试卷（理科）
一、选择题
1．若3n个学生排成一排的排法种数为a，这3n个学生排成三排，每排n人的排法种数为b，则（ ） A．a＞b B．a＜b
C．a=b D．a，b的大小由n确定
2．n∈N且n＜55，则乘积（55﹣n）（56﹣n）…（69﹣n）等于（ ） A．
B．
C．
D．
3．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A．男生2人，女生6人 B．男生3人，女生5人 C．男生5人，女生3人 D．男生6人，女生2人
4．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A．60个 B．48个 C．36个 D．24个
5．某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为（ ） A．B．C．D．
6．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见表，则实验效果与教学措施（ ）
实验班 对比班 优、良、中 48 38 差 2 12 总计 50 50 总计 86 14 100 A．有关 B．无关 C．关系不明确 D．以上都不正确
7．如图，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法错误的是（ ）
A．相关系数r变大 B．残差平方和变大 C．相关指数R2变大
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
8．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（ ） A．83% B．72% C．67% D．66%
9．变量x与y具有线性相关关系，当x取值16，14，12，8时，通过观测得到y的值分别为11，9，8，5，若在实际问题中，y的预报最大取值是10，则x的最大取值不能超过（ ） A．16 B．17 C．15 D．12
10．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生，得到列联表：
数学 物理 85～100分 85分以下 合计 37 35 72 85 143 228 122 178 300 85～100分 85分以下 合计 现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为（ ） A．0.5% B．1% C．2% D．5%
11．下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是（ ） A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒 C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧 12．下列结论正确的是（ ）
①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题
13．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时收集了美国 50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比（ x ）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（ y ）的数据，建立的回归直线方程为=0.8x+4.6，斜率的估计等于0.8说明 ．
14．考古学家通过始祖鸟化石标本发现，其股骨长度x（cm）与肱骨长度y（cm）线性回归方程为cm．
15．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射14天内的结果如表所示：
第一种剂量 第二种剂量 总计 死亡 14 6 20 存活 11 19 30 总计 25 25 50 ，由此估计，当肌骨长度为50cm时，肱骨长度的估计值为
进行统计分析时的统计假设是 ．
解析 根据独立性检验的基本思想，可知类似于反证法，即要确认“两个分量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立．对于本题，进行统计分析时的统计假设应为“小白鼠的死亡与剂量无关”．
16．某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出x（万元）与公司所获得利润y（万元）的统计资料如下表： 序号 1 2 科研费用支出xi 5 11 利润yi 31 40 xiyi 155 440 xi2 25 121 3 4 5 6 合计 4 5 3 2 30 30 34 25 20 180 120 170 75 40 1 000 16 25 9 4 200 则利润y对科研费用支出x的线性回归方程为 ． 三、解答题
17．已知（1﹣2x）=a0+a1x+a2x+…+anx，（n∈N），且a2=60． （1）求n的值； （2）求﹣
+
﹣
+…+（﹣1）n
的值．
n
2
n
*
18．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面三个小题： （1）若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数？
（2）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数？ （3）若直线方程ax+by=0中的a，b可以从已知的六个数字中任取两个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？
19．排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，要求： （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
20．高一、高二、高三三个年级共30个班，每个年级10个班，每班一个球队．现举行蓝球比赛，首先每个年级中各队进行单循环比赛，然后将各年级的前3名集中起来进行第二轮比赛，在第二轮比赛中，除了在第一轮中已经赛过的两队外，每队要和其他队各赛一场，那么先后共比赛多少场？
21．在极坐标系中，已知某曲线C的极坐标方程为ρ=标方程为ρ（cosθ+2sinθ）+6=0
（Ⅰ）求该曲线C的直角坐标系方程及离心率e；
（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值． 22．已知f（x）=|2ax+1|，（a∈R），不等式f（x）≤3的解集{x|﹣2≤x≤1}．
2
，直线l的极坐
（1）求a的值； （2）若
恒成立，求k的取值范围．
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学普通班高二（下）第三次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若3n个学生排成一排的排法种数为a，这3n个学生排成三排，每排n人的排法种数为b，则（ ） A．a＞b B．a＜b
C．a=b D．a，b的大小由n确定
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】利用排列知识分别求出满足题意的a，b然后进行比较即可 【解答】解：3n个学生排成一排的排法有a=3n个学生排成三排，每排n人的排法种数为b=故选C
2．n∈N且n＜55，则乘积（55﹣n）（56﹣n）…（69﹣n）等于（ ） A．
B．
C．
D．
=（3n）!
=
（3n）=!=a
【考点】D4：排列及排列数公式．
【分析】由于要求的式子是15个连续自然数的乘积，最大的为69﹣n，根据排列数公式得出结论．
【解答】解：∵n∈N且n＜55，则乘积（55﹣n）（56﹣n）…（69﹣n）是15个连续自然数的乘积，最大的为69﹣n， 故（55﹣n）（56﹣n）…（69﹣n）=故选：B．
3．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A．男生2人，女生6人 B．男生3人，女生5人
，
C．男生5人，女生3人 D．男生6人，女生2人 【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】设出男学生有x人，根据一共有8人得到女学生有8﹣x人，根据从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，得到关于x的等式CxC8﹣xA3=90，解出x即可．
【解答】解：设男学生有x人，则女学生有8﹣x人， 从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、 物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案 ∴Cx2C8﹣x1A33=90，
∴x（x﹣1）（8﹣x）=30=2×3×5， ∴x=3 故选B．
4．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A．60个 B．48个 C．36个 D．24个 【考点】D4：排列及排列数公式．
【分析】由题意本题的要求是个位数字是偶数，最高位不是5．可先安排个位，方法有2种，再安排最高位，方法有3种，
其他位置安排方法有A33=6种，求乘积即可．
【解答】解：由题意，符合要求的数字共有2×3A3=36种 故选C
5．某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为（ ） A．B．C．D．
3
2
1
3
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】由题意知本题是一个分类计数问题，男、女学生均不少于2人的选法两种，2男3女和2女3男，当有2男3女时，有C302C203种结果，当2女3男时有C303C202种结果，根据加法原理得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
男、女学生均不少于2人的选法两种，2男3女和2女3男， ∴当有2男3女时，有C302C203种结果， 当2女3男时有C303C202种结果，
∴根据分类计数原理得到共有C302C203+C303C202， 故选D．
6．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见表，则实验效果与教学措施（ ）
实验班 对比班 总计 优、良、中 48 38 86 差 2 12 14 总计 50 50 100 A．有关 B．无关 C．关系不明确 D．以上都不正确 【考点】BS：相关系数．
【分析】根据所给的观测值，同临界值表中的临界值进行比较，可得结论． 【解答】解：∵k2=P（k2＞7.879）=0.005，
∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为实验效果与教学措施有关． 故选：A．
7．如图，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法错误的是（ ）
≈8.306＞7.879，
A．相关系数r变大 B．残差平方和变大 C．相关指数R2变大
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强 【考点】BI：散点图．
【分析】由散点图知，去掉D（3，10）后，y与x的线性相关加强，由相关系数r，相关指数R及残差平方和与相关性的关系得出选项．
【解答】解：由散点图知，去掉D（3，10）后，y与x的线性相关加强，且为正相关， 所以r变大，R变大，残差平方和变小． 故选：B．
8．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归方程为=0.66x+1.562．若某城市居民人均消费水平为7.675（千元），估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（ ） A．83% B．72% C．67% D．66% 【考点】BK：线性回归方程．
【分析】把y=7.675代入回归直线方程求得x，再求的值． 【解答】解：当居民人均消费水平为7.675时， 则7.675=0.66x+1.562，即职工人均工资水平x≈9.262， ∴人均消费额占人均工资收入的百分比为故选：A．
9．变量x与y具有线性相关关系，当x取值16，14，12，8时，通过观测得到y的值分别为11，9，8，5，若在实际问题中，y的预报最大取值是10，则x的最大取值不能超过（ ） A．16 B．17 C．15 D．12
×100%≈83%．
2
2
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】本题考查的知识点是线性回归方程的求法，由已知中x取值为16，14，12，8时，y的值分别为11，9，8，5．我们可以计算出
，
，
，
．代
入回归系数计算公式即可计算出斜率b的值，再由可以求出a值，代入即可得到回
归直线的方程．再将y的预报最大取值是10代入，即得答案． 【解答】解：由题意得：
，
则
故回归直线方程为由
，
，
，，，
．
，
得x≤14.90， 故x的最大值是15． 故选C．
10．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生，得到列联表：
数学 物理 85～100分 85分以下 合计 37 35 72 85 143 228 122 178 300 85～100分 85分以下 合计 现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为（ ） A．0.5% B．1% C．2% D．5% 【考点】BL：独立性检验．
【分析】由表求出K2的值，查表比较可得． 【解答】解：∵K2=
≈4.514＞3.841，
∴判断数学成绩与物理成绩有关系出错率为5%， 故选D．
11．下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是（ ） A．瑞雪兆丰年 B．名师出高徒 C．吸烟有害健康 D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧 【考点】BH：两个变量的线性相关．
【分析】根据两个变量之间的相关关系，分别进行判断．
【解答】解：瑞雪对小麦有好处，可能使得小麦丰收，所以瑞雪兆丰年具有相关关系． 名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系， 而喜鹊叫喜，乌鸦叫丧则没有必然的关系． 故选D．
12．下列结论正确的是（ ） ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【考点】BP：回归分析．
【分析】本题是一个对概念进行考查的内容，根据相关关系的定义与回归分析的统计意义进行判断．
【解答】解：①函数关系是一种确定性关系，这是一个正确的结论． ②相关关系是一种非确定性关系，是一个正确的结论．
③回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，所以③不对． 与③对比，依据定义知④是正确的， 故答案为C． 二、填空题
13．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时收集了美国 50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比（ x ）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（ y ）的数据，建立的回归直线方程为=0.8x+4.6，斜率的估计等于
0.8说明 一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右 ． 【考点】BQ：回归分析的初步应用．
【分析】根据线性回归方程中回归系数的意义，即可得出结论．
【解答】解：线性回归方程中回归系数为正，从而可知：一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右． 故答案为：一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右．
14．考古学家通过始祖鸟化石标本发现，其股骨长度x（cm）与肱骨长度y（cm）线性回归方程为cm．
【考点】BQ：回归分析的初步应用．
【分析】直接利用回归方程，将x=100代入，即可求得y的估计值． 【解答】解：∵回归方程
，
，由此估计，当肌骨长度为50cm时，肱骨长度的估计值为 56.19
∴当x=50时，y的估计值是1.197×50﹣3.660=56.19， 故答案为：56.19．
15．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射14天内的结果如表所示：
第一种剂量 第二种剂量 总计 死亡 14 6 20 存活 11 19 30 总计 25 25 50 进行统计分析时的统计假设是 小白鼠的死亡与剂量无关 ．
解析 根据独立性检验的基本思想，可知类似于反证法，即要确认“两个分量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立．对于本题，进行统计分析时的统计假设应为“小白鼠的死亡与剂量无关”． 【考点】BO：独立性检验的应用．
【分析】根据独立性检验的基本思想，类似于反证法，要确认“两个分量有关系”这一结论
成立的可信程度，即假设该结论不成立．
【解答】解：根据独立性检验的基本思想，可知类似于反证法， 即要确认“两个分量有关系”这一结论成立的可信程度， 首先假设该结论不成立，
对于本题，进行统计分析时的统计假设应为“小白鼠的死亡与剂量无关”． 故答案为：小白鼠的死亡与剂量无关．
16．某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出x（万元）与公司所获得利润y（万元）的统计资料如下表： 序号 1 2 3 4 5 6 合计 科研费用支出xi 5 11 4 5 3 2 30 利润yi 31 40 30 34 25 20 180 xiyi 155 440 120 170 75 40 1 000 xi2 25 121 16 25 9 4 200 =2x+20 ．
则利润y对科研费用支出x的线性回归方程为 【考点】BK：线性回归方程．
【分析】根据表中数据计算、，和回归系数
、，从而写出y关于x的线性回归方程．
【解答】解：根据表中数据，计算=xi=×30=5，
=yi=×180=30，
回归系数为===2，
=﹣=30﹣2×5=20，
=2x+20．
∴利润y对科研费用支出x的线性回归方程为故答案为： 三、解答题
=2x+20．
17．已知（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，（n∈N*），且a2=60． （1）求n的值； （2）求﹣
+
﹣
+…+（﹣1）n
的值．
【考点】DC：二项式定理的应用．
【分析】（1）利用通项公式求得 a2=2n（n﹣1）=60，由此解得n的值． （2）由于Tr+1=可得，
要求的式子可化为
+
+
+…+
，运算可得结果．
=4•
x2，故有 a2=2n（n﹣1）=60，解
•（﹣2x）r=ar•xr，可得 ar=（﹣2）r•
，故有（﹣1）r•
=
．由此
【解答】解：（1）由题意可得得n=6． （2）由于Tr+1=
•（﹣2x）r=ar•xr，∴ar=（﹣2）r•，∴（﹣1）r•=．
故﹣
+﹣+…+（﹣1）
n
=+++…+=2﹣1=63．
6
18．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面三个小题： （1）若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数？
（2）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数？ （3）若直线方程ax+by=0中的a，b可以从已知的六个数字中任取两个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？ 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】（1）数字允许重复，不同的五位偶数有5×6×6×6×3=3240个； （2）依据能被5整除的数，其个位是0或5，分两类，由加法原理得到结论；
（3）对于选不选零，结果会受影响，所以第一类a、b均不为零，a、b的取值，第二类a、b中有一个为0，则不同的直线仅有两条，根据分类计数原理得到结果． 【解答】解：（1）数字允许重复，不同的五位偶数有5×6×6×6×3=3240个；
（2）依据能被5整除的数，其个位是0或5，分两类，第一类，个位是0，百位数字不是3的有
﹣
=96个；
﹣
=78个，
第二类，个位是5，百位数字不是3的有
由加法原理得可组成96+78=174个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数． （3）分两类：第一类a、b均不为零， a、b的取值共有A
=20种方法．
a=1，b=2与a=2，b=4重复， a=2，b=1，与a=4，b=2重复． 所以此时共有18条不同的直线； 第二类a、b中有一个为0， 则不同的直线仅有两条x=0和y=0． ∴共有不同直线18+2=20条．
19．排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，要求： （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】（1）4个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把5个歌唱节目排列，形成6个位置，选4个把舞蹈节目排列，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，要求歌唱节目与舞蹈节目间隔排列，先把5个歌唱节目排列，不包含两端形成4个位置，把4个把舞蹈节目插入．由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①、将5个歌唱节目全排列，有A55种排列方法，排好后有6个空位， ②、在6个空位中，任选4个，安排4个舞蹈节目，有A64种排列方法，
则一共有种不同的安排方法；
（2）根据题意，要求歌唱节目与舞蹈节目间隔排列， 分2步进行分析：
①、先把5个歌唱节目排好，有A5种排列方法，排好后除去两端有4个空位， ②、在4个可选的空位中，安排4个舞蹈节目，有A44种排列方法， 则一共有
20．高一、高二、高三三个年级共30个班，每个年级10个班，每班一个球队．现举行蓝球比赛，首先每个年级中各队进行单循环比赛，然后将各年级的前3名集中起来进行第二轮比赛，在第二轮比赛中，除了在第一轮中已经赛过的两队外，每队要和其他队各赛一场，那么先后共比赛多少场？
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，先计算各年级进行单循环赛的场数，再计算在第二轮比赛中场数，排除其中在第一轮中已经赛过的球队，计算即可得答案．
【解答】解：根据题意，首先每个年级中各队进行单循环比赛，每个年级有C102场比赛， 三个年级共有
场比赛，
场，
种不同的安排方法．
5
在第二轮比赛中，三个年级共有9个队参加比赛，共需要比赛但在第一轮中已经赛过的球队共赛了
场，
所以先后共比赛场数为135+36﹣9=162场； 故先后共比赛162场．
21．在极坐标系中，已知某曲线C的极坐标方程为ρ2=标方程为ρ（cosθ+2sinθ）+6=0
（Ⅰ）求该曲线C的直角坐标系方程及离心率e；
（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）把
代入曲线C的极坐标方程为
即可
，直线l的极坐
得出曲线C的直角坐标系方程及离心率e； （II）由
知直线l的直角坐标系方程为x+2y+6=0．
法一：利用曲线C的参数方程为为参数），可设点P的坐标为（2cosϕ，sinϕ）．
则点P到直线l的距离为．即可得出．
法二：设与直线l平行且与曲线C相切的直线为x+2y+λ=0．联立消去y整理
得2x2+2λx+λ2﹣4=0．
利用△=0，求得切点，利用点到直线的距离公式即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）由
化为直角坐标系方程x+4y=4， 即
．
2
2
知曲线C的极坐标方程为可
由于在椭圆方程中a=2，b=1， ∴
．
．
故离心率
（2）∵直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+2sinθ）+6=0， ∴直线l的直角坐标系方程为x+2y+6=0． 法一：∵曲线C的参数方程为
∴可设点P的坐标为（2cosϕ，sinϕ）． 则点P到直线l的距离为
．
为参数），
∴当即
． 时，
．
法二：设与直线l平行且与曲线C相切的直线为x+2y+λ=0．
联立消去y整理得2x+2λx+λ﹣4=0．
22
则△=4λ2﹣8（λ2﹣4）=﹣λ2+8，令△=0得当
时，切点
．
．
到直线l的距离最大为
22．已知f（x）=|2ax+1|，（a∈R），不等式f（x）≤3的解集{x|﹣2≤x≤1}． （1）求a的值； （2）若
恒成立，求k的取值范围．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（1）求出﹣2≤ax≤1，而不等式f（x）≤3的解集{x|﹣2≤x≤1}，根据对应关系求出a的值即可；
（2）问题转化为|2x+2|﹣|2x+1|≤|2x+2﹣2x﹣1|=1≤k，从而求出k的范围即可． 【解答】解：（1）由|2ax+1|≤3， 得﹣3≤2ax+1≤3， 故﹣4≤2ax≤2， 故﹣2≤ax≤1，
而不等式f（x）≤3的解集{x|﹣2≤x≤1}， 故a=1；
（2）由（1）得：f（x）=|2x+1|，
f（x）﹣2f（）=|2x+1|﹣2|x+1|=|2x+1|﹣|2x+2|， 若
恒成立，
即|2x+2|﹣|2x+1|≤|2x+2﹣2x﹣1|=1≤k， 故k≥1．
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