2010-2014年高等数学(工本)00023历年试题及参考答案

一、单项选择题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕 1．在空间直角坐标系下，方程2x2+3y2=6表示的图形为〔 〕 A．椭圆 C．旋转抛物面

2．极限limarcsin(x+y2)=〔 〕

x12y0B．柱面 D．球面

A．C．

π 6π 2B．

π 3D．π

3．设积分区域Ω:x2y2≤R2，0≤z≤1，则三重积分A．C．

f(xΩ2y2)dxdydz〔 〕

2π02πdd0Rdr101f(r2)dz f(xy)rdz

22B．D．

2π0πd0R0rdr1010f(r2)dz

0dr0R00dRrdrf(r2)dz

4．以y=sin 3x为特解的微分方程为〔 〕 A．yy0 C．y9y0 5．设正项级数

B．yy0 D．y9y0

un1n收敛，则以下无穷级数中一定发散的是〔 〕

A．

un1n100 B．

(un1n1un)

C．

(3u)

nn1D．

(un1n1)

二、填空题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6．向量a={1,1,2}与x轴的夹角__________. 7．设函数f(x,y)xyy，则f(,1)__________.

xx2y28．设是上半球面z=1x2y2的上侧，则对坐标的曲面积分

y3dxdy__________.

9．微分方程y3ysinx的阶数是__________.

1

10．设f(x)是周期为2π的函数，f(x)在π,π上的表达式为

,xπ,0.0S(x)是f(x)的傅里叶级数的和函数，则S〔0〕 f(x)3sinx,x0,π.2=__________.

三、计算题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕

11．设平面π过点P1〔1，2，－1〕和点P2〔－5，2，7〕，且平行于y轴，求平面π的方程. 2z12．设函数zlnxy，求.

xy2213．设函数ze2x3y，求全微分dz.

14．设函数zf(x2y2,2xy)，其中f (u, v)具有一阶连续偏导数，求15．求曲面x2+y2+2z2=23在点〔1，2，3〕处的切平面方程. 16．计算二重积分17．计算三重积分

zz和. yx2DΩsin(x2y2)dxdy，其中积分区域D：x2+y2≤a2.

2

2

2

2

zdxdydz，其中Ω是由曲面z=x+y，z=0及x+y=1所围区域.

CC18．计算对弧长的曲线积分x2ds，其中C是圆周x2+y2=4的上半圆. 19．计算对坐标的曲线积分

正向边界曲线.

20．求微分方程e2xydxexydy0的通解. 1(1)n121．判断无穷级数的敛散性. 22nn1其中C为区域D：| x |≤1，| y |≤1 的(13y)dx(12xy)dy，

22．将函数f(x)1展开为x+1的幂级数. x5四、综合题〔本大题共3小题，每题5分，共15分〕

y23．设函数z()，其中(u)为可微函数.

xzz0 证明：xyxy24．设曲线y=y (x)在其上点〔x, y〕处的切线斜率为4x2线的方程. 25．证明：无穷级数

y，且曲线过点〔1，1〕，求该曲x(n1n22n1n)12.

2

3

4

5

全国2011年1月自学考试高等数学(工本)试题

一、单项选择题(本大题共5小题。每题3分，共15分)

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。

1.已知点A(7,1,3)及点B(5,1,4),则与向量AB同向的单位向量是( )

221A.,, 333221,, C. 333Ω：x2y2z2R2,则三重积分〔 〕 A.

221,, B. 333221, D. ,333f(x,y,z)dxdydz，在球坐标系中的三次积分为

Ω20d0df(rcossin,rsinsin,rcos)dr

0RB. C. D.

202ddd0dddR0Rf(x,y,z)r2sindr

f(rcossin,rsinsin,rcos)rsin2dr f(rcossin,rsinsin,rcos)r2sindr

0200R0003.设F〔x,y〕具有连续的偏导数，且xF(x,y)dx+yF(x,y)dy是某函数u(x,y)的全微分，则〔 〕 A.xFFy yxFF xyB. yFFx yxFFx yxC. D. y 6

y5y6yxex的一个特解应设为y*=〔 〕

A.axex B.x(ax+b)ex C.(ax+b)ex

D.x2(ax+b)ex

5.以下无穷级数中，发散的无穷级数为〔 〕 A.

1n1nn1

B.

1n310

n1C. 112nn110nn2

D. n13n1二、填空题(本大题共5小题，每题2分，共10分)

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.点P〔0，-1，-1〕到平面2x+y-2z+2=0的距离为_____________. 7.设函数z=ex-2y,而x=t2

,y=sint,则

dzdt=_____________. 8.设∑为球面x2y2z2a2,则对面积的曲面积分dS_____________.9.微分方程y10的通解y_____________.

10.设函数f(x)是周期为2π的函数,f(x)的傅里叶级数为

1π21431nn2cosnx, n1则傅里叶级数b3=_____________.

三、计算题(本大题共12小题，每题5分，共60分)

P(2,-1,3),并且平行与直线2x3yz5x3z1的直线方程.

f(x,y)=(1+xy)x,求fx(1 , 1).

zx22yyx,求全微分dz. z=f(exy,y),其中f(u,v)具有一阶连续偏导数,求

zx和zy. z2x23y2在点1,1,5处的切平面方程.

xy2dxdy,其中积分区域D:x2y24. Dxdxdydz,其中积分区域Ω是由xyz1及坐标面所围成区域. 

7

x2y1ds

C 其中C是y=3-x上点A(0,3)到点B(2,1)的一段.

x1dyy1dx,其中C是摆线xtsint,y1cost上点A(0,0)到点B(2π,0)的一段

C弧.

dydxe2xy的通解. 1nn2lnn的敛散性.

f(x)x2ln1x展开为x的幂级数.

四、综合题(本大题共3小题，每题5分，共15分)

fx,yx22xyy22x6y4的极值.

zx23y2,三个坐标面及平面xy1所围立体的体积.

8

9

10

11

全国2011年4月自学考试高等数学〔工本〕试题

一、单项选择题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。

12

1.已知a={-1，1，-2〕，b=(1，2，3}，则a×b=( ) A.{-7，-1,3} C.{-7,1,3}

B.{7，-1，-3} D.{7,1，-3〕

sin3(x2y2)2.极限lim( ) 22x0xyy0A.等于0 C.等于3

B.等于

1 3D.不存在

3.设∑是球面x2+y2+z2=4的外侧，则对坐标的曲面积分 4.微分方程

x2dxdy=( )

dyxy2是( ) 2dxxyB.可别离变量的微分方程 D.一阶线性非齐次微分方程

A.齐次微分方程 C.一阶线性齐次微分方程

3n5.无穷级数n的前三项和S3=( )

n02A.-2 B.

19 465 8C.

27 8D.

二、填空题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.已知向量a={2,2，-1〕，则与a反方向的单位向量是_________. 7.设函数f (x，y)=

xy，则f〔1-x,1+x〕=_________. xy8.设积分区域D：x2+y2≤2，则二重积分

f(x，y)dxdy在极坐标中的二次积分为________.

D9.微分方程y〞+y=2ex的一个特解是y*=_________.

0,x[,0)10.设f (x)是周期为2的函数，f(x)在[-π, π]，上的表达式为f (x)=xS(x)为f (x)

e,x[0,)的傅里叶级数的和函数，则S(0)=_________.

13

三、计算题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕

11.求过点P〔-1,2，-3〕，并且与直线x=3+t，y=t，z=1-t垂直的平面方程. 12.设函数z=，求全微分dz|(2,1).

13.设函数z=f〔cos〔xy〕，2x-y)，其中f〔u，v〕具有连续偏导数，求

zz和. xdy14.已知方程exy-2z+x2-y2+ez=1确定函数z=z(x,y)，求15.设函数z=ex〔x2+2xy〕，求梯度grad f (x，y). 16.计算二重积分17.计算三重积分区域.

18.计算对弧长的曲线积分19.验证对坐标的曲线积分并计算I=

zz和. xyy2exdxdy.其中积分区域D是由直线y=x, x=1及x轴所围成的区域.

D2(1-x2-y2)dxdydz，其中积分区域是由x2+y2=a2，z=0及z=2所围成的

Cxds，其中C是抛物线y=x2上由点A(0,0)到点B(2,4)的一段弧.

(x+y)dx+(x-y)dy与路径无关，

C(2,3)(1,1)(xy)dx(xy)dy

20.求微分方程x2y〞=2lnx的通解. 21.判断无穷级数

1ln(1)的敛散性. nn122.将函数f (x)=xarctanx展开为x的幂级数.

四、综合题〔本大题共3小题，每题5分，共15分〕

2z2zx23.设函数z=arctan，证明220.

xyy24.求由曲面z=xy，x2+y2=1及z=0所围在第一卦限的立体的体积. 25.证明无穷级数

n1. (n1)!n1 14

15

16

全国2011年10月自学考试高等数学〔工本〕试题

一、单项选择题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

17

错选、多项选择或未选均无分。

f(xy,xy)x2y2,zf(x,y),则

zxzy( ) -+2y -y

f(x,y)x3y,则点〔0，0〕是f(x,y)的〔 〕

3.顶点坐标为〔0，0〕，〔0，1〕，〔1，1〕的三角形面积可以表示为〔 〕 A.

xy0dy0dx

B. 10dxx1dy

C.

1dx1xdy

D.

100dy0ydx

(1xy)dx(1x2)dy0是〔 〕

xn的和函数为〔 〕 n1n!A.ex1 B.ex C.ex1

D.ex2

二、填空题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

{1,1,1},β{a,b,c},，则α•β=______________.

1zexcosy2,则

zx______________.

(1,0)8.设∑为上半球面z2x2y2,则对面积的曲面积分dS______________.

yy2yex用待定系数法求特解y*时，y*的形式应设为______________. f(x)是周期为2的周期函数，它在[,)上表达式为

f(x)11 ,, x00x＜

S(x)是f(x)傅里叶级数的和函数，则S()______________.

18

三、计算题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕 11.设平面π：2xyz1和直线L:

x1y1z2,求平面π与直线L的夹角φ. 112zex3xy5确定函数zz(x,y)，求z,z. xyzarctanx,求全微分dz. y1ff(x,y)e2x(x22yx)在点(,0)处，沿与x轴正向成45°角的方向l的方向导数.

2l15求曲面2x3y4z81上平行于平面2x3y4z18的切平面方程.

222IexD2y2dxdy,其中积分区域D:x2y29.

I(xy2z)dxdydz.其中积分区域:≤1,-1≤y≤0,0≤z≤2.

L(x2y21)ds.其中L为圆周x2y23.

L3ydx2xdy,其中L是抛物线yx2上从点〔-1，1〕到点〔1，1〕的一段弧.

dx1的通解. dyxy(1)n1sinn12是否收敛，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛？ n2un1n收敛，并且Snuk1nk

(1)求Sn1Sn12Sn; (2)求lim(Sn1Sn12Sn).

n四、综合题〔本大题共3小题，每题5分，共15分〕

8cm3的长方体箱子，试问其长、宽、高各为多少cm时，可使所使用的钢板最省？

axy平面内(2xy3x21)dx(x22y3)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分，并求这

样的一个u(x,y).

f(x)1展开成x1的幂级数.

x2x2 19

20

21

22

全国2012年1月自学考试高等数学〔工本〕试题

一、单项选择题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将基代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。

1.过点〔1，-1，2〕和点〔2，1，-1〕的直线方程为〔 〕 A.C.

x2y1z1 123x2y1z1 123B. D.

x1y1z2 103x1y1z2 103解：设A1，1,2,B2,1，1，则AB1,2，3为所求直线的方向向量，据此可以排除B、D两个选项；x2y1z1以点B2,1，1为定点的直线方程为：，所以选C.123

2.设函数f(x,y)=xy，则fy(x,y)为 y-1ylnx

yy

y

解：由fx,yxyelnxeylnx，对y求偏导得

ylnxylnxyfyx,yeylnxelnxxlnx，所以选B.3.以下曲线积分中，与路径无关的曲线积分为 A.(x2y)dx(2xy)dy

LB. D.

(x2y)dx(y2x)dy

LC.

(x2y)dx(2xy)dy

L(2xy)dx(2xy)dy

L解：验证选项C：令Px2y,Q2xyPQ由2，知选项C正确。yx

23

dyyex是 dxx

1yex，符合yPxyQx的形式， x所以，题设微分方程是一阶线性非齐次方程，故选D.解：由已知，得yax1nn1n在x=-3处收敛，则该级数在x=0处是

解：阿贝尔定理：若级数在xx00处收敛，则在（-x0，x0）内的一切x处绝对收敛。-3,3内的一切x处绝对收敛，因为该级数在x3处收敛，所以由阿贝尔定理，知该级数在因为x03,3，故选A.

二、填空题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.已知向量a={2,-1,3},b={1,-1,2},则〔-2a〕×(3b)=______.

解：-2a4,2,6，3b3,3,6i-2a3b43j23k

66i6j6k6,6,6.67.已知函数g(x,y)=x+y+f(x-y),且g(x,0)=x2，则f(x-y)=______.

2解：由gx,0x0fx0x2，得fxx2x,所以fxyxyxyx2y22xyIdx011x20fx,ydy交换积分次序后I=______.

1y2解：Idy010fx,ydx. 〔区域B是以原点为圆心，1为半径的圆在第一象限

的圆弧〕

的一个特解y*=______.

解：令y*Aex，则yAex，yAex，yAex，代入微分方程，得-Ae2Aexxe，解得A1，故y*e.xx

n!的和为______.

n11 24

x2x3xn解：e1x......,x2!3!n!1111 令x1,得e1......1！2!3!n!11111所以......e1.1！2!3!n!n1n!x三、计算题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕

解：空间曲线可以看做两个曲面的交线，所以常用两个曲面方程组成的方程组来表示曲线的一般方zx22y2,1.曲线C的一般方程为：2.两个曲面方程消去z后，再与z0联立即为曲线C在xoy平面；22z2xy.x2y20,上的投影曲线，即为曲线C在xoy平面上的投影曲线L的方程。z0.

解：令Fx,y2xy2z4xyz,则Fx2所以2yzxyz2xyz2yzxyz；Fy12zxxyzxyz2zxxyz；Fz22xyxyz2xyz2xyxyz；2xyz2yz2xyz2xyxyzyzFzx/；xFzxyzxyzxyzxyFyxyz2zx2xyz2xyxyz2zxz/.yFzxyzxyz2xyz2xy

13.求曲线y2x2z2在点3,5,4处的切平面方程.解：Fx,y,zx2z2y2,nFx,Fy,Fz2x,2y,2z,n|3,5,46,10,8所以在点3,5,4处的切平面方程为：6x310y58z40.即3x5y4z0.

25

323解：与l同向的单位向量elcos,cos,cos,,646222uuu|2,1,1(2xzyz2)|2,1,13，|2,1,1(3y2xz2)|2,1,11，|2,1,1(x22xyz)|2,1,10.xyzu3231所以l的方向导数为|2,1,1310332.l2222

解：xydxdyxdxD12x2xydyxx2xdx22122111014xxdx4x3x2.213322

2解：方法1：I1dxdydz.3方法2：Id2sind1r2dr210002112.33

解：Ixydsxyds0xydsxx21yxOAABAB2422021dx2x3x2.3324

解：Ix22x2dx4x22x22dx5x3|1110.

-11

26

解：把x当作未知数，y当作自变量y1，看成含有由已知，得dx的方程.dydx1x1，也就是xyxy，即xyy，所以xyydyC. dyy1即所求微分方程的通解为：xyy2C.2

解：所给微分方程的特征方程为14r24r10，其根r1r2是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为2yC1C2xe.

1x2解：该级数是正向级数，由limnn22n1，知该无穷级数收敛. 33n1n

x3x5x7解：fxxx...3!5!7!

1所以a10.7!3

四、综合题〔本大题共3小题，每题5分，共15分〕 23.设函数z=ln(x+y),证明2zz12. xyxy1z证明：因为xz2x，xyy12yxy，所以左边1xxy1yxyxyxyxy1xy右边

24.求函数f(x,y)=2xy-x2-4y2+y3-1的极值.

27

fx2y2x02,2.解：由，得驻点0,0、2f2x8y3y0y再求出二阶偏导数fxx2，fxy2，fyy86y.0,0处有极大值f0,0-1；在点0,0处，A2，B2,C8，B2AC-120，所以函数在点在点2,2处，A2，B2,C4，B2AC120，所以f0,0不是极值.

25.将函数f(x)=

1展开为(x+1)的幂级数. 2x11解：-2,xx11234nx111x1x1x1x1...x1...，x1x1两端分别求导，得123n112x13x14x1...nx1...2x所以1n1fx2nx1，(-2x0).xn1

全国2012年4月自学考试高等数学〔工本〕试题

一、单项选择题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题号的括号内。错选、多项选择或未选均无分。

1．以下曲面中，母线平行于y轴的柱面为〔 〕

A．z = x2

B．z = y2

C．z = x2 + y2

D．x + y + z =1

2．已知函数h ( x, y ) = x – y + f ( x + y ),且h (0,y) = y2,则f ( x + y )为〔 〕

A．y (y + 1)

B．y (y - 1)

C．( x + y)( x + y -1) D．( x + y )( x + y +1)

3．以下表达式是某函数u(x,y)的全微分的为〔 〕 A．x2ydx + xy2dy B．xdx + xydy

dy4．微分方程y=x的阶数是〔 〕

dxA．0 5．无穷级数

B．1

C．ydx - xdy

D．ydx + xdy

C．2 D．3

1的和为〔 〕

n2n!B．e - 1

C．e - 2

D．e + 2

A．e + 1

二、填空题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

28

6．已知向量a={ -2, c, 6}与向量b={ 1, 4, -3}垂直，则常数c=______. 7.函数z=4x2y2ln(x2+y2-1)的定义域为______. 8．二次积分I=

11dy1y20f ( x, y ) dx,交换积分次序后I=______.

9．已知y=sin2x+cex是微分方程y+4y=0的解，则常数c=______. 10.幂级数

n0xn1的收敛半径R=______. 3n三、计算题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕

3x2yz011．将直线化为参数式和对称式方程.

x2y3z4012.设方程f ( x + y + z, x, x + y)=0确定函数z = z ( x, y ),其中f为可微函数，求13.求曲面z = 2y + ln

zz和. yxx在点〔1，1，2〕处的切平面方程. y14.求函数z = x2 - y2在点〔2，3〕处，沿从点A〔2，3〕到点B〔3，3+3〕的方向l的

方向导数. 15.计算二重积分

3yD2sinxdxdy，其中积分区域D是由y = | x |和y = 1所围成.

2

2

16.计算三重积分I=

xydxdydz，其中积分区域是由x+y=4及平面z = 0，z = 2所围的在第一卦限内的区域. 17.计算对弧长的曲线积分I=18.计算对坐标的曲线积分I=

Ly2ds，其中L为圆周x2+y2=9的左半圆.

2y(1xL)dxx(1y2)dy，其中L是平面区域

D：x2 + y2 ≤4的正向边界.

19.验证y1 = ex,y2 = x都是微分方程〔1 – x〕y+xy-y = 0的解，并写出该微分方程的通解。 20．求微分方程x

dy1ey的通解. dxn121.设为任意实数，判断无穷级数敛？

sin(n)的敛散性，假设收敛，是绝对收敛还是条件收n222．设函数f ( x )=xcosx的马克劳林级数为

2

axnn0n，求系数a6.

四、综合题〔本大题共3小题，每题5分，共15分〕

29

23．设函数z=ln(x+y)，证明2x

zz+2y=1.

yx24.求函数f ( x, y)=3+14y+32x-8xy-2y2-10x2的极值.

25.将函数f ( x )=

x展开为x的幂级数. 课程代码：00023

x2x32

30

31

32

全国2012年10月自学考试高等数学〔工本〕试题

一、单项选择题(本大题共5小题，每题3分，共15分)

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。

1．在空间直角坐标系中，点〔-1, 2, 4〕到x轴的距离为 A．1 B．2 C．20 D．21 2．设函数zf(x,y)在(x0,y0)某领域内有定义，则

z|(x0,y0) x 33

f(xh,y)f(x,y)

h0hf(x0h,y0h)f(x0,y0)C．lim

h0hA．limf(xh,yh)f(x,y)

h0hf(x0h,y0)f(x0,y0)D．lim

h0hB．limL3．设积分曲线L:x2y21，则对弧长的曲线积分(xy)ds A．0

C．π

4．微分方程xyyx2y2是 A．可别离变量的微分方程 C．一阶线性齐次微分方程

B．齐次微分方程

D．一阶线性非齐次微分方程 B．1 D．2π

5．已知函数f(x)是周期为2π的周期函数，它在-π,π上的表达式为

0,π≤x0f(x)，S(x)是f(x)傅里叶级数的和函数，则S(2π)=

1,0≤xπA．0 C．1

1 2D．2 B．

非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕

6．已知向量α{3,7,6}与向量{9,k,18}平行，则常数k=__________. 2z7．已知函数zecosy，则=__________.

xyx8．设积分区域:x2y2z2≤9，三重积分f(x2y2z2)dv在球面坐标下三次积分为

__________.

9．微分方程yy2ex的一个特解y*=__________. 10．已知无穷级数un1n123433233，则通项un=__________.

三、计算题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕 11．求直线

x1yz9xy4z2与直线的夹角. 21111212．设f是可微的二元函数，并且zf(xy,x2y2)，求全微分dz.

34

13．已知方程exyx2yz2z5确定函数zz(x,y)，求14．设函数f(x,y)arctan15．计算二重积分Dzz,. xyy，求梯度gradf(x,y). x1dxdy，其中积分区域D:1≤x2y2≤2. 22xy16．计算三重积分xdv，其中积分区域Ω是由x0,x1,y0,y1,z0及x2yz4

所围.

17．验证对坐标的曲线积分xy2dxx2ydy与路径无关，并计算IL(2,2)(1,1)xy2dxx2ydy.

18．计算对坐标的曲面积分I(x2yz)dydz(y2xz)dxdz(z2xy)dxdy，其中∑是柱

面x2y21及z0,z2所围柱体外表的外侧. 19．求微分方程(4x2)dy(4y2)dx的通解. 20．求微分方程y2y2y0的通解. 21．判断无穷级数n1(1)n1n的敛散性，假设收敛，是条件收敛还是绝对收敛？

xn22．求幂级数的收敛半径和收敛域.

2n1n1四、综合题〔本大题共3小题，每题5分，共15分〕 23．求函数f(x,y)6xy5x24y216x14y15的极值. 24．求由平面z0,xy1及曲zxy面所围立体的体积.

25．将函数f(x)sin2x展开为x的幂级数.

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全国2013年1月自学考试高等数学〔工本〕试题

一、单项选择题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。

38

1.在空间直角坐标系中，点〔2，-1，4〕到oyz坐标面的距离为 C.4

2.点〔1，2〕是函数z(x1)(y2)2的

L：y=1+x(0≤x≤1)，则对弧长的曲线积分A.22 C.2

D.21

L(xy)ds

B.2 D.22

(2xxy2)dx(6xxy)dy是

(1)nA. 3nn1(1)nnB.

1nn1C.

(1)n1n2

n(1)nD. nn1非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕 α=｛1，-1，1｝，β=｛-2，C，-2｝,并且α×β=0，则常数C=______.

zeycosx，则

z______. x(,0)28.设积分区域：Ω0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1，则三重积分

(xyz)dv______.

y6x的通解为______.

1111111u，则通项un=______. n233323232n1三、计算题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕

P1(-2,3,-1)和P2(3,3,5)的直线方程.

39

f是可微的二元函数，并且zf(2x3y,x2y2)，求全微分dz. 13.已知方程x23y2z22z5，确定函数zz(x,y)，求

zzx和y. f(x,y)excos(xy)，求梯度gradf(x,y).

e2x22y2dxdy，其中积分区域D：x2y2≤4

Dydxdydz，其中积分区域Ω是由x0,y0,z0及xyz1所围的.

L(2xyy23)dx(x22xy)dy与路径无关，并计算

I(1,0)(0,1)(2xyy23)dx(x22xy)dy.

I=x3dydzy3dzdxz3dxdy，其中是球面x2y2z29的外侧. y2xyx1x21x2的通解. y3y2y0的通解.

(nn13n1)n的敛散性. f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π，π〕上的表达式为

f(x)x,≤x＜0,1,0≤x, 求f(x)傅里叶级数

a02(ancosnxbnsinnx)中系数a0. n1四、综合题〔本大题共3小题，每题5分，共15分〕 k的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.

z8x2y2和zx2y2所围成的立体的体积.

f(x)1x25x6展开为x的幂 级数

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全国2013年4月自学考试高等数学(工本)试题

一、单项选择题(本大题共5小题。每题3分，共15分)

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。 1.已知点A(7,1,3)及点B(5,1,4),则与向量AB同向的单位向量是( )

221A.,, 333221,, 333B. D.

221,, 333221, ,333C.

Ω：x2y2z2R2,则三重积分f(x,y,z)dxdydz，在球坐标系中的三次

Ω积分为〔 〕 A.0

2d0df(rcossin,rsinsin,rcos)dr

R044

B. C. D.

202ddd0dddR0Rf(x,y,z)r2sindr

f(rcossin,rsinsin,rcos)rsin2dr f(rcossin,rsinsin,rcos)r2sindr

0200R0003.设F〔x,y〕具有连续的偏导数，且xF(x,y)dx+yF(x,y)dy是某函数u(x,y) 的全微分，则〔 〕 A.xFyyFx B. D.

yFFxyx

C.

FFxy

yFFxyxy5y6yxex的一个特解应设为y*=〔 〕 B.x(ax+b)ex D.x2(ax+b)ex

A.axex C.(ax+b)ex

5.以下无穷级数中，发散的无穷级数为〔 〕 A.n11 nn1B. D.

1310

n1n2nn1n13C.

11n2

nn110

二、填空题(本大题共5小题，每题2分，共10分)

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.点P〔0，-1，-1〕到平面2x+y-2z+2=0的距离为_____________. 7.设函数z=ex-2y,而x=t2,y=sint,则dz=_____________.

dt8.设∑为球面

x2y2z2a2,则对面积的曲面积分

dS_____________.

45

9.微分方程y10的通解y_____________.

10.设函数f(x)是周期为2π的函数,f(x)的傅里叶级数为

1π231n1n14cosnx, n2则傅里叶级数b3=_____________.

三、计算题(本大题共12小题，每题5分，共60分)

P(2,-1,3),并且平行与直线f(x,y)=(1+xy)x,求fzx22yx(1 , 1).2x3yz5的直线方程.

x3z1

y,求全微分xdz.

xyz=f(exy,y),其中f(u,v)具有一阶连续偏导数,求z和z.

z2x23y2在点1,1,5处的切平面方程.

222xy4. ,其中积分区域D:xydxdyDxdxdydz,其中积分区域Ω是由xyz1及坐标面所围成区域. x2y1ds

C 其中C是y=3-x上点A(0,3)到点B(2,1)的一段.

x1dyy1dx,其中C是摆线xtsint,y1cost上点A(0,0)到点B(2

Cπ,0)的一段弧.

dye2xy的通解. dx1n的敛散性. n2lnnf(x)x2ln1x展开为x的幂级数.

46

四、综合题(本大题共3小题，每题5分，共15分)

fx,yx22xyy22x6y4的极值.

zx23y2,三个坐标面及平面xy1所围立体的体积.

11121123112n 收敛,并求其和.

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全国2013年10月自学考试高等数学〔工本〕试题

一、单项选择题(本大题共30小题，每题1分，共30分) 在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。

51

1.在空间直角坐标系中，点〔-1，4，2〕关于axy坐标面对称点为 A.〔-1，4，-2〕 B.〔1，-4，-2〕 C.〔1，4，2〕 D.〔-1，-4，-2〕 2.点〔0，0〕是函数z=1-xy的 A.极小值点 B.极大值点 C.驻点 D.间断点 3.设积分曲线L：x+y=2(0≤x≤2),则对弧长的曲线积分A.22 C.

(xy1)ds

LB. 2

22 4.以下方程是可别离变量微分方程的是 A.yxy

22

2

B.e2xydxexydy

2C.(xy)dx(xy)dy0 5.以下收敛的无穷级数是

D.y3y5x

1A.nsin

nn11C. 

n1nn2B.  2n01n2nD. n

n03非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 二、填空题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕

6. 已知向量={3，-5，1}，={-2，c,-6}，并且=0，则常数c=_________. z=lnxy,则

22z=_________. y：x2+y2≤1,0≤z≤x2y2,则三重积分f(x2y2)dv在柱面坐标下的三次积分为

_________.

yex的通解为_________.

un1n1111…，则通项un=________. 234

三、计算题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕

52

过点P〔3，-1，2〕并且通过x轴的平面方程.

f是可微的二无函数，并且z=f(3x+4y,xy2),求全微分dz. x=3cost,y=3sint,z=4t在t=

所对应的点处的切线方程. 2f(x,y,z)=(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2,求gradf(x,y,z).

22xy，其中积分区域D：≤4，x≥0，y≥0. xydxdyD222xyz，其中积分区域Ω: ≤9，z≥0. (xyz)dvLecosxdxesinxdy与路径无关，并计算I=eycosxdxeysinxdy.

(,0)2xy2yy(,1)4A=eieyz2jek的散度divA.

x2z2xy2yx21的通解.

y6y16y0的通解. n1的敛散性. n5n1f(x)是周期为2的周期函数，它在,上的表达式为

1, x0, f(x)0, 0x .a0(ancosnxbnsinnx)中系数a5. 求f(x)傅里叶级数

2n1

四、综合题〔本大题共3小题，每题5分，共15分〕 f(x,y)=(x2-1)(2y-y2)的极值.

x=1,y=0,y=x,z=0及抛物面z=x2+y2所围立体的体积.

f(x)1展开为〔x+1〕的幂级数.

x22x3全国2014年4月自学考试高等数学〔工本〕试题

一、单项选择题〔本大题共5小题，每题3分，共15分〕

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1.以下曲面方程中，是旋转曲面方程的为

x2y2z21 A.

91625x2y2z21 B.

9169 53

C.x2y2z2D.

x2y299161 925z291 f(x,y)xy的全微分df(x,y)为

C.dxdy

D.dxdy

xt,yt2,zt3的所有切线中，与平面x2yz30平行的切线

dydx2xy的满足y(0)1的特解为 A.yex2 B.yx21 C.y12x1 D.y2x1

(1)n1nn1nx的收敛域是 A.（-1，1） B.[-1，1] C.（-1，1]

D.[-1，1） 非选择题部分

注意事项：

用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。

二、填空题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕

a{3,1,2},b{1,2,1}，则ab=______.

f(x,y)x8ey，则

fx______.

(2,0)D:x2y2≤9，则二重积分f(x,y)dxdy化为极坐标系下的二次积分为______.

Dyy0的特征方程为______.

f(x)x,π≤x0的傅里叶级数的和函数为S(x),则S(0)=______. 2x,0≤xπ三、计算题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕

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π经过点〔1，-2，1〕和点〔7，-5，2〕，且平行于x轴，求平面π的方程.

f(2x,xzyx,x2y2)0确定函数zz(x,y)，其中f为可微函数，求zzx和y.

z2xln2xy在点〔1，2，2〕处的法线方程. zlnx2y2在点〔1，1〕处的梯度.

(exy3)dxdy，其中积分区域D是由xy和x1所围成. DI(x2yz)dxdydz，其中积分区域Ω：x≤1，0≤y≤2，0≤z≤4.

I1Lxyds，其中L为从点A(0,1)到点B(1,0)的直线段.

I(2,3)(1,1)(6xy23x2y)dx(6x2yx3)dy与路径无关，并计算其值.

xyy0的通解. dxdy1xy的通解. 6nn的敛散性. n1n5x1,求幂级数nxn的和函数.

n1四、综合题〔本大题共3小题，每题5分，共15分〕

ux2y2z2，证明xuxyuyzuzu. z2x22y2(0≤z≤1)的面积.

f(x)1x2展开为(x1)的幂级数.

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全国2014年10月自学考试高等数学〔工本〕试题

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