新人教版高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试题(答案解析)(4)

一、选择题

1．2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建76光子的量子计算原型机“九章”，求解数学算法“高斯玻色取样”只需要200秒，而目前世界最快的超级计算机要用6亿年，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家.“九章”求得的问题名叫“高斯玻色取样”，通俗的可以理解为量子版本的高尔顿钉板，但其实际情况非常复杂.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子.如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（ ）

A．

1 128B．

7 128C．

21 128D．

35 1282．某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩占近似服从正态分布N95,2，且

P(9195)0.25．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低

于99分的人数为（ ） A．100

B．125

C．150

D．175

3．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩X~N90,2，已知

P(70X90)0.35，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概

率为（ ） A．0.15

B．0.50

C．0.70

D．0.85

4．某地区共有高二学生5000人，该批学生某次数学考试的成绩服从正态分布

N60,82，则成绩在7684分的人数大概是（ ）

附：PZ0.6827，P2Z20.9545，

D．2386

P3Z30.9973.

A．107

B．679

C．2493

5．随机变量X的取值为0，2，3，若P(X0)A．2

B．3

1,E(X)2，则D(2X3)（ ） 6C．4 D．5

6．一个盒子装有4件产品，其中有3件一等品，1件二等品.从中不放回的取两次，每次取出一件.设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”.则

PB|A（ ）

A．

3 4B．

1 3C．

2 3D．

1 27．已知离散型随机变量X服从二项分布X~B(n,p)，且E(X)4，D(X)q，则

11

的最小值为（ ） pq

A．2

B．

5 2C．

9 4D．4

8．在由直线x1，yx和x轴围成的三角形内任取一点(x,y)，记事件A为yx3，B2为yx，则P(B|A)（ ）

A．

1 6B．

1 4C．

1 3D．

2 39．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N(84,2)，且

P(78X84)0.3.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分

的人数为（ ） A．60 C．100

B．80 D．120

10．已知是离散型随机变量，则下列结论错误的是( ) A．P121P 33B．ED．D22E2

2C．DD1

11．若随机变量X的分布列为（ ）

D11 a 

2 X P 0 1 3b 且EX1，则随机变量X的方差DX等于（ ） A．

1 3B．0

C．1

D．

2 312．将两枚骰子各掷一次，设事件A{两个点数都不相同}，B{至少出现一个3点}，则

P(B|A)（ ）

A．

1 3B．

5 18C．

10 11D．

1 2二、填空题

13．已知随机变量X的分布列为：

－1 0 1 X PX

q 1 31 6则随机变量X的方差VX的值为______．

14．加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为__________． 15．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A=“三个点数之和等于15”，B=“至少出现一个5点”，则概率P(A|B)等于______.

16．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X~N（100，100），且

110X120的产品数量为5436件，请估计该批次检测的产品数量是________件.

参考数据，若X~N,，则P(X)0.6827，

2P(2X2)0.9545，P(3X3)0.9973.

17．从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个,在选出4号球的条件下,选出球的最大号码为6的概率为_____.

18．记A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为发生的概率为

3,在事件A发生的条件下,事件B101,则事件A发生的概率为_____. 2三、解答题

19．某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期.记随机变量x1、x2分别表示顾客购买H型手机和V型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，x1和x2的分布列如下表所示：

x1 P 1 0.1 1 0.4 2 0.4 2 0.1 3 0.4 3 0.1 4 0.1 4 0.4 x2 P （1）若某位顾客购买H型和V手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率；

（2）电商平台销售一部V型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元.记电商平台销售两部V型手机所获得的利润为X（单位：元），求X的分布列； （3）比较Dx1与Dx2的大小（只需写出结论）.

20．黑龙江省哈尔滨市为了打好疫情防控阻击战、歼灭战，在全民核酸检测期间，倡议全体市民:不聚餐、不聚集、居家抗疫．哈尔滨市市民小李为了增加居家抗疫的趣味性，在家里进行套圈游戏，游戏规则如下:向甲、乙两个物体进行套圈，先向甲物体套圈一次，再向乙物体套圈两次，一共套圈三次，向甲物体套圈时命中得2分，没有命中得0分;向乙物体套圈时，如果连续命中两次得3分，只命中一次得1分，一次也没有命中得0分．小李同志目前的水平是:向甲物体套圈时，命中的概率是设小李同志每次套圈的结果相互独立.

23;向乙物体套圈时，命中的概率为．假

34

（1）求小李同志恰好命中三次的概率;

（2）求小李同志获得总分X的分布列及数学期望.

21．体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈

*阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于n(nN)份血液样本，有以

下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验n次.二是混合检验，将n份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这n份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这n份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则n份血液检验的次数共为n1次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为

3p0p1，而且各体检人是否患该疾病相互独立.

8

，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率; 9

（2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案: 方案一:采用混合检验;

（1）若p

方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.

若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由. 22．国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区． 垃圾量 频数 5 6 9 12 8 6 4 12.5,15.5 15.5,18.5 18.5,21.5 21.5,24.5 24.5,27.5 27.5,30.5 30.5,33.5 （1）估计该市A类社区这一天垃圾量的平均值x； （2）若该市A类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布N,27.04，其中近似为50个样本社区的平均值x（精确到0.1吨），估计该市A类社区中“超标”社区的个数； （3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为X，求X的分布列和数学期望． 附：若X服从正态分布N,2，则PX0.6826；

P2X20.9544；P3X30.9974．

23．时值金秋十月，秋高气爽，我校一年一度的运动会拉开了序幕.为了增加运动会的趣味性，大会组委会决定增加一项射击比赛，比赛规则如下：向甲､乙两个靶进行射击，先向甲靶射击一次，命中得2分，没有命中得0分；再向乙靶射击两次，如果连续命中两次得3分，只命中一次得1分，一次也没有命中得0分.小华同学准备参赛，目前的水平是：向甲靶射击，命中的概率是互独立.

（1）求小华同学恰好命中两次的概率； （2）求小华同学获得总分X的分布列及数学期望.

24．据中国日报网报道：TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席．其中超算仝球第一“神威·太湖之光”完全使用了国产处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：（数值越小，速度越快，单位是MIPS） ．．．．．．．．32；向乙靶射击，命中的概率为.假设小华同学每次射击的结果相53 品牌A 测试1 3 测试2 6 测试3 9 测试4 10 测试5 4 测试6 1 测试7 12 测试8 17 测试9 4 测试10 6 测试11 6 测试12 14 品牌B 2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21 经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格的文件，后6次测试是打开含有文字与图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．

25．甲､乙两人按如下规则进行射击比赛，双方对同一目标轮流射击，若一方未击中，另一方可继续射击，甲先射，直到有人击中目标或两人总射击次数达4次为止.若甲击中目标的概率为

21，乙击中目标的概率为.

23（1）求甲在他第二次射击时击中目标的概率；

（2）求比赛停止时，甲､乙两人射击总次数X的分布列和期望.

26．某种子公司培育了一个豌豆的新品种，新品种豌豆豆荚的长度比原来有所增加，培育人员在一块田地(超过1亩)种植新品种，采摘后去掉残次品，将剩下的豆荚随机按每20个一袋装袋密封.现从中随机抽取5袋，测量豌豆豆荚的长度(单位：dm)，将测量结果按

,分为5组，整理得到如图所示的0.6,0.8，0.8,1.0，1.0,1.2，1.2,1.4，1.41.6频率分布直方图.

（1）求a的值并估计这批新品种豌豆豆荚长度的平均数x(不含残次品，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

（2）假设这批新品种豌豆豆荚的长度X服从正态分布N,2，其中的近似值为豌

豆豆荚长度的平均数x，0.23，试估计采摘的100袋新品种豌豆豆荚中，长度位于区间0.88,1.57内的豆荚个数；

（3）如果将这批新品种豌豆中豆荚长度超过1.4dm的豆荚称为特等豆荚，以频率作为概率，随机打开一袋新品种豌豆豆荚，记其中特等豆荚的个数为，求1的概率和的数学期望.

17附：0.046，若随机变量X2019N,2，则

P(X)0.6827，P(2X2)0.9545.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向右边跳动2次，由二项分布概率即可求解. 【详解】

小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中要向左边跳动5次，向右边跳动2次，而向左或向右的概率均为

25271，则向右的次数服从二项分布，所以所求的概率为22111 PC22128故答案为：C. 【点睛】

本题的解题关键是判断小球向右边跳动的次数服从二项分布.

2．D

解析：D 【分析】

由题意，成绩X近似服从正态分布N95,2，则正态分布曲线的对称轴为X95，根

1[12P(91X95)]，进而可求解，2据正态分布曲线的对称性，求得PX99得到答案. 【详解】

由题意，成绩X近似服从正态分布N95,则正态分布曲线的对称轴为X95， 又由P(9195)0.25， 根据正态分布曲线的对称性，可得

2，

11PX99[12P(91X95)]120.250.25，

22所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为7000.25175人， 故选：D. 【点睛】

关键点点睛：该题主要考查了正态分布曲线的性质的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，求得成绩不低于99分的概率是解答的关键.

3．D

解析：D 【分析】

根据正态密度曲线的对称性得出PX110PX700.5P70X90，于是可计算出PX1101PX110，于此可得出结果． 【详解】 由于X~N90,2，

由正态密度曲线的对称性可得

PX110PX700.5P70X900.15，

因此，PX1101PX11010.150.85，故选D. 【点睛】

本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，解题的关键在于利用正态密度曲线的对称性将所求概率转化为已知区间概率进行计算，属于基础题．

4．A

解析：A 【分析】

由已知结合2与3原则求得P（76＜Z＜84），乘以5000得答案． 【详解】

由学生某次数学考试的成绩服从正态分布N（60，82），得μ＝60，＝8，

P(76Z84)P(2Z3)

1[P(3Z3)P(2Z2)] 21(0.99730.9545)0.0214 2∴成绩在76～84分的人数大概是5000×0.0214＝107． 故选：A． 【点睛】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．

5．C

解析：C 【分析】

首先设P(X2)P2,P(X3)P3，根据概率和为1以及EX2求P2和P3，再求

DX，最后根据公式DaXba2DX求解.

【详解】

记P(X2)P2,P(X3)P3，则P2P35，由E(X)2P23P32，解得611111P2,P3，故D(X)(0E(X))2(2E(X))2(3E(X))21，

23623所以D(2X3)4D(X)4.

故选:C 【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列及期望、方差的计算，属于基础题型.解决本题应掌握结论：（1）离散型随机变量的概率和为1；（2）期望E(X)x1P1x2P2xnPn，

E(aXb)aE(X)b；（3）方差

D(X)x1E(X)P1x2E(X)P2D(aXb)a2D(X).

22xnE(X)Pn，

26．C

解析：C 【分析】

利用古典概型概率公式计算出PAB和PA，然后利用条件概率公式可计算出结果． 【详解】

A321事件AB:前两次取到的都是一等品，由古典概型的概率公式得PAB2，

A42由古典概型的概率公式得PA3，由条件概率公式得4PBA故选C. 【点睛】

PAB142， PA233本题考查条件概率公式求概率，解题时要弄清楚各事件之间的关系，关键在于灵活利用条件概率公式计算，考查运算求解能力，属于中等题．

7．C

解析：C 【分析】

根据二项分布X~Bn，p的性质可得EX，DX，化简即4pq4，结合基本不等式即可得到【详解】

离散型随机变量X服从二项分布X所以有EX4np，

11

的最小值. pq

Bn，p，

DXqnp（1p，

所以4pq4，即p所以

q1，（p0，q0） 4qp51111q5qp9p 21， pqpq444pq44pq44当且仅当q2p时取得等号．

3故选C． 【点睛】

本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题． 8．D

解析：D 【分析】

由所求问题可知，本题是求条件概率，因此可以运用公式求解．同时本题又是一个几何概型，这就涉及到求面积，三角形面积可以直接使用三角形面积公式，而对于不规则图形的面积可以采用定积分的方法来求解． 【详解】 图形如下图所示：

直线x1，yx和x轴围成的三角形的面积为11直线x1，yx，yx和x轴围成的三角形的面积为

3121； 213(xx)dx012x2101x442101； 4直线x1，yx，yx和x轴围成的三角形的面积为

12(xx)dx012x2101x33101； 611P(A)4 ,P(AB)122【点睛】

1161 P(BA)P(AB)32故本题选D. 1313P(A)22本题考查了几何概型、条件概率、定积分的应用.

9．B

解析：B 【分析】

由题意，成绩X近似服从正态分布N84,2，则正态分布曲线的对称轴为X84，根

1[12P(78X84)],进而可求解，2据正态分布曲线的对称性，求得PX90得到答案. 【详解】

由题意，成绩X近似服从正态分布N84,又由P(78X84)0.3， 根据正态分布曲线的对称性，可得

2，则正态分布曲线的对称轴为X84，

11PX90[12P(78X84)]10.60.2,

22所以该市某校有400人中，估计该校数学成绩不低于90分的人数为4000.280人， 故选B. 【点睛】

本题主要考查了正态分布曲线的性质的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，求得成绩不低于90分的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

10．D

解析：D 【分析】

利用概率、数学期望、方差的性质直接求解． 【详解】

1133121在A中，PPPP，故A正333333确；

在B中，由数学期望的性质得E2E2，故B正确；

在C中，由方差的性质得DD1，故C正确； 在D中，D故选D. 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查概率、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

D1224DD，故D错误．

211．D

解析：D 【解析】

分析：先根据已知求出a,b的值，再利用方差公式求随机变量X的方差DX.

1ab113,ab, 详解：由题得301a2b13所以D(X)(01)(11)(21)故答案为D.

点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值

22的概率分别是p1，p2，…，pn，那么D＝(x1E)p1＋(x2E)p2＋…＋

213213212. 33(xnE)2pn,称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量的期

望．

12．A

解析：A 【解析】

分析：利用条件概率求P(B|A).

22详解：由题得n(A)A630,n(AB)30A510,

所以P(B|A)n(AB)101.故答案为A. n(A)303P(AB)n(AB)P(B|A) , =.

P(A)n(A)点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 条件概率的公式:P(B|A)二、填空题

13．【分析】由分布列求出然后由方差公式计算方差【详解】由题意故答案为：【点睛】本题考查随机变量的概率分布列考查随机变量的方差根据分布列计算出期望再由方差公式计算即得考查了学生的运算求解能力 解析：

65 216【分析】

由分布列求出q，然后由方差公式计算方差． 【详解】 由题意q1111， 362111E(X)11，

263111111165V(X)(1)2(0)2()2．

2333663216故答案为：【点睛】

本题考查随机变量的概率分布列，考查随机变量的方差．根据分布列计算出期望，再由方差公式计算即得．考查了学生的运算求解能力．

65． 21614．05【解析】分析：利用条件概率求解详解：设第一道工序出废品为事件则第二道工序出废品为事件则根据题意可得故在第一道工序出废品的条件下第二道工序又出废品的概率即答案为05点睛：本题考查条件概率的求法属基

解析：0.5 【解析】

分析：利用条件概率求解.

详解：设第一道工序出废品为事件A, 则PA0.4 ，第二道工序出废品为事件B，则根据题意可得PAB0.2，故在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率

PBAPAB1. PA2即答案为0.5

点睛：本题考查条件概率的求法，属基础题.

15．【分析】本题利用条件概率公式求解【详解】至少出现一个5点的情况有：至少出现一个5点的情况下三个点数之和等于15有一下两类：①恰好一个5点则另两个点数只能是4和6共有；②恰好出现两个5点则另一个点数也 解析：

1 13n(AB)求解． n(B)【分析】

本题利用条件概率公式P(A|B)【详解】

至少出现一个5点的情况有：635391，

至少出现一个5点的情况下，三个点数之和等于15有一下两类：

11①恰好一个5点，则另两个点数只能是4和6，共有C3C26；

②恰好出现两个5点，则另一个点数也只能是5点，共有1种情况．

P(A|B)n(AB)611， n(B)9113故答案为：【点睛】

1. 13本题考查条件概率的公式，需要求出基本事件的个数，运用正难则反的思想．

16．40000【分析】首先根据条件判断可知根据条件求得概率最后再计算样本总量【详解】可知又（件）故填：40000【点睛】本题考查了正态分布应用的实际问题计算正态分布下的概率时需充分应用曲线关于对称对称轴

解析：40000 【分析】

首先根据条件判断100,10，可知P110X120Px2，根据条件求得概率，最后再计算样本总量. 【详解】

XN100,100

可知100,10

P110X120Px2P2x2PX 20.95450.68270.1359,

2543640000（件）. 又

0.1359故填：40000. 【点睛】 本题考查了正态分布应用的实际问题，计算正态分布下的概率时，需充分应用曲线关于

x对称，对称轴两侧的概率均为0.5.

17．【分析】令事件求出即可求出选出4号球的条件下选出球的最大号码为6的概率【详解】令事件依题意知∴故答案为【点睛】本题考查古典概型理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性掌握列 解析：

1 14【分析】

令事件A选出的4个球中含4号球，B选出的4个球中最大号码为6，求出

3nAC9，nAB6，即可求出选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概

率． 【详解】

令事件A选出的4个球中含4号球，B选出的4个球中最大号码为6，

nABC46， 依题意知nAC9=84， 32∴PB|A【点睛】

611，故答案为. 841414本题考查古典概型，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，掌握列举法，还要应用排列组合公式熟练，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题，属于中档题.

18．【分析】由题意可得且由此求得事件发生的概率的值【详解】设事件发生的概率为事件发生的概率为则由题意可得且解得故答案为【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式条件概率公式属于中档题

3解析：

5【分析】

PAPB由题意可得PAB 31，且PB/A，由此求得事件A发生的概率102PA的值．

【详解】

设事件A发生的概率为PA，事件B发生的概率为PB，

33PAPB，且PB/APAB10=1， 则由题意可得PAB 10PAPA2PA解得 【点睛】

33，故答案为. 55本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、条件概率公式，属于中档题．

三、解答题

19．（1）0.04（2）见解析（3）Dx1Dx2 【分析】

（1）某位顾客购买H型和V手机是独立事件，由独立事件的概率公式求解即可； （2）先得出X的可能取值，再算出相应概率，即可得出X的分布列； （3）由以往销售数据统计，结合数据的集中和离散程度得出Dx1Dx2. 【详解】

（1）某位顾客购买H型和V手机是独立事件，则这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率为0.10.40.04

（2）X的可能取值为600,650,700,750,800,850,900

P(X600)0.40.40.16

1P(X650)C20.40.10.08 1P(X700)0.10.1C20.10.40.09 11P(X750)C20.40.4C20.10.10.34 1P(X800)0.10.1C20.10.40.09 1P(X850)C20.10.40.08

P(X900)0.40.40.16

则X的分布列为

X P 600 650 700 750 0.34 800 0.09 850 0.08 900 0.16 0.08 0.09 0.16 （3）Dx1Dx2 【点睛】

方法点睛：求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）先判断随机变量是不是离散型随机变量，主要看随机变量的值能否按一定的顺序一一列举出来； （2）明确随机变量X可取哪些值； （3）求X取每一个值的概率； （4）写出分布列. 20．（1）【分析】

（1）直接根据相互独立事件的概率公式计算即可；

（2）X的可能取值为0，1，2，3，5，根据独立事件、互斥事件的概率公式分别计算X的各种取值对应的概率，得出分布列，再计算数学期望． 【详解】

设小李同志第i次套圈命中为事件Ai，i1,2,3， 则A1,A2,A3为独立事件， (1)设恰好命中三次为事件A.

591. ；（2）分布列见解析，EX3183221PAPA1A2A3PA1PA2PA3

4333(2)X的可能取值为0，1，2，3，5

1111则PX0PA1A2A3

433361211121PX1PA1A2A3PA1A2A3，

43343393111PX2PA1A2A3

43312PX3PA1A2A3PA1A2A3PA1A2A3

1223123211114 43343343396693221PX5PA1A2A3

4333X的分布列为 X P 则EX0【点睛】

方法点睛：求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关. 21．（1）

0 1 1 92 1 123 4 95 1 31 3611141591235. 36912931813333；（2）当0p或p1时，方案一更“优”； 当966p33333333或p时，方案一、二一样“优”；当时，方案二p6666更“优”. 【分析】

388（1）根据题意，3人混检样本为阴性的概率为3，故根据对立事件得答案； 99（2）采取方案一，检验次数记为X，可能取值为1,7，进而列概率分布列，求期望

EX76p2；采取方案二，记检验次数为Y，可能取值为2,5,8，进而列概率分布

列，求期望得EY86p，再作差分情况讨论即可得答案. 【详解】

88解：(1)该混合样本阴性的概率是3， 99根据对立事件可得，阳性的概率为1381 99(2)方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为X，则X的可能取值为1,7

PX1p36p2;PX71p2，其分布列为:

X P 则EX76p，

21 p2 7 1p2 方案二:由题意分析可知，每组3份样本混合检验时，若阴性则检测次数为1,概率为

3p3 p，若阳性，则检测次数为4，概率为1p，

方案二的检验次数记为Y，则Y的可能取值为2,5,8，

1PY2p2;PY5C2p1p2p1p;PY81p;

2其分布列为:

Y P 22 p2 5 2p2p2 28 1p2 则EY2p52p2p281p86p，

EYEX86p76p26p26p1，

当0p当p当3333或p1时，可得EXEY，所以方案一更“优” 663333或p时，可得EXEY，所以方案一、二一样“优” 663333时，可得EYEX，所以方案二更“优”. p66【点睛】

本题考查随机事件的概率分布列与数学期望，考查知识迁移与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意写出方案一与方案二的概率分布列，求解对应事件的概率是难点，理解并应用独立事件的概率求解是解决概率的基本方法，进而根据分布列求期望，并作差分类讨论.

22．（1）22.76吨；（2）51个；（3）分布列见解析，【分析】

（1）样本数据各组的中点值分别乘以各组的频数求和后再除以样本容量可得答案； （2）据题意计算出 5.2，由PX28PX进而可以求出这320个社区中超标社区的个数；

（3）算出X的可能取值及对应的概率列出分布列计算出变量的期望即可.

5. 210.6826. 2【详解】

（1）样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则

145176209231226829632422.76.

50估计该市A类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨. （2）据题意，22.8，227.04，即5.2，则x10.68260.1587. 2因为3200.158750.78451，估计该市A类社区中“超标”社区约51个. PX28PX（3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在27.5,30.5内的“超标”社区也有4个，则X的可能取值为1，2，3，4.

142332C4C4C4C43C4C431PX15，PX2PX3，，55C814C87C8741C4C1PX454.

C814则X的分布列为：

X Y 1 2 3 4 1 143 73 71 14所以EX1【点睛】

13315234. 1477142本题考查了正态分布、随机变量X的分布列及数学期望，关键点是求出X所有可能取值对应的概率，意在考查学生对数据的分析处理能力，计算能力. 23．（1）【分析】

（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A，“小华射击甲靶命中”为事件B， “小华第一次射击乙靶命中”为事件C，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D， 则有ABCDBCDBCD，由互斥事件与独立事件的概率公式可得；

（2）随机变量X的取值可能为0,1,2,3,5，求出它们的概率可得分布列，由期望公式可计算出期望． 【详解】

解：（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A，“小华射击甲靶命中”为事件B， “小华第一次射击乙靶命中”为事件C，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D， 由题意可知P(B)1344. ；（2）分布列答案见解析，数学期望：

94523，P(C)P(D)，

35由于ABCDBCDBCD， ∴P(A)P(BCDBCDBCD)故甲同学恰好命中一次的概率为（2）X0，1，2，3，5．

3213122224， 53353353394. 922182121，P(X1)C2， P(X0)533455345232122243111P(X2)，P(X3)C2，

533533953152324P(X5)，

5315X P 0 1 2 3 5 22 458 451 154 94 15E(X)0【点睛】

281441341235. 45451591545本题考查互斥事件与相互独立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是把事件“小华恰好命中两次”拆成一些互斥事件的和，确定随机变量的可能值并计算出概率． 24．答案见解析. 【分析】

本题为开放问题，答案不唯一，结合已有数据，言之成理即可. 【详解】

本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，给出明确结论，

结合已有数据，能够运用以下8个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，

标准1：会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度） 标准2：会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）

标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）

标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）

标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B）

标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B）

标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3.后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3.故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快B）

标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2.故品牌A和品牌B打开文件的速度相当） 参考数据

25．（1）【分析】

114. ；（2）分布列见解析，EX99（1）根据甲在第二次射击时击中目标，说明甲第一次未击中目标，乙第一次也未击中目标，由此利用概率的乘法公式计算出目标事件的概率；

（2）先分析X的可能取值，然后求解出X的可能取值对应的概率，由此得到X的分布列并计算出期望值. 【详解】

记甲在第ii1,2次射击击中目标为事件Ai，乙在第ii1,2次射击击中目标为事件

Bi，（1）记“甲在他第二次射击时击中目标”为事件M，

所以PMPA1PB1PA21121； 3239（2）由题意可知：X可取1,2,3,4，

PX1PA12111，PX2PA1PB1， 33261121PX3PA1PB1PA2，

32391111PX4PA1PB1PA2，

32318所以X的分布列如下：

2 1 6X P 1 2 33 1 94 1 18所以EX1【点睛】

211114234. 369189关键点点睛：解答本题的关键是理解对立事件的概率计算以及概率乘法公式，同时注意分析每次击中目标之前对应的情况.

26．（1）a0.75，平均数为1.11；（2）1637(个)；（3）概率为【分析】

（1）先根据频率分布直方图的性质求得a的值，再根据平均数的计算方法即可得这批新品种豌豆荚长度的平均数的估计值；

（2）根据与的值得到P0.88（1）由频率分布直方图可得0.50.210.220.22a0.21.解得a0.75

3，数学期望3. 203，再判断服从二项分布，最后计算所求概20估计新品种豌豆豆荚长度的平均数

x0.70.50.20.910.21.120.21.30.750.21.50.750.21.11. （2）由（1）知新品种豌豆豆荚长度的平均数约为1.11，则1.11，又0.23，所以

0.88，1.34，20.65，21.57.

所以P0.88X1.57PX2

P2X2PX0.8186

2所以100袋豌豆豆荚中，长度位于区间0.88,1.57内的豆荚个数为

100200.81861637.21637(个)

（3）在新品种豌豆豆荚中随机抽取一个，豆长度超过1.4dm的频率为

0．750．2015．3，所以随机打开一袋新品种豌豆豆荚，再从中随机抽取一个豆荚，203. 203 20191这个豆荚为特等豆荚的概率P依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，……，20，且B20,2001733117所以P1P0P1C0C2020 2020202077170.1771； 202019的数学期望E()20【点睛】

33. 20结论拓展：（1）频率分布直方图的性质：各组的频率等于各小长方形的面积，且所有小长方形的面积和等于1.

（2）频率分布直方图与众数､中位数､平均数的关系：①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数的估计值；②中位数左边，右边的小长方形的面积和是相等；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标的和.