负数

重点、难点：

1. 复数的概念及其表示形式：

（1）形如abi（a,bR）的数称为复数，a,b分别叫做复数的实部、虚部 当b0时，abi表示实数；当b0时，abi表示虚数；

当a0，b0时，abi表示纯虚数，显然，纯虚数虚数， 实数虚数复数C

通常复数z的实部记作Rez；复数z的虚部记作Imz. 两个重要命题：

定理1：复数z是实数的充要条件是zz；

定理2：复数z是纯虚数的充要条件是zz0（z0）

（2）复数的几何形式：复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平

面上的点来表示复数，一般地，可用点Z（a,b）表示复数a+bi，（a,bR），或用向量OZ表示复数abi.

（3）复数相等：abicdiac且bd.

这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：

（4）共轭复数：zabi与zabi（a,bR）互为共轭复数。 在复平面上，互为共轭复数的两个点关于实轴对称： 另外z|z|

（5）复数的模：设zabi(a,bR)在复平面上对应的点为Z（a,b），则把向量OZ的模（即线段OZ的长度）叫做复数z的模。

|z|a2b2(0)

（6）共轭复数的运算性质：

z1z2z1z2；z1z2z1z2；z1z2z1z2；（ z(z)；zz|z||z| （7）复数的模的运算性质：

nn22z1z）1 z2z2|z1||z2||z1z2||z1||z2|（当与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2同向时，右边的等号成立：当OZ1，OZ2反向时，左边的等号成立） |z1||z2||z1z2||z1||z2|（取等号的情形与以上相反）

z2|； |z1z2||z1||z1|z|1；zn|z|n. z2|z2| （8）关于复数i与 i4n1i，i4n213i. 22i21，i4n3i3i，i4n4i41

1

1，，10； 1，，10.

2. 复数的运算：

（1）四则运算法则（可类比多项式的运算） ①加法：(abi)(cdi)(ac)(bd)i ②减法：(abi)(cdi)(ac)(bd)i ③乘法：(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i ④除法：(abi)(cdi) 简记为“分母实数化”。

特例：(abi)(abi)ab；(1i)2i，(1i)2i.

（2）开平方运算:a+bi的平方根x+yi（a,b,x,yR）可由(xyi)abi利用复数相等的充要条件转化为解实方程组。 （3）复数加法、减法的几何意义：

复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则。 复数减法即向量的减法，满足三角形法则。

z1-z2对应的向量，是以z2的对应点为起点，指向z1的对应点的向量，|z1-z2|表示复平面内与z1，z2对应的两点的距离，如： |z-i|表示z与i的对应的点的距离；

3. 复数与方程：

（1）含z的复数方程：可设出z的代数形式，利用复数相等转化为实方程组。 （2）实系数一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0）

△>0时，方程有两个不等实根；△=0时，方程有两个相等实根； △<0时，方程有两个互为共轭的虚根。 韦达定理以及求根公式仍然适用。

（3）复系数一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0）

根的判别式不再适用，如x2-ix-2=0，△=7>0，但该方程并无实根。但韦达定理以及求根公式仍适用。

［注］

1. 解决复数问题，注意虚实转化的方法。

2. 解决复数问题，注意充分利用共轭，模的运算性质。

三. 典型例题：

例1. 若|z|1，且z2z222222322322a,b,c,dR

abi(abi)(cdi)„(转化为乘法运算) cdi(cdi)(cdi)1为负实数，求复数z。 z 分析：欲求z，只需求出其实部、虚部，为此，设出其代数形式，利用已知条件，列出关于实部、虚部的方程组。

解：设zabi（a,bR）则由|z|1，得ab1 z2z22211 (abi)22(abi)zabi2

(a2b22a)(2ab2b)i (a2b22aabi

a2b2ab)(2ab2b)i 2222abab22 (ab3a)(2abb)i为负实数

a2b23a0a1a1a122或或 2abb0

a2b21b3b3b022 z

1313i或zi或z1。 2222(43i)2(12i)4，求|z| 例2. 设z(1i)12 分析与解：利用模的运算性质，简化运算|z|

例3. 计算：225。 64(22i)12(13i)9(23i)100(123i)100

分析与解：注意到式中隐含1i，13i，故可考虑利用(1i)22i， 2213以及i的运算性质简化运算，但需先对式子变形。

22 原式212(1i)121392(i)229(i23)100i(i23)100212(2i)6(i23)1009 2(3)3(i)100(i23)1002326i61921511. 31001i

例4. 对于复数z1，z2，若|z1z2||1z1z2|，则|z1|，|z2|中至少有一个等于1,请证明。

分析：对于两个模相等的式子。要想对其变形，则需利用|z|=zz来转化为可变形运算的形式。

证明：由已知，得|z1z2||1z1z2|，即 (z1z2)(z1z2)(1z1z2)(1z1z2) (z1z2)(z1z2)(1z1z2)(1z1z2)

z1z1z1z2z1z2z2z21z1z2z1z2z1z1z2z2

3

222 化简，得|z1||z2|1|z1||z2|

移项，分解因式，得（|z1|1）(|z2|1)0 |z1|1或|z2|1即|z1|1或|z2|1 可见|z1|，|z2|中至少有一个为1。

例5. 已知|z|1，求|z(23i)|的最值。

分析：若设zxyi（x,yR），则xy1（已知），所求为 |z(23i)|2222222222(x2)2(y3)2,若意图消元,把二元函数转化为一元函数,则通常的代入消元难以奏效，故可由x2+y2=1的结构联想到三角换元（sin2θ+cos2θ=1）；亦可考察已知等式与所求式子的几何意义，进行数形结合，转化为几何问题求解。 解法一（代数法）

设zxyi，（x,yR），由|z|1，得xy1 令xcos，ysin，(02) 则|z(23i)||(x2)(y3)i|  22(x2)2(y3)2

(cos2)2(sin3)2144cos6sin 14213sin()

当sin()1时，|z(23i)|取最大值14213131； 当sin()1时，|z(23i)|取最小值14213131。 解法二（几何法）

A Z1 O ｚ |z|1表示以原点O为圆心，半径为1的圆

|z(23i)|表示上述圆上的点与点A（2，3）的距离,由平面几何知识可得|z(23i)|的最大值为131，最小值为131。

z为纯虚数，求z在复平面内对应点的轨迹。 1z 分析：若设复平面内与z对应的点Z坐标为（x,y），则z=x+yi（x,yR）

z再利用为纯虚数的条件，可列出关于x,y的方程，从而可得知轨迹类型；另1zz外，若联想到一个复数为纯虚数的充要条件，亦可先对变形化简，再转化1z 例6. 若

4

为实数范围内的轨迹问题。

解法一：设zxyi（x,yR）

z(xx2y2)yi，因其为纯虚数。 则1z(1x)2y2xx2y2011(x)2y2(y0) 24y011 它表示以(，0)为圆心，以为半径的圆（去掉两点(0，0),(1，0)）

22 解法二：（利用共轭的运算性质化简）

z为纯虚数 1zzz 0，（z0且z1） 1z1z  zzzz2zz0 1z1z（1z）（1z） zz2zz0

22 设xyiz(x,yR)，则有2x2(xy)0（y0） 即(x)y 它表示以（12221(y0) 411，0）为圆心，以为半径的圆，（去掉两点(0,0),(1,0)） 22.

2 例7. 若关于x的方程x(2i1)x3mi0有实根，则实数m22 分析与解：因方程为复系数的一元二次方程，故由条件想到△≥0是错误的，可设出

实根为x0，则x0(2i1)x03mi0，(x0x03m)(2x01)i0，由复数相等的条件，易得

1xx0x03m002 2x010m1122m1 12

例8. 设z为虚数，z1为实数，且12 z （1）求|z|的值以及z的实部的取值范围；

1z，求证：u为纯虚数。 1z2 （3）求u的最小值。

（2）设u 分析：解决本题的关键和切入点是z 解：（1）设zxyi（x,yR且y0） 则(xyi)1为实数的条件 z111x(12)y(1)i 222xyixyxy5

Ry(1 11)0，而y0

x2y21220，即xy1|z|1 22xy1 的实部为x(12)2x，而12 2xy 12x2

11x1，即z的实部的取值范围为（，1） 221z(1x)yi(1x2y2)2yiyi （2）u221z(1x)yi1x(1x)y y0u为纯虚数。

0u0）） 另法（利用u为纯虚数uu（

u0（否则z1xyi1y0与已知矛盾）

1z1z1z1z22|z|20 且uu1z1z1z1z(1z)(1z) u为纯虚数。

11z2y22 （3）u(z)()2x(i)

z1z1xy21x21x2x2x 2x

1x(1x)2(1x)22 2(1x)3

1x1 x1，1x0

22 2(1x)32431

1x2 当且仅当2(1x)，即x0时，上式取“”号。

1x2 u的最小值为1。

【模拟试题】

（一）选择题：

1. 下列命题中正确的有（ ）个。 （1）若z1z20则z1z20 （2）若|z1||z2|0，则z1z20 （3）若|z|2，则z2 （4）若|z|3，则z9

A. 1 B. 2 C.3 D. 4

2.若复数z满足|zi||zi|2，则|z1i|的最小值为（ A. 1222）

B. 2C. 2D. 5

6

13i的共轭复数为（） 34i3131 A. +iB. -i

55553131 C. -+iD. -i

555513111 4.设i，则23（22 3.复数z A. 0

B. 1

C. -1

D. i

）

5.设t为非零实数,则复数z(t)(t)i在复平面上的对应点的轨迹为() A. 直线

（二）填空题：

B. 圆

C. 双曲线

D. 椭圆

1t1t21i 6.计算：13i3i 7.若z满足等式zi2|z|，则复数z22

8.若|z1|1，|z2|1，|z1z2|1，则|z1z2| 9.若|2zi|2，则|3z4i|的取值范围是

（三）解答题

10. 已知复数z是8+6i的平方根,且z在复平面内对应点在第三象限，求z32z 11.已知z，为复数，（13i）z为纯虚数，1的值。 zz且||52，求复数 2i2 12.已知方程（43i）xmx43i0有实根。

（1）若mR，求m值。

（2）若mC，求|m|的最小值。

7

【试题答案】

一. 选择题

1. A 2. A 3. B 4. A 5. C

二. 填空题：

432231i 443 7.i

4 8.3（结合复数运算的几何定义考查）

517 9.，

2222 提示：设zxyi（x,yR），则由|2zi|2，得(2x)(2y1)4

6.

|3z4i|(3x)2(3y4)2，消x，转化为以y为自变量的一元函数。但要注31意y的变化范围：y，

22

（三）解答题：

10. 解：设zxyi（x，yR），则(xyi)86i，由复数相等，得

2x2y28x3x3或z3i或z3i y1y12xy6 又z对应的点在第三象限，z3i.

1133 z2z(3i)2(3i)

z3i1(3i)3 (3i)2(3i) (3i)362i3i101123239 (1826i)(62i)(3i)i.

101010 11. 解：设zxyi（x,yR）

(13i)z(13i)(xyi)(x3y)(3xy)i为纯虚数 x3y0且3xy0 又||（1）

z|z|52|z|510 2i522（2） xy2501（2），解得 联立（）x15x15或

y5y5 z155i或z155i 155i155i7i或(7i)7i 2i2i 8

（本题有更简解法：设(13i)zki(k0)表出z，代入 待定k50，从而z中 2i50i(7i).）

(13i)(2i)22 12. 解：（1）设为方程的实根，则4m4(33)i0

1，从而m8

（2）设为方程的实根，则m |m|2(4124)(323)i

12(424)2(323)2

2 252251464

|m|的最小值为8。

9