广州二中应元学校数学平面图形的认识(一)单元达标训练题(Word版 含答案)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．问题情境1:如图1,AB∥CD,P是ABCD内部一点,P在BD的右侧,探究∠B,∠P,∠D之间的关系?

小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论)

问题情境2

如图3,AB∥CD,P是AB,CD内部一点,P在BD的左侧,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论)

问题迁移:请合理的利用上面的结论解决以下问题: 已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F （1）如图4,若∠E=80°,求∠BFD的度数；

（2）如图5中,∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论。

（3）若∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,设∠E=m°,用含有n,m°的代数式直接写出∠M=________.

【答案】 （1）解：根据问题情境2，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF ∵,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F ∴∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE ∴∠FBE+∠FDE=∠BFD

∵∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360° ∴80°+∠BFD+∠BFD=360° ∴∠BFD=140°

（2）结论为：6∠M+∠E=360°

证明：∵∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF ∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM

∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F ∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM ∵∠ABE+∠CDE+∠E=360° ∴6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360° ∵∠M=∠ABM+∠CDM ∴6∠M+∠E=360°

（3）证明：根据（2）的结论可知 2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360° 2n（∠ABM+∠CDME）+∠E=360° ∵∠M=∠ABM+∠CDM ∴2n∠M+m°=360° ∴∠M=

【解析】问题情境1: 图1中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P+∠B+∠D=360°，问题情境2：图3中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P=∠B+∠D；

【分析】问题情境1和2 过点P作EP∥AB，利用平行线的性质，可证得结论。

（1）利用问题情境2的结论，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF，再根据角平分线的定义得出∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE，再证明∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°，就可建立方程80°+∠BFD+∠BFD=360°，解方程求出∠BFD的度数即可。

（2）根据已知可得出∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，再根据角平分线的定义得出，∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，然后根据问题情境1的结论∠ABE+∠CDE+∠E=360°，可推出6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°，变形即可证得结论。

（3）根据已知得出2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°，再根据∠M=∠ABM+∠CDM，代入变形即可得出结论。

2．如图（1），将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起．

（1）试判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由； （2）若∠DCE=30°，求∠ACB的度数；

（3）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；

（4）若改变其中一个三角板的位置，如图（2），则第（3）小题的结论还成立吗？（不需说明理由）

【答案】 （1）解：∠ACE=∠BCD，理由如下： ∵∠ACD=∠BCE=90°，∠ACE+∠ECD=∠ECB+∠ECD=90°， ∴∠ACE=∠BCD

（2）解：若∠DCE=30°，∠ACD=90°， ∴∠ACE=∠ACD﹣∠DCE=90°﹣30°=60°， ∵∠BCE=90°且∠ACB=∠ACE+∠BCE， ∠ACB=90°+60°=150°

（3）解：猜想∠ACB+∠DCE=180°．理由如下： ∵∠ACD=90°=∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE=360°， ∴∠ECD+∠ACB=360°﹣（∠ACD+∠ECB）=360°﹣180°=180°

（4）解：成立

【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等即可求证；

（2）根据余角的定义可先求得∠ACE=∠ACD-∠DCE，再由图可得∠ACB=∠ACE+∠BCE，把 ∠ACE和∠BCE 的度数代入计算即可求解；

（3）由图知，∠ACB=∠ACD+∠BCE-∠ECD，则∠ACB+∠ECD=∠ACD+∠BCE，把∠ACD和∠BCE的度数代入计算即可求解；

（4）根据重叠的部分实质是两个角的重叠可得。。

3．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，另一边ON仍在直线AB

的下方．

（1）若OM恰好平分∠BOC，求∠BON的度数；

（2）若∠BOM等于∠COM余角的3倍，求∠BOM的度数； （3）若设∠BON＝α（0°<α<90°），试用含α的代数式表示∠COM． 【答案】 （1）解： ∵∠BOC=120° ，OM恰好平分 ∠BOC ∴∠BOM=∠BOC=60° 又 ∵∠MON=90° ∴∠BON=∠MON−∠BOM =90°−60°=30°

（2）解：设 则 由题意得： x=15, 3x=45， 所以 （3）解：

的度数为45°

（0°< <90°）．

．

【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠BOM的度数，再根据∠BON=∠MON−∠BOM，即可求出结果。

（2）设∠ C O M 的余角为x°，表示出∠COM的度数，再根据∠BOM=∠COM余角的3倍，建立方程求解即可。 （3）根据角的和与差计算即可。

的余角为x°，

，

4．根据下图回答问题：

（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM=90°，请判断AB与CD的位置关系并说明理由；

（2）如图2，当∠M=90°且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当直角顶点M移动时，问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；

（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持（1）中的不变，当点H在射线CD上运动时（点C除外）∠CGH+∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．

【答案】 （1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM， ∵∠MAC+∠ACM=90°， ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∴AB∥CD；

（2）∠BAM+∠MCD=90°， 理由：如图，过M作MF∥AB， ∵AB∥CD， ∴MF∥AB∥CD，

∴∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM， ∵∠M=90°，

∴∠BAM+∠MCD=90°；

（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH． 理由：过点G作GP∥AB， ∵AB∥CD ∴GP∥CD，

∴∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH， ∴∠PGC=∠CHG+∠CGH， ∴∠BAC=∠CHG+∠CGH．

【解析】【分析】（1）已知CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，再由∠MAC+∠ACM=90°，即可得∠BAC+∠ACD=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD=90°，过M作MF∥AB，即可得MF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，再由∠M=90°，即可得∠BAM+∠MCD=90°；（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH，过点G作GP∥AB，即可得GP∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，所以PGC=∠CHG+∠CGH，即可得∠BAC=∠CHG+∠CGH．

5．已知，

与

两角的角平分线交于点P，D是射线 上一个动点，过点D的

直线分别交射线 ， ， 于点E，F，C.

（1）如图1，若 （2）如图2，若 关系：________.

【答案】 （1）解：∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线， ∴∠BAP=∠PAE= ∠BAM= ∠ABP=∠PBE= ∠ABN= ∴∠BPC=∠BAP+∠ABP=

， ；

，理由如下：

，

，

， ，

， ，请探索

与

， ，

，求

的度数；

的数量关系，并证明你的结论；

与

这三个角之间满足的数量

（3）在点 运动的过程中，请直接写出

（2）解： ∴设 ∵

∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线，

∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴

， ，

，

，

，

；

，

，

，

，

（3）∴设 ∵ ∴

如图，当点P在线段BD上时，

【解析】【解答】解：（3）∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线，

，

∴

；

如图，当点P在线段BD的延长线上时，

，即

∴ 即 故答案为： （2）设

内角和定理即可求解；

（3）分点P在线段BD上和点P在线段BD的延长线上两种情况讨论即可求解.

， ；

.

，根据角平分线的性质结合四边形 ，

，

【分析】（1）根据角平分线的性质结合三角形外角的性质即可求解；

6．如图，已知DC∥FP，∠1=∠2，∠FED=28°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG.

（1）说明：DC∥AB； （2）求∠PFH的度数. 【答案】 （1）证明:∵DC∥FP， ∴∠3=∠2，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠1， ∴DC∥AB

（2）解:∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF=30°， ∴∠DEF=∠EFP=30°，AB∥FP， 又∵∠AGF=80°， ∴∠AGF=∠GFP=80°，

∴∠GFE=∠GFP+∠EFP=80°+30°=110°， 又∵FH平分∠EFG， ∴∠GFH= ∠GFE=55°，

∴∠PFH=∠GFP﹣∠GFH=80°﹣55°=25°

【解析】【分析】 （1）根据二直线平行，同位角相等得出 ∠1=∠3，根据同位角相等，两直线平行得出DC∥AB；

（2）根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥FP，根据二直线平行，内错角相等得出

， 即可算出答案。

，根据角的和差，由

， 又∠1=∠2，故

算出∠GFE的度数，根据角平分线的定义得出∠GFH的度数，最后

根据

7．如图，已知AM//BN，∠A=600.点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN.

（1）求∠ABN的度数

（2）当点P运动时，∠CBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数。若变化，请写出变化规律.

（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数。 【答案】 （1）证明：∵AM//BN

∴∠A+∠ABN=180° ∵∠A=60°

∴∠ABN=180°−∠A=180°−60=120°

（2）解：如图，

没有变化。

∵CB平分∠ABP, BD平分∠PBN ∴∠1= ∠ABP, ∠2= ∠PBN ∴∠CBD=∠1 +∠2 =

∠ABP+∠PBN）

= ×1200=600

（3）解：如图，

∵AM//BN ∴∠ACB=∠CBN ∵∠ACB=∠ABD ∴∠CBN=∠ABD

∴∠CBN−∠CBD=∠ABD−∠CBD 即∠1=∠4

又∵CB平分∠ABP, BD平分∠PBN ∴∠1=∠2 ∠3=∠4

∴∠1=∠2=∠3=∠4=120°÷4=30° 即∠ABC=30°

【解析】【分析】 (1) 根据两直线平行，同旁内角互补即可求出答案； (2) 根据角平分线的性质以及角度相加减即可得证；

(3) 根据两直线平行，同旁内角互补以及已知条件得到 ∠CBN=∠ABD ，根据角度的相加减得到 ∠1=∠4 ，再根据角平分线的性质得到 ∠1=∠2=∠3=∠4 ，最后根据 ∠ABN=120° 即可得到答案.

8．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°.

（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD.当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由； （3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为________.

【答案】 （1）解：AB∥CD；理由如下： ∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE， ∵∠EAC＋∠ACE＝90°， ∴∠BAC＋∠ACD＝180°， ∴AB∥CD

（2）解：∠BAE＋ ∠MCD＝90°；理由如下： 过E作EF∥AB，如图2所示：

∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD，

∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE， ∵∠AEC＝90°， ∴∠BAE＋∠ECD＝90°， ∵∠MCE＝∠ECD ∴∠ECD＝ ∠MCD

∴∠BAE＋ ∠MCD＝90°

（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP

【解析】【解答】解：（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP；理由如下： ∵AB∥CD，

∴∠BAC＋∠ACD＝180°， ∵∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°， 即（∠CPQ＋∠CQP）＋∠ACD＝180°， ∴∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP. 故答案为：∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP.

【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，推出∠BAC＋∠ACD＝180°，即可得出结论；

（2）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，得出∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，由∠AEC＝90°，推出∠BAE＋∠ECD＝90°，∠ECD＝ ∠MCD，得出∠BAE＋ ∠MCD＝90°； （3）由平行线的性质得出∠BAC＋∠ACD＝180°，由三角形内角和定理得出∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，即可得出结果.

9．如图，直线

，点E、F分别是AB、CD上的动点（点E在点F的右侧）；点M为

线段EF上的一点，点N为射线FD上的一点，连接MN；

（1）如图1，若 （2）作

，

，则 ，求

与

，

________；

之间的数量关系；

；求

的角平分线MQ，且

（3）在（2）的条件下，连接EN，且EN恰好平分

的度数. 【答案】 （1）60° （2）解：如图，

∵ ∵

， ，AB∥CD，

∴∠EMQ=∠AEF， ∴MQ∥CD， ∴∠NMQ=∠MNF， ∵MQ平分∠EMN， ∴∠EMQ=∠NMQ， ∴

=

；

（3）解：设∠ENM=x，则∠MNF=2x，

∴∠ENF=3x， ∵AB∥MQ， ∴∠BEN=∠ENF=3x， ∵EN平分∠BEF， ∴∠BEF=2∠BEN=6x，

∵∠AEF=∠MNF=2x，∠AEF+∠BEF=180°， ∴2x+6x=180°， 解得x=22.5°， ∴

，∠EFN=∠AEF=∠MNF=45°，

∴∠EMN=∠EFN+∠MNF=90°.

【解析】【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD=180°， ∵

∴∠EFD=30°， ∵

，

∴∠NMF=90°，

∴∠MNF=180°-∠NMF-∠EFD=60°，

,

故答案为：60°；

【分析】（1）根据AB∥CD得到∠BEF+∠EFD=180°，由 根据

求出∠EFD=30°，

得到∠NMF=90°，再利用三角形的内角和定理得到∠MNF=180°-∠NMF- 得到∠EMQ=∠AEF，由

，AB∥CD推出MQ∥CD，证

=

∠EFD=60°；（2）根据

得∠NMQ=∠MNF，根据角平分线的性质得到∠EMQ=∠NMQ，即可得到

；（3）设∠ENM=x，则∠MNF=2x，根据AB∥MQ得到∠BEN=∠ENF=3x，由EN平分∠BEF，证得∠BEF=2∠BEN=6x，再根据∠AEF=∠MNF=2x，∠AEF+∠BEF=180°，列式求出x=22.5°，即可求出∠EMN=∠EFN+∠MNF=90°.

10．如图1，将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O，其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边OA上，已知∠ABO=∠DCO=90°，∠AOB=45°，∠COD=60°作∠AOD的平分线交边CD于点E。

（1）求∠BOE的度数。

【答案】 （1）解：∵∠COD=60°，OE为∠COD的平分线， ∴∠COE=30°， ∴∠BOE=∠AOB+∠COE =45°+30° =75°；

（2）如图2，若点C不落在边OA上，当∠COE=15°时，求∠BOD的度数。

（2）解：∵∠COE=15°，

∴∠DOE=∠DOC-∠OCE=60°-15°=45°， ∵OE平分∠AOD，

∴∠AOD=2∠DOE=2×45°=90°， ∴∠BOD=∠AOD+∠AOB=90°+45°=135°.

【解析】【分析】（1）OE为∠COD的平分线，求出∠COE的度数，则∠BOE的度数等于∠AOB和∠COE的度数之和；

（2）现知∠COE的度数，则∠DOE度数可求，结合OE平分∠AOD，则∠AOD可求，于是∠BOD的度数可得；

11．如图①，点 为直线

上一点，过点 作射线

，使

，将一直角三

角板的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的上方.

（1）在图①中，

________度；

在

的内部，如图②，

（2）将图①中的三角板绕点 按逆时针方向旋转，使得 若

，求

的度数；

的速度沿逆时针方向旋转一

时，旋转的时间是________秒.（直

（3）将图①中的三角板绕点 以每秒 周，在旋转的过程中，当直线 接写出结果） 【答案】 （1）30 （2）解：设∠BON=α， ∵∠BOC=60°， ∴∠NOC=60°-α， ∵∠MON=90°，

∴∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α， ∠MOA=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α， ∵∠NOC= ∠MOA， ∴60°-α= （90°-α）， 解得：α=°， 即∠BON=°；

恰好平分锐角

（3）3或21

【解析】【解答】（1）∵将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OB上，另一边OM在直线AB的上方， ∴∠MON=90°，

∴∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°，（3）∵直线ON平分∠BOC，∠BOC=60°， ∴∠BON=30°或∠BON=210°，

∵三角板绕点O以每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周， ∴直线ON平分∠BOC时，旋转的时间是3或21秒， 故答案为：3或21.

【分析】（1）由题意得出∠MON=90°，得出∠COM=∠MON-∠BOC=90°-60°=30°；（2）设∠BON=α，则∠NOC=60°-α，∠MOC=∠MON-∠NOC=90°-60°+α=30°+α，∠MOA=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-α=90°-α，由题意得出60°-α= （90°-α），解得α=°即可；（3）求出∠BON=30°或∠BON=210°，即可得出答案．

12．以直线 在点 处.

上点 为端点作射线

，使

，将直角

的直角顶点放

（1）若直角 （2）将直角

的边 在射线 上（图①），求 绕点 按逆时针方向转动，使得

的平分线； 绕点

按逆时针方向转动到某个位置时，恰好使得

的度数.

，

的度数； 所在射线平分

（图②），

说明 所在射线是 （3）将直角

（图③），求

【答案】 （1）解：∵ 又∵ ∴

. ，

（2）解：∵ 平分 ∴ ∵ ∴ ∴

， ，

，

，

， ，

∴ 所在直线是

的平分线.

（3）解：设 ∵

，

，则

，

，解得x=10，

，

①若∠COD在∠BOC的外部， ∴

∴∠COD=10°， ∴∠BOD=60°+10°=70°； ②若∠COD在∠BOC的内部，

，解得x=30，

∴∠COD=30°， ∴∠BOD=60°-30°=30°； 即 ∴

或 或

， .

【解析】【分析】（1）代入∠BOE=∠COE+∠COB求出即可；（2）求出∠AOE=∠COE，根据∠DOE=90°求出∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，推出∠COD=∠DOB，即可得出答案；（3）要分情况讨论，一种是∠COD在∠BOC的内部，另一种是∠COD在∠BOC的外部，再根据平角等于180°可通过列方程求出即可．