2019-2020学年新教材高中数学 第七章 复数 7.3 复数的三角表示学案 新人教A版必修第二册

考点 复数的三角形式 复数三角形式乘、除运算的 三角表示及其几何意义 学习目标 了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 核心素养 数学抽象 数学抽象、数学运算

问题导学

预习教材P83－P89的内容，思考以下问题： 1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？ 2．复数的辐角、辐角的主值是什么？ 3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？ 4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？

1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值

一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是→→

复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

■名师点拨

(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． (2)复数0的辐角是任意的．

(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π.

(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 2．复数三角形式的乘、除运算

若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2) ＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．

(2)＝

z1r1（cos θ1＋isin θ1）

z2r2（cos θ2＋isin θ2）

＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．

即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的r1r2

辐角减去除数的辐角所得的差．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数的辐角是唯一的．( )

(2)z＝cos θ－isin θ是复数的三角形式．( ) (3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式．( ) (4)复数z＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π.( 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√

复数z＝1＋i的三角形式为z＝________． 解析：r＝2，cos θ＝

12＝22

， 又因为1＋i对应的点位于第一象限， 所以arg(1＋i)＝π

4

.

所以1＋i＝2cos ππ4＋isin 4. 答案：2ππ

cos 4＋isin 4 复数6πcosπ

2＋isin2的代数形式为________．

解析：6πcosπ

2＋isin2＝6cosπ2＋6isinπ2＝6i.

答案：6i

6

cosπ

3＋isinπ3×4ππcos6＋isin6＝________；

6

cosπ

3＋isinπ3÷4cosπ6＋isinπ6＝________．

解析：6cosππ3＋isin3×4

cosπ

6＋isinπ6

＝24cosππ3＋6＋isinππ3＋6

) ＝24i.

ππππ

6cos＋isin÷4cos＋isin

3366

6ππππ＝cos－＋isin－

64336π3π

＝cos＋isin

662＝

333＋i. 44

333

＋i 44

答案：24i

复数的代数形式与三角形式的互化 角度一 代数形式化为三角形式

把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i； (2)2－2i.

【解】 (1)r＝3＋1＝2，因为3＋i对应的点在第一象限， 所以cos θ＝

3π，即θ＝， 26

ππ

所以3＋i＝2cos＋isin.

66(2)r＝2＋2＝2，cos θ＝

2

， 2

又因为2－2i对应的点位于第四象限， 7π

所以θ＝.

4

7π7π

所以2－2i＝2cos＋isin.

44

复数的代数形式化三角形式的步骤

(1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角．

(4)求出复数的三角形式．

[提醒] 一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．

角度二 三角形式化为代数形式

分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式． ππ(1)4cos ＋isin ； 66(2)

3

(cos 60°＋isin 60°)； 2

ππ(3)2cos －isin . 33

πππ【解】 (1)复数4cos ＋isin 的模r＝4，辐角的主值为θ＝. 666ππππ4cos ＋isin ＝4cos ＋4isin 6666＝4×

31＋4×i 22

＝23＋2i. (2)

33

(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝60°. 22

33133(cos 60°＋isin 60°)＝×＋×i 22222＝

33

＋i. 44

ππ(3)2cos －isin  33

ππ＝2cos2π－＋isin2π－

3355

＝2cosπ＋isin π.

33

5

所以复数的模r＝2，辐角的主值为π.

355552cos π＋isin π＝2cos π＋2isin π 3333

13

＝2×＋2×－i

22＝1－3i.

复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)．

下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．

ππ1

(1)cos －isin ；

442ππ1

(2)－cos ＋isin ；

3323π3π1

(3)sin ＋icos ；

4427π7π

(4)cos ＋isin ；

55ππ1

(5)cos ＋isin .

262

解：根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)、(5)不是，(4)是复数的三角形式． 1ππ(1)原式＝cos－＋isin－； 244ππ1(2)原式＝cosπ＋＋isinπ＋

3324π4π1

＝cos ＋isin ；

332

1π3ππ3π(3)原式＝cos－＋isin－

442221ππ＝cos－＋isin－；

244ππ1

(5)原式＝cos ＋isin .

224

复数三角形式的乘、除运算

计算：

4455(1)8cos π＋isinπ×4cos π＋isinπ；

3366

(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]； ππ(3)4÷cos ＋isin . 44

4455【解】 (1)8cos π＋isinπ×4cos π＋isinπ

3366

5544

＝32cosπ＋π＋isinπ＋π

66331313＝32cos π＋isin π 66ππ＝32cos ＋isin  66＝32

31＋i 22

＝163＋16i.

(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)] ＝

3

[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] 2

＝＝

6

(cos 75°＋isin 75°) 2

66－26＋2＋i 2446－236＋23

＋i 883－33＋3＋i. 44

＝

＝

ππ(3)4÷cos ＋isin 

44

ππ＝4(cos 0＋isin 0)÷cos ＋isin 

44

ππ＝4cos－＋isin－

44

＝22－22i.

(1)乘法法则：模相乘，辐角相加． (2)除法法则：模相除，辐角相减．

(3)复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍．

计算：

ππ(1)2cos ＋isin ；

33

2

11(2)2(cos 75°＋isin 75°)×－i；

22

ππ31

(3)－＋i÷2cos ＋isin .

3322ππ解：(1)2cos ＋isin 

33222＝(2)cos π＋isin π 3331

＝2－＋i 22＝－1＋3i.

11222(2)－i＝－i 22222＝

772

cos π＋isin π， 442

2

11所以2(cos 75°＋isin 75°)×－i

22

55277＝2cos π＋isin π×cos π＋isin π 1212244＝2×

77255

cosπ＋π＋isinπ＋π 4421212

2626

＝cos π＋isin π

1212ππ

＝cos ＋isin

66＝

31＋i. 22

1322

(3)因为－＋i＝cos π＋isin π，

2233ππ31

所以－＋i÷2cos ＋isin 

332222ππ＝cos π＋isin π÷2cos ＋isin 

3333

ππ122

＝cosπ－＋isinπ－

33233ππ1

＝cos ＋isin 

33213

＝＋i. 44

复数三角形式乘、除运算的几何意义

π

在复平面内，把复数3－3i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求

3

所得向量对应的复数．

【解】 因为3－3i＝23

31

－i 22

1111＝23cos π＋isin π 66

1111ππ所以23cos π＋isin π×cos ＋isin  6633ππ1111

＝23cosπ＋＋isinπ＋

33661313＝23cos π＋isin π 66ππ＝23cos ＋isin  66



＝3＋3i，

1111ππ23cos π＋isin π×cos－＋isin－ 6633ππ1111

＝23cosπ－＋isinπ－

336633＝23cos π＋isin π

22＝－23i.

ππ

故把复数3－3i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋3i，按顺时针旋转得

33到的复数为－23i.

→→→

两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O→

按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的→→

模变为原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2.

333

在复平面内，把与复数＋i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转

44

π

，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示) 3

ππ3333

解：＋i＝cos ＋isin ，由题意得

66442

ππππ3cos ＋isin cos ＋isin ×2

66332

3ππππ＝×2cos＋＋isin＋ 26363ππ＝3cos ＋isin 

22＝3i，

即与所得向量对应的复数为3i.

1．复数1－3i的辐角的主值是( ) 5

A.π 35

C.π 6

2B.π 3D.π 3

5531

解析：选A.因为1－3i＝2－i＝2cos π＋isin π，所以1－3i辐角的主

33225

值为π.

3

2．复数9(cos π＋isin π)的模是________． 答案：9

3．arg(－2i)＝________． 3答案：π

24．计算：

(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)； 33(2)2(cos 300°＋isin 300°)÷2cos π＋isin π. 44解：(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°) ＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°) ＝cos 90°＋isin 90° ＝i.

33(2)2(cos 300°＋isin 300°)÷2cos π＋isin π 445533＝2cos π＋isin π÷2cos π＋isin π

33443355

＝2cosπ－π＋isinπ－π

4433

1111＝2cos π＋isin π 12121＋33－1

＝－＋i.

22

[A 基础巩固]

13

1．复数－i的三角形式是( )

22

ππA．cos－＋isin－ 33

ππC．cos －isin

33

ππ

B．cos ＋isin 33π5π

D．cos ＋isin

36

1355

解析：选A.－i＝cos π＋isin π

2233ππ＝cos2π－＋isin2π－ 33

ππ＝cos－＋isin－.

33

2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( ) A．150° C．－40°

B．40° D．320°

解析：选D.sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°) ＝cos 320°＋isin 320°.

3．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为( ) A．4 C．2π－4

B.D.3π

－4 25π－4 2

55解析：选D.sin 4＋icos 4＝cosπ－4＋isinπ－4. 22

4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( ) A.π

4

B.π5π或 44

π

C．2kπ＋(k∈Z)

4π

D．kπ＋(k∈Z)

4

解析：选D.因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ， 所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1，

π

所以θ＝＋kπ，(k∈Z)．

4

π5．如果θ∈，π，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是( ) 2

A.2cos





9π－θ＋isin9π－θ

4

4

B.2[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)] C.2cos



π＋θ＋isinπ＋θ

44

3π＋θ＋isin3π＋θ

D.2cos4

4

ππ解析：选A.因为1＋i＝2cos ＋isin ，

44cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)， 所以(1＋i)(cos θ－isin θ) ＝2cos＝2cos





π＋2π－θ＋isinπ＋2π－θ

4

49π－θ＋isin9π－θ.

4

4

2π2π2

6．已知z＝cos ＋isin ，则argz＝________．

332π2π4π2

解析：因为argz＝，所以argz＝2argz＝2×＝. 3334π

答案：

3

π

7．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转，所得到的向量对应的复数是________．

2

ππ解析：(1＋i)cos－＋isin－ 22

ππππ＝2cos ＋isin cos－＋isin－ 4422＝2cos



π－π＋isinπ－π

4242







ππ＝2cos－＋isin－＝1－i.

44

答案：1－i

8．设复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i，则的辐角的主值是_________________．

z1

z2

ππππ解析：由题知，z1＝2cos ＋isin ，z2＝2cos ＋isin ， 3366

z1πππ

所以的辐角的主值为－＝.

z2366

π答案：

6

9．设复数z1＝3＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1z2的对应点在虚轴的负半轴上，且argz2

∈(0，π)，求z2的代数形式．

ππ2解：因为z1＝2cos ＋isin ，设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，所以z1z2

66πππ3π＝8cos2α＋＋isin2α＋.由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)，所以α＝kπ＋

66622π2π2π2π(k∈Z)，又α∈(0，π)，所以α＝，所以z2＝2cos ＋isin ＝－1＋3i.

3333

－1＋i7π－

10．已知z＝－2i，z1－zz2＝0，argz2＝，若z1，z2在复平面内分别对应点A，

i12

2

B，且|AB|＝2，求z1和z2.

解：由题设知z＝1－i，因为|AB|＝2，即|z1－z2|＝2，

7π－

所以|z1－z2|＝|zz2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝2，又argz2＝，

127π7π所以z2＝2cos ＋isin ， 1212

z1＝zz2＝(1＋i)z2＝

5π5π2cos ＋isin .

66

－

ππ2cos ＋isin ·

44



7π7π2cos ＋isin ＝

1212



[B 能力提升]

3π2

11．若复数z＝(a＋i)的辐角的主值是，则实数a的值是( )

2A．1 C．－2

B．－1 D．－3

3π22

解析：选B.因为z＝(a＋i)＝(a－1)＋2ai，argz＝，

2

a－1＝0所以，所以a＝－1，故选B.

a<0

2

5πcos 2θ＋isin 2θ12．设π<θ<，则复数的辐角的主值为( )

4cos θ－isin θA．2π－3θ

B．3θ－2π

C．3θ D．3θ－π

cos 2θ＋isin 2θcos 2θ＋isin 2θ解析：选B.＝＝cos 3θ＋isin 3θ.

cos θ－isin θcos（－θ）＋isin（－θ）5π15π

因为π<θ<，所以3π<3θ<，

447π

所以π<3θ－2π<，故选B.

4

π2

13．已知复数z满足z＋2z＋4＝0，且argz∈，π，则z的三角形式为________．

2

12

解析：由z＋2z＋4＝0，得z＝(－2±23i)＝－1±3i.

2

π因为argz∈，π， 2

所以z＝－1－3i应舍去，

2π2π所以z＝－1＋3i＝2cos ＋isin .

332π2π答案：z＝2cos ＋isin 

33

3－22

14．已知k是实数，ω是非零复数，且满足argω＝π，(1＋ω)＋(1＋i)＝1＋kω.

4(1)求ω的值；

(2)设z＝cos θ＋isin θ，θ∈[0，2π]，若|z－ω|＝1＋2，求θ的值． 解：(1)设ω＝r－(2)|z－ω|＝

22

＋i(r>0)，可求出r＝2，即ω＝－1＋i. 22

π3＋22cosθ＋.

4

因为|z－ω|＝1＋2， 所以

π3＋22cosθ＋＝1＋2，

4

π化简得cosθ＋＝1，

4而

ππ9π

≤θ＋≤， 444

π7π所以θ＋＝2π，即θ＝. 44

[C 拓展探究]

15．设O为复平面的原点，A、B为单位圆上两点，A、B所对应的复数分别为z1、z2，z1、

z2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB的重心G对应的复数为＋i，求tan(α＋β)．

解：由题意可设z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β. 11

因为△AOB的重心G对应的复数为＋i，

315cos α＋cos β＝1，z1＋z211

所以＝＋i，即1

3315sin α＋sin β＝，5

11

315

α＋βα－β2cos cos ＝1，22所以

α＋βα－β1

2sin 2cos 2＝5，α＋β1

2

25

＝，故tan(α＋β)＝＝. 5122α＋β1－tan

2

2tan

α＋β所以tan