江苏省盐城中学2017—2018学年度第二学期期中考试 高二年级数学(理科

高二年级数学(理工方向）试题2018.04

试卷说明：本场考试时间120分钟，总分160分。 一、 填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分） 1.已知复数z34i（i为虚数单位），则|z|= ▲ ．

2.某学校高三有1800名学生，高二有1500名学生，高一有1200名学生，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则应在高一抽取 ▲ 人． 3.某学校有两个食堂，甲、乙两名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ． 4.抛物线y8x的准线方程为 ▲ ． 5.若Cx18212.有7个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有 ▲ 种.（用数字作答）

x2y21与双曲线C2的一个公共焦点,A,B分别是C1,C2在第13.已知F是椭圆C1:9二、四象限的公共点.若AFBF0,则C2的离心率为 ▲ ． 14.若函数f(x)4x3mx2(3m)x1是R上的单调减函数，已知

gxlnxm62nx，h(x)取值范围为 ▲ .

1n,且g(x)h(x)0在定义域内恒成立，则实数n的x二、解答题（本大题共6小题，计90分. 请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文

i1While i8 ii2 S2i3End WhilePrint S第6题

字说明、证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）

假定某射手每次射击命中目标的概率为

C3x6，则18x ▲ ．

2，且只有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停36.根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为 ▲ ．

7.在四面体OABC中，OAa,OBb,OCc，D为BC的中点，

止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，求： （Ⅰ）X2的概率；（Ⅱ）数学期望EX.

E为AD的中点，则OE= ▲ ． （用a,b,c表示）

8.若曲线C1:yax6x12x与曲线C2:y2e在x1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为 ▲ ．

9.已知命题p:x[1,0],aex，命题q:xR,x2xa0，若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围是 ▲ ．

32x16.（本题满分14分）

在如图所示的坐标系中，长方体ABCDA1B1C1D1，已知AB2，AA11，直线BD与平面AA1B1B所成的角为30，AE垂直BD于点E，F是A1B1的中点． （Ⅰ）求异面直线AE与BF所成角的余弦值； （Ⅱ）求直线AA1与平面BDF所成角的正弦值.

110.已知f(x)2xf(1)，则f(2) ▲ ．

x11.若(3x7)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值为 ▲ ．

高二年级 期中考试数学（理工方向）试题 第1页 共2页

17.（本题满分14分）

随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量y（单位：千盒）与销售价格x（单位：元/盒）满足关系式y19.（本题满分16分）

x2y2在平面直角坐标系xOy中，椭圆221(ab0)的长轴长23，短轴长22．

ab(Ⅰ)求椭圆的方程；

a4(x16)2,其x12中12x16,a为常数，已知销售价格为14元/盒时,每月可售出21千盒. （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元（只考虑销售出的便当盒数），试确定销售价格x的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大.（结果保留一位小数）

18.（本题满分16分）

(Ⅱ)记椭圆的左右顶点A,B，分别过A,B作x轴的垂线交直线y3于点D,C，P为 椭圆上位于x轴上方的动点，直线AP，BP分别交直线CD于点E，F．

(i)当直线AP的斜率为2时，求BEF的面积； F (ii)求DECF的最小值．

20.（本题满分16分）

已知函数fxx22mlnx(m4)xlnm2. （Ⅰ）当m4时，求函数fx在区间1,4上的值域； （Ⅱ）当m0时，试讨论函数fx的单调性；

（第19题图）

D P E y C A O B x 1m已知数列{an}是等差数列，且a1,a2,a3是(1x)展开式的前三项的系数.

2（Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）求(11mx)展开式的中间项； 2111（Ⅲ）当n2时，用数学归纳法证明：anan1an2

11. an23（Ⅲ）若对任意m1,2，存在x3,4，使得不等式fxamm2m(ln41)成

2立，求实数a的取值范围.

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江苏省盐城中学 2017-2018学年度第二学期期中考试

高二年级数学（理）答案

16、在如图所示的坐标系中，长方体ABCDA11，直线BD1B1C1D1，已知AB2，AA与平面AA1B1B所成的角为30，AE垂直BD于点E，F是A1B1的中点．

（Ⅰ）求异面直线AE与BF所成角的余弦值； （Ⅱ）求直线AA1与平面BDF所成角的正弦值.

一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）

1、5 2、40 4、x2 6、21 8、 10、

解：在长方体ABCDA1B1C1D1中，以AB 所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y 轴，以AA1所在的直线为z轴，建立如图 所示空间直角坐标系．

由已知AB2，AA11，可得A(0,0,0)，

13、 25、3或6 1117、abc 2441 6e

19、(,1] 411、16 13、

7 4B(2,0,0)，F(1,0,1)．又

AD平面AA1B1B，从而BD与平面AA1B1B所成的角为DBA30，而AB2，

12、480 14、n214 71或ne2 2eAEBD，AE1，AD（1）因为AE(,231323，因此易得E(,,0)，D(0,,0)． (4分) 322313,0)，BF(1,0,1)，所以 22二、解答题（本大题共6小题，计90分. 请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.假定某射手每次射击命中目标的概率为

1AEBF cosAE,BF2AEBF2于是，异面直线AE与BF所成角的余弦值为

2． 42． (8分) 42，且只有3发子弹，该射手一旦射中目标，就3停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X，求： （Ⅰ）X2的概率；（Ⅱ）数学期望EX. 解：（1）

（2）易知直线AA1的一个方向向量为m(0,0,1)，设n(x,y,z)是平面BDF的一个法向

213（2）99

xz0nBFnBF023xzBD(2,,0)量，，由 2333xyy0nBDnBD02x3 高二年级期中考试数学（理工方向）试题 第2页 共2页

5取x1，得n(1,3,1)，所以cosm,n，即直线AA1与平面BDF所成5mn角的正弦值mn所以当x4013.3时，函数f(x)取得最大值. 故当销售价格为13.3元/盒时，餐厅每3日销售所获得的利润最大.

5． (14分) 518.已知数列{an}是等差数列，且a1,a2,a3是(1（Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）求(11mx)展开式的前三项的系数. 217.随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量y（单位：千盒）与销售价格x（单位：元/盒）满足关系式ya4(x16)2,其x121mx)展开式的中间项； 2中12x16,a为常数，已知销售价格为14元/盒时,每月可售出21千盒. （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元（只考虑销售出的便当盒数），试确定销售价格x的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大.（结果保留一位小数）

（Ⅲ）当n2时，用数学归纳法证明：

111anan1an211. an231m(m1)m，a3，28解：（1）(11m1121x)1Cm(x)Cm(x)2222依题意a11，a2由2a2a1a3可得m1（舍去），或m8 …………………4分 （2）所以(1mm24x16，得1621，解：（1）因为x14时，y21， 代入关系式y x122解得m10.

（2）由（1）可知，套题每日的销售量y所以每日销售套题所获得的利润

1m1354x)展开式的中间项是第五项为：T5C84(x)4x；…………………2281024x16， x128分

（3）证明：

①n3时，结论成立，

②设当nk时，

111akak1ak211， ak23102fxx124x16104x12(x16)2x12

从而f(x)4(x16)(3x40). 令f'x0，得x'则nk1时，

1a(k1)1a(k1)1a(k1)211a(k1)2

(1111akak1)a(k1)1a(k1)2111)(ak2ak21ak221a(k1)21) ak40, 3111(3ak21ak221a(k1)211(2k1)1) 233(k1)23k2ak4040'且在(12,)上,f(x)0，函数f(x)单调递增；在,16上，f'(x)0，函数f(x)33单调递减，

1(2k1)(3k2)[3(k1)22]13k27k3 223[3(k1)2][3k2]3[3(k1)2][3k2]2由k3可知，3k7k30

40所以x是函数f(x)在12,16内的极大值点，也是最大值点，

3即

1a(k1)1a(k1)11a(k1)21a(k1)21 3 高二年级期中考试数学（理工方向）试题 第2页 共2页

综合①②可得，当n2时，

111anan1an22211 …………………16分 an23所以△A的面积

19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆(Ⅰ)求椭圆的方程；

xy1(ab0)的长轴长23，短轴长22． a2b2SAEF33EF223x03y033x03y03399． ………

y0y02234………12分

0（ii）DE(Ⅱ)记椭圆的左右顶点A,B，分别过A,B作x轴的垂线交直线y3于点D,C，P为 y03x3y0333x03,CFy03x03y033y03x03， y0椭圆上位于x轴上方的动点，直线AP，BP分别交直线CD于点E，F．

(i)当直线AP的斜率为2时，求BEF的面积； 所以DECF3x03y3x039． ………………14分 0y02 (ii)求DECF的最小值． y ，DECF的最小值为2． ………………16分C 解：（1）椭圆的方程为

x22F 3D E 所以对任意的动点P3y21．4分

P （2）由（1）知A(3,0)，B(3,0)，

A O B x

设p(x0,y0)，

（第19题图） 则2x203y206，直线AP的方

程为

yy0x3)，令y3，

03(x得E3x03y03,3y， 0直线BP的方程为yy03x03y03xx3)，令y3，得F,03(y30，

y0（i）当直线AQ的斜率为2时，有x203，消去y0并整理得，

2x23y20067x20123x0150，解得

x5307或

3（舍）， …………………10分

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20.已知函数fxx22mlnx(m4)xlnm2. （Ⅰ）当m4时，求函数fx在区间1,4上的值域； （Ⅱ）当m0时，试讨论函数fx的单调性；

（Ⅲ）若对任意m1,2，存在x3,4，使得不等式fxamm22m(ln41)成立，求实数a的取值范围.

解：（1）当a4时，函数fxx28lnx8x2ln22(x0)，所以

（3）由（2）知，当a1,2时，函数fx在3,4上单调递增，故当x3,4时，

fxmaxf4，因为对任意a1,2，存在x03,4，使得不等式

fx0maa22a(ln41)成立，

，

所以得

162aln44(a4)lna2m(aa2)2a(ln41)lnama2(m2)a20，对任意a1,2恒成立（11分）

记hxlnxmx2(m2)x2，则h(x)'1(2x1)(mx1)2mx(m2) xx82(x2)2fx2x80,所以函数fx单调递增，(2分)

xx'当x1,2时，2x10若m1,则mx10,从而h'(x)0，所以函数hx在

故函数fx在区间1,4上的最小值为f12ln25,最大值为f418ln214，所以区间1,4上的值域为2ln25,18ln214（4分）

x1,2上单调递增，所以当x1,2时，hxh10,符合题意（13分）

若0m1，则存在x01,2，使得mx010，则hx在1,x0上单调递减，在从而当x01,2时，hxminhx0h10，说明当x01,2(x0,2)上单调递增，

时，hx0不恒成立，不符合题意（14分）

若m0，则h'(x)0,h(x)在1,2上单调递减，所以当x01,2时，hxh10，不符和题意。综上，实数m的取值范围是1,.（16分）

2a(x2)(2xa)(a4) xxa'令f(x)0,得x12,x2（6分）

2aaa''当a4时，2，由f(x)0得x或0x2，由f(x)0得2x，所以

222（2）f(x)2x'在区间0,2和aa,上，函数fx单调递增，在区间2,上，函数fx单调递减. 22'当a4时，f(x)0，所以函数fx单调递增.

当0a4时，

aaa2，由f'(x)0得x2或0x，由f'(x)0得x2，所222以在区间0,（9分）

aa

和2,上，函数fx单调递增，在区间,2上，函数fx单调递减.22

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