数学学科试卷
一、填空题（本大题共有
2018.12.
12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．设全集U=1,2,3,4,5，若集合A2．已知扇形的半径为3．已知双曲线4. 若(a
n
3,4,5，则eUA
，则扇形的面积为
▲ ．▲ ．▲．________▲．________
6，圆心角为y
2
3
x
2
1，则其两条渐近线的夹角为
b)展开式的二项式系数之和为
y
2
8，则n
2
x,y满足x5. 若实数
．1，则xy的取值围是________▲
6. 若圆锥的母线长
l5(cm)，高ha1an中，lim(
n1x1x
4(cm)，则这个圆锥的体积等于a2L
an)
12
▲cm________
3
.
7. 在无穷等比数列，则
a1的取值围是________▲．
8. 若函数
f(x)ln
的定义域为集合
A，集合B(a,a1). 且B
A，
则实数a的取值围为________▲．
2
9. 在行列式
x
735
4
x
46
4中，第3行第2列的元素的代数余子式记作1
f(x)，
则
y1
f(x)的零点是________▲
cosx2f(x)i，z2z1,z2对应的点分别为
．▲________
10. 已知复数z1复平面上，设复数
(3sinxcosx)i
(,xR，i为虚数单位）．在90，其中O是坐标原点，
Z1,Z2，若
Z1OZ2
则函数f(x)的最小正周期
11. 当0xa时，不等式
1x
2
1(a
x)
2
2恒成立，则实数a的最大值为
▲．________
12. 设d为等差数列{an}的公差，数列{bn}的前n项和Tn，满足
Tn
1
n2
(1)bn(n
n
N)
*
，且
d
a5b2
. 若实数
mPk{x|ak
2
xak3}(k
*
N,k
*
3)，则称m具有性质Pk. 若Hn是数列{Tn}的
k的值为________▲.
前n项和，对任意的二、选择题（本题共有
nN，H2n1都具有性质Pk，则所有满足条件的
4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应
.
上单调递减的是
………(
)
在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.
下列函数中既是奇函数，又在区间
[-1,1]
A. f(x)C. f(x)
arcsinxx
5人，其中女队员
B. yD.
lgx
f(x)
cosx
14. 某象棋俱乐部有队员
则选出的
2人. 现随机选派2人参加一个象棋比赛，
………(
)
2人中恰有1人是女队员的概率为
3
B.
5
logsinx，
(0,
)，
3
A.
10
15. 已知f(x)
2C.
52D.
3
2
设af
sin
2
cos
,b
f(sin
cos)，c
f
sin2sin
cos
，则
a,b,c的大
)
小关系是………(
A.aC.c
16.
cb
b. a. f(x)
m2
x
B.bD.a
x
2
cb
a. c.
已知函数
nx，记集合A{x|f(x)
0,xR}，集合
)
B{x|f[f(x)]
A. C.
0,x
R}，若A
B，且都不是空集，则B. D.
[1,4)[0,7)
mn的取值围是………(
[0,4)[3,5]
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必
要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，
PA
平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
.
PAAB1，AD2，点F
是
PB的中点，点E在边BC上移动
（1）求三棱锥
EPAD的体积；
E在边BC的何处，都有AF
PE.
（2）证明：无论点
18.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
在
ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且cosB
45
513
．
（1）若
sinA
，求
cosC；
（2）若
b4，求证：ABBC5．
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某工厂以x千克/小时的速度匀速生产一种产品，每一小时可获得的利润是
(5x1
3x
)
元，其中1x10.
2小时获得的利润不低于
30元，求x的取值围；
（1）要使生产该产品（2）要使生产利润.
900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大
20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
如图，已知点
P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C:y
C上.
2
4x上存在不同的两点
A,B，满足PA,PB的中点均在抛物线
（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设
AB中点为M，且P(xP,yP),M(xM,yM)，证明：yPP是曲线x
2
yM；
（3）若
y
2
4
1(x
0)上的动点，求PAB面积的最小值.
yA
P
O
M
x
B
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分）记无穷数列{an}
的前n项中最大值为
Mn，最小值为mn，令bn
Mn
2
mn
，其中
nN.
*
(1) 若an
2
n
cos
n2
，请写出b3的值；
(2) 求证：“数列{an}是等差数列”是“数列{bn}是等差数列”的充要条件；(3) 若对任意n，有|an|于
2018, 且|bn|1，请问：是否存在
1
KN，使得对于任意不小
*
K的正整数n，有bnbn成立？请说明理由．
浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研
数学学科试卷评分标准
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸写上、考号
,并核对后的条形码贴在指定位置上
.
2018.12.
2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5
. 3
；5.
分）考生应在答题纸的相应位置填写结果1．
1,2
；2．
；3．
2
；4.
11,22
；6. 12
；
1
7. (0,)
2
二、
1(,1)2
；8. [1,0]；9.
1
；
10.
；11. 2 ；12.3或4
选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考
.
生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑
13.
C
；14.
B
；15.
D
；16.
A
三、解答题（本大题共有要的步骤.
5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）VP
1
ADE
3
PAS
1
ADE
3
AB，
…… 6分
（2）只需证明因为故
AF面PBC
……10分……12分
PA
BC
面ABCD，故PABC，又BC
面PAB，所以BCAF；
是
PAB中，PAAB，点F
所以，AF
（用向量证明类似评分）
PB的中点，故AFPB
面PBC，故无论点E在边BC的何处，都有AF
PE.
……14分
22.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）在
ABC中，由cosB
121335
513
得，sinB
1213
．
QsinBsinA,B
A．故A为锐角．
3365
……3分
cosA
．∴cosC
2
2
2
cos(AB)cosAcosBsinAsinB
．……7分
（2）由余弦定理b
16
a
2
ac2accosB得，1013ac
1613ac，
c
2
1013
ac2ac
当且仅当a
uuuruuur∴ABBC
c时等号成立．ac13．
513ac
5．
……14分
accos(B)accosB
23.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
3
解：（1）根据题意，2(5x1)
x
解得x又1
3
30，得5x14
x
0
……2分
3或x
15
x
10
……4分……6分……8分
x10，可得3
（2）设利润为y元，则y
9003
)，(5x1
xx1900[3(
x
12)6
61]，12
……12分
故x6时，ymax
4575
……14分
24.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）解：（1）焦点到准线的距离
2；
……4分
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，
y
则
2
1
4x1,yP2
2
(
y1
)
2
4
x1
2
xP
,
yy
2P2P
……6分
整理得，y1同理，y2
2
2yPy12yPy2
8xP8xP
0，0，2yPy
8xPyM；
y
2P
……8分
所以，y1,y2是关于
y的方程y2y22
0的两根，
故
M的纵坐标为
y1
yP，即yP
……9分
yA
（3）若直线AB
x轴，则M的纵坐标为0，
P
O
M
x
B
因此，则
P(1,0)，
y
2
A,B两点的纵坐标满足
8
0，y
22
故A(2,22),B(2,22)，SPAB
1
3422
y1
y1x1
y2x2
62；
……10分
若直线
AB的斜率存在，方程为y112(y14
y2y)
22
y
(xx1)，
即
y(x
14
y)
21
y1
，整理得，
y
4y1
y2
x
y1y2y1
y2
，
将
y1y1y2|AB|
y22yP,8xP1
y,
2P2P
代入得，直线
AB:y
2P
2yP8(y
2P
x
8xP
2yP
yP
2
，
……12分
故
y
|y14
y2|
1
y4
4xP)
2P
2(y
2P
4)(y
2P
4xP)，
而点
P到直线AB的距离为h
2|xPyP8xPy2yP1
3
yP|
42yP
3|4xPy|
，2
2yP4
2
P
……14分
故S
1
PAB
2y
2P
|AB|h
324
(y
2P
4xP)2，
而x
2P
4
1(xP0)，
3
3
故S
32
PAB
4
(4x
2P
4xP
4)
2
3244
[5(2xP
1)]，
22
……15分
由xP
(1,0)得，
4x
2P
4xP(4,5]，S
PAB
(62,
15104
]
综上，
PAB的面积的最小值为
62.
……16分
25.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分）解：(1)因为a1
2,a23,a3
8
……2分
所以
b3
282
5
{an}是等差数列时，设其公差为ananan
an
2an
a12
an
1
1
……4分
(2) （必要性）当数列
当d当d当d
d
0时，an0时，an0时，an
ddd
0，所以an0，所以an0，所以an
an1，所以Mnan1，所以Mnan1，所以Mn
an，mna1，mna1，mn
a1，an，an
1
1
综上，总有
bn
a1
所以
bnbn
a1
d2
1
2
，所以数列
{bn}是等差数列
d
*
……6分
（充分性）当数列
{bn}是等差数列时，设其公差为
mn2
Mn
1
因为bnbn
Mn
1
mn2
1
MnMn2
1
+
mnmn2
1
d，
*
根据
Mn，mn的定义，有以下结论：Mn1，mn
*
Mn
当d
mn1，且两个不等式中至少有一个取等号
Mn1，所以an
Mn
Mn
1
0时，则必有Mnan1，
所以
{an}是一个单调递增数列，所以
bn
an
1
Mn
an
an2
an，mn
1
a1，
所以bn
a12
*
an
1
a1
2
d
*
所以当d
*
anan
1
2d，即{an}为等差数列
mn1，所以an
mn
mn
1
0时，则必有mnan
1
所以
{an}是一个单调递减数列，所以
bn
a1
1
Mn
an
an2
a1，mn
1
an，
所以bn
an2
*
a1an2
1
d
*
所以
anan
1
2d，即{an}为等差数列
当d
*
0时，bnbn
Mn
1
mn2
Mn
1
mn2
1
MnMn2
1
mnmn2
1
0
因为
MnMn1，mnmn1中必有一个为0，
0，
根据上式，一个为所以
0，则另一个亦为
MnMn1,mnmn1,
所以
{an}为常数数列，所以{an}为等差数列
……9分……10分
综上，结论得证. (3)存在假设不存在，因为
|bn|1，即bn1
K
*
或者
bn
1，
K，使得bi,bi
1符号相反
所以对任意所以在数列且
N，一定存在i
1
2
3
……12分
{bn}中存在bk,bk,bk,...,bk,bk....，其中k1
i
i1
1
k2k3...ki
...
1bk1bk
bk
1
2
bk
2
3
...bk
3
i
bk....，
i1i
1
bk
1
bk
1
...bkMk
1
bk
i1
1
...
1
……14分
因为
bk
i
1,bk
i
1
1，即
i
mk2
i
i
1,
Mk
i
mk2
i
1
1
注意到
Mk
i
1
Mk,mk
i
i
i
1
mk，且有且仅有一个等号成立，
i
所以必有所以因为所以所以所以所以
Mk
i
1
Mk,mk
i
i
1
mk
i
i
……16分
Mkkiakakakakakak
i
1
Mk4，所以ak
ki
1
1
Mk
i
1
Mk
i
i
4
+1
ki1，所以ki
1
1，所以Mk4
Mk
i-1
Mkakakakakak
i
4Mk
+1
i-1
+1
i
1
i-1
44444
i
1
i-1
+1
2
1
1
1
3
1
2
1
4
1
3
1
……
ak
所以所以所以m
1
akak
m1
1
44(m1)4(m1)4(10101)
201840362018，
akakak
m
1
1+1
m
1
ak
1
1+1
1010
ak
1+1
这与
|an|2018矛盾，所以假设错误，
所以存在
K
N*
，使得任意n，n
K，有bn
1
bn.
18分
……
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