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追击与相遇问题

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 追击与相遇问题

1.相遇和追击问题的实质

研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 2. 解相遇和追击问题的关键 (1)分析“追及”“相遇”问题时,一定要抓住“一个条件,两个关系”:

“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件,如两物体距离最大、最小,恰好追上或恰好追不上等. 仔细审题,注意抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好”“恰好”“最多„“至少”等,往往对应一个临界状态,要满足相应的临界条件.

两者速度相等。它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断的切入点。

“两个关系”是时间关系和位移关系.(1)时间关系 :(2)位移关系:

其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系,是解题的突破口.因此,在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯,因为正确的草图对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益. 若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否停止运动. 3. 相遇和追击问题剖析: (一)追及问题

1、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。

甲物体追赶前方的乙物体,若甲的速度大于乙的速度,则两者之间的距离 。若甲的速度小于乙的速度,则两者之间的距离 。若开始甲的速度小于乙的速度过一段时间后两者速度相等,则两者之间的距离 (填最大或最小)。 2、追及问题的特征及处理方法:

“追及”主要条件是:两个物体在追赶过程中处在同一位置,常见的情形有三种:

⑴ 初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙,一定能追上,追上前有最大距离的

条件:两物体速度 ,即v甲v乙。

⑵ 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙,存在一个能否追上的问题。 判断方法是:假定速度相等,从位置关系判断。

①当甲乙速度相等时,甲的位置在乙的后方,则追不上,此时两者之间的距离最小。 ②当甲乙速度相等时,甲的位置在乙的前方,则追上,此情况还存在乙再次追上甲。 ③当甲乙速度相等时,甲乙处于同一位置,则恰好追上,为临界状态。 解决问题时要注意二者是否同时出发,是否从同一地点出发。 ⑶ 匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时,情形跟⑵类似。 3、分析追及问题的注意点:

⑴ 要抓住一个条件,两个关系:一个条件是两物体的速度满足的临界条件,如两物体距离最大、最小,恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系,通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。 ⑵若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 ⑶仔细审题,充分挖掘题目中的隐含条件,同时注意vt图象的应用。 (二)、相遇

⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题,分析同上。

⑵ 相向运动的物体,当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。 4.相遇和追击问题的常用解题方法

画出两个物体运动示意图,分析两个物体的运动性质,找出临界状态,确定它们位移、时间、速度三大关系。

(1)基本公式法——根据运动学公式,把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解。

(2)图像法——正确画出物体运动的v--t图像,根据图像的斜率、截距、面积的物理意义结合三大关系求

解。

(3)相对运动法——巧妙选择参考系,简化运动过程、临界状态,根据运动学公式列式求解。

(4)数学方法——根据运动学公式列出数学关系式(要有实际物理意义)利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解

四、典型例题分析:

(一).匀加速运动追匀速运动的情况(开始时v1< v2): v1< v2时,两者距离变大;v1= v2时,两者距离最大;

v1>v2时,两者距离变小,相遇时满足x1= x2+Δx,全程只相遇(即追上)一次。

2

【例1】一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始加速行驶,恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车。试求:汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此时距离是多少? 解1:(公式法) 解2:(图像法)

在同一个v-t图中画出自行车和汽车的速度时间图像,根据图像面积的物理意义,两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差,当t=t0时矩形与三角形的面积之差最大。 解3:(相对运动法) 选自行车为参照物,以汽车相对地面的运动方向为正方向,汽车相对自行车沿反方向做匀减速运动v0=-6m/s,

2

a=3m/s,两车相距最远时vt=0

解4:(二次函数极值法)

设经过时间t汽车和自行车之间的距离Δx,则

(二).匀速运动追匀加速运动的情况(开始时v1> v2):

v1> v2时,两者距离变小;v1= v2时,①若满足x1< x2+Δx,则永远追不上,此时两者距离最近; ②若满足x1=x2+Δx,则恰能追上,全程只相遇一次; ③若满足x1> x2+Δx,则后者撞上前者(或超越前者),此条件下理论上全程要相遇两次。

【例2】一个步行者以6m/s的最大速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车,当他距离公共汽车25m时,绿灯

2

亮了,汽车以1m/s的加速度匀加速启动前进,问:人能否追上汽车?若能追上,则追车过程中人共跑了多少距离?若不能追上,人和车最近距离为多少?

(三).匀减速运动追匀速运动的情况(开始时v1> v2):

v1> v2时,两者距离变小;v1= v2时,①若满足x1 x2+Δx,则后者撞上前者(或超越前者),此条件下理论上全程要相遇两次。

【例3】汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进,突然发现正前方有一辆自行车以4m/s 的速度做同方向

2

的匀速直线运动,汽车立即关闭油门做加速度大小为 6 m/s的匀减速运动,汽车恰好不碰上自行车。求关闭油门时汽车离自行车多远?

训练1:一辆客车在平直公路以30m/s的速度行驶,突然发现正前方40m处有

2

一货车正以20m/s的速度沿同一方向匀速行驶,于是客车立刻刹车,以2m/s的加速度做匀减速直线运动,问此后的过程中客车能否撞到货车?

训练2:列车以72km/h的速度行驶,司机突然发现一平直铁路上前方500m处,一货车正以36km/h的速度同向行驶,为避免撞车,列车司机立即刹车,求列车刹车时加速度的最小值.

(四).匀速运动追匀减速运动的情况(开始时v1< v2): v1< v2时,两者距离变大;v1= v2时,两者距离最远;

v1>v2时,两者距离变小,相遇时满足x1= x2+Δx,全程只相遇一次。 【例4】当汽车B在汽车A前方7m时,A正以vA =4m/s的速度向前做匀速直线运动,而汽车B此时速度vB =10m/s,

2

并关闭油门向前做匀减速直线运动,加速度大小为a=2m/s。此时开始计时,则A追上B需要的时间是多少?

(五)。两车相遇问题

一辆轿车违章超车,以108km/h的速度驶入左侧逆行道时,猛然发现正前方80m处一辆卡车正以72km/h的

2

速度迎面而来,两车司机同时刹车,刹车加速度大小都是10m/s,两司机的反应时间(即司机发现险情到实施刹车所经历的时间)是Δt。试问Δt是何值,才能保证两车不相撞?

追及相遇专题练习

1.如图所示是A、B两物体从同一地点出发,沿相同的方向做直线运动的v-t图象,由图象可知 A.A比B早出发5 s B.第15 s末A、B速度相等

C.前15 s内A的位移比B的位移大50 m D.第20 s末A、B位移之差为25 m

2.a、b两物体从同一位置沿同一直线运动,它们的速度图像如图所示,下列说法正确的是 ( C )

A.a、b加速时,物体a的加速度大于物体b的加速度

υ/(m· s−1) B.20秒时,a、b两物体相距最远 C.60秒时,物体a在物体b的前方

D.40秒时,a、b两物体速度相等,相距200 m

2

3.汽车A在红绿灯前停住,绿灯亮起时起动,以0.4 m/s的加速度做匀加速运动,经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时,汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过,且一直以相同的速度做匀速直线运动,运动方向与A车相同,则从绿灯亮时开始

A.A车在加速过程中与B B.A、B C.相遇时A D. 针对训练:

1、一辆值勤的警车停在公路边,当警员发现从他旁边以8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时,决定前

2

去追赶,经2.5s,警车发动起来,以加速度2m/s做匀加速运动。

试问:(1)警车要多长时间才能追上货车?

(2)在警车追上货车之前,两车间的最大距离是多少?

2、汽车的制动性能经测定,当它以标准速度20m/s在水平轨道上行驶时,制动后需40s才停下,现这列车正以20m/s的速度在水平轨道上行驶,司机发现前方180m处一货车正以6m/s的速度同向行驶,于是立即制动,问是否会发生撞车事故?

2

3、汽车从静止开始以a = 1m/s的加速度前进,相距汽车x0 = 25m处,与车运动方向相同的某人同时开始以v = 6m/s的速度匀速追赶汽车,问人能否追上?若追不上,求人与汽车间的最小距离.

4、甲、乙两个同学在直跑道上练习4×100m接力,如图6所示,他们在奔跑时有相同的最大速度,乙从静止开始全力奔跑需跑出25m才能达到最大速度,这一过程可看做匀变速运动.现在甲持棒以最大速度向乙奔来,乙在接力区间伺机全力奔出.若要求乙接棒时奔跑达到最大速度的80%,则: (1)乙在接力区奔出多少距离? (2)乙应在距离甲多远时起跑?

5、A、B两车在一条水平直线上同向匀速行驶,B车在前,车速v2=10m/s,A车在后,车速72km/h,当A、B相距100m时,A车用恒定的加速度a减速。求a为何值时,A车与B车恰好不相撞。

6、一辆值勤的警车停在公路边,当警员发现从他旁边以v = 10 m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时,决

2

定前去追赶,经过5.5 s后警车发动起来,并以2.5 m/s的加速度做匀加速运动,但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内。问:

⑴ 警车在追赶货车的过程中,两车间的最大距离是多少? ⑵ 判定警车在加速阶级能否追上货车(要求通过计算说明) ⑵ 警车发动后要多长时间才能追上货车?

7(全国)为了安全,在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离.已知某高速公路的最高限速v=120 km/h.假设前方车辆突然停止,后车司机从发现这一情况,经操纵刹车,到汽车开始减速所经历的时间(即反应时

2

间)t=0.50 s,刹车时汽车受到阻力的大小f为汽车重的4 m/s倍,该高速公路上汽车间的距离x至少应为

2

多少?(取重力加速度g=10 m/s)

2

8、从同一抛点以30m/s初速度先后竖直上抛两物体,抛出时刻相差2s,不计空气阻力,取g=10m/s,两个物体何时何处相遇? 9、在地面上以2v0竖直上抛一物体后,又以初速度v0在同一地点竖直上抛另一物体,若要使两物体在空中相遇,则两物体抛出的时间间隔必须满足什么条件?(不计空气阻力)

10小球1从高H处自由落下,同时球2从其正下方以速度v0竖直上抛,两球可在空中相遇.试就下列两种情况速度v0的取值范围.

⑴在小球2上升过程两球在空中相遇; ⑶ 小球2下降过程两球在空中相遇.

11、在某市区内,一辆小汽车在公路上以速度v1向东行驶,一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路。汽车司机发现游客途经D处时,经过0.7s作出反应紧急刹车,但仍将正步行至B处的游客撞伤,该汽车最终在C处停下,如图所

示。为了判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速

度是否过快,警方派一警车以法定最高速度vm=14.0m/s行

驶在同一马路的同一地段,在肇事汽车的起始制动点A紧急刹车,经14.0m后停下来。在事故现场测得AB=17.5m,BC=14.0m,BD=2.6m.肇事汽车的刹车性能良好,问:

(1)该肇事汽车的初速度 vA是多大? (2)游客横过马路的速度是多大?

12、火车以速度v1匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距S处有另一列火车沿同方向以速度v2(对地、且

v1v2)做匀速运动,司机立即以加速度a紧急刹车,要使两车不相撞,a应满足什么条件?

典型例题分析:

例1. A火车以v1=20m/s速度匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速度匀速行驶,A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动。要使两车不相撞,a应满足什么条件? 解1:(公式法)

两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇。 由A、B 速度关系: v1atv2 由A、B位移关系: v1t(包含了时间关系)

12atv2tx0 2(v1v2)2(2010)2am/s20.5m/s2

2x02100a0.5m/s2

解2:(图像法)

在同一个v-t图中画出A车和B车的速度时间图像图线,根据图像面积的物理意义,两车位移之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差,当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分三角形的面积不能超过100 .

1(2010)t0100 t020s 2atan20100.5 a0.5m/s2 20物体的v-t图像的斜率表示加速度,面积表示位移。

解3:(相对运动法)

以B车为参照物, A车的初速度为v0=10m/s,以加速度大小a减速,行驶x=100m后“停下”,末速度为vt=0。

2vt2v02ax0

2vt2v00102am/s20.5m/s2

2x02100(由于不涉及时间,所以选用速

度位移公式。 )

a0.5m/s2

备注:以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于B的物理量.注意物理量的正负号。 解4:(二次函数极值法)

若两车不相撞,其位移关系应为

1v1tat2v2tx0

2代入数据得:

12at10t1000 2其图像(抛物线)的顶点纵坐标必为正值,故有

14a100(10)220 a0.5m/s2

14a2把物理问题转化为根据二次函数的极值求解的数学问题。

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