信号与系统实验8 离散系统Z域分析

一、目的

（1）掌握利用MATLAB绘制系统零极点图的方法 （2）掌握离散时间系统的零极点分析方法

（3）掌握用MATALB实现离散系统频率特性分析的方法 （4）掌握逆Z变换概念及MATLAB实现方法

二、离散系统零极点

线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即

ay(ni)bx(nj) （8-1）

iji0j0NM其中y(k)为系统的输出序列，x(k)为输入序列。

将式（8-1）两边进行Z变换的

H(z)Y(z)X(z)jbzjMj0Niiazi0B(z) （8-2） A(z)将式（8-2）因式分解后有：

(zq)jMH(z)C(zp)ii1j1N （8-3）

其中C为常数，qj(j1,2,,M)为H(z)的M个零点，pi(i1,2,,N)为H(z)的N个极点。

系统函数H(z)的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。

因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：

 系统单位样值响应h(n)的时域特性；  离散系统的稳定性；  离散系统的频率特性；

三、离散系统零极点图及零极点分析 1．零极点图的绘制

设离散系统的系统函数为

B(z)H(z)

A(z)则系统的零极点可用MATLAB的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：

p=roots(A)

其中A为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p则是包含多项式所有根的列向

31量。如多项式为B(z)z2z，则求该多项式根的MATLAB命令为为：

48A=[1 3/4 1/8];

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P=roots(A) 运行结果为： P =

-0.5000 -0.2500

需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按z1的升幂次序排列。这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。

（1）H(z)按z的降幂次序排列：系数向量一定要由多项式最高次幂开始，一直到常数项，缺项要用0补齐；如

z32zH(z)4

z3z32z22z1其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 0 2 0]、B=[1 3 2 2 1]。

（2）H(z)按z1的升幂次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则z0的零点或极点就可能被漏掉。如

12z1H(z)

11121zz24其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 2 0]、B=[1 1/2 1/4]。

用roots()求得H(z)的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。下面是求系统零极点，并绘制其零极点图的MATLAB实用函数ljdt()，同时还绘制出了单位圆。

function ljdt(A,B)

% The function to draw the pole-zero diagram for discrete system p=roots(A); %求系统极点 q=roots(B); %求系统零点 p=p'; %将极点列向量转置为行向量 q=q'; %将零点列向量转置为行向量 x=max(abs([p q 1])); %确定纵坐标范围 x=x+0.1; y=x; %确定横坐标范围 clf hold on

axis([-x x -y y]) %确定坐标轴显示范围 w=0:pi/300:2*pi; t=exp(i*w); plot(t) %画单位园 axis('square') plot([-x x],[0 0]) %画横坐标轴 plot([0 0],[-y y]) %画纵坐标轴 text(0.1,x,'jIm[z]') text(y,1/10,'Re[z]')

plot(real(p),imag(p),'x') %画极点 plot(real(q),imag(q),'o') %画零点 title('pole-zero diagram for discrete system') %标注标题

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hold off

例1：绘制如下系统函数的零极点

3z35z210z（1）H(z)3 2z3z7z510.5z1（2）H(z)

31121zz48解：MATLAB命令如下 （1） A=[1 -3 7 -5];

B=[3 -5 10 0]; ljdt(A,B)

绘制的零极点图如图8-1（a）所示。 （2） A=[1 3/4 1/8];

B=[1 -0.5 0]; ljdt(A,B)

绘制的零极点图如图8-1（b）所示。

（a） 图8-1 离散系统的零极点图

2．离散系统零极点分析

（1）离散系统零极点分布与系统稳定性

《信号与系统》课程已讲到离散系统稳定的条件为：

 时域条件：离散系统稳定的充要条件为

n（b）

h(n)，即系统单位样值响应绝

对可和；  Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数H(z)的所有极点均位于Z平面

的单位圆内。

对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式求出系统函数的极点，从而判断系统的稳定性，但对于高阶系统，手工求解则显得十分困难，这时可以利用MATLAB来实现。实现方法是调用前述的函数ljdt()绘出系统的零极点图，然后根据极点的位置判断系统的稳定性。

例2：系统函数如例1所示，判断两个系统的稳定性。

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解：由例1绘出的零极点图可以看出两个系统的稳定性分别为：第（1）个系统不稳定；第（2）个系统稳定。

（2）零极点分布与系统单位样值时域特性的关系 从《信号与系统》课程中已经得知，离散系统的系统函数H(z)与单位样值响应h(n)是一对Z变换对；因而，H(z)必然包含了h(n)的固有特性。

离散系统的系统函数可以写成

(zq)jMH(z)C(zp)ii1j1N （8-4）

若系统的N个极点均为单极点，可将H(z)进行部分分式展开为：

NkzH(z)i （8-5）

i1zpi由Z逆变换得：

h(n)kip(in)un( ) （8-6）

i1N从式（8-5）和（8-6）可以看出离散系统单位样值响应h(n)的时域特性完全由系统

函数H(z)的极点位置决定。从《信号与系统》的学习中已经得出如下规律：  H(z)位于Z平面单位圆内的极点决定了h(n)随时间衰减的信号分量；  H(z)位于Z平面单位圆上的一阶极点决定了h(n)的稳定信号分量；

 H(z)位于Z平面单位圆外的极点或单位圆上高于一阶的极点决定了h(n)的随时

间增长的信号分量；

下面以例子证明上述规律的正确性：

例3：已知如下系统的系统函数H(z)，试用MATLAB分析系统单位样值响应h(n)的时域特性。

1（1）H(z)，单位圆上的一阶实极点；

z11（2）H(z)，单位圆上的一阶共轭极点；

z22zcos()18z（3）H(z)，单位圆上的二阶实极点； 2(z1)1（4）H(z)，单位圆内的一阶实极点；

z0.81（5）H(z)，单位圆内的二阶实极点； 2(z0.5)1（6）H(z)，单位圆外的一阶实极点；

z1.2解：利用MATLAB提供的函数impz()绘制离散系统单位样值响应波形，impz()基本调用方式为（其他方式，请读者参看MATLAB帮助）：impz(b,a,N)，其中，b为系统函数分子多项式的系数向量，a为系统函数分母多项式的系数向量，N为产生序列的长度；需

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11的(z1)2z22z1b=[0 0 1]，a=[1 –2 1]。下面是求解个系统单位样值响应的MATLAB命令： （1）a=[1 -1];

b=[0 1]; impz(b,a,10)

运行结果如图8-2（a）所示。 （2）a=[1 –2*cos(pi/8) 1];

b=[0 0 1]; impz(b,a,50)

运行结果如图8-2（b）所示。 （3）a=[1 -2 1];

b=[0 1 0]; impz(b,a,10)

运行结果如图8-2（c）所示。 （4）a=[1 -0.8];

b=[0 1]; impz(b,a,10)

运行结果如图8-2（d）所示。 （5）a=[1 -1 0.25];

b=[0 0 1]; impz(b,a,10)

运行结果如图8-2（e）所示。 （6）a=[1 -1.2];

b=[0 1]; impz(b,a,10)

运行结果如图8-2（f）所示。

要注意的是，b和a的维数应相同，不足用0补齐，例如H(z)

（a）

（b）

图8-2 系统的单位样值响应

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（c）

（d）

（e）

图8-2 系统的单位样值响应（续）

（f）

四、离散系统频率特性分析

1．离散系统的频率响应H(ej)

对于某因果稳定离散系统，如果激励序列为正弦序列：

x(n)Asin(0n)u(n)

则，根据《信号与系统》课程给出的结果有，系统的稳态响应为：

yss(n)AH(ej)sin[n()]u(n)

定义离散系统的频率响应为

H(ej)H(z)zejH(ej)ej() 其中，H(ej)——称为离散系统的幅频特性；

()——称为离散系统的相频特性；

H(ej)是以2为周期的周期函数，只要分析H(ej)在范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。

2．用MATLAB实现离散系统的频率特性分析方法 （1）直接法

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设某因果稳定系统的系统函数H(z)，则系统的频响特性为：

H(ej)H(z)zejH(ej)ej()

MATLAB提供了专门用于求离散系统频响特性的函数freqz()，调用freqz()的格式有以下两种：

 [H,w]=freqz(B,A,N)

B和A分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，N为正整数，

j返回量H则包含了离散系统频响H(e)在0~范围内N个频率等分点的值，向量w则包含0~范围内N个频率等分点。调用中若N默认，默认值为512。  [H,w]=freqz(B,A,N,’whole’)

j0~2H(e)的该调用格式将计算离散系统在范围内N个频率等分点的频率响应

值。

因此，可以先调用freqz()函数计算系统的频率响应，然后利用abs()和angle()函数及plot()函数，即可绘制出系统在0~或0~2范围内的频响曲线。

例4：绘制如下系统的频响曲线

H(z)z0.5z

解：MATLAB命令如下： B=[1 -0.5]; A =[1 0];

[H,w]=freqz(B,A,400,'whole'); Hf=abs(H); Hx=angle(H); clf

figure(1) plot(w,Hf)

title('离散系统幅频特性曲线') figure(2) plot(w,Hx)

title('离散系统相频特性曲线')

运行结果如图8-3所示。

图8-3 系统的幅频特性曲线和相频特性曲线

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（2）几何矢量法

利用几何矢量求解示意图如图8-4所示。

jejqjBjej

ji ejpiAei有：

jH(e)

Bejj1Nii1Mj(12M)H(ej)ej()

j(12N)Ae则系统的幅频特性和相频特性分别为：

H(ej)MBj1Ni1Mj （8-7）

iAj1()ji （8-8）

i1N根据式（8-7）和（8-8），利用MATLAB来求解频率响应的过程如下：  根据系统函数H(z)定义分子、分母多项式系数向量B和A；  调用前述的ljdt()函数求出H(z)的零极点，并绘出零极点图；  定义Z平面单位圆上的k个频率分点；

 求出H(z)所有的零点和极点到这些等分点的距离；  求出H(z)所有的零点和极点到这些等分点矢量的相角；  根据式（8-7）和（8-8）求出系统的H(ej)和()；

 绘制指定范围内系统的幅频曲线和相频曲线；

下面是实现上述过程的实用函数dplxy()。有四个参数：k为用户定义的频率等分点数目；B和A分别为系统函数分子、分母多项式系数向量；r为程序绘制的频率特性曲线的频率范围（0~r）。

function dplxy(k,r,A,B)

%The function to draw the frequency response of discrete system p=roots(A); %求极点 q=roots(B); %求零点 figure(1) ljdt(A,B) %画零极点图 w=0:r*pi/k:r*pi; y=exp(i*w); %定义单位圆上的k个频率等分点 N=length(p); %求极点个数 M=length(q); %求零点个数 yp=ones(N,1)*y; %定义行数为极点个数的单位圆向量 yq=ones(M,1)*y; %定义行数为零点个数的单位圆向量 vp=yp-p*ones(1,k+1); %定义极点到单位圆上各点的向量 vq=yq-q*ones(1,k+1); %定义零点到单位圆上各点的向量 Ai=abs(vp); %求出极点到单位圆上各点的向量的模

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Bj=abs(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的模 Ci=angle(vp); %求出极点到单位圆上各点的向量的相角 Dj=angle(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的相角 fai=sum(Dj,1)-sum(Ci,1); %求系统相频响应 H=prod(Bj,1)./prod(Ai,1); %求系统幅频响应 figure(2) plot(w,H); %绘制幅频特性曲线 title('离散系统幅频特性曲线') xlabel('角频率') ylabel('幅度') figure(3) plot(w,fai) title('离散系统的相频特性曲线') xlabel('角频率') ylabel('相位')

例5：已知某离散系统的系统函数为：

5/4(1z1)H(z)

11/4z1绘出该系统的零极点图及频响特性。 解：MATLAB命令如下：

A=[1 -1/4]; B=[5/4 -5/4]; dplxy(500,2,A,B)

运行结果如图8-4所示。

图8-4 离散系统的零极点图、幅频和相频曲线

五、实验内容

已知离散系统的系统函数分别为：

z22z1（1）H(z) 32z1z22（2）H(z)3

z2z24z1试用MATLAB分析：

（1） 绘出系统的零极点图，根据零极点图判断系统的稳定性；

function ljdt(A,B)

% The function to draw the pole-zero diagram for discrete system

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p=roots(A); %求系统极点 q=roots(B); %求系统零点 p=p'; %将极点列向量转置为行向量 q=q'; %将零点列向量转置为行向量 x=max(abs([p q 1])); %确定纵坐标范围 x=x+0.1; y=x; %确定横坐标范围 clf hold on

axis([-x x -y y]) %确定坐标轴显示范围 w=0:pi/300:2*pi; t=exp(i*w); plot(t) %画单位园 axis('square') plot([-x x],[0 0]) %画横坐标轴 plot([0 0],[-y y]) %画纵坐标轴 text(0.1,x,'jIm[z]') text(y,1/10,'Re[z]')

plot(real(p),imag(p),'x') %画极点 plot(real(q),imag(q),'o') %画零点 title('pole-zero diagram for discrete system') %标注标题 hold off

z22z1对H(z)系统

2z31A=[2 0 0 -1]; B=[1 -2 -1]; ljdt(A,B)

系统为稳定系统

z22对H(z)3系统

z2z24z1A=[1 2 -4 1]; B=[1 0 2]; ljdt(A,B)

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系统为非稳定系统

（2） 如果系统稳定，绘出幅频特性和相频特性曲线。

function dplxy(k,r,A,B)

%The function to draw the frequency response of discrete system p=roots(A); %求极点 q=roots(B); %求零点 figure(1) ljdt(A,B) %画零极点图 w=0:r*pi/k:r*pi; y=exp(i*w); %定义单位圆上的k个频率等分点 N=length(p); %求极点个数 M=length(q); %求零点个数 yp=ones(N,1)*y; %定义行数为极点个数的单位圆向量 yq=ones(M,1)*y; %定义行数为零点个数的单位圆向量 vp=yp-p*ones(1,k+1); %定义极点到单位圆上各点的向量 vq=yq-q*ones(1,k+1); %定义零点到单位圆上各点的向量 Ai=abs(vp); %求出极点到单位圆上各点的向量的模 Bj=abs(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的模 Ci=angle(vp); %求出极点到单位圆上各点的向量的相角 Dj=angle(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的相角 fai=sum(Dj,1)-sum(Ci,1); %求系统相频响应 H=prod(Bj,1)./prod(Ai,1); %求系统幅频响应 figure(2) plot(w,H); %绘制幅频特性曲线 title('离散系统幅频特性曲线') xlabel('角频率') ylabel('幅度') figure(3) plot(w,fai) title('离散系统的相频特性曲线') xlabel('角频率') ylabel('相位')

z22z1对H(z)系统 32z1

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A=[2 0 -1]; B=[1 -2 -1];

dplxy(500,2,A,B)

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