2021年反比例函数培优习题精选

反比例函数

习题精选

欧阳光明（2021.03.07）

1、如图1，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线

y1x于点A，连结OA。

（1） 如图1，当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面

积大小是否变化？若不变，请求出Rt△AOP的面积；若改变，请说明理由。

（2）如图2，在x轴上的点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线

y1x于

点B，连结BO交AP于点C，设△AOP的面积为S1，梯形BCPD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是。

（3）如图3，AO的延长线与双曲线

y1x的另一个交点是F，

FH⊥x轴，垂足为H，连接AH，PE，试证明四边形APFH的面积是一个常数。

2、如图2，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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原点，点A在x轴上，点c在y轴上，点B在函数的图象上，点P(m,n)是函数

ykxykx(k﹥0,x﹥0)

(k﹥0,x﹥0)的图象上的任意一点，

过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂中足分别是E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部份的面积为S。 （1）求B点的坐标和k的值。 （2）当

9S=2时，求点

P的坐标。

（3）写出S关于m的函数关系式。 3、如图

1x23，直线2分别交

x、y轴于点A、C，P

是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP＝9。

（1）求点P的坐标。

（2）设点R与点P在同一反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT和△AOC相似时，求点R的坐标。

4、如图4，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数

ymx的图象交于A、B两点。

（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围。

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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5、如图5，已知一次函数y=-x+8和反比例函数

ky=x(k≠0)的图象在第一象限内有两个不同的公

共点A、B。

（1）求实数k的取值范围。

(2)若△AOB的面积为24，求k的值。 6、已知如图6，反比例函数A、B两点，求：

（1）A、B两点的坐标。 （2）求△AOB的面积。

7、如图7，一次函数的图象经过一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，OB＝

110，tan∠DOB＝3。

y8x与一次函数y=-x+2的图象交于

（1）求反比例函数的解析式；

（2）设点A的横坐标为m，△DOB的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围。 8、如图8，双曲线

y5x在第一象限的一分支上有一

点C(1,5)，过点C的直线y=-kx+b(k﹥0)与x轴交于点A(a，0).（1）求点A的横坐标与k之间的函数关系式；（2）当该直线与双曲线在第一象限内的另一

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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个交点D的横坐标为9，求△COD的面积。 9、如图，在Rt△ABO的顶点A是双曲线

ykx与直

线y=-x-(k+1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于点B，且

3S△ABO=2。

（1）求这两个函数的解析式；

（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积。

10、如图，已知正方形ABCD，AB＝2，P是BC边上与B、C不重合的任意一点，DQ⊥AP于Q，当点P在BC边上移动时，线段DQ也随着变化，设PA＝x，QD=y，求y与x之间的函数关系式。并指出变量的取值范围。

11、如图11，已知C，D两点是双曲线

ymx在第

一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A,B两点，设C、D的坐标分别是(x1，y1)，（x2,y2）连接OC、OD。 （1）求证y1﹤OC﹤y1

m+y1；

1＝3 （2）若∠BOC＝∠AOD＝∂，tan∂CD的解析式；

，OC＝10，求直线

（3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得S△POC

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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＝S△POD，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由。 12、如图12，直线y=kx+4与函数

ymx(x﹥0,m﹥0

的图象交于点A、B，且与x，y轴分别交于C，D两点。

（1）若△COD的面积是△AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式；

（2）在(1)条件下，是否存在k和m，使得对于点（2,0），有∠APB＝90°，若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由。 13、如图13，Rt△ABO的顶点A是双曲线

ykx与直

线y=-x+(k+1)在第四象限的交点，AB⊥x轴于B，且

3S△ABO＝2。

（1）求这两个函数的解析式；

（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积。

14、已知反比例函数

ykx和一次函数y=-x-6。

（1）若它们的图象交于点（-3，m），求m和k的值；

（2）当k满足什么条件时，这两个函数的图象有两个不同的交点？

（3）当k＝-2时，设（2）中的两个函数图象的交点分别为A，B，试判断，A,B两点分别在第几象限？∠AOB是锐角还是钝角？（直接写出结论）

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15、若反比例函数的图象经过点（1，3）。 （1）求反比例函数的解析式；

（2）求一次函数y＝2x+1与反比例函数图象的两个交点及原点所围成的三角形的面积。

16、如图16，点A、B在反比例函数上，且点A、B的横坐标分别为a，

2a(a﹥0)，AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2。

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）若点（-a，y1），（-2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1,y2的大小；

（3）求△AOB的面积。

17、如图17，正比例函数y=kx(k﹥0)与反比例函数

y4xykx的图象

的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂

线，交x轴于点B，过C作x轴的垂线，交x轴于点D，试问：当k取不同数值时，四边形ABCD的面积有何变化？

18、如图18，已知反比例函数

ykx的图象经过点A（3，b），

过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为3。 （1）求k和b的值；

（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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与x轴相交于点M，求AO：AM的值。 19、如图19，已知函数

y4x的图象和两条直线

y=x，

y=2x在第一象限内，分别交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1、P1R1，垂足分别为Q1、R1；过P2分别作x轴，y轴的垂线P2Q2、P2R2，垂足

分别为Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长，并比较它们的大小及说出这个规律。

20、如图20，直线y=k1x+b与双曲线

k2y=x只有一个交点A(1,2)，

且与x轴、y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，（1）求直线与双曲线的解析式。（2）A为BC的中点。 21、如图21，△AOC的面积为6，且CB：BA＝3：1，求过点A的双曲线的表达式。 22、已知反比例函数过点P（m,2）.

(1)求这个一次函数的解析式；

（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行且A与B的横坐标分别为a和a+2，求a的值。

23、如图23，直线AB过点A（m,0）、B(0,n)(m﹥0,n﹥0)。反比例函数为

ymx12y=x的图象和一次函数

y=kx－7的图象都经

的图象与AB交于C、D两点。P为

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双曲线

ymx上任意一点，过P作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R，

请分别解答下列问题:

(1)若m+n＝10，n为何值时的△AOB的面积最大？最大值是多少？

(2)若S△AOC＝S△OCD＝S△ODB，求n的值。

24、如图24，两条双曲线在第一象限内，A（1，6），B（a，2），C（b，2），D（a，6）。连结AB、BC、CD、DA， （1）求B、C、D三点的坐标； （2）求四边形ABCD的面积。

25、如图，直线y=-x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，P(a,b)为双曲线

y1(x2x0)上的一点，PM⊥x轴于

M，交

AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F。

（1）求△EOF的面积（用a,b的代数式表示）； （2）△EOF和△BOE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，简要说明理由。 26、如图，在直角坐标系中，直线y=ax+b与双曲线

yk(k0)x在第一象限交于点

A(2，m),与x轴交于点C，AB⊥x轴于B，且S△AOB＝3，若△ABC的面积是△AOB的面积的2倍，求双曲线和直线的解析式。 27、已知反比例函数

yk2x和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图

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象经过(a,b)，（a+1,b+k）两点。 （1）求反比例函数的解析式；

（2）若点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；

（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

28、如图，直线y=2x与双曲线

y8x相交于点A、E，直线AB与双

曲线交于另一点B(m，n),与x轴、y轴分别交于点C、D，且m=2n。直线EB交x轴于点F。 （1）求A、B两点的坐标；

（2）请判断△COD和△CBF是否相似？并说明理由。

29、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，点M在AB边上，且AM＝6。 （1）动点D在AC边上运动，且与点A、C均不重合，设CD＝x。

①设△ABC与△ADM的面积之比为y，求

y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②当x取何值时，△ADM是等腰三角形？说明你的理由。 （2）如图2所示，以如图1中的BC、CA为一组邻边的矩形ACBE中，动点D在矩

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形边上运动一周，能使△ADM是以∠AMD为顶角的等腰三角形共有几个？（直接写出结果即可）

30、设a，b是关于x的方程kx2+2(k-3)x+(k-3)=0的两个不相等的实数根（k是非负整数），一次函数y=(k-2)x+m与反比例函数的图象都经过点（a，b）。 （1）求k的值；

（2）求两个函数的解析式。 31、已知反比例函数

ykxynx的图象经过点（4，），若一次函数

12y=x+1的图象平移后经过该反比例函数的图象上的点B（2，m），求平移后的一次函数的图象与x轴的交点的坐标。 32、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E是AB边上一个动点，设AE＝x，DE的延长线交CB的延长线于F，设CF＝y，求y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围。

ymx33、如图，在平面直角坐标系中，函数

（x﹥0，m是常数）的图象过点A(1,4)，B(a,b)，其中a﹥1，过点A作x轴的垂线，垂足为C，过B点作y轴的垂线，垂足为D，AC交BD于点E，连接AD、DC、CB。

（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标； （2）求证：DC∥AB；

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（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式。 34、如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在两直角边分别与x,y轴平行，纸板的另外两个顶点A,B恰好是直线

ym(m0)x的交点。

9y=kx+21C（1，2）处，

与双曲线

（1）求m和k的值； （2）设双曲线

ym(m0)x在

A,B之间的部份为L，让一把三角尺

的直角顶点P在L上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB相交于M，N两点，请探究是否存在点P，使得出你的探究过程和结论。

35、“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”，下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图所示）；将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上，边OA与函数

1y=x的图象交于点

1MN=2AB，写

P，以P为圆

心，以2PO为半径作弧交反比例函数的图象于点R，过点P作x轴的平行线，过R点作y轴的平行线，两直线相交于点M，连结OM

1得到∠MOB，则∠MOB=3∠AOB，要明白帕普斯的方法，请研究

以下问题：

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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（1）设

1P（a，a1）,R(b，b),求直线

OM对应的函数表达式（用含

a，b的代数式表示）；

（2）分别过点P作y轴的平行线，过R作x轴的平行线，两直线相交于点Q，请说明Q点在直线OMAOB。

36、如图所示，矩形ABCD在第一象限内且边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数

ykx1上，并据此证明∠MOB=3∠

(k＞0,x＞0)的图象经过A、E两点，

已知点A的坐标为（1，3），点E的纵坐标为m。 （1）求k的值；

（2）求点C的横坐标(用m表示)； （3）当∠ABD＝45°时，求m的值。

37、如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴、y轴上，点B的坐标为(

－203，5)，D

是AB边上的

一点。将△AOD沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图象上，求该函数的解析式。

38、已知A(x1,y1),B(x2,y2)是直线y=-x+2与双曲线不同的交点。

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在这样的k值，使得(x1-2)(x2-2)＝

x2x1x1x2yk(k0)x的两个

？若存在，求

*欧阳光明*创编 2021.03.07

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出这样的k值；若不存在，说明理由。

39、如图，已知点A（4，m）、B(-1,n)在反比例函数的图象上，直线AB与x轴交于点C，如果点D在y轴上，且DA=DC， （1）求直线AB的解析式； （2）求点D的坐标。

yky8x40、如图所示，直线y=-2x-2与双曲线

x轴分别交于点B、C，AD⊥x轴于点D，如果COB，求

k的值。

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x交于点A，与

S△ADB＝S△