初中数学二次函数知识点汇总

（1）抛物线yax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数yax2的图像与a的符号关系.

①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点.

（a0）（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yax2.

3.二次函数 yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

4.二次函数yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中

22b4acb2h，k.

2a4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①yax；②yaxk；③yaxh；④

222yaxhk；⑤yax2bxc.

26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

b4acb28.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：yaxbxcax，∴顶点是2a4a22bb4acb2（，），对称轴是直线x.

2a2a4a （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，

2对称轴是直线xh.

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分

1

线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线

x③

bb

，故：①b0时，对称轴为y轴；②0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；2aa

b0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧. a （3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.

当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 当a0时 开口向上 当a0时 对称轴 顶点坐标 （0,0） (0, k) (h,0) (h,k) b0. ayax2 x0（y轴） x0（y轴） xh xh yaxk 2yaxh 2yaxhk 2yaxbxc 2开口向下 xb 2ab4acb2，() 2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：yaxbxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

22 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2. 12.直线与抛物线的交点

（1）y轴与抛物线yaxbxc得交点为(0, c).

2

22 （2）与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ahbhc).

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程

ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别

式判定：

①有两个交点0抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵

坐标为k，则横坐标是axbxck的两个实数根.

（5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方

2程组

ykxnyax2bxc的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; ②

方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.

（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yaxbxc与x轴两交点为Ax1，0，Bx2，0，

2由于x1、x2是方程axbxc0的两个根，故

2bcx1x2,x1x2aaABx1x2

x1x22x1x22b24acb4c4x1x2aaaa2

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：yaxbxc(a,b,c是常数，a0) （2）顶点式：ya(xh)k(a,h,k是常数，a0)

2（3）当抛物线yaxbxc与x轴有交点时，即对应二次好方程axbxc0有实根x1和x2222存在时，根据二次三项式的分解因式axbxca(xx1)(xx2)，二次函数yaxbxc可转化为两根式ya(xx1)(xx2)。如果没有交点，则不能这样表示。

3

22考点三、二次函数的最值 （10分）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大

b4acb2值（或最小值），即当x时，y最值。

2a4a如果自变量的取值范围是x1xx2，那么，首先要看b是否在自变量取值范围x1xx2内，2ab4acb2若在此范围内，则当x=时，y最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1xx2范

2a4a2围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当xx2时，y最大ax2bx2c，当xx122时，y最小ax1如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当xx1时，y最大ax1bx1c；bx1c，2当xx2时，y最小ax2bx2c。

考点四、二次函数的性质 （6~14分） 1、二次函数的性质 二次函数 函数 a>0 y 图像 0 x （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2）对称轴是x=yax2bxc(a,b,c是常数，a0) a<0 y 0 x （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； bbbb，顶点坐标是（，（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，2a2a2a2a4acb2）； 4a性质 （3）在对称轴的左侧，即当x<4acb2）； 4abb时，y随x（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随2a2ax的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>b时，y随x的增大而增大，简记左减2ab时，y随x的增大而减小，简记左2a右增； 增右减； 4

（4）抛物线有最低点，当x=bb时，y有最小（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最2a2a大值，y最大值值，y最小值4acb2 4a4acb2 4a2、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数，a0)中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上，，， a<0时，抛物线开口向下

b与对称轴有关：对称轴为x=b 2a（0，c） c表示抛物线与y轴的交点坐标：

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的b4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当>0时，图像与x轴有两个交点； 当=0时，图像与x轴有一个交点； 当<0时，图像与x轴没有交点。

2二次函数知识点：1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）

c可以的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数yax2bxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：yax2的性质：

oo

结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：

5

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

a0 向上 0，0 y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随 x的增大而减小；x0时，y有最小值0． a0 向下 0，0 y轴 x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值0．

2. yax2c的性质：

结论：上加下减。同左上加，异右下减 总结： a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质

a0 向上 0，c y轴 x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随x的增大而减小；x0时，y有最小值c． a0 向下 0，c y轴 x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随x的增大而增大；x0时，y有最大值c．

3. yaxh2的性质：

结论：左加右减。同左上加，异右下减 总结：

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a0 向上 h，0 X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0． a0 向下 h，0 X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．

4. yaxh2k的性质：

6

总结：

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a0 h，k h，k X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k． a0 向下 X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k． 二次函数图象的平移 1. 平移步骤：

k； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，2k处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．

概括成八个字“同左上加，异右下减”．

三、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较

请将y2x4x5利用配方的形式配成顶点式。请将yax2bxc配成yaxhk。

222总结：

从解析式上看，yaxhk与yax2bxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b4acb2b4acb2者，即yax，其中h，． k2a4a2a4a

7

22

四、二次函数yax2bxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与yc、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴的交点0，轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

五、二次函数yax2bxc的性质

b4acb2b 1. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．

2a4a2a当xbbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最2a2a2a4acb2小值．

4ab4acb2bb 2. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，时，y．当x2a4a2a2abb4acb2随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值．

2a2a4a

六、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）； 2. 顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

3. 两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，

只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

8

⑴ 当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a0的前提下，

当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；ab同号同左上加 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．a,b异号异右下减 2ab0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；a,b异号异右下减 2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．ab同号同左上加 2a⑵ 在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b0时，当b0时，当b0时，

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． 总结： 同左上加 异右下减

3. 常数项c

⑴ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

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