第九讲 因式分解 (添拆项与最值)

知识点回顾：

1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形式。 2、因式分解的方法：

（1）提公因式法，即ma+mb+mc=m(a+b+c)； （2）运用公式法，平方差公式：

a2b2abab；

完全平方公式：a22abb2=ab2和a22abb2ab2

（3）十字相乘法：对于二次三项式x2Pxq，若能找到两个数a、b，使abp,abq,

则就有x2Pxqx2(ab)xab(xa)(xb)． 注：若q为正，则a，b同号；若q为负，则a，b异号； 立方和差公式： 典型例题：

例1（1）计算 29982

+2998×4+4= 。

（2）若x24x4的值为0，则3x212x5的值是________。 例2：分解因式：

2ax28axy8ay2 4a2(x-y)+9b2(y-x)

例3：已知a –b = 1 ，a2b225 求ab和a+b的值。

例4 代数式2x2+4x+5有最 值，是 ；﹣x2

+3x有最 值，是 例

5 题目：分解因式：x2﹣120x+3456．

分析：由于常数项数值较大，则常采用将

x2﹣120x

变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行．

（1）x2﹣140x+4875 （2）4x2﹣4x﹣575．

三、强化训练：

1、已知x+y=6，xy=4，则x2

y+xy2

的值为 .

2、分解因式：

(2a-b)2-(a +b)2 -3ma3+6ma2-3ma a2(m-n)+b2

(n-m)

m416n4 （8）16a472a2b281b4

4、已知：a=2999，b=2995，求a22abb25a5b6的值。

5、利用因式分解计算

11111122132142152......1n2

6、已知a为任意整数，且a132a2的值总可以被n整除(n为自然数，且n不等于1)，则n的值为 。7、已知x(x-1)-(x2y)=-2,

x2y22xy的值。

8、把下列各式分解因式：

（1）4x3﹣31x+15； （2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；

（3）x5+x+1； （4）x3+5x2+3x﹣9；

（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2； （6）﹣2x5n﹣1yn+4x3n﹣1yn+2﹣2xn﹣1yn+4；

（7）x3﹣8y3﹣z3﹣6xyz； （8）a2+b2+c2﹣2bc+2ca﹣2ab；

（9）a5﹣a3b2+a2b3﹣b5； （10）6x4+7x3﹣36x2﹣7x+6．

9、计算

．

10 、已知整数

a，b满足6ab=9a﹣10b+16，求a+b的值．

11、已知2008=，其中x，y为正整数，求x+y的最大值和最小值．

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12、阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，

就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变．于是有x2+2ax﹣3a2=x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2 =x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）． 像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．

（1）请用上述方法求出x2﹣4xy+3y2=0（满足xy≠0，且x≠y）中y与x的关系式． （2）利用上述关系式求的值．

13、对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．

小红是这样想的：在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：

x2+2ax﹣3a2=（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a）

像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 参考小红思考问题的方法，完成下列问题．

（1）利用“配方法”对整式a2﹣6a+8进行因式分解； （2）利用“配方法”求出x2﹣2x﹣3的最小值．

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