例析高等数学背景下的高考数学题
陈增武
福建省龙岩第一中学（364000）
→高考命题的来源，一是各版本的课标教材和试
e=0，满足要求，∴③符合要求；
题；二是往届高考题，这是“借鉴”和“稳定”的需要；
④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法，两
三是教材与《课程标准》的交集已经成为命题的创
个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所
新地带，因为命题者希望试题具有时代气息；四是
以④不符合要求.
以高等数学中的基本思想和基本知识作为问题背
⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法，两个虚数相
景，因为命题组成员大都是高校教师，因此在命题
乘得到的可能是实数，∴⑤不符合要求.
时不可能不受自身学术背景的影响；五是课标课程
综上，G关于运算⊕为“融洽集”的是①③.
高考关注“活题”空间，比如探索性试题、“合情推理”
例2（2007年高考陕西卷）
题、“类比推广”题，等等．
A1，A2，A3}，设集合S={A0，在S上定义运算⊕
高等数学背景下的高考数学题也叫“高观点题”，
为：Ai⊕Aj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，
“高观点题”指与高等数学相联系的问题，这样的问题
i，j=0，，12，3．则满足关系式(x⊕x)⊕A2=A0的
或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用
x(x∈S)的个数为( ) 的数学思想方法，本文将例析这类问题的基本类型
A．1 B．2 C．3 D．4 和相应解法．
解析 本题以抽象代数中的运算系统为背景，考１．以高等数学运算为背景
查学生运用新运算法则解题的能力. 例1（2006年高考四川卷）
①(A0⊕A0)⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0， （1）对任意的a，非空集合G关于运算⊕满足：
∴x=A0不成立. b∈G，都有a⊕b∈G；（2）存在e∈G，都有
②(A1⊕A1)⊕A2=A2⊕A2=A2=A0， a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①G={非负整数}，⊕为整数的加法； ②G={偶数}，⊕为整数的乘法；
③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法； ④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法； ⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法.
其中G关于运算⊕为“融洽集”的是 .（写出所有“融洽集”的序号）
解析 本题源自大学数学专业课中的《近世代数》，给出了一个新的概念“融洽集”，考查学生理解并且会运用此概念来判断以下给出的条件是否满足成为“融洽集”的能力.
①G={非负整数}，⊕为整数的加法，满足任意a，b∈G都有a⊕b∈G，且令e=0，有a⊕0=0⊕a=a，所以①符合要求.
②G={偶数}，⊕为整数的乘法，若存在
∴x=A1成立.
③(A2⊕A2)⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0， ∴x=A2不成立.
④(A3⊕A3)⊕A2=A2⊕A2=A2=A0， ∴x=A3成立，∴满足条件的x只有两个.
2．以高等数学中的基本概念为背景 例3（2006年高考福建卷）
对于直角坐标平面内的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：
|AB|=x2−x1+y2−y1给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则AC+CB=AB； C=90o，则AC+CB=AB； ②在ΔABC中，若∠
③在ΔABC中，AC+CB>AB． 其中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 对于直角坐标平面内的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”：
2
2
2
e∈G，a⊕e=a×e=a，则e=1，矛盾，∴②不符
合要求.
③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法，取
2 福建中学数学 2009年第10期
|AB|=x2−x1+y2−y1，①若点C在线段AB上，设C点坐标为(x0，y0)，x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则AC+CB
=|x0−x1|+|y0−y1|+|x2−x0|+|y2−y0|
解析 ①错．4，5是整数，但45=0.8，0.8不是整数.
②错．设M由有理数集合Q和元素π组成. 则1，π∈M，但是1+π不属于M.
③正确. 设a，b∈P，其中一个必定不等于零，设a≠0.则a−a=0所以0∈P，
a
=1，所以1∈P.a
所以0−1=−1， −1−1=−2， −2−1=−3， …， 所有负整数都属于P，而负整数有无穷多个，所以③正确.
=x2−x1+y2−y1=|AB|． ③在ΔABC中， AC+CB
=|x0−x1|+|y0−y1|+|x2−x0|+|y2−y0| >|(x0−x1)+(x2−x0)|+|(y0−y1)+(y2−y0)|
=x2−x1+y2−y1=|AB|．
∴命题① ③成立，而命题②在ΔABC中，若∠C=90o，则AC
2
b∈Q}中的2④正确.把数域F={a+b2|a，
2
+CB
2
=AB，明显不成立，
故选B.
例4（2007年高考福建卷） 中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“∼”满足以下三个条件：
（1）自反性：对于任意a∈A，都有a∼a； （2）对称性：对于a，b∈A，若a∼b，则有
改为3，5，7，…，仍是数域，有无穷多个.
故应填③④.
例6（2009年高考四川卷）
设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映
a∈V，记a的象为f(a)．若映射射f:V→V，
f:V→V满足：对所有a，b∈V及任意实数λ，μ都
有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
b∼a；
（3）传递性：对于a，b，c∈A，若a∼b，b∼c则有a∼c．
则称“∼”是集合A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立），请你再列出三个等价关系：_____.
解析 本题的答案不唯一，如 “图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”都是等价关系，等等．
例5（2008年高考福建卷）
设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任
a
b∈P，都有a+b、a−b、ab、∈P（除数意a，
b
b≠0），则称P是一个数域，例如有理数集Q是数
①设f是平面M上的线性变换，则f(0)=0；
②对a∈V设f(a)=2a，则f是平面M上的线性变换；
③若e是平面M上的单位向量，对a∈V设
f(a)=a−e，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，a，b∈V，若a，b共线，则f(a)，f(b)也共线．
其中真命题是 ．（写出所有真命题的序号）
解析 令a=b=0，λ=μ=1，
由题有f(0)=2f(0)⇒f(0)=0，故①正确；
由题f(λa+μb)=2(λa+μb)，
λf(a)+μf(b)=2λa+2μb=2(λa+μb)，
即f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)，故②正确；
由题f(λa+μb)=λa+μb−e，
λf(a)+μf(b)=λa−e+μb−e，
即f(λa+μb)≠λf(a)+μf(b)，故③不正确；
由题b=λa， f(0)=f(a−λb)=f(a)−λf(b) =0⇒f(a)=λf(b)，
f(b)也共线，故④正确． 即f(a)，
故应填①③④．
3．以高等数学中的基本结论为背景
b∈Q}也是数域．有下列域，数集F={a+b2|a，
命题：
①整数集是数域；
②若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域.
其中正确的命题的序号是 . （把你认为正确的命题的序号都填上）
2009年第10期 福建中学数学 3 例7（2006年高考广东卷）
设函数f(x)=x−ln(x+m)，其中常数m为整数. （I）当m为何值时，f(x)≥0； （II）定理：若函数g(x)在[a，b]上连续，且
（I）证明λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f(b0)=0；
（II）证明(b−a0)2≤(1−λ2)(a−a0)2； （III）证明[f(b)]2≤(1−λ2)[f(a)]2.
x2∈R，x1≠x2，则由 解析 （I）任取x1，
g(a)与g(b)异号，则至少存在一点x0∈(a，b)，使得g(x0)=0．
试用上述定理证明：当整数m>1时，方程
λ(x1−x2)2≤(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]…①
和|f(x1)−f(x2)|≤|x1−x2|…② 可知λ(x1−x2)2≤(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]
f(x)=0在[e
−m
−m，e
2m
−m]内有两个实根．
+∞)解析 （I）函数f(x)=x−ln(x+m)，x∈(−m，
连续，且f′(x)=1−
1
，令f′(x)=0，得x=1−m． x+m
当x∈(−m，1−m)时， f′(x)<0，f(x)为减函
≤|x1−x2|⋅|f(x1)−f(x2)|≤|x1−x2|2， 从而λ≤1. 假设有b0≠a0，使得f(b0)=0， 则由①式知
数，f(x)>f(1−m)； 当x∈(1−m，+∞)时， f′(x)>0，f(x)为增函数，f(x)>f(1−m).
根据函数极值判别方法，f(1−m)=1−m为极小值，而且对x∈(−m，+∞)都有f(x)≥f(1−m)=1−m，故当整数m≤1时，f(x) ≥1−m≥0．
（II） 由（I）知，当整数m>1时，f(1−m)=1−m<0，函数f(x)=x−ln(x+m)，在
0<λ(a0−b0)2≤(a0−b0)[f(a0)−f(b0)]=0， 矛盾．
∴不存在b0≠a0，使得f(b0)=0． （II）由b=a−λf(a)…③ 可知(b−a0)2=[a−a0−λf(a)]2
=(a−a0)2−2λ(a−a0)f(a)+λ2[f(a)]2…④ 由f(a0)=0和①式，得 (a−a0)f(a)
[e−m−m，e2m−m]上为连续减函数.
f(e−m−m)=e−m−m−ln(e−m−m+m)=e−m>0，
=(a−a0)[f(a)−f(a0)]≥λ(a−a0)2…⑤ 由f(a0)=0和②式知，
当整数m>1时，f(e−m−m)与f(1−m)异号，由所
[f(a)]2=[f(a)−f(a0)]2≤(a−a0)2…⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 (b−a0)2
1−m)，使给定理知，存在唯一的x1∈(e−m−m，f(x1)=0，而当整数m>1时，
f(e2m−m)=e2m−3m>(1+1)2m−3m
2m(2m−1)
>1+2m+−3m>0．
2
（∵m>1⇒2m−1>1，上述不等式也可用数学归纳法证明）
类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x−ln(x+m)，
≤(a−a0)2−2λ2(a−a0)2+λ2(a−a0)2 =(1−λ2)(a−a0)2． （III）由③式可知
[f(b)]2=[f(b)−f(a)+f(a)]2
=[f(b)−f(a)]2+2f(a)[f(b)−f(a)]+[f(a)]2
b−a
[f(b)−f(a)]+[f(a)]2（用②式）≤(b−a)2−2⋅
在[1−m，e−m−m] 上为连续增函数且f(1−m)与f(e
2m
λ−m)异号，由所给定理知，存在唯一的
x2∈[1−m，e−m−m]，使f(x2)=0，故当m>1时，方程f(x)=0在[e−m−m，e2m−m]内有两个实根． 对新定理的理解和运用就是解决本类题型的关
键，其他还有区间套定理、价值性定理、零点定理、函数的一致性定理等为背景命题的．
例8 （2006年高考江苏卷）
已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件：对任意的实数x1、x2，都有λ(x1−x2)2≤(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]和|f(x1)−f(x2)|≤|x1−x2|，其中λ是大于0的常数. 设实数a0、a、b满足f(a0)=0和b=a−λf(a).
λ2
≤λ2[f(a)2−⋅λ⋅(b−a)2+[f(a)]2（用①式）
λ22
=λ[f(a)]−2λ2[f(a)]2+[f(a)]2 =(1−λ2)[f(a)]2．
本题既有高等数学的深刻背景(计算数学中数值逼近的牛顿广义迭代法为背景)，又有数学分析的方
法要求，以抽象函数为载体，考察了函数、不等式的证明等热点问题，涉及的数学思想方法主要有分析法、特值法、反证法、拆项添项法、放缩法、分类讨论法等，尤其需要考生具备很高的分析问题的
=λ2[f(a)]2−
2
(b−a)[f(b)−f(a)]+[f(a)]2
4 福建中学数学 2009年第10期
能力.
高观点题起点高，但落点低，也就是所谓的“高题低做”，即试题的设计来源于高等数学，但解决的
方法是中学所学的初等数学知识，所以并没将高等数学引进高中教学．教师和学生不必惊慌，只要坦然面对，就容易突破．
福建省教育厅重点课题《新课程背景下高考数学命题改革》研究成果（三十三）
关注高考课标试卷 典例评析创新试题
罗宗益 黄 椿
福建省连城第一中学（366200）
f(x2)−f(x1)随着课标课程实施的不断深入，2009年有八省
即有−α<<α，
x2−x1一市一区采用了课标数学高考试卷，这些高考课标
试卷在一定程度上体现了课标课程的基本理念，体f(x2)−f(x1)
令=k，有−α 识的命题原则，体现了高考服务于课程改革的指导不妨设f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2， 思想，因而出现了一些耳目一新和让人回味的创新即有−α1 生全国统一考试福建省数学（理科）考试说明》（以 评注 本题给出了集合满足新条件的新定义问 下简称《考试说明》）的解读，对今年高考课标试卷 题，设计独特，求解此题时应明确f(x)∈Mα满足的 中的一些典型的创新试题给予解析并加以评注，供 条件，将f(x)+g(x)表示成Mα1+α2具有的形式． 复习参考．为行文篇幅所限，本文列举的部分解答 例2（2009年高考福建卷・理16） 题略去详细解答过程． 从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地．．．．1．新情境，强调能力立意 《考试说明》指出：“以能力立意命题”是数学的取出一个．（1）记性质r：集合中的所有元素之和为学科特点和考试目标所决定的．高考对能力的考查，10，求所取出的非空子集满足性质r的概率． 应以抽象概括能力、推理论证能力为重点，全面考（2）记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求查各种能力，强调综合性、应用性，切合考生实际． ξ的分布列和数学期望Eξ． 例1（2009年高考浙江卷・理10） 解析（略）． 对于正实数α，记Mα为满足下述条件的函数评注 本题给出记性质r的新定义问题，对学生x2∈R且x2>x1， f(x)构成的集合：∀x1， 有−α(x2−x1) B．若f(x）∈Mα1，g(x)∈Mα2且g(x)≠0，则 f(x) ∈Mα1 g(x)α2 C．若f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2，则 f(x)+g(x)∈Mα1+α2 D．若f(x)∈Mα1,g(x)∈Mα2且α1>α2，则 f(x)−g(x)∈Mα1−α2 解析 对于−α(x2−x1) 问题既是思维的起点也是解题的关键．因此看来学好高中数学也需阅读．阅读在语文中就要抓住精炼的或生动形象的词与句，而在数学中，则应抓住关键的词语，解题时应关注这一点． 2．新背景，强化应用意识 《考试说明》指出：应用意识的培养与考查是时代的需要，是教育改革的需要，同时也是数学科的特点所决定的．应用性问题主要是考查数学知识的实际应用．应用题的设计应贴近生活，联系实际，具有强烈的现实意义． 例3（2009年高考广东卷・理7） 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容