缺货部分补充库存系统的最优存贮策略

武汉理工大学学报(与工程版)

JournalofWuhanUniversityofTechnology

(TransportationScience&Engineering)

交通科学

Vol.25　No.3September2001

缺货部分补充库存系统的最优存贮策略

󰀁

毛晓丽

(武汉科技大学理学院　武汉　430081)

摘要:经典的经济定购模型通常假设缺货全部得到补充或不需补充,但在某些存贮系统中假设缺货补充率为等候到货时间的函数似乎更合理,文中建立了一个无限计划期缺货部分补充的物品的存贮模型,并研究了模型解的存在性、唯一性及全局最优解,制定了最优存贮策略,并举出了数字例子.

关键词:缺货补充率;无限计划期;优化中图法分类号:O227

0　引　　言

经典的经济订购模型在允许缺货的情形下常常假设缺货期的需求在下次到货时全部得到补充

或全部不补充.但某些物品如时令性商品的存贮,缺货补充率则主要取决于等候到货时间的长短,等候时间越长,补充率越低.1999年,HJChang和CYDye在文献[1]中首次提出了缺货补充率为等候到货时间的单减函数,研究了一个有限计划期缺货部分的EOQ模型.文中将在假设常需求率允许缺货,瞬时进货的条件下,建立一个无限计划存贮模型,对模型进行求解并制定最优存贮策略.

1,t1≤t≤T;

1+󰀁(T-t)

9)P(T,t1)为单位时间的总成本;8)缺货补充率为

10)瞬时进货,允许缺货;11)这是一个连续、确定,无限计划期的存贮系统.

2　模型与最优解

系统从时刻t=0开始进入存贮,存贮水平I(t)满足方程:

dI(t)dt=-D,0≤t≤t1

方程(1)在初始条件I(t1)=0下的解为

I(t)=D(t1-t),

0≤t≤t1

(2)

一个周期内总的库存量

t

1

(1)

1　假设与记号

1)单位物品、单位时间缺货费为s;2)单位时间、单位物品的库存费为h;3)单位物品失去销售机会损失费为p;4)订购费为K;5)需求率为D;

6)I(t)为t时刻的存贮量;

7)T为存贮周期长度,t1为库存降为0的时刻;

t

1

H=

∫

0

I(t)dt=

∫

0

D(t1-t)dt=

12

D1(3)2

缺货期库存水平I(t)满足方程:

dI(t)=-D,

dt1+󰀁(T-t)

t1≤t≤T

方程(4)在初始条件I(t1)=0下的解为:

(4)

󰀁

收稿日期:20010611

　　　　毛晓丽:女,36岁,讲师,主要研究领域为运筹学・360・

I(t)=

武汉理工大学学报(交通科学与工程版)2001年　第25卷

D1+󰀁(T-t)ln,󰀁1+󰀁(T-t1)t1≤t≤T

(5)

一个周期内总的缺货量

T

Tt

S=

(-∫

t

1

I(t))dt=

(-I(u)dudt=∫∫

tt

11

s+󰀁p,0≤t1≤T<+∞}内取得,有:󰀁h*

引理1　P(T,t1)在G1内的唯一驻点(T,*

t1)为P(T,t1)的极小值点.

证明　由方程(10):0≤t1<

D(s+󰀁p)1[t1+ln(1+󰀁(T,t1))]=󰀁󰀁Dht1D(s+󰀁p)TK++

2󰀁[1+󰀁(T-t1)]

　　将式(11),式(12)代入式(13)得:

Dht1Dht1D(s+󰀁p)K-+-×22󰀁󰀁2

2

T

(-∫

t1T

I(u))(T-u)du=(13)

∫t

1

D(T-u)du=

1+󰀁(T-u)

(6)

D[T-t1-1ln(1+󰀁(T-t1))]

󰀁󰀁一个周期丢失的销售量

T

ln

s+󰀁p=0

s+󰀁p-󰀁ht1

(14)

记式(14)左边为g(t1),则

s+󰀁p-0)=-∞󰀁hDhDh(s+󰀁p)g′(t1)=-Dht1+-󰀁󰀁(s+󰀁p-󰀁ht1)g(0)=K>0,g(

Dh2(s+󰀁p)g″(t1)=-Dh-<0

(s+󰀁p-󰀁ht1)2

因为g′(0)=0,故g′(t1)<0,即g(t1)在0≤t1t󰀁hs+󰀁p11

󰀁h上有唯一解,由式(12)知P(T,t)在G内有唯一驻点(T*,t*1).又

P″t1t1(T,t1)=

DhD(s+󰀁p)*+**2*>0,T[1+󰀁(T-t1)]T

(9)

P″TT(T,t1)=P″Tt1(T,t1)=-*

*

*

**

*

*

*

B=

∫

t

1

[D-

D]dt=

1+󰀁(T-t)

󰀁S

(7)

󰀁D(T-t)dt=

∫1+󰀁(T-t)

t

1

T

Dht21KD(s+󰀁p)P(T,t1)=++×

T2T󰀁T1[T-t1-ln(1+󰀁(T-t1))](8)󰀁

　　目标是在G={(T,t1):0≤t1≤T<+∞}内求出T,t1,使总成本P(T,t1)最小.

P(T,t1)取得极小值的必要条件是:

󰀁P(T,t1)󰀁P(T,t1)

=0,=0󰀁t1󰀁T󰀁P(T,t1)Dht1D(s+󰀁P)=+×󰀁t1T󰀁T[-1+

1

1]=0

1+󰀁(T-t1)

2

1

D(s+󰀁p)**2T[1+󰀁(T-t1)]

*󰀁P(T,t)2K+DhtD(s+󰀁p)=-+×22

󰀁T2T󰀁T1[t1+ln(1+󰀁(T-t1))]-󰀁D(s+󰀁p)=0(10)

󰀁T[1+󰀁(T-t1)]由式(9)

1+󰀁(T-t1)=T=t1+

s+󰀁ps+󰀁p-󰀁ht1

(11)

D(s+󰀁p)**2T[1+󰀁(T-t1)]

**

*

(T,t1)处P(T,t1)的Hessian矩阵

H(T,t1)=

*

P″tt(T,t*1)11

**

P″tT(T,t1)1

P″1(T,t)

Tt

*

*

1

P″(T,t)

TT

*

*1

=

(15)

D2h(s+󰀁p)*2*2>0(T)[1+󰀁(T-t*1)]

引理1得证.

将式(13)代入式(8)得:

P(T,t1)=

D(s+󰀁p)1[1-**]󰀁1+󰀁(T-t1)再由方程(9)可得:

P(T,t1)=Dht1

*

*

*

*

*

1s+󰀁p[-1]=󰀁s+󰀁p-󰀁ht1

ht1

t1+(12)

s+󰀁p-󰀁ht1

由式(12)知驻点处有:T≥t1,同时为使ln[1+󰀁(T-t1)]有意义s+󰀁p-󰀁ht1>0,即0≤t1(17)

　　为确定目标函数最优值,可考察P(T,t1)在　第3期

区域G1边界上的取值情况:

毛晓丽:缺货部分补充库存系统的最优存贮策略

・361・

值点也是最小值点.

将式(26)代入式(25)得:

p)(1-1P(T∧,0)=D(s+󰀁)

󰀁1+󰀁T∧(27)

比较P(T∧,0)与P(T*,t*1),有:

∧

引理3　P(T*,t*1)1)T=t1,即存贮论中瞬时进货不许缺货的情形

P(T,T)=

KDhT+T2

(18)(19)

dP(T,T)KDh=-2+=0

dTT2

易证最优存贮周期T=

##

Q=DT=

#

2KDh,最优经济订购数

2KD,此即经典的EOQ公式.h

P(T,t1)在T=t1上的最小值为

P(T,T)=

#

#

*

#

#

D(s+󰀁p)T∧

K=-+

󰀁(1+󰀁T∧)

D(s+󰀁p)ln(1+󰀁T∧)2󰀁由方程(10):

(28)

2KDh

*1

(20)

　　比较P(T,T)与P(T,t),有:

##

引理2　P(T*,t*1)Dh(T#)2

K=

2

由式(14)

2

Dh(t*1)Dht*1p)K=-+D(s+2󰀁2󰀁󰀁(21)

2

Dh(t*1)D(s+󰀁p)t*1

++K=-2󰀁

D(s+󰀁p)**

2ln[1+󰀁(T-t1)]-󰀁

D(s+󰀁p)(T*-t*1)D(s+󰀁p)t*1

-***󰀁[1+󰀁(T-t1)]󰀁[1+󰀁(T-t*1)]

(29)

将式(12)代入式(29)得:

D(s+󰀁p)(T*-t*1)D(s+󰀁p)K=-+×**2󰀁[1+󰀁(T-t1)]󰀁ln[1+󰀁(T

*

2

Dh(t*1)-t)]+2

*

1

p)ln(s+󰀁ln(s+󰀁p)-D(s+2󰀁p-󰀁ht*1)󰀁(22)

易证

*1

(30)(31)(32)

D(s+󰀁p)*

[ln(s+󰀁)-ln(s+󰀁-󰀁1)]-2ppht󰀁比较式(28),式(30)可得:

T>T

∧

*

-t1

*

Dht>0󰀁比较式(21),(22)知:T>tDht1#

P(T*,t*1)#

#

*

##

*

1

(23)

=Dh

2KDh=(24)

由式(16)、式(27)、式(31):

*∧

P(T,t*1)　　由引理1,引理2,引理3知P(T*,t*1)为

P(T,t1)在G1上的最小值.从而有:

定理1　P(T,t1)在G1上的最小值为*****

P(T,t1),且P(T,t1)=Dht1.

定理2　库存系统的最优周期为T*,经济订购批量为Q*=Dt*1.

　　2)t1=0,即采取完全赊销政策

p)[T-1ln(1+󰀁P(T,0)=K+D(s+󰀁T)]

T󰀁T󰀁(25)

若T→0+,则P(T,0)→+∞,即(0,0)不为P(T,0)的最小值点.P(T,0)取得极小值的必要条件是:

dP(T,0)KD(s+󰀁p)=-2-2×dTT󰀁

󰀁TT)1+󰀁T-ln(1+󰀁

=0

T2(26)

3　算　　例

已知某物品单位时间单位物品缺货费为s=2元,单位时间单位物品库存费为h=0.5元,单位物品失去销售机会损失费p=3元,需求率D=80单位/单位时间,󰀁=2,固定订购费K=100元,则t1≈2.15(时间单位),T≈2.33(时间单位),Q*=Dt*1≈172(单位).

*

*

易证方程(26)在T∈(0,+∞)有唯一解,即

P(T,0)有唯一驻点T∧,且T∧为P(T,0)的极小4　结　　语

・362・

武汉理工大学学报(交通科学与工程版)2001年　第25卷

研究了一个无限计划期缺货部分补充的物品的EOQ模型,缺货补充率为等候到货时间的单减函数,揭示了缺货时间长度对库存系统存贮策略的影响,若󰀁=0即为常需求缺货完全补足的EOQ模型,因而是对经费EOQ模型的推广.

2　DaeH.Kim,KyungS.Park.(Q,r)inventorymodel

withamixtureoflostsalesandtime-weightedbackorders.J.Opl.Res.Soc,1985,36(3):231～2383　PadmanabhanG,PremVrat.EOQmodelsfor

perishableitemsunderstockdependentsellingrate,EJOR1995,86:281～292

4　KunJenChung.AnoteonEOQmodelsfor

deterioratingitemsunderstockdependentsellingrate,EuropeanJournalofOperationalResearch124(2000):550～559

5　顾基发,钱颂迪,胡运权等.运筹学.修订版.北京:清

华大学出版社,1990.356～368

参考文献

1　HJChang,CYDye.AnEOQmodelfordeterioratingitems

with

time

varying

demand

and

partial

backlogging.JOpl.Res.Soc,1999,50:1176～1182

TheOptimalOrderPoliceofInventorySystem

withPartialBacklogging

MaoXiaoli

(CollegeofSciences,WuhanUniversityofScienceandTechnology,430081)

Abstract

Intheclassicalorderquantitymodel,itisoftenassumedthattheshortagesareeithercompletelybackloggedorcompletelylost.However,insomeinventorysystems,itismorereasonabletoassumethatthebackloggingrateisdependentonthelengthofthewaitingtimeforthenextreplenishment.Thispaperpresentsaninventorymodelforitemswithpartialbackloggingunderinfinitetimehorizon.Theexistenceuniquenessofthemodelandtheglobaloptimizationarediscussed.Optimalinventorypoliceisfound.Numbericalexcamplesarepresentedtoillustratethemodel.Keywords:backloggingrate;infinitetimehorizon;optimization

国家重点实验室项目简介之四

行为-特征建模方法与分布式视景开发环境研究

我校计算机科学与技术学院杨克俭副教授申报的“行为-特征建模方法与分布式视景开发环境研究”获得中国科学院计算技术研究所CAD开放实验室的资助.

该项目可根据“行为-特征建模”方法,使得所创建的三维视景模型不仅拥有表现特征,而且具备“与生俱来”的行为能力,即使“死的模型”变成“活的角色”,可更深刻地反映事物的本质,实现方法论上的飞跃,而且可以大大简化虚拟现实、计算机仿真、视算系统和交互式三维游戏的开发过程.由于本项目拟在“行为-特征建模”方法的基础上,研制出一种能更为有效地创建实时交互式三维视景分布式视景开发环境的原型,因此具有广泛的应用前景.

科技处　章爱武