大同市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

大同市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 甲、乙两所学校高三年级分别有1 200人，1 000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：

分组 [70,80 [80,90 [90,100 [100,110 频数 3 4 8 15 分组 [110,120 [120,130 [130,140 [140,150] 频数 15 x 3 2 乙校：

分组 [70,80 [80,90 [90,100 [100,110 频数 1 2 8 9 分组 [110,120 [120,130 [130,140 [140,150] 频数 10 10 y 3 则x，y的值分别为 A、12,7 B、 10,7 C、 10，8 D、 11,9

2． ∃x∈R，x2﹣2x+3＞0的否定是（ ）

A．不存在x∈R，使∃x2﹣2x+3≥0 B．∃x∈R，x2﹣2x+3≤0 C．∀x∈R，x2﹣2x+3≤0 D．∀x∈R，x2﹣2x+3＞0 3． 已知x，y满足约束条件，使z=ax+y取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1

xy204． 已知变量x,y满足约束条件x1，则y的取值范围是（ xy70x ）

A．[9,6] B．(,955][6,) C．(,3][6,) D．[3,6]

第 1 页，共 16 页

）精选高中模拟试卷

5． 如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在

面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（ ）

A． B． C． D．

6． 已知函数f（x）=ax﹣1+logax在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a，则实数a为（ ） A．

B．

C．2

D．4

7． 已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ） A．10

B．9

C．8

D．5

8． 设,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A．若l，，则l B．若l//， //，则l C．若l，//，则l D．若l//，，则l 9． 已知集合P={x|x≥0}，Q={x|A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，﹣1） 10．已知

≥0}，则P∩Q=（ ） C．[0，+∞） D．（2，+∞）

x1yi，其中x,y是实数，是虚数单位，则xyi的共轭复数为 1iA、12i B、12i C、2i D、2i

11．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A． 2 B．4 C．

48 D． 33

【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.

第 2 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

12．若集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x＞2}，则A∩B=（ ） A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞1}

二、填空题

13．在ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c，且abcosCcsinB，则角B 为 . 14．函数f（x）=log

2

（x﹣2x﹣3）的单调递增区间为 ．

15．在平面直角坐标系中，a(1,1)，b(1,2)，记(,)M|OMab，其中O为坐标原点，给出结论如下：

①若(1,4)(,)，则1；

②对平面任意一点M，都存在,使得M(,)； ③若1，则(,)表示一条直线； ④(1,)(,2)(1,5)；

⑤若0，0，且2，则(,)表示的一条线段且长度为22． 其中所有正确结论的序号是 ．

216．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2x,则yf(x)在R上的解析式为 17．已知直线：3x4ym0（m0）被圆C：x2y22x2y60所截的弦长是圆心C到直线的距离的2倍，则m . 18．已知等差数列{an}中，a3=

，则cos（a1+a2+a6）= ．

三、解答题

19．（本题满分12分）有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”.其游戏规则是这样的：你可以 在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数 在3次掷骰子过程中出现1次， 2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的 1倍，2倍，3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收. （1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；

（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议.

第 3 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（1，﹣2）． （Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．

（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于

21．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．

2

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？

3

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

22．已知函数y=f（x）的图象与g（x）=logax（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过（4，2）点．

第 4 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若f（x﹣1）＞f（5﹣x），求x的取值范围．

23．（选做题）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M． （1）求M；

（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

24．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）． （Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；

（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．

第 5 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

大同市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

1 200

【解析】 1从甲校抽取110×＝60人，

1 200＋1 000

1 000

从乙校抽取110×＝50人，故x＝10，y＝7.

1 200＋1 000

2． 【答案】C

22

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，∃x∈R，x﹣2x+3＞0的否定是：∀x∈R，x﹣2x+3≤

0．

故选：C．

3． 【答案】D

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=ax+y，得y=﹣ax+z，

若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件． 若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0． 平移直线y=﹣ax+z，

由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个， 此时﹣a=﹣1，即a=1．

若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0． 平移直线y=﹣ax+z，

由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件． 综上a=1． 故选：D．

第 6 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．

4． 【答案】A 【解析】

B(1,6)，试题分析：作出可行域，如图ABC内部（含边界），表示点(x,y)与原点连线的斜率，易得A(,)，

yx5922kOA969y92，kOB6，所以6．故选A． 5515x2第 7 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

考点：简单的线性规划的非线性应用．

5． 【答案】 D

【解析】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，

则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是， 如图当E与C重合时，AK=

=，

取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形． 故∠K0A=

，∴∠K0D'=

=

， ，

其所对的弧长为故选：D．

6． 【答案】A

第 8 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

【解析】解：分两类讨论，过程如下：

①当a＞1时，函数y=ax﹣1 和y=logax在[1，2]上都是增函数， ∴f（x）=a

x﹣1

+logax

在[1，2]上递增，

∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+loga2+1=a， ∴loga2=﹣1，得a=，舍去；

②当0＜a＜1时，函数y=ax﹣1 和y=logax在[1，2]上都是减函数， ∴f（x）=a

x﹣1

+logax

在[1，2]上递减，

∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+loga2+1=a， ∴loga2=﹣1，得a=，符合题意； 故选A．

7． 【答案】D

2222

【解析】解：∵23cosA+cos2A=23cosA+2cosA﹣1=0，即cosA=

，A为锐角，

∴cosA=， 又a=7，c=6，

2222

根据余弦定理得：a=b+c﹣2bc•cosA，即49=b+36﹣

b，

解得：b=5或b=﹣则b=5． 故选D

8． 【答案】C111] 【解析】

（舍去），

考

点：线线，线面，面面的位置关系

9． 【答案】D

【解析】解：由Q中的不等式变形得：（x+1）（x﹣2）≥0，且x﹣2≠0，

第 9 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

解得：x≤﹣1或x＞2，即Q=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）， ∵P=[0，+∞）， ∴P∩Q=（2，+∞）， 故选：D．

10．【答案】D

【解析】

x1(xxi)1yi,x2,y1,故选D 1i211．【答案】B

12．【答案】A

【解析】解：∵A={x|1＜x＜3}，B={x|x＞2}， ∴A∩B={x|2＜x＜3}， 故选：A．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

二、填空题

13．【答案】【

 4解

析

】

第 10 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

考

点：正弦定理．

【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是180，消去多余的变量，从而解出B角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.

14．【答案】 （﹣∞，﹣1） ．

【解析】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}

2

令t=x﹣2x﹣3，则y=

因为y=在（0，+∞）单调递减

t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增 由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1） 故答案为：（﹣∞，﹣1）

15．【答案】②③④

【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力． 由ab(1,4)得21，∴，①错误；

124a与b不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；

记aOA，由OMab得AMb，∴点M在过A点与b平行的直线上，③正确；

1

由aba2b得，(1)a(2)b0，∵a与b不共线，∴，∴aba2b(1,5)，

2

∴④正确；

第 11 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

21xy2xy0x33设M(x,y)，则有，∴，∴且x2y60，∴(,)表示的一

11xy0y2xy33条线段且线段的两个端点分别为(2,4)、(2,2)，其长度为25，∴⑤错误．

2x2x,x016．【答案】y2

x2x,x0【解析】

2试题分析：令x0，则x0，所以fxx2xx2x，又因为奇函数满足

22x2x,x0。 fxfx，所以fxx2xx0，所以yfx在R上的解析式为y2x2x,x02考点：函数的奇偶性。 17．【答案】9 【解析】

考点：直线与圆的位置关系

【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是l2R2d2，R是圆的半径，d是圆心到直线的距离. 18．【答案】

【解析】解：∵数列{an}为等差数列，且a3=∴a1+a2+a6=3a1+6d=3（a1+2d）=3a3=3×∴cos（a1+a2+a6）=cos故答案是：

．

=

．

=

， ，

．

第 12 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

三、解答题

19．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了独立重复试验中概率的求法，对立事件的基本性质；对化归能力及对实际问题的抽象能力要求较高，属于中档难度.

20．【答案】

2

【解析】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y=2px， 得4=2p，p=2

2

∴抛物线C的方程为：y=4x，其准线方程为x=﹣1

（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t， 由

2

得y+2y﹣2t=0，

=

，求得t=±1

∵直线l与抛物线有公共点， ∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣ 又∵直线OA与L的距离d=

第 13 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

∵t≥﹣ ∴t=1

∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=0

【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程

思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．

21．【答案】

【解析】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=

x，h=（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2

+1800，

∴当x=15时，S取最大值．

（2）V=a2

h=2

（﹣x3+30x2

），V′=6

x（20﹣x），

由V′=0得x=20，

当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；

∴当x=20时，包装盒容积V（cm3

）最大，

此时，．

即此时包装盒的高与底面边长的比值是．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵g（x）=logax（a＞0，且a≠1）的图象过点（4，2），

∴loga4=2，a=2，则g（x）=log2x．…

∵函数y=f（x）的图象与g（X）的图象关于x轴对称，

∴

．…

（Ⅱ）∵f（x﹣1）＞f（5﹣x）， ∴

，

即，解得1＜x＜3，

所以x的取值范围为（1，3）…

【点评】本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．

23．【答案】

第 14 页，共 16 页

30﹣x），0＜x＜30．

（精选高中模拟试卷

【解析】（Ⅰ）解：f（x）=|x+1|+|x﹣1|=当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1； 当﹣1≤x≤1时，f（x）=2＜4； 当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2． 所以M=（﹣2，2）．…

（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，

22222222

∵4（a+b）﹣（4+ab）=4（a+2ab+b）﹣（16+8ab+ab）=（a﹣4）（4﹣b）＜0， 22

∴4（a+b）＜（4+ab），

∴2|a+b|＜|4+ab|．…

【点评】本题考查绝对值函数，考查解不等式，考查不等式的证明，解题的关键是将不等式写成分段函数，利用作差法证明不等式．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞）， ∴f′（x）=﹣a=

，

若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，

（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1， ∵f（）＞2a﹣2， ∴lna+a﹣1＜0，

令g（a）=lna+a﹣1， ∴当0＜a＜1时，g（a）＜0， 当a＞1时，g（a）＞0， ∴a的取值范围为（0，1）．

∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，

【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．

第 15 页，共 16 页

精选高中模拟试卷

第 16 页，共 16 页