追击与相遇问题

1.相遇和追击问题的实质

研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 2. 解相遇和追击问题的关键 (1)分析“追及”“相遇”问题时，一定要抓住“一个条件，两个关系”：

“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等． 仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多„“至少”等，往往对应一个临界状态，要满足相应的临界条件．

两者速度相等。它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

“两个关系”是时间关系和位移关系．（1）时间关系 ：（2）位移关系：

其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口．因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，因为正确的草图对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益． 若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否停止运动． 3. 相遇和追击问题剖析： (一)追及问题

1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。

甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离 。若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离 。若开始甲的速度小于乙的速度过一段时间后两者速度相等，则两者之间的距离 （填最大或最小）。 2、追及问题的特征及处理方法：

“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：

⑴ 初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上，追上前有最大距离的

条件：两物体速度 ，即v甲v乙。

⑵ 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。 判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。

①当甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。 ②当甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上，此情况还存在乙再次追上甲。 ③当甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。 解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。 ⑶ 匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟⑵类似。 3、分析追及问题的注意点：

⑴ 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。 ⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 ⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意vt图象的应用。 (二)、相遇

⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。

⑵ 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。 4.相遇和追击问题的常用解题方法

画出两个物体运动示意图，分析两个物体的运动性质，找出临界状态，确定它们位移、时间、速度三大关系。

（1）基本公式法——根据运动学公式，把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解。

（2）图像法——正确画出物体运动的v--t图像，根据图像的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求

解。

（3）相对运动法——巧妙选择参考系，简化运动过程、临界状态，根据运动学公式列式求解。

（4）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解

四、典型例题分析：

(一)．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v1< v2）： v1< v2时，两者距离变大；v1= v2时，两者距离最大；

v1>v2时，两者距离变小，相遇时满足x1= x2+Δx，全程只相遇(即追上)一次。

2

【例1】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 解1：（公式法） 解2：（图像法）

在同一个v-t图中画出自行车和汽车的速度时间图像，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。 解3：（相对运动法） 选自行车为参照物，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动v0=-6m/s，

2

a=3m/s，两车相距最远时vt=0

解4：（二次函数极值法）

设经过时间t汽车和自行车之间的距离Δx，则

(二)．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v1> v2）：

v1> v2时，两者距离变小；v1= v2时，①若满足x1< x2+Δx，则永远追不上，此时两者距离最近； ②若满足x1=x2+Δx，则恰能追上，全程只相遇一次； ③若满足x1> x2+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。

【例2】一个步行者以6m/s的最大速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车，当他距离公共汽车25m时，绿灯

2

亮了，汽车以1m/s的加速度匀加速启动前进，问：人能否追上汽车？若能追上，则追车过程中人共跑了多少距离？若不能追上，人和车最近距离为多少？

(三)．匀减速运动追匀速运动的情况（开始时v1> v2）：

v1> v2时，两者距离变小；v1= v2时，①若满足x1 x2+Δx，则后者撞上前者（或超越前者），此条件下理论上全程要相遇两次。

【例3】汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s 的速度做同方向

2

的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为 6 m/s的匀减速运动，汽车恰好不碰上自行车。求关闭油门时汽车离自行车多远？

训练1：一辆客车在平直公路以30m/s的速度行驶，突然发现正前方40m处有

2

一货车正以20m/s的速度沿同一方向匀速行驶，于是客车立刻刹车，以2m/s的加速度做匀减速直线运动，问此后的过程中客车能否撞到货车？

训练2：列车以72km/h的速度行驶，司机突然发现一平直铁路上前方500m处，一货车正以36km/h的速度同向行驶，为避免撞车，列车司机立即刹车，求列车刹车时加速度的最小值．

(四)．匀速运动追匀减速运动的情况（开始时v1< v2）： v1< v2时，两者距离变大；v1= v2时，两者距离最远；

v1>v2时，两者距离变小，相遇时满足x1= x2+Δx，全程只相遇一次。 【例4】当汽车B在汽车A前方7m时，A正以vA =4m/s的速度向前做匀速直线运动，而汽车B此时速度vB =10m/s，

2

并关闭油门向前做匀减速直线运动，加速度大小为a=2m/s。此时开始计时，则A追上B需要的时间是多少？

(五)。两车相遇问题

一辆轿车违章超车，以108km/h的速度驶入左侧逆行道时，猛然发现正前方80m处一辆卡车正以72km/h的

2

速度迎面而来，两车司机同时刹车，刹车加速度大小都是10m/s,两司机的反应时间（即司机发现险情到实施刹车所经历的时间）是Δt。试问Δt是何值，才能保证两车不相撞？

追及相遇专题练习

1．如图所示是A、B两物体从同一地点出发，沿相同的方向做直线运动的v－t图象，由图象可知 A．A比B早出发5 s B．第15 s末A、B速度相等

C．前15 s内A的位移比B的位移大50 m D．第20 s末A、B位移之差为25 m

2．a、b两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图像如图所示，下列说法正确的是 ( C )

A．a、b加速时，物体a的加速度大于物体b的加速度

υ/(m· s−1) B．20秒时，a、b两物体相距最远 C．60秒时，物体a在物体b的前方

D．40秒时，a、b两物体速度相等，相距200 m

2

3.汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4 m/s的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始

A.A车在加速过程中与B B.A、B C.相遇时A D. 针对训练：

1、一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前

2

去追赶，经2.5s，警车发动起来，以加速度2m/s做匀加速运动。

试问：（1）警车要多长时间才能追上货车？

（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多少？

2、汽车的制动性能经测定,当它以标准速度20m/s在水平轨道上行驶时,制动后需40s才停下,现这列车正以20m/s的速度在水平轨道上行驶,司机发现前方180m处一货车正以6m/s的速度同向行驶,于是立即制动,问是否会发生撞车事故?

2

3、汽车从静止开始以a = 1m/s的加速度前进，相距汽车x0 = 25m处，与车运动方向相同的某人同时开始以v = 6m/s的速度匀速追赶汽车，问人能否追上？若追不上，求人与汽车间的最小距离．

4、甲、乙两个同学在直跑道上练习4×100m接力，如图6所示，他们在奔跑时有相同的最大速度，乙从静止开始全力奔跑需跑出25m才能达到最大速度，这一过程可看做匀变速运动.现在甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区间伺机全力奔出.若要求乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，则： （1）乙在接力区奔出多少距离？ （2）乙应在距离甲多远时起跑？

5、A、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶，B车在前，车速v2=10m/s，A车在后，车速72km/h，当A、B相距100m时，A车用恒定的加速度a减速。求a为何值时，A车与B车恰好不相撞。

6、一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以v = 10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决

2

定前去追赶，经过5.5 s后警车发动起来，并以2.5 m/s的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内。问：

⑴ 警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？ ⑵ 判定警车在加速阶级能否追上货车（要求通过计算说明） ⑵ 警车发动后要多长时间才能追上货车？

7（全国）为了安全，在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离.已知某高速公路的最高限速v=120 km/h.假设前方车辆突然停止，后车司机从发现这一情况，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时

2

间）t=0.50 s，刹车时汽车受到阻力的大小f为汽车重的4 m/s倍，该高速公路上汽车间的距离x至少应为

2

多少？（取重力加速度g=10 m/s）

2

8、从同一抛点以30m/s初速度先后竖直上抛两物体,抛出时刻相差2s,不计空气阻力,取g=10m/s,两个物体何时何处相遇? 9、在地面上以2v0竖直上抛一物体后,又以初速度v0在同一地点竖直上抛另一物体,若要使两物体在空中相遇,则两物体抛出的时间间隔必须满足什么条件?(不计空气阻力)

10小球1从高H处自由落下,同时球2从其正下方以速度v0竖直上抛,两球可在空中相遇.试就下列两种情况速度v0的取值范围.

⑴在小球2上升过程两球在空中相遇; ⑶ 小球2下降过程两球在空中相遇.

11、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度v1向东行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路。汽车司机发现游客途经D处时，经过0.7s作出反应紧急刹车，但仍将正步行至B处的游客撞伤，该汽车最终在C处停下，如图所

示。为了判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速

度是否过快，警方派一警车以法定最高速度vm＝14.0m/s行

驶在同一马路的同一地段，在肇事汽车的起始制动点A紧急刹车，经14.0ｍ后停下来。在事故现场测得AB＝17.5ｍ，BC＝14.0ｍ，BD＝2.6ｍ．肇事汽车的刹车性能良好，问：

（1）该肇事汽车的初速度 vA是多大? （2）游客横过马路的速度是多大?

12、火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距S处有另一列火车沿同方向以速度v2（对地、且

v1v2）做匀速运动，司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，a应满足什么条件？

典型例题分析：

例1. A火车以v1=20m/s速度匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶，A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞，a应满足什么条件？ 解1：（公式法）

两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。 由A、B 速度关系： v1atv2 由A、B位移关系： v1t（包含了时间关系）

12atv2tx0 2(v1v2)2(2010)2am/s20.5m/s2

2x02100a0.5m/s2

解2：（图像法）

在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线，根据图像面积的物理意义，两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差，当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100 .

1(2010)t0100 t020s 2atan20100.5 a0.5m/s2 20物体的v-t图像的斜率表示加速度,面积表示位移。

解3：（相对运动法）

以B车为参照物， A车的初速度为v0=10m/s，以加速度大小a减速，行驶x=100m后“停下”，末速度为vt=0。

2vt2v02ax0

2vt2v00102am/s20.5m/s2

2x02100（由于不涉及时间，所以选用速

度位移公式。 ）

a0.5m/s2

备注：以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号。 解4：（二次函数极值法）

若两车不相撞，其位移关系应为

1v1tat2v2tx0

2代入数据得：

12at10t1000 2其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有

14a100(10)220 a0.5m/s2

14a2把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。