知识讲解 平抛运动(基础)

编稿：李传安 审稿：张金虎

【考纲要求】

1、掌握平抛运动的条件和轨迹；

2、掌握平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动； 3、知道平抛运动的运动规律；

4、理解平抛运动是一种匀变速曲线运动。 【知识络】

【考点梳理】 考点一、平抛运动

1、定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动叫做平抛运动。

2、性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。 3、研究方法：

（1）平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动。分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动合成的方法进行合成。

（2）可独立研究竖直方向上的运动：竖直方向上为初速度为零的匀变速直线运动ag。 连续相等时间内竖直位移之比为1:3:5:(2n1) (n0,1,2,) 。

2连续相等时间内竖直位移之差为一恒量。ygT

2要点诠释：ygT 在处理实验题时极其重要。竖直方向上是自由落体运动，加速度就

是g，T是相等的时间间隔，与xv0T 结合求解。

4、平抛运动的规律

设平抛运动的初速度为v0，建立坐标系如图所示。

22（1）速度公式：vxv0 vygt vtvxvy

速度与水平方向的夹角为 tangt v0（2）位移公式： xv0t y12gt S21x2y2(0v)t2(2g2t) 2

ygt2gt速度与位移方向的夹角为 tan x2v0t2v0（3）轨迹： y121x2ggtg()2x2 （抛物线的一个单支） 22v02v0（4）运动时间和射程

要点诠释：平抛运动的物体从高度为h的地方抛出，飞行时间：t的高度有关。射程xv0tv02h，只与竖直下落g2h 取决于竖直下落的高度和初速度。 g（5）两个重要推论

推论1：瞬时速度vt的反向延长线一定通过水平位移x的中点。

推论2：tan2tan 速度偏向角的正切等于位移偏向角的两倍。

gtyg2t2tann由 tan 所以 tan  tax2xvxv0gt2v011v0tx 可证得：x2gt22

vy5、平抛运动中速度变化量的方向

平抛运动是匀变速曲线运动，故相等时间内速度变 化量相等，且必沿竖直方（gvt）如图所示。任意两时刻的速度与速度变化量v构

成直角三角形，v沿竖直方向。平抛运动的速率并不随时间均匀变化，但速度随时间是均匀变化的。

考点二、类平抛运动 类平抛运动：

有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动。对这种运动，像平抛又不是平抛，通常称作类平抛运动。 要点诠释：1、类平抛运动的受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。

2、类平抛运动的运动特点：在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a度a不同而已。例如某质点具有竖直向下的初速度同时受到恒定的水平向右的合外力，如图所示。则质点做沿x轴的匀速运动和沿y轴的初速度为零的匀加速直线运动，运动规律与平抛运动相同。

考点三、探究平抛运动的规律

如图所示，以O点为原点画出竖直向下的y轴和水平向右的x轴，并在曲线上选取A、B、C、D、E、F六个不同的点，用刻度尺和三角板测出它们的坐标x和y，用公式xv0t

F合。 类平抛运动的处理方法与平抛运动一样，只是加速my12gt 计算出小球的初速度v0，最后计算出v0的平均值。 2

位置 A B C D E F x值/cm y值/cm v0 v0的平均值

【典型例题】

类型一、平抛运动的规律应用 【高清课堂：平抛运动例2】

例1、 从倾角为的斜面上的A点以速度v0水平抛出一个物体，飞行一段时间后，落到斜面的B点，AB=75m，37，求v0、vB。（取sin370.60，cos370.80，g取10m/s2）

【答案】v020m/s v36.1 m/s【解析】物体做平抛运动，物体位移S=AB=75米，将S分解为水平位移x，竖直位移y。

 xScos3760m ySsin374m5

由y2y245123s gt 得 t2g10x6020m/s t3由xv0t 得 v0222vygt 所以 vvxvyv0(gt)21013m/s36.1m/s

【总结升华】求解基本的平抛运动问题时，主要应用水平方向和竖直方向的运动规律，本题给的已知条件抛出点到落点的距离，即在斜面上的长度，当然应该先求出物体的水平位移和竖直位移。如果条件还不够，可以再找出几何关系：tany。 x举一反三

【变式1】如图所示，在倾角为θ的斜面顶端P点以初速度v0水平抛出一个小球，最后落在斜面上的Q点。

（1）求小球在空中运动的时间、落到Q点的速度，以及PQ间的距离； （2）小球抛出多长时间离开斜面的距离最大？

v0 Q θ

【答案】 （1）t P 2v0tan、vv014tan2 g22v0tanvtans （2） 0

gcos g【解析】 (1) xv0t y12gt 212gt2vtany2tan t0

gxv0tn 因为 vygt20vta所以落到Q点的速度 v设P、Q间距离为 s s22v0vy2v014tan

2vtanx0 cosgcos（2）当小球离斜面最远时，即速度方向与斜面平行，时间为t

tanvyv0vtangt 所以 t0

gv0【变式2】（2016 福建模拟）如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y

轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b、c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（ ）

A. a的飞行时间比b的长 B. b和c的飞行时间相同 C. a的水平速度比b的小 D. b的初速度必c的大

【答案】BD

【解析】由图像可以看出，bc两个小球的抛出高度相同，a的抛出高度最小，根据

t2h可知，a的运动时间最短，bc运动时间相等，A错，B正确；由图像可以看出，abcgx，所以a的初速度最t三个小球的水平位移为a的最大，c的最小，根据x=v0t可知，v0大，c的初速度最小，C错，D正确。

故选BD。

【高清课堂：平抛运动例5】

例2、距离地面3000m高空的飞机以100m/s的水平速度做直线飞行，飞机每隔2s落下一个重物，当第5个重物体离开飞机时，第二个和第三个重物之间的水平距离是________，竖直方向上的距离是________。（g取10m/s） 【答案】0 ； 100米。

【解析】重物离开飞机后以v100m/s的速度做平抛运动，水平方向匀速运动，与飞机的速度相同，所以物体在飞机的正下方，在落地前几个物体排成一条竖直的直线。但要注意第五个重物离开飞机时，第一个重物落地了没有，简单计算一下，h21g82320m（第一2个下落了8秒），小于3000米，没有落地。所以第二个和第三个重物之间的水平距离为零。 求竖直方向上的距离：

解法一：第二个重物下落了三个2s，时间为6s，第三个重物下落了两个2s，时间为4s 所以第二个和第三个重物竖直方向上的距离 h11g62g42100m。 22解法二：重物竖直方向做自由落体运动，根据匀变速直线运动的规律：在相等的时间内的位

1g2220m，第二个和第三个重物之间2竖直方向上的距离对应的是5，所以距离为20m5100m。

移之比为：1:3:5，这里1所对应的距离为

【总结升华】平抛运动相互垂直的两个方向的分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另外一个运动的存在而受到影响；两个分运动和其合运动具有等时性。 类型二、 平抛运动的临界问题

解决这类问题的关健有三点：其一是确定运动性质——平抛运动；其二是确定临界状态；其三是确定临界轨迹——轨迹示意图。这类题出现在体育运动方面较多，而体育运动历来是高考的热点。

例3、如图所示为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面

粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面．一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力．

(1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf ；

(2)某游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h。(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的

v2向心力与其速率的关系为F向=m)

R

【答案】(1)2gR －(mgH－2mgR) (2)解析 (1)游客从B点做平抛运动，有

2R＝vBt

2R 3

① ② ③

12 gt2由①②式得vB2gR R

从A到B，根据动能定理，有

12mg(HR)Wf=mvB0

2由③④式得Wf＝－(mgH－2mgR)

④ ⑤

(2)设OP与OB间夹角为θ，游客在P点时的速度为vP，受到的支持力为N，从B到P由机械能守恒定律，有

2mg(RRcos)mvP-0

⑥

过P点时，根据向心力公式，有

mgcosNmN＝0

v2pR

⑦

⑧ ⑨ ⑩

cosh R由⑥⑦⑧⑨式解得h类型三、 类平抛运动

2R 3类平抛运动也是命题热点，类平抛运动的处理方法与平抛运动一样，只是加速度a不同而已。类平抛运动是对平抛运动研究方法的迁移，对学生的能力要求更高，在复习时，更需细心体会。

例4、如图所示，A、B两质点以相同水平速度在坐标原点O沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B紧贴光滑的斜面运动，落地点为P2，P1和P2对对应的x轴坐标分别为x1和x2，不计空气阻力，比较x1、x2的大小。

【答案】x1x2。

【解析】设斜面的倾角为θ，高度为h，则对A质点： h＝gt12，则时间 t1122h gh sinθB物体下落，沿斜面方向的加速度： agsin 下落距离L2故 L＝at2，则时间t2122h＞t1， gsinθ A质点水平位移：x1v0t1 B质点水平位移：x2v0t2 所以：x1x2

【总结升华】物体做类平抛运动，其受力特点和运动特点类似于平抛运动，因此解决的方法可类比平抛运动——采用运动的合成与分解。关键的问题要注意：（1）满足条件：受恒力作用且与初速度的方向垂直。（2）确定两个分运动的速度方向和位移方向，分别列式求解。 举一反三

【变式】如图所示，A、B两质点以相同的水平速度v抛出，A在竖直平面内运动，落地点在P1；B在光滑的斜面上运动，落地点在P1，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（ ） A．A、B的运动时间相同

B. A、B沿x轴方向的位移相同 C．A、B落地时的速度相同 D．A、B落地时的动能相同

【答案】D

【解析】A小球在竖直面内做平抛运动。B小球在斜平面内做类平抛运动。分析出类平抛的加速度和“竖直”位移是关健。

A质点做平抛运动，由平抛运动规律知，x1vt，h12gt1，而B质点在斜面上做类2平抛运动，其运动可分解为沿x轴方向的匀速直线运动和沿斜面向下的匀加速直线运动，设

h12 x2vt2 t1t2 x1x2，所以A、gsint2sin211B选项错误，由机械能守恒知mghmvt2mv2，两球落地的动能相同，D正确，但速

22斜面与水平面的夹角为

度方向不相同，C错误。

类型四、探究平抛运动的规律

例5、如图是某小球做平抛运动时所拍闪光照片的一部分。图中背景方格的实际边长均为5cm，横线为水平方向，竖线为竖直方向，由此可以断定，照片拍摄时闪光的频率为多少？小球抛出的初速度大小？（g取10m／s2）

m/s【答案】f10Hz v01.5

【解析】根据任意两个连续相等的时间内的位移之差是一恒量。 即： xaT恒量

由于平抛运动竖直方向上做匀加速直线运动，时间间隔相等，加速度等于

2重力加速度，因此ygT

2BC竖直距离是5格，BA竖直距离是3格，两段之差等于gT，边长等于5厘米，l5cm

2yyBCyAB5l3l2lgT2 T所以频率f2l0.1s g110Hz T又水平方向匀速直线运动，从图可以看出水平间距是3格，x3lv0T 所以 v03l0.15m/s1.5m/ sT0.1【总结升华】此类实验问题切记不要认为A是抛出点，只是平抛轨迹的一部分；水平间距、竖直间距都用变化量“”表示、时间间隔用“T”表示就是为了区别。

举一反三

【变式】某同学在做平抛运动实验时得到了如图中的物体运动轨迹，a、b、c三点的位置在运动轨迹上已标出。则：(g10m/s） （1）小球平抛的初速度为＿＿m/s； （2）小球开始做平抛运动的位置坐标为

x=＿＿cm, y=＿＿cm。

2

【答案】（1）v02m/s （2）-10 -1.25

20.g1T【解析】 （1）x0.2v0T y0.20.1

0.2m/s2m/ s0.1(2) b为ac的中间时刻，b竖直方向的速度等于ac竖直方向的平均速度

0.3 b竖直方向的瞬时速度 vby1.5m/s

2T T0.1s 解得 v0 设从抛出点到b的时间为tb，vbygtb tbvbyg1.5s0.1s5 100.m3cm3 05抛出点到b的水平距离 xbv0tb20.1m抛出点的水平坐标为 x10cm

yb12gtb0.1125m11.25cm 2抛出点的纵坐标为 y1.25cm