第１６卷 第４期 ２０１７年１２月 太原师范学院学报（自然科学版） ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＴＡＩＹＵＡＮ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）Ｖｏ１．１６ Ｎｏ・４ Ｄｅｃ．２０１７ 复Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中的复时间序列 郝晓燕 （晋中师范高等专科学校，山西晋中０３０６００） （摘要］ 根据复值时间序列的定义，Ｈｉｌｂｅｒｔ空间的定义证明了复值时问序列的某一段的线 性组合是线性空间，在定义内积的基础上，证明了它是内积空间和距离空间，又证明了内积的连续 性，进而证明了其完备性，最后得出它是一个Ｈｉｌｂｅｒｔ空间．这为我们应用泛函分析的方法在 Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中研究时间序列提供了可能，为时间序列的研究开辟了具有实践意义的领域，为该领 域的研究提供了有力的工具． （关键词） 空间；内积；复时间序列 （文章编号］ １６７２—２０２７（２Ｏ１７）０４—００２８—０３ ［中图分类号］０２１１．６１ （文献标识码］ Ａ １ 预备知识 １．复值随机变量ｎ］ 、 如果Ｘ和ｙ是随机变量，就称Ｚ—Ｘ＋ｉＹ是复随机变量， 如果ＥＸ和ＥＹ都存在，就称Ｚ—Ｘ＋ｉＹ的数学期望存在， 且定义ＥＺ—ＥＸ＋ｉＥＹ为随机变量Ｚ的数学期望． Ｅ ｆ ｚ 一Ｅ（ＺＺ）一ＥＬＩＹ ＋ ’ 为随机变量ｚ的二阶矩． ２．按时间次序排列的复随机变量｛ ）的序列称为复时间序列¨】］． ３．设Ｕ是复数域Ｋ上的线性空间， 如果对Ｖ ， Ｅ Ｕ，存在唯一（ｚ， ）∈Ｋ 满足１）对第一变元的线性性：（ａｘ＋ ，ｚ）一ａ（ｘ，ｚ）＋Ｐ（ｙ，ｚ）ｚ Ｅ Ｕ ２）共轭对称性：（ ，．ｙ）一（ ，ｚ） ３）正定性：（ ， ）≥０，（ ， ）一０㈢ｚ一０ 则称（．ｚ， ）为ｚ，Ｙ的内积，Ｕ为复内积空间 ］． ２ 主要结论 １．用Ｌ。（ｚ）表示二阶矩有限的复时间序列｛乙｝的有限线性组合的全体： ｋ Ｌ。（ｚ）一｛∑ Ｚ（ｔ ）ｌ口 ∈ｚ， ∈ｚ，１≤Ｊ≤ ，ｋ Ｅ Ｎ＋） Ｊ一１ 则对Ｖ Ｚ。，Ｚ。，Ｚ。Ｅ Ｌ。（Ｚ），ａ，６ Ｅ Ｚ有 １）Ｚｏ＋Ｚ１一Ｚｌ＋Ｚｏ Ｅ Ｌ （Ｚ），（ ＋Ｚ１）＋Ｚ２一Ｚ０＋（Ｚ ＋Ｚ２） ２）０∈Ｌ。（Ｚ），Ｚ。＋０＝＝＝Ｚ。，Ｚ。＋（一Ｚ。）一０ Ｅ Ｌ。（Ｚ） ３）ａ（Ｚ。＋Ｚ１）一ａＺ０＋ａＺｌ Ｅ Ｌ （Ｚ），（ｎ＋６）Ｚ。一ａＺｏ＋ｂＺ０，ａ（ｂＺ０）一（ａｂ）Ｚ０ 故Ｌ。（Ｚ）是一个线性空间． 证明：设Ｚ。一Ｘ。＋ｉＹ。 Ｚ 一Ｘ１＋ｉＹ１ Ｚ２一Ｘ２＋ｉＹ２ １）Ｚ０＋Ｚ１一（Ｘ。＋ｉＹｏ）＋（Ｘ１＋ｉＹ１）一（Ｘ。＋Ｘ ）＋ｉ（ｙ。＋Ｙ１）一（Ｘ１＋Ｘ。）＋ 收稿日期：２０１７－０８—２７ 作者简介：郝晓燕（１９８３一），女，山西平遥人，硕士，晋中师范高等专科学校讲师，主要从事概率统计研究 第４期 郝晓燕：复Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中的复时间序列 ２９ ｉ（ｙ１＋Ｙｏ）一（Ｘ１＋ｉＹ１）＋（Ｘ。＋ ｙ０）：＝：Ｚ１＋Ｚｏ Ｚ。＋Ｚ 一（Ｘ。＋ ｙ。）＋（Ｘ ＋ｉＹ１）一（Ｘ。４－Ｘ。）＋ｉ（ｙ。＋Ｙ１） 有Ｚ０＋Ｚ１一Ｚ ＋Ｚｏ∈Ｌ （Ｚ） （Ｚ０＋ｚ ）＋ｚ 一Ｅ（ｘ。＋ｉＹ。）＋（ｘ ＋ｉＹ１）］＋（ｘ２＋ｉＹ２）一（ｘ。＋ｘ 十ｘ２）＋ （ｙ０＋ｙ ＋Ｙ ）一Ｅｘ。＋（ｘ１＋Ｘ２）］＋ ＋（ｙ ＋ｙ２）］＝（ｘ。＋ｉＹ。）＋ ［（Ｘ ＋ｘ。）＋ （ｙ ＋Ｙ。）］一Ｚｏ＋（ｚ ＋Ｚ。） ２）０＝０ Ｚ。一（ＯＸ。）＋ｉ（ＯＹｏ）∈Ｌ。（Ｚ） Ｚ０＋０一（Ｘｏ＋ｉＹｏ）＋（０＋ｉＯ）一Ｘ。＋ｉＹ。一Ｚｏ ＋（一Ｚ０）一（Ｘ。＋ｉＹ。）＋（一Ｘ。一 ）一（Ｘ。一Ｘ。）＋ｉ（ｙ。一Ｙｏ）一０∈Ｌ （Ｚ） 口（Ｚ０＋Ｚ１）一口［（Ｘ。＋ ｙ０）＋（Ｘ１＋ ｙ１）］一ａ（Ｘ。＋ｉＹ。）＋ａ（Ｘ ＋ｉＹ１）一ａＺ。＋ａＺ ∈Ｌ。（ｚ） （ｎ＋６）Ｚｏ一（口＋６）（Ｘ０＋ ｙ。）一ａ（Ｘ。＋ｉＹ０）＋６（Ｘ。＋ ｙ０）一ａＺ０＋ｂＺ。 口（ｂＺ。）一ａＥｂ（Ｘ。＋ｉＹｏ）］一（ａｂ）ｘ。＋ｉ（ａｂ）ｙ０一（ａｂ）（ｘｏ＋ｉＹｏ）一（ａｂ）Ｚ０ Ｌ。（Ｚ）是一个线性空间． ２．定义内积＜Ｘ，ｙ＞一Ｅ（ＸＹ） 则有对ＶＺ。，Ｚ ∈Ｌ （Ｚ），存在唯一的Ｅ（Ｚ。Ｚ ）∈Ｌ （Ｚ） 满足１）对第一变元的线性性：（ａＺ。＋ ，Ｚｚ）一ａ（Ｚｏ，Ｚｚ）＋ｐ（ｚ。，Ｚ２），Ｚｚ∈Ｌ （Ｚ） ２）共轭对称性：＜Ｚｏ，Ｚ ＞一＜Ｚ１，Ｚ。＞ ３）正定性：＜Ｚ０． ＞≥０，＜Ｚｏ，Ｚ。＞＝＝＝０∞Ｚｏ一０ 则＜ ，Ｚ ＞为 ，Ｚ，的内积，Ｌ （Ｚ）是一个内积空间． 证明：１）设Ｚｏ—Ｘ。＋ｉＹｏ Ｚｌ—Ｘｌ＋ｉＹ１ 。＋ １：ａ（Ｘ。＋ｉＹ。）＋ （Ｘ ＋ｉＹ ）一（ａＸ。＋ ）＋ｉ（ａＹｏ＋ １） （ 。＋ ） ＝［口（ｘ。＋ｉＹ。）＋卢（ｘ ＋ｉＹ１）］（ｘ 一ｉＹ ）＝［（ 。＋ ）＋ （ｄｙ０＋ １）］［ｘｚ—ｉＹ２］一［（ａｘ。＋ １）Ｘ２＋（ａＹ。＋ １）ｙ ］＋ｉＥ（ａＹｏ＋ １）Ｘｚ一 （ａＸ。＋ ）ｙ ］一［（ 。ｘ。＋ａＹｏＹ。）＋ （ａＹｏｘ 一 。ｙ。）］＋［（ ｘ２＋ Ｙｚ）＋ （ 。Ｘ。一 ｙ。）］一ａ（Ｘ。＋ｉＹ。）（Ｘ 一ｉＹ。）＋ （ｘ ＋ｉＹ－）（Ｘｚ—ｉＹ２）一ａＺｏ Ｚｚ＋ ｚｚ 故有 （ａＺ０＋ｐｚ１，Ｚ２）一ａ（Ｚｏ，Ｚ２）＋ｐ（ｚ１，Ｚ２），Ｚ２∈Ｌ。（Ｚ） ２）ｚ。 一（ｘ。＋ ｙ０）（ｘ 一ｉＹ１）一（ｘ。ｘ１＋ Ｙ１）一ｉ（ｘ。Ｙ１一Ｘ１Ｙｏ） ｚ１ 一（ｘ１＋ｉＹ ）（ｘ。一ｉＹ。）一（ｘ１ Ｘ。＋ｙｌｙ。）一ｉ（ｘｌｙ。一ｘ。ｙ ）一Ｚ。Ｚ１ 故有＜Ｚ０，Ｚ ＞一＜Ｚ ，Ｚｏ＞ ＜Ｚ。．Ｚ０＞＝＝＝Ｅ（Ｚ。 ）一ＥＥ（Ｘ。＋ｉＹ。）（ｘ。一ｉＹ。）］＝Ｅ（Ｘ。 ＋Ｙｏ ）≥ｏ Ｚ０ Ｚｏ一 （Ｘ０＋ ｙ０）（Ｘｏ—ｉＹ０）一（Ｘ０Ｘｏ＋Ｙｏｙ０）一ｉ（ＸｏＹ０一Ｘ０ｙ０）：Ｏ铮Ｘｏ一０，Ｙｏ一０ Ｌ。（Ｚ）是一个内积空间． ３．在内积空间Ｌ。（ｚ）中，如果令Ｉ『ｚ ｌｌ一 即ｌＩ ｚ ｌＩ 一＜Ｚ，ｚ＞可以验证满足范数的三条 公理，故Ｌ （Ｚ）是按内积导出的赋范线性空间，进一步可由范数导出距离 ｐ（Ｚｏ，ｚ１）一ｌＩ ｚ。一ｚ ｌｌ一￣／＜ 一ｚ ， 一ｚ１＞一，／ＥＥ（ｘ０一ｘ１） ＋（Ｙｏ—ｙ ） 故Ｌ （Ｚ）是一个距离空间． 证明：ｌＩ Ｚ。一Ｚ ＩＩ—ｌ】Ｚ 一Ｚ０ ｌ ｌｌ ｌＺｏ—Ｚ１ Ｉｌ一０铮Ｚ０一Ｚｌｎ．ｓ． 三角不等式 Ｉ ＩＺ。一Ｚ。ｌｌ≤Ｉｌ 一Ｚ ｌｌ＋ＩＩ Ｚ 一Ｚ。ＩＩ ３０ 太原师范学院学报（自然科学版） 第１６卷 Ｚ。一Ｚ。ｌｌ一√Ｅ［（Ｘ。一ｘ ） ＋（ｙ。一Ｙｚ） ］≤ 可 Ｌ （Ｚ）是一个距离空间． ４．内积的连续性 二 午（Ｘ 。）。午（ｙ。一Ｙ ） ＋（ｙ 一Ｙ ） ￣／ｌ 一Ｚ Ｉｌ ＋ｌｌ ｌＺ 一ｚ。ｌ ≤ｌｌ ｌＺ。一Ｚ ｌＩ＋ｌ ｌＺ 一Ｚｚ ＿一０，Ｉｌ Ｚ 一Ｚ １１—０ 在内积空间Ｌ。（ｚ）中，如果１ｌ ｚ Ｚ ｌ—则有１）ｌ ｌｚ ｌｌ—ｌＩ ｚ ｌｌ； ＜乙，Ｚ ＞一＜Ｚ，Ｚ ＞ 证明： ｌ 一Ｚ ｌＩｌ一０ ｌ ｌＺ 一Ｚ ｌｉ 一０ （Ｚ 一Ｚ，Ｚ 一Ｚ）一０ ｛ｌ ｚ ｌＩ—ｌ ｌｚ ｌ ｌ ］ｆｆ＋ｆｆ ＥＥｚ （ 一Ｚ ）］ ２）ｆｆ（乙， ）一（ｚ，Ｚ）ｆｆ一 ＥＥ（ｚ．一ｚ）。． ｌ ｌＺ 一Ｚ ｌ；—＋０，＿ ｌｚ 一ｚ ｝０ ‘．．１ｌ Ｅ［（ ～ｚ）ｚ ］Ｊｌ— ０， ＥＥｚ（ 一Ｚ ）］｝Ｊ一０ １ｌ（Ｚ ，Ｚ ）一（Ｚ，Ｚ ）ｌＩ一０ ‘．．故＜Ｚ ， ＞一＜Ｚ，Ｚ＞ ５．又因为｛Ｚ ）是基本列，当且仅当｛Ｚ ）的实部和虚部都是基本列，故Ｌ （ｚ）是一个完备的内积 空间Ⅲ． ６．Ｈｉｌｂｅｒｔ空间 内积空间Ｌ （ｚ）按距离ｐ（Ｚ。，Ｚ ）一ｌ ｌｚ。一Ｚ】Ｉ Ｊ一￣／＜Ｚｏ—Ｚｌ＇Ｚ。一Ｚ】＞是完备的，故Ｌ （Ｚ）是一 个复Ｈｉｌｂｅｒｔ空间． 参考文献： ［１］何书元．应用时间序列分析Ｉ－Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００３ ［２］程其襄，张奠宙，魏国强，等．实变函数与泛函分析基础ＥＭ］．北京：高等教育出版社，２００２ Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｔｉｍｅ Ｓｅｒｉｅｓ ｉｎ Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｈｉｌｂｅｒｔ Ｓｐａｃｅ ＨＡｏ Ｘｉａｏｙａｎ （Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｎｚｈｏｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｊｉｎｚｈｏｎｇ ０３０６００，Ｃｈｉｎａ） ＜Ａｂｓｔｒａｃｔ］ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ，ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐａｃｅ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｃｏｍｐｌｅｘ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ ｉＳ ａ ｓｅｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ １ｉｎｅａｒ ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ １ｉｎｅａｒ ｓｐａｃｅ，ｏｎ ｔｈｅ ｂａｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｎｅｒ ｐｒｏｄｕｃｔ，ｐｒｏｖｅｄ ｔｈｅ ｉｎｎｅｒ ｐｒｏｄｕｃｔ ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｓｐａｃｅ，ａｎｄ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉ— ｎｕｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｎｅｒ ｐｒｏｄｕｃｔ，ａｎｄ ｐｒｏｖｅ ｉｔｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ，ｆｉｎａｌｌｙ ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｃｌｕｄｅｄ ｔｈａｔ ｉｔ ｉｓ ａ ｓｐａｃｅ．Ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ｛ｕｎｃｔｉｏｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ＵＳ ｉｎ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｉｍｅ ｓｅ— ｑｕｅｎｃｅ，ｏｐｅｎｓ ｕｐ ｔｏ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ ｈａｓ ｔｈｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ｏｆ ｆｉｅｌｄ，ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎ ｔｈｉｓ ｆｉｅｌｄ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ａ ｐｏｗｅｒｆｕｌ ｔｏｏ１． ［Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ￣ ｓｐａｃｅ；ｉｎｎｅｒ ｐｒｏｄｕｃｔｓ；ｃｏｍｐｌｅｘ ｔｉｍｅ ｓｅｒｉｅｓ
