到变换都各矩阵分别为110J00100312MB1613CT20400

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X3 X2 X1

1016(s1)4333  (2)W(s)s(s2)(s3)2(s3)2s3s2s0x100x21u0x310x41

x1101x2y4333x3x41310xx203030x0200x40

u X4 X3 X2

X1 y

1-7 给定下列状态空间表达式

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1010x10xx2230x21u3x113x32

x1y001x2x3（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：

0s12s30 (2) W(s)(sIA)11s3

sIAs(s3)22(s3)(s3)(s2)(s1)

s32s301 (sIA)12(s3)s(s3)0 (s3)(s2)(s1)s5s1(s1)(s2) 12

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s320s301Wux(s)(sIA)1B2(s3)s(s3)01(s3)(s2)(s1)s1(s1)(s2)s52(s3)1s(s3)(s3)(s2)(s1)(2s1)(s3)

(s3)1Wuy(s)C(sIA)1B001s(s3)(s3)(s2)(s1) (2s1)(s3)(2s1)(s2)(s1) 1-8 求下列矩阵的特征矢量： （1）A=21 12解：A的特征方程： I-A=212=45=0 21解之得：1=-2+j，2=-2-j; 21当1=-2+j时，12p11p11p=（-2+j)p 2121解得：p11=-jp21,令p11=1，得P1=； 21当2=-2-j时，12p12p12p=（-2-j)p 22221j解得：p22=-jp12,令p12=1，得P2= -j110（2）A= 65解：A的特征方程： 13

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I-A=1256=0 =65解之得：1=-2，2=-3; 10当1=-2时，65p11p11p=-2p 2121解得：p21=-2p11,令p11=1，得P1=； -2110当2=-3时，65p12p12p=-3p 2222解得：p22=-3p12,令p12=1，得P2= -31 100 302（3）A127601323621160 解：A的特征方程 IA1276解之得：11,22,33

10p110p11302p21p21 当11时，1276p31p31

p111p211 解得： p21p31p11 令p111 得 P1p311 14

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p1111） p（或令p111，得P121p311

10p120p12302p222p22 当12时，1276p32p32解得：

p222p12,p3212p12 p122P2p224 p321p12（或令p1121，得P2p222） p1322010p13p13当3时，302p233p231 1276p33p33解得： p233p13,p333p13 令p131 p131P3p233 p333

12-1（4）A-10-1 544-12解：A的特征方程 IA1-4-4 15

令p122 得 得

1136215100 -5

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解之得：11,2515j515j,3 2212-1p11p11pp -10-1当11时，2121445p31p31

p1131 p解得： 令p113 得 P121p312

12-1p12p12515jp515jp -10-1当2时， 222222445p32p323-315jp122解得： 令p221 得 P2p1 22p32412-1p13p135-15jp5-15jp -10-1当3时，232322445p33p333515jp138解得： 令p231 得 P3p1 23p3341-9.试将下列状态空间表达式化成约旦标准型。

-21（1）x1=1-2x2x10x2+1u y=10x 解：A的特征方程A=243=0 解得=-1或=-3

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当=-1时，-211-2P11P11P=-P 2121解之得P11=P21,令P11=1，得P1=

-21当=-3时1-2P21P21P=-3P222211

1解之得P21=-P22，令P21=1，得P2=

-111112故T=,T=111212, 1212101TB则T1AT=,=1,CT=11, 032故约旦标准型为Z=.-10Z ， y=11Z 0-3x141-2x131120x2=102x2+27u （2）011x31-1353x3y1120y2=011x1x2 x3解：A的特征方程A=372159=331=0 解得1,2=3 ， 3=1

P1141-2P11P=3P 102当1=3时特征向量：2121P31P311-131 1解之得P12=P21=P31，令P11=1，得P1=1

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P12141-2P12P=3P+1 102当2=3时的广义特征向量，2222P32P3211-131 0解之得P12=P22+1， P22=P32， 令P12=1，得P2=041-2P13P13P=P 102当3=1时 2323P33P331-130 2解之得P13=0，P23=2P33， 令P33=1，的P3=1101100， T1=11 1021故T=10122172310 CT=314  T1B=49030 T1AT=20300131572310u X+49030故约旦标准型为Z=001315.Y=

314X 2031—10.已知两子系统的传递函数阵W1(s)和W2(s)分别为：

1s1W1(s)=01s2 s1s2 18

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13 W2(s)=s1s11s4 0试求两子系统串联连接时系统的传递函数，并讨论所得结果。

解：两子系统串联联接时，系统的传递函数阵W(s)=W2(s)W1(s),得

13W(s)=s1s11s401s1011s2=(s1)(s3)s112s2(s1)s25s7(s2)(s3)(s4)

1(s1)(s2)两子系统并联联接时，系统的传递函数阵W(s)=W1(S)+W2(S),得

1W(s)=s1011s2+s3s11s2s112s4(s1)(s3)s4=10s12s6(s2)(s4) s1s2 串联联接时，由于前一环节的输出为后一环节的输入，串联后等效非线性环节特性与两环节的先后次序有关，故改变向后次序等效特性会发生改变。

并联联接时，系统的传递函数阵为两系统单独作用后的叠加。 1-11 已知如图1-22（见教材47页）所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为

1W1(s)s101s W(s)10

2011s2求系统的闭环传递函数阵。 解：

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1W1(s)W21(s)s1011s10s11010s21s 1s21s1IW1(s)W(s)I0s3s1s2s301s2s10s11010s21s1s2ss20s11s s3s2IW1(s)W2(s)1s1s(s3) s2s311s3s1s1s21sW(s)IW1(s)W2(s)W1(s)s2s30ss1s311s1s2s1(s2)(s1)ss(s3)11s300s1s31s1s2

1-12 已知差分方程为：y(k2)3y(k1)2y(k)2u(k1)3u(k) 试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为

10(1)b(2)b1 1

解：由差分方程得传递函数W(z)化为并联型：x(k1)2z311 z23z2z1z2101x(k)u(k) 021 y(k)11x(k)

100x(k1)x(k)u(k)化为能控标准型： 231y(k)32x(k)

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第二章 控制系统状态空间表达式的解

（A+B）t2-1 试证明同维方阵A和B，当AB=BA时，eAteBt=e，而当

（A+B）tABBA时，eAteBte。

1221kkAt+At+ +2!k!11（A+B）t3322可得：e=I+（A+B）t+（A+B）t+（A+B）t+ 2!3!1 =I+（A+B）t+（A2+ABBAB2）t2+ 2!1 +（A3A2BABAAB2BA2BABB2AB3）t3+3!1111eAteBt=(IAt+A2t2+A3t3+)(IBt+B2t2+B3t3+)

2!3!2!3!1 = I+（A+B）t+（A2+ABBAB2）t2+ 2!1 +（A3A2BABAAB2BA2BABB2AB3）t3+3!证明：由矩阵指数函数eAt=IAt+ 将以上两个式子相减，得：

（A+B）te-eAteBt=

11(BAAB)t2+(BA2ABAB2ABAB2A2B2AB2)A3t3+2!3!

（A+B）t（A+B）t显然，只有当ABBA时，才有e-eAteBt=0，即e=eAteBt； （A+B）t否则eeAteBt。

2-2 试证本章2.2节中几个特殊矩阵的矩阵指数函数式（2.17）， 式（2.18），式（2.19）和式（2.20）成立。

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证明：（1）式（2.17）

122133At+At+ 2!3!11可得： eAt=IAt+A2t2+A3t3+

2!3!1kktk!1k0e1t1kk2t= =k!k01kkntk!k0由矩阵指数函数eAt=IAt+e2t ent即得证。

（2）式（2.18） 由矩阵指数函数eAt=IAt+122133At+At+2!3!

1可知，若存在非奇异变换阵T，使得T1AT，则ATT是特征根 可知

1kkk!1tk0eAt=Te1tT1=T1kkntk!k0，且1,,231kk2tk!k0e2t1T ent即得证。 （3）式（2.19）

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11若A为约旦矩阵，A=J= 00 11

由矩阵指数函数eAt=IAt+i0Ai= 01122133At+At+2!3!

i02i ()， i0010则Ai2= 002i2i12i00i200002ii2i33i230i00 ，Ai3=00003i3i213i3i2i300i30000， 03i

in00nAi00nin1nin2nin1nin3nin2nin1in000in00in02i000， 0nini将以上所求得的Ai、A、、A代入()式，令第i块的状态转移矩阵：

1kkit=，则 k0k! 23

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0eAt=00ite0=00i22!i2i00teit0t2ite2teiteit(m1)(m1)!im1(m2)m2(m2)!i (m3)m3(m3)!i2tm1ite1tt(m1)!2tm2ite01t(m2)!=m3tite001(m3)!000eiteit000001tm1(m1)!1m2t(m2)!，

1m3t(m3)!1即得证。

（4）式（2.20） 拉式反变换法证明：

由A，得： s(sIA)s(sIA)1， s s1111(2sjsj)=111(2jsjsj)111()2jsjsj

111()2sjsj则状态转移矩阵为：

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1jtjt2(ee)eAtL1[(sIA)1]= et1jtjt2j(ee)At1jtjt(ee)2j

1jtjt(ee)2costsintt由欧拉公式得：e= e sintcost即得证。

010 2-3 已知矩阵A=0012-试用拉氏反变换法求eAt。（与例2-3、例2-7的结果验证） 解：

s24s5s4112s(s4)s由(sIA)1= (s1)2(s2)22s5s2s转化成部分分式为：

212(s1)s2222(sIA)1=2(s2)s1s22442(s1)s1s2322(s1)2s1s2354(s1)2s1s2388(s1)2s1s2111(s1)2s1s2122 2(s1)s1s2134(s1)2s1s2 又由拉氏反变换得：

2ete2tL1[(sIA)1]=2tet2et2e2t2tet4et4e2t3tet2et2e2t3tet5et4e2t3tet8et8e2ttetete2ttet2et2e2t tet3et4e2t2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt。 （1）A=0-1 4025

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（2）A=

11

 41

解：（1）方法一：约旦标准型

0-1由A=，令|sIA|=0， 40即

140，得240，解得1= 2i，22i

由APP可得 ①当12i时，设P1=由AP11P1，得P11 P21PP01P11111111，解得即2iPP1 PP2i40212i2121P2i②当2时，设P2=12

P22由AP22P2，得PP01P11211212，解得即 2iPP240222iP222iP221211112P2,

2i2i4i4i

1210 22ite4i4i

变换矩阵TP11则，矩阵指数函数e=TeT= 2IAtAt11 2Ie2it012it2it2it2itee4iee212ie2it2ie2it8e2ite2it2 =

方法二定义法

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由已知

eAtIAt1221nnAtAt....2!n!

2423212tt...tt...100133Ate.....244t8t3...014012t2t..33 得

方法三：凯莱-哈密顿定理 由A=即

0-1，令|sIA|=0， 4010，得240，解得：特征根1= 2i，22i

412012ie2it则= 2it= 12ie114i112it2e= 1e2it4i12it12it2e2e 11e2ite2it4i4i则，矩阵指数函数eAt0I1A

2it2it=(e2ite2it) + (ee)  01224i4i40111011012it2itee=2ie2it+2ie2ite2ite2it2i2ie2ite2it （2）方法一：约旦标准型

11

由A=，令|sIA|=0， 41

即

14110，得240，解得1= 3，21

由APP可得 ①当13时，设P1=P11 P21 27

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由AP11P1，得PP11P111111113，解得即 PP14121P212P212P12 P22②当21时，设P2=PP01P11211212APP由222，得PP，解得P2即P2 402222222变换矩阵TP111112P2,T221214 14则，矩阵指数函数eAt=TeAtT1= 22013t1t2e2e=e3tet11e3t102te1214 1413t1tee44

13t1tee22方法二：拉式反变换法

s1由sIA=，得： 4s(sIA)1s111 (s3)(s1)4s1s1(s3)(s1)=4(s3)(s1)1111(2s3s1)(s3)(s1)=11s1(s3)(s1)s3s1111()4s3s1

111()2s3s113t1tee2则，矩阵指数函数eAtL1[(sIA)1]=2e3tet13t1tee44

13t1tee22方法三：凯莱-哈密顿定理

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由A=即

11

，令|sIA|=0， 41

10，得240，解得1= 3，21

14114013e则= t= 12e11413t33t4e= 1et413t3t4e+4e 1e3t-1et44则，矩阵指数函数eAt0I1A

3tt(e-e) =(e3t+et) +  4444410113101111

13t1t2e2e=e3tet13t1tee44

13t1tee222-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。

001 （t）（1）=0sintcost0costsint1-2t1（1-e） （t）（2）=2-2t0e2ete2t（t）（3）= t2tee2et2e2t t2t2ee1t3t1t3teeee24t1t3tete3tee2 （4）

解：(1)因为

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100I(0)001010，

所以该矩阵不满足状态转移矩阵的条件

10（2）因为0I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 01则

A(0)t00e2t012t02et002

（3）因为 0则

Att010I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 012et2e2tt2te2e4e2t2et0213 2tt4eet0（4）因为0则

10I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 01Att01t33t2e2eet3e3t1t33tee1144 1341ete3t22t02-6 求下列状态空间表达式的解：

010xxu001 y= 10x

1初始状态x(0)，输出u(t)是单位阶跃函数。

1解：系统矩阵: A=

00

30

01 河南城建学院电气与信息工程学院自动化现代控制理论习题库

特征多项式为:sIAs1 0s1s2 1s11s1s1sIA2s0s01t1 teAtL1sIA010因为 B ，utIt

10t所以 xttxBu d0t1t1t1t00d 011011t1tt0d 111t1t2+2 1t12tt1 2t11y10xt2t1

22-7 试证明本章2.3节，在特定控制作用下，状态方程式（2.25）的解、式（2.30）、式（2.31）和式（2.32）成立。 证明：（1）采用类似标量微分方程求解的方法，则有： xAxBu 等式两边同乘eAt，得： e

At..AtxAxeBu(t) 31

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即

dAtex(t)eAtBu(t) dt对上式在[t0,t]上积分，有：

eAtx(t)|tteABu()d

00tt整理后可得式：

x(t)eA(tt)x(t0)teA(t)Bu()d

00t（2）脉冲响应：u(t)=K(t)，x(0)x0时， 由状态方程解为：

x(t)eA(tt)x(t0)teA(t)Bu()d

00t把t00带入，有

x(t)ex(0)eA(t)Bu()d

At0t带入u(t)k(t)，有

x(t)eAtx(0)eA(t)Bk()deAtx0eAtBk（考虑到函数的特

0t点）

（3）阶跃响应： 由状态方程解为：

x(t)eA(tt)x(t0)teA(t)Bu()d

00t把t00带入，有

x(t)ex(0)e0AttA(t)A22Bu()dex0e(IA...)dBk，积分，02!AtAtt由上式得:

At2A2t3x(t)=ex0e(It...)Bk

2!3!AtAt 32

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1At=eAtx0eAt(A)(eI)Bk

=eAtx0A1(eAtI)Bk （4）斜坡响应： 由状态方程解为：

x(t)eA(tt)x(t0)teA(t)Bu()d

00t把t00，u(t)kt1(t)代入，有

x(t)ex(0)e0AtAtAttA(t)A22dBk=ex0e(IA...)dBk 02!AtAttI22A33A2t4...)Bk =ex0e(tt23!4!=eAtx0A2(eAtIAt)Bk

2At1=eAtx0A(eI)AtBk

2-8 计算下列线性时变系统的状态转移矩阵(t,0)和1(t,0)。

t0(1) A=  000(2) A=teet 0120tt2t解：(1)由题意知：0=dA()d=000012t0t2tA(t)0A()d=00013t=200 00 00t=A()dA(t) 00t即：A(t)和0A()d是可以交换的

33

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tA()d] 得： 由：(t,0)exp[01210t2t(t,0)=exp[0+A()d]=010101t2+22000+00 12

12141tt=220由状态转移矩阵(t,t0)的基本性质：(t,t0)=1(t0,t)，得：

1(t,0)=(0,t)=exp[t0A()d]

1202t而t0A()d=t0=d00012t02tA(t)t0A()d=00013t=200 00 000=A()dA(t) t0即：A(t)和t0A()d是可以交换的

tA()d]}1 得： 由：1(t,0){exp[0t1(t,0){exp[0A()d]}1=exp[t0A()d]=(0,t)

110t2=+201012141tt=280t0101t2+22000+02

0 1t00(2) 由题意知：A()d=e0e1etd= 00e1 34

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0A(t)A()d=tet0et001et

0e1et(et1)t0==0A()dA(t) tt0e(e1）t即：A(t)和0A()d是可以交换的 tA()d] 得： 由：(t,0)exp[0tt1001e01e1t(t,0)=exp[0=++A()d]+002e101e12

1t12t2e2e=et11et1t12tee22 由状态转移矩阵(t,t0)的基本性质：(t,t0)=1(t0,t)，得：

1(t,0)=(0,t)=exp[t0A()d]

0而 A()d=e0t0t0ed=01ee001eet1 00A(t)A()d=e0tet1 0et(1et)00==tA()dA(t) tt0e(1e）即：A(t)和t0A()d是可以交换的

tA()d]}1 得： 由：1(t,0){exp[0t1(t,0){exp[0A()d]}1=exp[t0A()d]=(0,t)

100=+011e1t12t2e2e=1et

et110+021eet11t12tee2235

et1+02

  河南城建学院电气与信息工程学院自动化现代控制理论习题库

2-9 有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s,而u1和u2为分段常数。 解：

u2-1/su1K/(s+1)x1Xx2+1+X+y2

图2.2 系统结构图 解：将此图化成模拟结构图

u1x1u2-Xx2+yK-X∫∫1X+2

列写状态方程为： x1ku1x1

xxu212 yx22x1

1可表示为： xxu

1001210k0ux1y21

x2则离散化的时间状态空间表达式为：

xk1GTxkHTuk ykcxkDuk

由GTe和HT0eAtdtB得：

AtT系统的个矩阵为：A

10k02T BC 0111036

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eLsIAAt11s10eTLT1s1e10 1k1eT00k0TT01kT1eTHeAtdt0TT0etT1e0k01eTdt101T1eTk1e0.10e0.10uk 当T=0.1s时，有xk1xk0.10.1ke0.90.111e yk121xk

k1e10e10当T=1s时，有xk1uk xk111e11ke yk121xk 2-10 有离散时间系统如下，求x(k)

1x1(k1)2=x2(k1)1818x1(k)10u1(k) 1x2(k)01u2(k)2x1(0)1，x2(0)3

输入u1(k)是斜坡函数t采样而来，u2(t)是从et同步采样而来。 解：由题易得

1218

1812

将G变换为对角型 令：xx 可得：即 ：

xk11Gxk1HUK(1G)K

37

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xkKx0j1HUj1j0k1

G特征方程 解得

1121818120

35,288

2,1分别令 1P1GPP2GP

11P1,P211 可得 特征矢量

1121121111122 即转移矩阵为 1112221G111228则

13081181115028 330K880508则

n 设 xKm

KK0K58K

3kk81mKx0Kx00则

3jk1k1j81nHUKj1j0j00

1025K1K8212113223KK85KK8

1025j1j821210Kj1101Kj12

38

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13jjKj1k128jj015jKj128

Kj1Kj1

K23K8xKmnK5K8可得

k1j0k1j012123Kj1j8j5Kj1j8jKj1Kj1

则

xKxKKx0Kj1HUj

x110x0HU0121811881101001301011128  运用递推法

2-11 某离散时间系统的结构图如图2.3所示。

r(t) 1 (s+1)(s+2) + 零阶保持器 -

图2.3 离散系统结构图

(1) 写出系统的离散状态方程。

(2) 当采样周期T=0.1s时的状态转移矩阵。

(3) 输入为单位阶跃函数，初始条件为零的离散输出y(t)。 (4) t=0.25s时刻的输出值。

39

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解：(1) 系统中连续时间被控对象的时间函数为：

G(s)=

111(s1)(s2)=s1s2

连续时间被控对象的状态空间表达式为：

x1x2xx 2213x2u2即： x0101=23x+1u 输出方程为：y(kT)=10x(kT)

2ettt)eAt=L1[(sIA)1]=e2t(ee2t2et2e2tet2e2t =eAt|2eTe2TG(T)eTe2TtT=2eT2e2TeT2e2T

H(T)= TAt2ete2tete2tT12T10eBdt=T0002et2e2tet2e2t1dt=e2e2e2TeT则，被控对象的离散化状态方程为：

TTx[(k1)T]=

2eTe2ee2T2eT2e2TeT2e2TeT1e2T122e2TeTr(k) y(kT)10x(kT)

(2) 由(1)得 当T=0.1s时

2e0.10.1G(T)=eAt=e0.2ee0.20.9902e0.12e0.2e0.12e0.2=0.0860.1720.733 (3) 由题意知 r(t)=1，T=0.1s

40

+

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x1(k1)0.9900.086x1(k)0.0045 =+x2(k1)0.1720.733x2(k)0.086初始条件为零，即：x(0)，

0x1(1)0.0045当k=0时，= x(1)0.08620当k=1时，x1(2)0.9900.0860.00450.00450.016=+= x(2)20.1720.7330.0860.0860.148x1(3)0.9900.0860.0160.0160.033当k=2时，=+= x(3)0.1720.7330.1480.1480.1922

x1(1)

系统的离散化输出为：y(k)=10=x1(k) x(1)2)0  y(0=

y(1)=0.0045

y(2)=0.016 y(3)=0.033

(4) 当t=0.25s时，y(0.25)=y(0.2)=0.016

第三章 线性控制系统的能控性与能观性

3-1 判别下列系统的能控性与能观性。系统中a,b,c,d的取值与能控性能观性是否有关，若有关其取值条件如何? （1）

41

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由解：由图可得：

x1ax1ux2bx2x3cx3x2x1x1x2cx3 x4x3dx4yx3状态空间表达式为：

a1xx02x310x4y0010x11x0b002u1c0x30

01dx40000x由于x2、x3、x4与u无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与x3有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。 此可知系统中的a,b,c,d的取值对系统的能控性和能观性没有影响

（2）

 42

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由系统的结构图可以知道其状态空间表达式为

ab1xxucd1y10x

则由此可知

Mb1baAb1cd

若系统可控则

abcd0abcd

同理可知

c10NcAab

若系统能观则b0

x1110x121x010xa0（3）系统如下式: 22u x002xb033x1yc0d 1x2 y000x23解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准型，要使系统能控，控制系统b

中相对于约旦块的最后一行元素不能为0,故有a0,b0。

43

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要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有

c0，d0。

3-2 时不变系统：

x=13111x+u 31111 y=x 11试用两种方法判别其能控性与能观性。 解：一、(1)变换为约旦型

IA=

3113=3-1=26+8=0

2 12 24

当12时由1p1Ap1 得p11p21 令p111 则p211 得P

11114pApppp1当2时由22得P2 2 得2122令p211则22112111P2 其逆矩阵T111212 12则TP1112211111则Tb  因为有一行元素为零所以系统不能控。

11110022(2)由已知转换矩阵TP111111110P2则CT 11111101因为CT没有全为0的列 所以系统是能观的。

44

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二、(1)能控性判别 由能控判别阵M=（b ,Ab） 因为

111122311122， 所以bMAb 111122131122所以M所有二阶式全为0且rankM<2 则系统不能控

（2）能观性判别 由能观判别阵N因为c111131 cA111113c cA22 441111因为N的所有二阶式全不为0 且rankN=2 则满所以N2244秩

所以系统是能观的。

3-3确定是下列系统为状态完全能控和状态完全能观的系统i,.i。

a1A011,b,C11a21

解：构造能控阵：

1a11MbAb1a2

要使系统完全能控，则a11a2，即a1a210 构造能观阵：

1C1NCAa11a2

要使观，则1a2a1，即a1a210

45

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1212ABC1,034， 1，

解：由题知得：

12112Ab41334 2CA1011243

构建能控判别阵：

Mb112Ab134

构建能观判别阵：

C10NCA12

由于该系统状态完全能控和状态完全能观。所以：

M11213410034120

N12

所以满足题意的i取值为：

123420

0021103B3A2014C001，3，

解：由题知得：

46

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0Ab100A2b10001001CA00CA2002123321334324320021228331032321434014342133002110301401400200211031031413014014

构建能控判别阵：

MbAb1A2b232313324322833214342133

构建能观判别阵：

C001NCA014CA21413

由于该系统状态完全能控和状态完全能观。所以：

1M223133012283321432(2221324)3(43225313)23(63826)03024342133|N|0141201413

所以满足题意的i取值为：

2(2221324)3(43225313)23(63826)0

3-4 线性系统传递函为：

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y(s)s3 u(s)s10s227s18(1) 试确定的值，是系统为不能控不能观的。

(2) 在上述的取值下，求使系统为能控能状态空间表达式。 (3) 在上述的取值下，求使系统为能观的状态空间表达式。 解. （1）

y(s)ss3 u(s)s10s227s18(s1)(s3)(s6)系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。

（2）当a=1或a=3或a=6时，将系统化为能控标准I型：

1000001x0u x1827101 ya10x

（3） 根据对偶原理，当a=1或a=3或a=6时，系统的能观标准II型为：

0018ax1027 x1u 01100 y001x

3-5试证明对于单输入的离散时间定常系统r=（G，h），只要它是完全能控的，那么对于任意给定的非零初始状态x0，都可以在不超过n个采样周期的时间内转移到状态空间原点。

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证明：离散时间定常系统的状态方程：x(k1)Gx(k)hu(k) 初始状态为x0，则方程的解：x(k)Gx0Gkj1hu(j)

kj0k1 当k=0时 x(1)Gx0hu(0) 当k=2时 x(2)G2x0Ghu(0)hu(1) …

当k=n时 x(n)Gnx0Gn1hu(0)Ghu(n2)hu(n1) 因为系统能控

所以能控判别阵M满秩

u(0)u(1)Gnx0有解 则(Gn1h,Gn2h,,Gh,h)u(n1) 即Gn1hu(0)Gn2hu(1)Ghu(n2)hu(n1)Gnx0 Gnx0Gn1hu(0)Ghu(n2)hu(n1)0 因为x(n)Gnx0Gn1hu(0)Ghu(n2)hu(n1)

所以x(n)=0

则该系统在不超过n个采样周期内，由任意给定的非零初始状态x0转移到了状态空间原点。

3-6 已知系统的微分方程为：y6y11y6y6u 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 解：有微分方程可写出系统的状态空间方程，

...... 49

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1000001x x1 110u61161.y1600x1

可求得其对偶系统，

6006A2A1T1011，b2C1T0

0016C2b1T001

所以其对偶系统的状态方程为，

0066x21011x20u2

0160.y2001x2

及其传递函数，Gs6 32s6s11s63-7 已知能控系统的状态方程A，b阵为：

112A，b1 34试将该状态方程变换为能控标准型。

Mb11Ab17

解：

易得rankM2，即系统是能控的 再由，IA2510 求得，a010,a15 所以，变换矩阵为：

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1Tc1Abba1106181，Tc11211418 34可求得，

181ATc1ATc11418126101 334211054181bTcb1141810 3114.所以能控标准型为：x010xu 10513-8 已知能观系统的A，b,c阵为：

112，Ab，c11 111试将该状态空间表达式变换为能观标准型。

crankNrank2cA解：易得,即系统能观。再由IA222

可求得，a02，a12 所以，变换阵为

1a1cA1202201To2

01c0111111

02

To2

112

可求得，

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0a0021 AToAT2o21a11220241bTob2

1111ccTo201

所以，能观标准型为：

024xxu 121.y01x

3-9已知系统的传递函数为

s26s8W(s)2

s4s3试求其能控标准型和能观标准型。

s26s82s512解：W(s)2

s4s3s4s3可得

系统的能控标准I型为

010x x1 u -3-4y52xu 又因为系统能控标准I型与能观标准II型对偶得 能观标准II型为

0-35 xx u1-42 y01xu 3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。

52

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0100x 230x1 u1132 y001 x010解：A2300，b1，C001 3112013MbAbA2b127 5112rankM23，系统为不能控系统，不能变换为能控标准型。

C01NCA0113 CA2179rankN3，系统为能观系统，可以变换为能观标准型。

3—11 试将下列系统按能控性进行结构分解

121（1）A＝0100，b＝0，c＝1，-１,1 0431221（2）A＝0200，b＝，c＝1，-１,11400 1解：（1）构造能控判别矩阵

0１4M＝[b，Ab，A2b]＝000，易知rank（M）＝2＜3，故系统不

139完全能控。

53

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01构造奇异变换阵Rc，R1＝b＝0 R2 ＝Ab＝0 R3＝ 3101 0其中 R3任意的，只需满足Rc满秩即

１00301，则有R－１＝，可得 Rc＝001100Ｃ

130010１00-323011210－１A＝RＣA Rc＝100010001＝14-2

0100431300011－１ ccRc121 b＝RＣb＝0，

0故系统分解为两部分 二维能控子系统

0321x1xx12u1420y12x1

一维不能控子系统

x2x2yx2

（2）构造能控判别矩阵

１20M＝[b，Ab，A2b]＝000，易知rank（M）＝2＜3，故系统不

10１完全能控。

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002，R＝，R＝，则 构造奇异变换阵Rc，R1＝0230 110002Rc＝0101/201，R－１Ｃ

＝010，可得 10１1/200

A＝1/2010102210021/2020010＝01/20014010１1/2b＝RＣb＝1/20101001－１0＝0

1/20010c＝c Rc＝1，1，1 故系统分解为两部分 二维能控子系统

1x3121x2x1u021020y111x1

一维不能控子系统

x322x2y2x2

3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解。121 （1）A0100,b0,C111 0431 55

-131/2203/2 1

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1210,b0,C111 010解：（1）由已知得A0431C111CA则有能能观性判别阵N232 CA2474rank N=2<3，该系统不能观

111 232构造非奇异变换矩阵R01，有R01001311 210则R0001010



AR01AR0230

7321

bR01b2

1

ccR0100

系统的二维能观性状态空间表达式为：011x1x1u232 y10x1 一维不能观状态空间表达式为：x22x2u

2210，020（2） A=，b=0c111

1401解：系统的能观性判别矩阵，

56

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C111NCA101CA2121

rankN=2<3，系统不完全能观 存在非奇异变换阵：

1R111011101，Roo110001001

所以，

1112210110AR1AR01101oo101022300114000143bR1b1111010101o

00111011ccRo111110100

001存在二维能观子系统：

.x0123x1111u y10x1

一维不能观子系统：

.x243x11x2u

3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解。

100 （1）A2231,b2,C112 201257

001

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11解：由已知得MAAbAb2121226 202 rank M=3，则系统能控

c12 NcA1125 cA27411 rank N=3，则系统能观

所以此系统为能控并且能观系统

71113144 取Tc221226，则T1c2713 202253144002 则A1051，BT1c2b0，ccTc7132014010000（2）A2300，b0，c30110200 412412解：系统的能控性判别阵M:

0000MbAbA2bA3b00001248 21044184rankM=2<4，系统不完全能控 存在非奇异变换阵Rc：

58

23 河南城建学院电气与信息工程学院自动化现代控制理论习题库

0510001033R0010c0111200，R1c036 2100001001000所以，

0053131000000AR1cARc00113162300001020120010041240100021000531301bR1011cb0601030 01001000200001ccR10c30100012120003 21000按能控性可分解为，能控子系统：

.x108x1.x162x10u 2y1y12x1 2x2不能控子系统：

.x332x3.x01 4x459

100010008136160300131321 河南城建学院电气与信息工程学院自动化现代控制理论习题库

y3y03x3 4x41） 对能控子系统进行能观分解，

A0816，b1cc0，cc12 能观判别阵：

Ncc121c cAc24rankN1=1<2,系统不完全能观， 存在非奇异变换阵Ro1：

R1212o101，R1o101 所以，

AR11208122o1AcRo10116011bR1o1bc12110100 ccR12co1120110

①能控能观子系统：

.x12x1u

y1x1

②能控不能观子系统：

.x24x2

2） 对不能控子系统进行能观分解：

60

04

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A32c01，cc03

能观判别阵N2：

Ncc032c03 cAcrankN2=1<2，系统不完全能观， 存在非奇异变换阵:

01R03o2130，R1o210 所以，

AR10332011o2AcRo210011230301cccRo203110 30③不能控能观子系统：

.x3x3

y3x3

④不能控不能观子系统：

.x43x4

3--14、求下列传递函数阵的最小实现：

11(1).W(s)s1s111s1s1

61

03  河南城建学院电气与信息工程学院自动化现代控制理论习题库

1(2).W(s)s1s21s21s3

解：（1）.W（s）的各元Wik(s)为严格真有理分式，其实现Σ具有（A,B,C）的形式，则有：C（sI-A）-1B=W(s) 将C（sI-A）-1B写成按s降幂排列的格式：

1s11s11s1111 可得：a0=1，11

0111s111s1可得到能控标准型的各系数阵：

101011，，Aca0IrBICcrc00111 01该能控标准型的能观性判别矩阵N为：

11，rankN=1 NC11则该能控标准型不完全能观，即该能控标准型不是最小系统。 构造变换阵R0-1，将系统按能观性分解： 取R011111，则 R00101111011101ˆ有，AR0AcRo010101 01ˆR1B B0c111011 010101111110ˆ CCcRo10 1101ˆ1， 则，W（s)的最小实现为：AmA11 Bm11，

62

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Cm

（2).W（s）的各元Wik(s)为严格真有理分式，其实现Σ具有（A,B,C）11的形式，则有：C（sI-A）-1B=W(s) 将C（sI-A）-1B写成按s降幂排列的格式：

11ss2211sss3s1110s3s201110s0001 s2s300可得：a000=a1=a2=0，001,10110,10200 可得到能控标准型的各系数阵：

00100000000001000rIrr00rAc0r0I000010rB0r，

ca000010r0a0Ira1Ir2Ir0000000I0r0000001001C000110c012011000 该能控标准型的能观性判别矩阵N为：

000110011000NC000000CACA2000110，rankN= 3<6,

000000000000则该能控标准型不完全能观，即该能控标准型不是最小系统。 构造变换阵R-10，将系统按能观性分解：

63

，

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000110010001100000000010取R100000100010100000，则R000000 001010000100000001100001000001000100000有，AˆR10AcRo000000010010 0100111110111000 BˆR1010Bc00 0000 CˆCcRo100000010000 001则，W（s)的最小实现为：AmAˆ11100， 00010 Bm00， 01 C100m010

3-15设1和2是两个能控且能观的系统

：A0101134，b11，C121 2：A22，b21，C21（1）试分析由1和2所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出

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其传递函数；

（2）试分析由1和2所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。 解：

（1）1和2串联

当1的输出y1是2的输入u2时，x32x32x1x2

0100x1u，y001x x3402120MbAb0141413 A2b014则rank M=2<3，所以系统不完全能控。

W(s)C(sIA)1Bs212

(s2)(s3)(s4)s7s12当2得输出y2是1的输入u1时

0110x0u，y210x x3410021因为 MbAb001A2b016 124 rank M=3 则系统能控

c210321 cA 因为N2cA6 rank N=2<3 则系统不能观

65

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W(s)C(sIA)1B1

s27s12（2）1和2并联

0100x1u，y211x x3400021MAAb0141413 Ab2124因为rank M=3，所以系统完全能控

c211322 NcA2cA6

222s2s2221 wsCsIABs1s2s33-16 从传递函数是否出现零极点对消现象出发，说明图3.18中闭环系统的能控性与能观性和开环系统的能控性和能观性是一致的。

图3.18 系统结构图

66

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解：设W0(s)=

0szii1mspjj1n (mn)

若系统不能控或（和）不能观，则W0(s)有零极点相消，即

szii1m与

spjj1n有公因子。若系统能控且能观，而无零极点对消，闭环系统

的传递函数为

0szii1m Wf(s)=

spszj0ij1i1nm

显然Wf(s)和W0(s)能相消的零极点是相同的。所以图中开环及闭环系统为能控、能观性一致。

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

4-1 判断下列二次型函数的符号性质： （1） Q（x）= -x12-3x22-11x32+2x1x2-x2x3-2x1x3 （2） Q（x）= x12+4x22+x32-2x1x2-6x2x3-2x1x3

111130.5T

解：（1） Q（x）=xT Q（x）=xTx=xPx，由于P的2阶10.511主子行列式都大于零，而1、3阶主子行列式小于零，故为负定函数。

1T1 （2） Q（x）=x111T43x=xPx，由于P的1、2阶主子行列31式都大于零，而3阶主子行列式小于零，故为非定号性函数。

67

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4-2已知二阶系统的状态方程：

ax11a21a12x a22试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。

解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。

即：

IAa11a21a12a222(a11a22)a11a22a12a21 0有解，且解具有负实部。 即：a11a220且a11a22a12a21

方法（2）：系统的原点平衡状态xe0为大范围渐近稳定，等价于

ATPPAQ。

P11P取QI，令P12P12TAPPAQ，得到 ，则带入P222a11a1202a21a11a222a120P111P0 a21122a22P2212a112a21a11a222a120a214(a11a22)(a11a22a12a21)0，则此方程组有唯一2a22若 a120解。即

22Aa21a22(a12a22a21a11)1P 22Aa11a122(a11a22)A(a12a22a21a11)其中detAAa11a22a12a21

68

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要求P正定，则要求

1P1122Aa21a222(a11a22)A0

(a11a22)2(a12a21)22P0

4(a11a22)

因此a11a220，且detA0

4-3以李雅普诺夫第二法确定下列系统原点的稳定性。 （1）x（2）x11x 2311x 11解：（1）系统唯一的平衡状态是xe0。选取标准二次型函数为李雅

2普诺夫函数，即V(x)x12x20，则

(x)2xxV112x2x2

2x1(x1x2)2x2(2x13x2) 2x126x1x26x22

2 =2(x1x2)2x2<0

3232V(x)是负定的，且x，有V(x)。故系统在原点处为大范围渐

近稳定。

（2）系统唯一的平衡状态是xe0。选取标准二次型函数为李雅普

2诺夫函数，即V(x)x12x20，则

V(x)2x1x12x2x22x1(x1x2)2x2(x1x2)

22x122x20 69

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V(x)是负定的，且x，有V(x)。故系统在原点处为大范围渐

近稳定。

4-4 下列是描述两种生物个数的瓦尔特拉方程：

1ax1x1x2 x2x2x1x2 x试中，x1，x2分别表示两种生物的个数；，，，为非0的实数： （1）确定系统的平衡点。

（2）在平衡点附近进行线性化，并讨论平衡点的稳定性。 解：令x10 x20 当x10时x20

x 当x10,x20时1

x21x1x0在xe10出线性化得 A=0其特征值1，2 2x2x 当 a0a0a0时。系统在平衡点xe10处不稳定 。 或或r0r0r0a0 当 时，系统在平衡点xe10处稳定。

r01在xe处线性化 x22x1 x2，x0A其特征值1 2 0若同号，实部位一正一负。系统不稳定。

70

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若异号，实部为0.系统不稳定。 4-5 试求下列非线性微分方程：

1x2 x2sinx1x2 x的平衡点，然后对各平衡点进行线性化，并讨论平衡点的稳定性。

1x20xx12k(k0,1,2...n)x1(2k1)(k0,1)解：令则或

x0x022xsinx012即系统有两个平衡点

2kxe10(k=0,1,2…n)

xe2(2k1)(k=0,1,2…n) 0(1) 对xe1进行线性化有:

1x2x01 即A=11 xxx212特征方程 detIA=(1)+1=0 则 1=

1j31j3 2= 221 2全部有负实部 则系统在xe1处稳定

（2）对xe2进行线性化有：

1x2x01得A=11 xxx122特征方程 detIA=(1)-1=0 则有1=

1515 2= 2271

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1 有正实部，因此系统在xe2处不稳定。

4-6设非线性系统状态方程为：

x1x2x2a(1x2)2x2x1,a0

试确定平衡状态的稳定性。

解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：

x2f(x) 2a(1x)xx221J(x)1f(x)0 2Tx1a4ax23ax2取PI

Q(x)JT(x)J(x)11001a4ax3ax2 21a4ax3ax222200202a8ax6ax22很明显，Q(x)的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取

2Lyapunov函数为V(x)x12x20，则

V(x)2x1x12x2x22x1x22x2(x1a(1x2)2x2)

222a(1x2)x20V(x)是负定的。x，有V(x)。即系统在原点处大范围渐近稳

定。

4－7 设线性离散系统的状态方程为:

x1(k+1)= x1(k)+3x2(k)

x2(k+1)=－3 x1(k)－2 x2(k)－3 x3(k)

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x3(k+1)= x1(k) 试确定平衡状态的稳定性。 解: 由题可知，

301323G ＝,系统的平衡状态为坐标原点。 100对于任意给定的正定实对称矩阵Q，取Q＝I，由公式GTPG－P＝－I，解出实对称矩阵P，判断其是否正定，从而得出稳定性的结论。

1 GＴ＝303231p110， P＝p21p031p12p22p32p13p23， p33131p11p12p13130p11p12p131320ppp323ppp则 －＝－2122232122230030p031p32p33100p31p32p3301000 11/219/7810/3910/3949/7819/13解得P＝ 1/219/13121/261＝P11＝－19/78＜0，2＝531/6084＞0，3由希尔维斯特判据：

－0.90308＜0。

可知P不满足条件，故系统在平衡状态不稳定。 4-8 设线性离散系统的状态方程为：

010x(k1)001x(k),k0

0k/20试求在平衡点xe=0处，系统渐进稳定时k的取值范围。

100000解：已知G001,则GT10K/2

0K/20010

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p11设Pp21p31p12p22p32p13p23 p33代入G0100TPGPI，得：

110pk/2ppp122122p0p01323100p1p11pp122122p100p0101323010p31p32p330k/20p31p32p33展开化简整理后得：

p1110

p331p

22

22k4p33 p22

可解出：

2p111p8k224k2p33124k2  0

10p820k4k20 12004k2要使P为正定的是对称矩阵，必须满足：2k2 系统在平衡点出才是大范围渐近稳定的。 4-9 设非线性状态方程为:

x1x2 x2x31x2

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001 河南城建学院电气与信息工程学院自动化现代控制理论习题库

试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。 解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：

x2f(x)3 xx12J(x)f(x)02Tx3x11 1x2232 x13x2x(xx)2123xx12V(x)fT(x)f(x)x2x，有V(x)。

取PI

Q(x)JT(x)J(x)03x12023x111013x12213x211 10则Q(x)213x110，2013x1213x12 ，根据希尔维斯特判据，有： 23x12122（3x121）0，Q(x)的符号无法判断。

20，（2）李雅普诺夫方法：选取李雅普诺夫函数为V(x)x14x23432则

V(x)3x13x13x2x23x13x23x2(x13x2)

23x20V(x)是负定的，且x，有V(x)。故系统在原点处为大范围渐

近稳定。

4-10 已知非线性系统状态方程

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xx2

x2(a1x1a2x12x2)

试证明在a10,a20时系统是最大范围渐近稳定的。

证明：系统的平衡状态在坐标原点，由于a10，可取李雅普诺夫函数为

2v(x)a1x12x20

2v(x)2a1x1x12x2x22a1x1x22x2(a1x1a2x12x2)2a2x12x20由于a20，非正定，并且x10时，x20；x20时，x10，即对于

x0x20T或

xx100T v(x)不恒为零，所以坐标原点是渐近稳

定的；

由于x，v(x)是大范围渐近稳定的，所以系统是最大范围渐近稳定的。

4-11: 设非线性系统：

1ax1x2x2x1x2bx2x5

试用克拉索夫斯基法确定原点为大范围渐进稳定时，参数a和b的取值范围。

解：用克拉索夫斯基法，取 P=I.

12aT2aTJ(x),J(x)J(x),QJ(x)J(x)42210bx4115bx22Tx(ax1x2)2(x1x2bx25)20 V(x)x当||x||时，V(x),因此只要系统在坐标原点渐进稳定既是大范围渐进稳定的，只要Q(x)0,既满足渐进稳定的条件，满足要求的a和b的取值范围：a1,b0.4-12 试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数：

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x1x12x12x2（1） 

2x2x1x2x（2） 

xatxatx11222解：（1）假设V(x)的梯度为：

1111221 VaxaxV

2112222axaxV

计算V(x)的导数为：

-x12x12x2(x)(V)xa11x1a12x2a21x1a22x2V2x2Ta11x1(a12a21)x1x2a22x22a12x1x22a11x1x2

222231选择参数，试选a11a121,a12a210,于是得：Vx,显然满足旋度

2xV1V2xx,即120,表明上述选择的参数是允许的。则有：方程V2V1x2x1

(x)(12xx)x2x2V121211(x)是负定的，因此，如果12x1x20或x1x2，则Vx1x2是x1x2的约束条件。22计算得到V(x)为：x1(x20)x2(x1x2)V(x)x1dx10x2dx20

122(x1x2)212V(x)是正定的，因此在1-2x1x2>0即x1x2<的范围内，xe=0是渐进稳定的。

(2)解题步骤 a：假设V(x)的梯度.

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b:计算V(x)的导数. c:选择参数,得：V.

(x). d:根据选择参数，重新写出V e:根据公式得出V(x).

f:判断是否正定，进而判断稳定性.

第五章 线性定常系统的综合

5-1已知系统状态方程为：

1110x0ux0111011

试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。 解：依题意有：

1110,b0A0111011

MbAb011A2b012112 rankM3，系统能控。

加状态反馈阵，Kk0k1k2，则闭环系统的特征多项式为：

（3k2）2（22k2k0k1)2k0k1k21 f()det[I(AbK)]=3给定的闭环极点为 -1，-2，-3

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（2）（3）362116 期望的特征多项式为：f*()（1）对应系数相等得：k023，k1-50，k2-9 即状态反馈阵为：K=[23 -50 -9]

0001011x0u 5-2已知系统状态方程为：x011010试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为：-10，-1j3。

0010,b0 011解：依题意有：A011010MbAb000，rankM=3，系统能控。 010110A2b=10100999加状态反馈阵Kk0k1k2，闭环系统的特征多项式为：

f()det[I(AbK)]=3(1110k2)2(1110k210k1)10k0

给定的闭环极点为：-10，-1j3 期望的特征多项式为：

（10）（1j3)(1j3)31222440 f*()对应系数相等得：k0-4，k1-1.2，k2-0.1 即状态反馈阵为：K=[-4 -1.2 -0.1]

5-3有系统：

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210xx1u01y10x

（1） 画出模拟结构图。

（2） 若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？ （3） 若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。 解（1）系统模拟结构图如下：

u+-x2+-x1y12题5-3 系统模拟结构图 （2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统完全能控。 对于系统有：

Mb01Ab11 rankM2，系统能控，故若系统动态性能

不满足要求，可通过状态反馈任意配置极点。

C10N,RankN2CA21

故系统完全能观，故若系统动态性能不满足要求，可通过输出反馈任意配置极点。

（3）加状态反馈阵Kk0k1，则闭环系统的特征方程为：

（3k1)2k1k02 f()det[I(AbK)]=2给定的闭环极点为：-3，-3 期望的特征多项式为：

f*()（3)2269

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对应系数相等得：k0-1,k1-3 即状态反馈阵为：K=[-1 -3]

5-4设系统传递函数为

(s1)(s2)(s1)(s2)(s3)

试问能否利用状态反馈将传递函数变成

s1(s2)(s3)

若有可能，试求出状态反馈K，并画出系统结构图。

(s1)(s2)s2s2解：

W(s)(s1)(s2)(s3)s32s25s6 由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。 能控标准I型为

010x00100u652xy2111x

令Kk0k1k2 为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为

f()det[I(AbK)]=3（2k2)2(5k1)(6k0) 由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2，-3，

得期望特征多项式为:

f*()(2)(3)(2) 3721612

比较f() 与f*() 的对应项系数，可得

81

-2， 河南城建学院电气与信息工程学院自动化现代控制理论习题库

k018 k121 k25

即K18215 系统结构图如下：

11vu++---2x3-5x2x1-2+++y--6-5-21-18题5-4 系统模拟结构图

5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。 (1)

1222,b0 A0111011

解：系统的能控阵为：

MbAb240010A2b115 rankM3

系统能控，可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使

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闭环系统镇定。 （2）

000214021500A00200,b0 000517000500解：系统可以分解为以下两个子系统：

1210x14xx2021x25u ，x451x47u x302505x50x0x30以上两个子系统最后一行对应的b阵全为0，故两子系统均不能控， 又有

detIA112detIA22532,

，可得两个子系统的特征

根分别为：-2，-2，-2和-5，-5

均为负实根，所以两个子系统是渐进稳定的，所以通过状态反馈可以实现系统的镇定。 5-6

00设系统的状态方程为：x001001010xu 0001011010（1）判断系统能否稳定。

（2）系统能否镇定，若能，设计状态反馈阵使之稳定。

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解：（1）系统的特征方程为：IA100000010014112

11各系数异号且缺项，故系统不稳定。 （2）判断系统的能控性：MbAbA2b010110103 Ab0101110110rankM=4,系统完全能控，通过状态反馈可以实现系统的镇定。 设状态反馈阵为Kk0k1k2k3，使闭环极点配置为：-1，-1，-1，-1

则闭环系统特征多项式为：

（k3k1)3(k2k011)210k110k0 f()det[I(AbK)]=4给定的闭环极点为：-1，-1，-1，-1 则期望的特征多项式为：

f*()(1)(1)(1)(1)4436241

比较对应系数可得 k00.1,k10.4,k217.1,k34.4 所以状态反馈阵为 k0.10.417.14.4 5-7. 设计一个前馈补偿器，使系统：

11W(s)s1s(s1)1s2 1s解耦，且解耦后的极点为1,1,2,2。 解：求被解耦传递函数阵的逆：

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11sW0(s)s(s2)1s(s1)1s2s21(s2)s1s1 s(s2)s1s（注：若不存在逆，则该系统不能用前馈补偿解耦。） 跟据要求，令解耦后的系统的传递函数阵为：

1(s1)(s2)W(s)01 (s1)(s2)0 由式Wd(s)W01(s)W(s)，得前馈补偿器的传递函数阵为：

s2Wd(s)(s2)s11s11(s1)21(s1)(s2)s(s2)0s1ss(s1)(s2)s(s1)21(s1)(s2)0

Wd(s)即为所求。

5-8.

已知系统：

01010023x01ux10101 100y011x（1）判别系统能否用状态反馈实现解耦

（2）设计状态反馈使系统解耦，且极点为1,2,3。 解：

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（1） 求di：

010100c1AB100023011010101010101c1AB1000230110101010

010100c2AB011023010010101010101c2AB0110230110101010

可知使c1AlB0的最小的l是l0，则d10；使c2AlB0的最小的l是l1，则d21。 确定D、E阵：

c1Ad1100Dd2c2A1221010100 EDB1220110

01ran(kE)12（2）E矩阵不满秩，根据能解耦判据得，该系统不能状态反馈实现解耦。

5-10. 已知系统：

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010x00x1u y10x

试设计一个状态观测器，是观测器的极点为r,2r。 解：

① 判别能观性

C10NCA01

rank(N)2可知系统完全能观，能够找到观测器；

② 设加入的Gg0g1T，则观测器的特征多项式为：

f()detIAGcg0detg11 2g0g1 ③ 期望观测器特征多项式为：

f*()r2r3r2r22

解得： g03r,g12r2,即G3r2r2。

T

④ 综上，观测器为

3rˆx2r2103rˆx1u2r2y 0

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5-11. 已知系统：

210x01x1u y10x设状态变量x2不能测取，试设计全维和降维观测器，设观测器极点为

3,3。

解：

① 判别能观性

C10NCA21

rank(N)2可知系统完全能观，能够找到观测器； ② 对于全维观测器 观测器的特征多项式为：

f()detIAGc g0212det(3g)gg2010g11期望观测器特征多项式为：

f*()33692

解得：g03,g14,即，G34T。 观测器为：

5103ˆˆx41x1u4y

③ 对于降维观测器 构造变换阵为，设

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01T110;01T10 得变换后的系统为

10AT1AT1211BTB 0CCT01 由于状态分量x2可由y直接提供，对变换后的系统设计一维观测器，设Gg，则观测器的特征多项式为

f()detIa11ga21(1g)

期望观测器特征多项式为：

f*()3

解得

g2

由课本式（5.109）可得观测器为

ˆ3wˆu2ywˆ2ywˆxy

5-12. 已知系统：

0100001x0ux0001 y100x设计一降维观测器，是观测器极点为4,5，画出模拟结构图。

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解：

① 判别能观性

100CNCA010 CA2001rank(N)3可知系统完全能观，能任意陪极点，能够找到观测器。 ② 建立变换矩阵

0011T010100

001T010100得

001010001AT1AT010001010100000100000100010

001011BTB0100010010001CCT100010001100由于状态分量x3可由y直接提供，对变换后的系统设计二维观测器，设Gg0g1T，得观测器的特征多项式为

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f()detIA11GA21

期望特征多项式为

g02det1gg1g01f*()452920

解得g020,

g19,G209。

T由课本（5.109）得

020ˆ1801ˆwwy19610u

20ˆ1wˆx9y经状态变换后的状态估计值为

ˆ1wˆGyxˆxxˆ3y1020 ˆw19y01wˆ2001原来系统的状态评估为

ˆ120ywy001 ˆˆˆxTx010w29yw29y100ˆ120yyw 结构图

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uA180bcyˆ1x61920ˆ2xˆ1w209ˆ2wˆ3x

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