河南省郑州四十七中2014-2015学年高二上学期10月月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一个符合要求） 1．（5分）在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（） A． 5 B． 8 C． 10
2
2
2
D．14
2．（5分）在△ABC中，若sinA+sinB＜sinC，则△ABC的形状是（） A． 钝角三角形 B． 直角三角形 C． 锐角三角形 D．不能确定
3．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（） A． 13 B． 35 C． 49 D．63
4．（5分）已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示an的前n项的和，若a1=3，a2a4=144，则S5的值是（） A．
5．（5分）在△ABC中，已知a=，b=2，B=45°，则角A=（） A． 30°或150° B． 60°或120° C． 60° D．30° 6．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为（） A．
B．
C．
D．
B． 69
C． 93
D．189
7．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a、b、c成等比数列且c=2a，则sinB=（） A．
8．（5分）若数列{an}的通项公式是an=（﹣1）（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=（） A． 15 B． 12 C． ﹣12 D．﹣15
9．（5分）△ABC中，BC=2，角B= A．
n
B． C． D．
，当△ABC的面积等于
C．
时，sinC=（） D．
B．
10．（5分）定义前n项的“平均倒数”为 A． 3n+2
为n个正数x1，x2，…，xn的“平均倒数”．若正项数列{an}的，则数列{an}的通项公式为an=（） B． 6n﹣1
C． （3n﹣1）（3n+2） D．4n+1
（n＞1），则a2014的值为（） C．
D．以上都不对
11．（5分）在数列{an}中，a1=﹣，an=1﹣ A． ﹣
B． 5
12．（5分）已知数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an，n∈N，且a5=
*
若函数（fx）=sin2x+2cos
2
，
记yn=f（an），则数列{yn}的前9项和为（）
A． O B． ﹣9 C． 9 D．1
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根
数为．
14．（5分）△ABC中三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=8，B=60°，C=75°，则边b的长为．
15．（5分）在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为． 16．（5分）△ABC中，若b=2a，B=A+60°，则A=°．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）在△ABC中，已知sinB=，cosA=
18．（12分）设f（x）=
，
，试求cosC的值．
（1）求证：f（x）+f（1﹣x）=1； （2）求和f（
）+f（）+…+f（）．
19．（12分）叙述并证明余弦定理．
20．（12分）已知数列{an}中，a1≠0，2an=a1（1+Sn）（n∈N），Sn为数列{an}的前n项和． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）设bn=
，求数列{bn}的前n项和为Tn．
*
21．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b． （1）求A的值；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值及此时b的值．
22．（12分）数列{an}满足a1=2，an+1=
（n∈N ）
*
（1）设bn=，求数列{bn}的通项公式；
（2）设cn=
成立，求m得范围．
，数列{cn}的前n项和为Sn，不等式m﹣m＞Sn对一切n∈N
2*
河南省郑州四十七中2014-2015学年高二上学期10月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一个符合要求） 1．（5分）在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（） A． 5 B． 8 C． 10 D．14
考点： 等差数列的性质；等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由等差数列{an}中，a1=2，且有a3+a5=10，利用等差数列的通项公式先求出公差d，再求a7．
解答： 解：∵等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10， ∴a1+a7=a3+a5=10， ∴a7=10﹣a1=8． 故选：B．
点评： 本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列通项公式的合理运用．
2．（5分）在△ABC中，若sinA+sinB＜sinC，则△ABC的形状是（） A． 钝角三角形 B． 直角三角形 C． 锐角三角形 D．不能确定
考点： 三角形的形状判断． 专题： 三角函数的图像与性质．
222222
分析： 利用正弦定理将sinA+sinB＜sinC，转化为a+b＜c，再结合余弦定理作出判断即可．
222
解答： 解：∵在△ABC中，sinA+sinB＜sinC，
222
由正弦定理a+b＜c，
2
2
2
===2R得，
又由余弦定理得：cosC=∴
＜C＜π．
＜0，0＜C＜π，
故△ABC为钝角三角形． 故选A．
点评： 本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．
3．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a3=5，a5=9，则S7等于（） A． 13 B． 35 C． 49 D．63
考点： 等差数列的前n项和．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： 由题意可得a3+a5=14，进而可得a1+a7=a3+a5=14，而S7=得答案．
解答： 解：由题意可得a3+a5=14， 由等差数列的性质可得a1+a7=a3+a5=14， 故S7=
=
=
=49，
，代入即可
故选C
点评： 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
4．（5分）已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示an的前n项的和，若a1=3，a2a4=144，则S5的值是（） A．
B． 69
C． 93
D．189
考点： 等比数列的性质． 专题： 计算题．
分析： 根据等比数列的性质化简a2a4=144，得到a3的值，又a1的值，利用等比数列的性质即可求出q的值，由a1和q的值，利用等比数列的性质即可求出S5的值．
2
解答： 解：由a2a4=a3=144，又a3＞0，
得到a3=12，由a1=3，得到q=由q＞0，得到q=2， 则S5=
=
2
=4，
=93．
故选C
点评： 此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题． 5．（5分）在△ABC中，已知a=，b=2，B=45°，则角A=（） A． 30°或150° B． 60°或120° C． 60° D．30°
考点： 正弦定理．
专题： 计算题；解三角形．
分析： 由正弦定理因此算出A=30°． 解答： 解：∵a=∴由正弦定理可得sinA=
的式子，结合题中数据算出sinA=，根据a＜b可得A＜B，
，b=2，B=45°，
，得=
∴A=30°或150°
∵a＜b，可得A＜B，∴A=30° 故选：D
点评： 本题给出三角形两边和其中一边的对角，求另一角的大小．着重考查了运用正弦定理解三角形的知识，属于基础题． 6．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小1份为（） A．
B．
C．
D．
考点： 数列的应用．
专题： 计算题．
分析： 设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（d＞0）；则由五个人的面包和为100，得a的值；由较大的三份之和的是较小的两份之和，得d的值；从而得最小的1分a﹣2d的值．
解答： 解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0）； 则，（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=100，∴a=20； 由（a+a+d+a+2d）=a﹣2d+a﹣d，得3a+3d=7（2a﹣3d）；∴24d=11a，∴d=55/6； 所以，最小的1分为a﹣2d=20﹣
=．
故选A．
点评： 本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果． 7．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a、b、c成等比数列且c=2a，则sinB=（） A．
B．
C．
D．
考点： 余弦定理的应用；正弦定理． 专题： 解三角形．
分析： 直接利用等比数列求出abc的关系，结合已知条件利用余弦定理求出B的余弦函数值，然后求解sinB．
解答： 解：a、b、c成等比数列，所以b=ac，由余弦定理可知：b=a+c﹣2accosB，又c=2a，
2222
∴2a=a+4a﹣4acosB， ∴cosB=， sinB=
．
2222
故选：D．
点评： 本题考查余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．
8．（5分）若数列{an}的通项公式是an=（﹣1）（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=（） A． 15 B． 12 C． ﹣12 D．﹣15
考点： 数列的求和． 专题： 计算题．
分析： 通过观察数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而可求解． 解答： 解：依题意可知a1+a2=3，a3+a4=3…a9+a10=3 ∴a1+a2+…+a10=5×3=15 故选A．
点评： 本题主要考查了数列求和．对于摇摆数列，常用的方法就是隔项取值，找出规律．
n
9．（5分）△ABC中，BC=2，角B= A．
B．
，当△ABC的面积等于
C．
时，sinC=（） D．
考点： 解三角形． 专题： 计算题．
分析： 先利用三角形面积公式求得AB，进而利用余弦定理求得AC的值，最后利用正弦定理求得sinC．
解答： 解：三角形面积为：sinB•BC•BA=×∴AB=1
由余弦定理可知：AC=∴由正弦定理可知∴sinC=
•AB=
×2×AB=
=
故选B
点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．在解三角形问题中，正弦定理和余弦定理是常用的方法，应强化训练和记忆．
10．（5分）定义前n项的“平均倒数”为
为n个正数x1，x2，…，xn的“平均倒数”．若正项数列{an}的，则数列{an}的通项公式为an=（）
C． （3n﹣1）（3n+2） D．4n+1
A． 3n+2 B． 6n﹣1
考点： 数列的函数特性． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 由已知条件推导出正项数列{an}的前n项的前n项和Sn=n（3n+2）=3n+2n，由此能求出数列{an}的通项公式．
解答： 解：正项数列{an}的前n项的“平均倒数”为
2
2
，
∴正项数列{an}的前n项的前n项和Sn=n（3n+2）=3n+2n， a1=S1=3+2=5，
n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1
2
=（3n+2n）﹣ =6n﹣1，
n=1时也成立， ∴an=6n﹣1． 故选：B．
点评： 本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意数列的前n项和公式的合理运用．
11．（5分）在数列{an}中，a1=﹣，an=1﹣ A． ﹣
B． 5
（n＞1），则a2014的值为（） C．
D．以上都不对
考点： 数列的函数特性． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 利用递推公式推导出数列{an}是周期为3的周期数列，由此能求出结果．
解答： 解：在数列{an}中，a1=﹣，an=1﹣∴
=5，
（n＞1），
=， =﹣，
∴数列{an}是周期为3的周期数列，
∵2014=671×3+1， ∴a2014=a1=﹣．
故选：A．
点评： 本题考查数列的第2014项的求法，是基础题，解题时要认真审题上，注意递推思想的合理运用．
12．（5分）已知数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an，n∈N，且a5=
*
若函数（fx）=sin2x+2cos
2
，
记yn=f（an），则数列{yn}的前9项和为（） A． O B． ﹣9 C． 9 D．1
考点： 数列递推式；数列的求和． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： 确定数列{an}是等差数列，利用等差数列的性质，可得f（a1）+f（a9）=f（a2）+f（a8）=f（a3）+f（a7）=f（a4）+f（a6）=2，由此可得结论．
*
解答： 解：∵数列{an}满足an+2﹣an+1=an+1﹣an，n∈N， ∴数列{an}是等差数列，
∵a5=，∴a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=π
2
∵f（x）=sin2x+2cos，
∴f（x）=sin2x+cosx+1，
∴f（a1）+f（a9）=sin2a1+cosa1+1+sin2a9+cosa9+1=2
同理f（a2）+f（a8）=f（a3）+f（a7）=f（a4）+f（a6）=2 ∵f（a5）=1
∴数列{yn}的前9项和为9 故选C．
点评： 本题考查等差数列的性质，考查数列与函数的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根
数为6n+2．
考点： 归纳推理． 专题： 规律型．
分析： 观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6．
解答： 解：由题意知：图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6， ∴第n条小鱼需要（2+6n）根， 故答案为：6n+2．
点评： 本题考查了规律型中的图形变化问题，本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法（归纳法），先观察特例，找到火柴棒根数的变化规律，然后猜想第n条小鱼所需要的火柴棒的根数． 14．（5分）△ABC中三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=8，B=60°，C=75°，则边b的长为4．
考点： 正弦定理．
专题： 计算题；解三角形．
分析： 由三角形内角和定理算出A=45°，然后在△ABC中利用正弦定理，列出关于A、B、a、b的等式，解之即可得到边b的长度． 解答： 解：∵△ABC中，B=60°，C=75°， ∴A=180°﹣（B+C）=45°
由正弦定理，得=，
即b===4
故答案为：4
点评： 本题给出三角形的两个角和一条边的长，求另外的边长，着重考查了三角形内角和定理和利用正余弦定理解三角形的知识，属于基础题．
15．（5分）在等差数列{an}中，a1=7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n=8时Sn取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，﹣）．
考点： 等差数列的性质．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： 根据题意当且仅当n=8时Sn取得最大值，得到S7＜S8，S9＜S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围． 解答： 解：∵Sn =7n+
，当且仅当n=8时Sn取得最大值，
∴，即，解得：，
综上：d的取值范围为（﹣1，﹣）．
点评： 本题主要考查等差数列的前n项和公式，解不等式方程组，属于中档题． 16．（5分）△ABC中，若b=2a，B=A+60°，则A=30°．
考点： 正弦定理的应用． 专题： 计算题．
分析： 先根据正弦定理将边的关系转化为正弦的关系，再将B=A+60°去代换消去B，得到A的关系，最后根据两角和与差的正弦公式可求出角A的正弦值，进而得到答案． 解答： 解：利用正弦定理，
∵b=2a∴sinB=2sinA∴sin（A+60°）﹣2sinA=0 ∴cosA﹣3sinA=0∴sin（30°﹣A）=0 ∴30°﹣A=0°（或180°）∴A=30°． 故答案为：30°
点评： 本题主要考查正弦定理和两角和与差的正弦公式，三角函数公式比较多不容易记，要给予重视，强化记忆．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在△ABC中，已知sinB=，cosA=，试求cosC的值．
考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： 由sinB的值求出cosB的值，由cosA的值求出sinA的值，利用诱导公式及两角和与差的余弦函数公式化简cosC，把各自的值代入计算即可求出值．
解答： 解：∵在△ABC中，sinB=，cosA=∴cosB=±
=±，sinA=
， =
，
当cosB=时，cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣当cosB=﹣时，cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=
++
==
； ．
点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键．
18．（12分）设f（x）=
，
（1）求证：f（x）+f（1﹣x）=1； （2）求和f（
）+f（
）+…+f（
）．
考点： 函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）由已知得f（x）+f（1﹣x）==1．
（2）由（1）得f（
）+f（
）+…+f（
，由此能证明f（x）+f（1﹣x）
）=++f（），由此能求出结果．
解答： 解：（1）∵f（x）=，
∴f（x）+f（1﹣x）=
=
==1．
（2）由（1）得f（=++f（=1011+
）
）+f（）+…+f（）
=1011.5．
点评： 本题考查等式成立的证明，考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
19．（12分）叙述并证明余弦定理．
考点： 余弦定理． 专题： 证明题．
分析： 先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容，并画出图形，写出已知与求证，然后开始证明．
方法一：采用向量法证明，由a的平方等于示出
2
的平方，利用向量的三角形法则，由
2
2
2
﹣表
，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简后，即可得到a=b+c﹣2bccosA，同理
2
2
2
2
2
可证b=c+a﹣2cacosB，c=a+b﹣2abcosC；
方法二：采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方，化简后即可得到a=b+c
222222
﹣2bccosA，同理可证b=c+a﹣2cacosB，c=a+b﹣2abcosC．
解答： 解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹
222
角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a=b+c﹣2bccosA，222222
b=c+a﹣2cacosB，c=a+b﹣2abcosC． 证法一：如图，
=
=
2
2
2
2
2
2
2
==b﹣2bccosA+c
2
即a=b+c﹣2bccosA
222222
同理可证b=c+a﹣2cacosB，c=a+b﹣2abcosC；
证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系， 则C（bcosA，bsinA），B（c，0）， 22222222222
∴a=|BC|=（bcosA﹣c）+（bsinA）=bcosA﹣2bccosA+c+bsinA=b+c﹣2bccosA，
222222
同理可证b=a+c﹣2accosB，c=a+b﹣2abcosC．
点评： 此题考查学生会利用向量法和坐标法证明余弦定理，以及对命题形式出现的证明题，要写出已知求证再进行证明，是一道基础题．
20．（ 12分）已知数列{an}中，a1≠0，2an=a1（1+Sn）（n∈N），Sn为数列{an}的前n项和． （1）求数列{an}的通项公式an；
*
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和为Tn．
考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）由已知条件推导出a1=1，2an﹣2an﹣1=（1+Sn）﹣（1+Sn﹣1）=an，从而得到{an}是首项a1=1、公比q=2等比数列，由此求出（2）由（1）得
．
，由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn．
解答： （本小题满分12分）
解：（1）当n=1时，2a1=a1（1+S1）=a1（1+a1）， ∵a1≠0，∴a1=1，
当n＞1时，则2an=1+Sn，
∴2an﹣2an﹣1=（1+Sn）﹣（1+Sn﹣1）=an，
∴an=2an﹣1，∴{an}是首项a1=1、公比q=2等比数列， ∴
．…（6分）
，
（2）由（1）得∴
，…（7分）
∴，①
∴，②…（9分）
①﹣②得 ∴
．…（12分）
，…（10分）
点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用． 21．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b． （1）求A的值；
（2）若a=2，求△ABC面积的最大值及此时b的值．
考点： 正弦定理；余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： （1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，即可确定出A的度数；
（2）由a，cosA的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式变形求出bc的最大值，即可确定出三角形面积的最大值，并求出此时b的值即可． 解答： 解：（1）由正弦定理得∵sinB≠0， ∴sinA=，
∵△ABC是锐角三角形， ∴A=30°； （2）∵A=30°，a=2，
2222
∴由余弦定理得：4=b+c﹣2bccos30°=b+c﹣∴bc≤4（2+）， ∴S△ABC=bcsinA≤×4（2+
）=2+
， =
化简2asinB=b，得2sinAsinB=sinB，
bc≥（2﹣）bc，
当且仅当b=c=+时，△ABC的面积取最大值2+．
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．
22．（12分）数列{an}满足a1=2，an+1=
（n∈N ）
*
（1）设bn=，求数列{bn}的通项公式；
（2）设cn=，数列{cn}的前n项和为Sn，不等式m﹣m＞Sn对一切n∈N
2*
成立，求m得范围．
考点： 数列递推式；数列的求和． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： （1）根据递推关系求出bn=，即可求数列{bn}的通项公式；
（2）求出cn=，利用累加法，即可求出{cn}的前n项和为Sn，即可解不等式．
解答： 解：（1）∵an+1=
，
∴，
取倒数得==+n+，
即bn+1﹣bn=n+， 则b2﹣b1=1+， b3﹣b2=2+， …
bn﹣bn﹣1=（n﹣1）+， 累加得bn=（2）cn=
．
==+=+（﹣
），
故Sn=c1+c2+…+cn=
+﹣=﹣（+），
故：m﹣m≥．
则m≥2或m≤﹣1．
点评： 本题主要考查递推数列的应用，根据条件构造数列是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强．
2
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