多边形的问题

多边形的问题

1． 多边形的三角形剖分

用一个多边形的两两不内交（两条对角线不相交但交点不在对角线内部）的对角线，将这个多边形划分成若干个三角形，称为这个多边形的一个三角剖分。例如下面的图形就是对同一个七边形的四个不同的三角形剖分。围绕多边形的三角形剖分有个有趣的问题：n边形的三角形剖分能得到多少个三角形？

不难发现，七边形的三角形剖分只能剖分出5个三角形。 一般的，n边形的三角形剖分能且只能得到（n-2）个三角形。 证明如下：

n边形的n个内角之和就是剖分出的各三角形的 所有内角和，设剖分出的三角形的个数是N, 则有

N×1800 =（n-2）1800. 故N=n-2.

2． 多边形的对角线

EBAF你还有其它的证明方法吗？

CD以六边形ABCDEF为例，从六边形的一个顶点A可以引出（6-3）条对角线。

（6-3）是因为六边形共有6个顶点，从一个顶点出发，除了自己这个顶点和与自己相邻的两个顶点不能连成对角线，一共三条线，所以减去3，为（6-3）。

又因为从一个顶点出发可以引出（6-3）条对角线，而6边形共有6个顶

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点，所以为6（6-3），但其中又正好一半儿是重复的，再除以2，所以六边形的对角线条数为6(6-3)/2。

类似的，可推出n边形的对角线条数为n（n-3）／2. 3. 不规则多边形的角度和

学习了多边形的内角和计算公式：(n-2)·180°,不仅可以用来计算一些规则多边形的度数问题，而且还可以用来解决一些不规范的多边形的角度和的计算问题.所谓星形，就是有封闭的折线首尾相连，交错而成的图形.由于星形的各角比较分散，要求它们的和，就需要把这些分散的角集中到一起构成多边形，借助多边形内角和求解，请看几例.

例1 如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数

分析:观察图形可知,图形中包含着四个三角形,我们可以借助三角形的内角和求解.

解: 因为∠A+∠B+∠1=180°, ∠C+∠D+∠3=180°, ∠E+∠F+∠5=180°,

所以∠A+∠B+∠1+∠C+∠D+∠3 +∠E+∠F+∠5=0°,

又因为∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6, ∠2+∠4+∠6=180°, 所以∠1+∠3+∠5=180°,

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F

=0°-180°=360°. 例2 如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.

分析:观察已知图形为不规则的图形,学习了多边形的内角和,我们可试想将这7个角的和转化为一个多边形的内角和求解,如果连接BF,则可得到一个五边形,借助五边形的内角和解决问题.

解:如图,连接BF,则∠A+∠G+∠1=∠2+∠3+∠4, 因为∠1=∠2,所以∠A+∠G=∠3+∠4, 所以

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∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G =∠D+∠C+∠CBF+∠BFE+∠E =(5-2)·180°=0°. 4. 练习

（1） 把一个12边形进行三角形剖分，能分成多少各三角形？ （2） 求15边形的所有对角线的条数。

（3） 如图：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。

CDBAE

（4）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的度数.

AGEHDBIFC

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