九 年 级 数 学 试 卷
全卷满分120分，考试时间共120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题意）
1．︱－32︱的值是（ ） A．-3
B． 3
C．9
D．-9
x－2
中，自变量x的取值范围是（ ） x
B．x≥2
C．x＞2且x≠0
D．x≥2且x≠0
2．函数y = A．x≠0 有（ ）
3．由一些大小相同的小正方体组成的几何体的三视图如图1所示，那么组成这个几何体的小正方体A．6块
B．5块 C．4块
D．3块
主视图俯视图左视图 4．在等腰△ABC中，一腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点G，若已知AB＝10，△GBC的周长为17，则底BC的长为（ ）
A．10
B．9
C．7 C．10
D．5 D．6
图1
5．若α、β是方程x2－4x－5＝0的两个实数根，则α2＋β2的值为（ ） A．30
B．26
6．某校九（3）班的全体同学喜欢的球类运动用如图2所示的统计图来表示，下面说法正确的是（ ）
A．从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数； B．从图中可以直接看出全班的总人数；
C．从图中可以直接看出全班同学初中三年来喜欢各种球类的变化情况； D．从图中可以直接看出全班同学现在喜欢各种球类的人数的大小关系 则BD的长是（ ）
A．16
B．18
C．20
D．22
8．如图4，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a，b），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（ ）
A．（-a，-2b）
B．（-2a，-b）
C．（-2a，-2b） D．（-b，-2a）
图2
7．如图3，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，AB⊥AC，若AB=8，AC=12，
篮球 25% 足球 30% 乒乓球 25% 排球 20% O B 图3 C
图4
9．已知二次函数y=ax2+bx+（ca≠0）的图象如图5所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1且为实数），其中正确的个数是（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
10．如图6，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点、AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为（ ）
4πA．－2
3
4πB．
3y
2πC．
3
2πD．－2
3
A -1 0 1 x B 图6 F E 图7 D C 图5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分。）
11．某汽车参展商为参加中国（成都）国际汽车博览会，印制了105000张宣传彩页，105000这个数字用科学记数法表示为 ___ .
12．如图7，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长是 __ . 13．某篮球兴趣小组五位同学的身高（单位：cm）如下：175、175、177、x、173，已知这组数据的平均数是175，则这组数据的方差是 .
14．如图8所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC＝ ____ .
15．如图9，给正五边形的顶点依次编号为1、2、3、4、5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”. 如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→l为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次5 2 O C B 1 A P 图8 “移位”.若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为 _______ .
16．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需630元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需840元，现购甲、乙、丙各一件共需 ___ 元.
4 图9 3 三、解答题（共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分8分）
1（ 1）计算：6.282+－2cos60°
602x2－4x＋41
(2)先化简（1－）÷2，并求当x满x2－6=5x时该代数式的值.
x－1x－1
18.（本小题满分8分）如图10，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1∶3，点P、H、B、C、A在同一平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC，
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于 度.
（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米.参考数据3≈1.732）
19.（本小题满分8分）小明与他的父亲、母亲计划五一期间外出旅游，初步选择了广安、绵阳、泸州、眉山四个城市，由于时间仓促，他们只能去一个城市，到底去哪一个城市三个人意见不统一，在这种情况下，小明父亲建议，用小明学过的摸球游戏来决定，规则如下：
①在一个不透明的袋子中装一个红球（广安）、一个白球（绵阳）、一个黄球（泸州）和一个黑球（眉山），这四个球除颜色不同外，其余完全相同；
②小明父亲先将袋中球摇匀，让小明从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小明母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色；
③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两人所摸出求的颜色相同为止．
按照上面的规则，请你解答下列问题：
（1）已知小明的理想旅游城市是绵阳，小明和母亲随机各摸球一次，请用画树状图求出他们均摸出白球的概率.
（2）已知小明母亲的理想旅游城市是泸州，小明和母亲随机各摸球一次，则他们至少有一人摸出黄球的概率是多少？
k1
20. (本小题满分8分) 如图11，已知反比例函数y1=（k1﹥0）与一次函
x
B 图11 A O C x y 图10
数y
2
=k
2
x＋1（k
2
≠0）相交于A、B两点，AC⊥x
轴于点C，若△OAC的面积为1，且tan∠AOC=2.
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？ 21.（本小题8分）已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时(如图12)，易证BM＋DN＝MN．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图13)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图14的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并加以证明．
A D N N B M 图12 C B B M 图13 C M 图14 C N A D A D 22.（本小题满分10分）某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发现，当每套设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元．设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y（元）.
（1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费用
（2）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由.
（3）当x为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益为多少？ 23.（本小题满分10分）如图15，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.
（1）求证：PC是⊙O的切线； 1
（2）求证：BC=AB；
2
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.
A C O N M B P 图15
24.（本小题满分12分）如图16，抛物线y＝ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积为3时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）.问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案及评分意见
y C E B O Q D A x 图16
一、 选择题
1—5 CBBCB 6—10 DCCBC
二、填空题
11．1.05×105 12．4 13．1.6 14．20° 15．3 16．210
三、解答题
17．（1）解：原式=1+36﹣1……………2分
=36； ………………3分 x-2(x+1)(x-1)
(2)解：原式 =· ··············································································· 2分
x-1(x-2)2x+1
= ······························································································ 3分
x-2
方程x2-6=5x的解为：x1=6 x2=-1 ········································································ 4分
6+17
∵x=-1时分式无意义 ，∴当x=6时，原式== ···················································· 5分
6-24
18．解：（1）30. ································································································ 2分 （2）在Rt△BHP中，∠PBH=600， PHPH30∵=sin∠PBH，∴PB===203 ···················································· 4分 PB sin∠PBHsin60°在△ABP中，∠APB=60°-15°=45°， ∠ABP=180°－∠PBH－∠ABC=180°－60°－30°=90° ····················································· 5分 ∴△ABP是等腰直角三角形， ·············································································· 6分 ∴AB=PB=203≈34.6（米） ··················································································· 7分 答：A、B两点间的距离约为34.6米. ····································································· 8分
19．解：（1）画树状图得：
······································ 4分
∵共有16种等可能的结果，小明和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的只有1种情况，
1
∴小明和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是：； ········································· 6分
16
（2）由（1）得：共有16种等可能的结果，小明和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的有7种情况，
7
∴小明和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是：． ····························· 8分
16
20．解：（1）在Rt△OAC中，设OC=m，
AC
∵tan∠AOC==2，∴AC=2×OC=2m，
OC11
∵S△OAC=×OC×AC=×m×2m=1，
22
∴m2=1，∴m=±1（负值舍去）， ∴A点的坐标为（1，2）， ····················································································· 2分
k1
把A点的坐标代入y1=中，得k1=2，
x
2
∴反比例函数的表达式为y1=， ············································································· 3分
x
把A点的坐标代入y2=k2x＋1中，得k2+1=2，∴k2=1， ∴一次函数的表达式y2=x+1； ················································································ 4分 （2）B点的坐标为（-2，-1）， ·············································································· 6分 当0＜x＜1和x＜-2时，y1＞y2. ············································································· 8分
21．解：(1)BM＋DN=MN成立． ············································································· 1分 如下图1，在MB的延长线上，截得BE=DN，连接AE， 易证：△ABE≌△AND，∴AE=AN． ······································································· 2分
A D A D F N E B M 图1 C B M 图2 C N ∴∠EAB=∠NMD．∴∠BAD=90°,∠NAM=45°
∴∠BAM+∠NMD=45°．∴∠EAB+∠BAM=45°．∴∠EAM=∠NAM 又AM为公共边，∴△AEM≌△ANM ， ∴ME=MN，∴ME=BE＋BM=DN＋BM.
∴DN+BM=MN. ································································································· 4分 (2)DN－BM＝MN． ······························································································ 5分 理由如下：
如图2，在DC上截取DF=BM，连接AF．
∵AB=AD，∠ABM=∠ADF=90°，∴△ABM≌△ADF （SAS）
∴AM=AF，∠MAB=∠FAD． ················································································· 6分 ∴∠MAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．
又∠MAN=45°，∴∠NAF=∠MAN=45°．∵AN=AN，∴△MAN≌△FAN．∴MN=FN，
即 MN=DN－DF=DN－BM； ················································································· 8分
x－270
22．解：（1）未租出的设备为套，所有未出租设备支出的费用为（2x－540）元； ··· 2分
10
x－2701
（2）∵y=(40－)x－（2x－540）=-x2+65x+540；············································· 4分
1010
∴当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；
当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套． ·················· 5分
因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场占有率，应该选择37套；··············································································· 6分
11
（3）由（2）知y＝-x2+65x+540=- （x-325）2＋11102.5 ······································· 7分
1010
∴当x=325时，y有最大值11102.5．但是当月租金为325元时，出租设备的套数为34.5套，而34.5不是整数 ················································································································· 8分
故出租设备应为34（套）或35（套）．即当月租金为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元．…………………………10分
C
23．解：如图3（1）∵OA=OC，∴∠A=∠ACO， 又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
A P ∴∠A=∠ACO=∠PCB，又∵AB是⊙O的直径， B O N ∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°， ∴∠PCO=90°，即OC⊥CP，
M 图3 而OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；.............................（3分） （2）∵AC=PC，∴∠A=∠P， ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P，
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
1
∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC，∴BC=AB； ····························································· 6分
2
（3）连接MA，MB， ∵点M是弧AB的中点， ∴
，∴∠ACM=∠BCM，∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM，
BMMN
又∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB，∴＝， ············································ 8分
MCBM
∴BM2=MN·MC， 又∵AB是⊙O的直径，，∴∠AMB=90°，AM=BM，
y ∴AB=4，∴BM=22，∴MN·MC=BM2=（22）2=8 ·················································· 10分 C 1016a8aca24．解：（1）由题意，得 ，解得2，
4cc41
∴所求抛物线的解析式为y＝-x2+x+4
2
（2）如图4，设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于1
点G，由-x2+x+4＝0，
2
得x1=-2，x2=4,
∴点B的坐标为（-2，0） ，∴AB=6，BQ= m +2 ∵QE∥AC， ∴△BQE∽△BAC ， ∴
EGBQEGm+22m+4= 即=，∴EG=………….5分 COBA463
E B G O y C Q D A x 图4 F E P l B G O Q M D 图5 A x 11∴ S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝BQ·CO－BQ·EG
22
12m+41228=(m+2)(4－) =-m+m+=3, 23333
∴ m2－2m－8＝-9, ∴m=1 ∴Q(1，0) ·································································· 7分
（3）存在 ·········································································································· 8分 在△ODF中，
①若DO=DF，∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD=OD=DF=2,
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，∴∠OAC= 45° ∴∠DFA=∠OAC= 45°∴∠ADF=90° 此时，点F的坐标为（2，2）
由12xx42，得x1=1＋5，x2=1－5 2此时，点P的坐标为：P(1＋5，2 )或P(1－5，2 )
······················································································································· 9分 ②如图5，若FO=FD，过点F作FM⊥ 轴于点M，
1
由等腰三角形的性质得：OM＝OD＝1,∴AM=3
2
∴在等腰直角三角形△AMF中，MF=AM=3 ∴F(1，3) 1
由-x2+x+4＝3，得x1=1＋3，x2=1－3 2
此时，点P的坐标为：P(1＋3，3)或P（1－3，3) ………………………………10分
③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，∴AC= 42
∴点O到AC的距离为22，而OF=OD=2＜22
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形. ··································· 11分
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形.所求点P的坐标为：
P(1＋5，2 )或P(1－5，2 )或P(1＋3，3)或P（1－3，3)…………………………12分
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