２０１７年第４期 数学教学 一 从一题多解到多题一解 一平行在中考面积问题中的应用 马玉涛 （河南省安阳市第五中学，河南安阳４５５ｏｏｏ） 一题多解和多题一解在数学解题中十分 思考，发现这些问题可以利用平行线的性质解 决． 普遍，一题多解体现了运算的灵活性，思维的 发散性，从不同条件角度进行思考，用不同的 方法进行解决：多题一解体现了解题方法的普 适性，把不同的题目进行抽象概括，用同一种 方法进行解答．一题多解和多题一解更容易促 进学生数学能力的提高． 在网格中，使△ＡＢ 的面积为１的顶 点Ｃ到直线ＡＢ的距离为、／／２，于是我们可 以先确定在ＡＢ两侧各有点 和 满足条 件（ 、 位置不唯一），分别过Ｃｌ、 作直 线ＡＢ的平行线，在这两条平行线上的格点均 符合要求，共有８个，如图３． 同样的方法，在图２中，符合条件的点 有５个，如图４． 关于一题多解的论述较多，今天我从具体 实例谈谈“多题一解”在教学中的尝试． １ 引例 已知在正方形网格中，每个小方格都是边 长为１的正方形， 、Ｂ两点在小方格的顶点 上，设点Ｃ也在小方格的某个顶点上． （１）在图１中，若ＳＡＡＢＣ＝１，则点 的位 置有——个； 个． 图３ （２）在图２中，若ＳＡＡＢＣ＝２，则点 的位 置有 ？ 丹 在这类问题中，主要利用了平行线间的距 离处处相等，同底等高的两个三角形面积相等， 通过直线确定符合条件的所有点． 面积问题是近几年中考的热点之一，常结 合一次函数、二次函数、相似等知识点进行命 题，综合性较强，学生常通过铅锤法或利用坐 标割补，建立函数模型，利用函数性质进行解 决，计算量较大．下面结合例题，讨论利用平行 线解答三角形面积问题，使解题过程更简洁． ３ 应用 ／ 图１ 日 ．？ 图２ ２ 思考 在这两个问题中，点 的位置有多个，在 通常情况下，学生解决问题的思路是逐个点尝 试，但这样容易出现遗漏或重复，而且随着网 ３．１ 确定和已知三角形面积相等的点 例１如图５，在平面直角坐标系中，点 格行和列的增加，问题解决的难度又会上升． 笔者结合本题和近年中考三角形面积问题进行 的坐标为（１，一２），点 的坐标为（３，一１），二次 函数Ｙ＝一 的图像为２１． 一３２ 数学教学 ２０１７年第４期 （１）平移抛物线Ｚ１，使平移后的抛物线经 过点Ａ但不过点Ｂ． ①满足此条件的函数解析式有无数个． ②写出向下平移且经点Ａ的解析式 Ｙ＝一Ｘ２—１． Ｊ Ｄ ／／／ 图５ （２）平移抛物线１１，使平移后的抛物线 经过 、Ｂ两点，所得的抛物线１２，如图６，求 抛物线１２的函数解析式及顶点 的坐标，并 求△ＡＢ 的面积． Ｄ 、 图６ 易得１２的解析式为Ｙ＝一 ＋昙 一 ，顶 点 的坐标为（兰，一 ），△Ａ 的面积为蔷． （３）在（２）的条件下，在Ｙ轴上是否存在点 Ｐ，使ＳＡＡＢＣ＝ＳＡＡＢＰ，若存在，求出点Ｐ的 坐标；若不存在，请说明理由． 在第（３）小题中，所求ＡＡＢＰ与已知 △ Ｂ 有公共边 Ｂ，可以确定点Ｐ在与ＡＢ 平行的两条直线上． ０ ｉ Ｐ１ ， ，，， ，尸２ ＼ 图７ 方法一：点 是定点，延长 Ｂ至点 ，使 Ｂ＝ＣＢ，过点 和 作ＡＢ的平行线与Ｙ 轴的交点Ｐ１、Ｐ２符合条件，如图７． 方法二：延长Ｂ 与 轴相交于点 ，过 点Ｃ作ＡＢ的平行线与 轴的交点即为点Ｐ】， 根据 Ｍ：Ｐ２Ｍ，可得点Ｐ２，如图８． Ｏ ，ＰＭ／１ ＼ ， ２ ｜ 图８ ３．２ 求三角形面积为定值的点 例２ 已知点Ａ（一１，０）、Ｂ（４，０），点 在 Ｙ轴的正半轴上，且ＺＡＣＢ＝９０。，抛物线Ｙ＝ ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ经过 、Ｂ、 三点，其顶点为 点Ｍ，如图９． （１）求抛物线Ｙ＝ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ的解析式； （２）试判断直线ＣＭ与以ＡＢ为直径的圆 的位置关系，并加以证明； （３）在抛物线上是否存在点Ⅳ，使得 ＳＡＢＣＮ＝４７如果存在，那么这样的点有几 个？如果不存在，请说明理由． ｌ 、 ＼一 ． 图９ 根据已知条件可求得抛物线的解析式 为 一 １ ２＋兰 ＋２ ．在第（３）小题中，易得ＳＡＯＢＣ＝４，所求 △ＢＣⅣ与△ Ｂ 存在公共边Ｂ ，则点Ⅳ在 过点Ｏ且与Ｂ 平行的直线上（见图９）．于是， 在Ｙ轴上截取 Ｄ＝０Ｃ，分别过点Ｏ、Ｄ作 Ｂ 的平行线与抛物线的交点即为所求． ２０１７年第４期 数学教学 一３３ （３）在抛物线上是否存在点Ｄ，使ＡＡＢＤ 解＜ 二 ＋兰 ＋２和＜ 二 喜 ＋２ —的面积等于ＡＡＢＥ的面积的８倍，若存在，请 求出点Ｄ的坐标；若不存在，请说明理由． 由（２）得，ＳＡＡＢＣ＝１５，Ｓ／ｋＡＢＥ＝ ，于是 ＳＡＡＢＣ＝８ＳｚｘＡＢＥ． ｏ 点Ⅳ的个数． ３．３ 解答三角形面积倍数的问题 对于三角形面积倍数问题常常通过“等高 扩底”或“等底扩高”的方法找定点，转化为面 积相等再解答． 第ｆ３）小题讨论三角形面积倍数的问题： 由（１）可求得抛物线的解析式为Ｙ＝一 ３ ． Ｂ为公共边，延长 Ｅ至点ＪＦ），延长Ｅ 例３抛物线Ｙ＝ａｘ ＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）与双 曲线Ｙ＝ 相交于点 、Ｂ，且抛物线经过坐 标原点，点 的坐标为（一２，２），点Ｂ在第四 至点Ｑ，使ＡＰ＝ＡＱ＝８ＡＥ，则根据平行线的 性质可以知ＳＡＡＢＱ＝ ＡＢＰ＝８ ＡＢＥ，根据 象限内．过点 作直线ＢＣ／／ｘ轴，点 为直线 与抛物线的另一交点，已知直线Ｂ 与 轴之间的距离是点Ｂ到 轴距离的４倍，记抛 物线顶点为 ，见图１０． Ｉ 、， 平行线分线段成比例性质定理确定Ｐ（２，４）、 Ｑ（一６，０）．过点Ｑ做ＡＢ的平行线Ｙ＝一２ｘ一 １２，过点Ｐ做ＡＢ的平行线Ｙ＝－２ｘ＋８．由 ｛ ｙ：＝一－ ２ｘ －一１３２ ，，得｛ 三二 ’矛口ｘ２＝３， ８， 方程组｛ ：＝＝一２ｘ２＋ ， 无解，所以存在点 Ｌ Ｙ：：＝一 。一ｏ Ｄ１（３，一１８）和Ｄ２（一４，～４）满足条件． ４ 反思 一 ”、、 ｊ ｌ｜ ． 在教材中，关于平行和面积问题的讨论有 具体应用实例，在教材习题中也能找到这些问 题的影子，作为教师应该加强对教材的研究， 强化基础知识和基本技能，深入挖掘教材例题 和习题的应用和拓展，这样有利于培养学生探 索和创新意识，拓展学生思维，提高学生解决 问题能力，促进学生综合能力的全面提升． ｆ＼口 图１０ （１）求双曲线和抛物线的解析式； （２）计算ＡＡＢＣ与ＡＡＢＥ的面积； （上接第４—３０页） Ｐ…一４ ２ 引申ｌ若直线ｆ与椭圆ｃ： ＋ ＝１ ０’ｓｉｎ０＋ＣＯＳ ０ ）； 同理 相切于点（ＸＯ，ｖｏ），动直线ｆ与两定直线ｌｌ：ｂｘ— ａｙ＝０和１２：ｂｘ＋ａｙ＝０分别交于Ｐ、Ｑ两 点，则 。ＰＱ： ，其最小值是曲・ ２ ．２ Ｑ（ ｓｉｎ０一Ｃ０８０’ｓｉｎ０一ＣＯＳ０ ）． ２－－ －＊ＮＮｓｚｘＯＰＱ＝ １ ／ －－ ＇－＋ ２ ｖ＝ ＩｘｐｙＱ－ｘＱｙｐＩ： ｃｏｓ ２ ＝ ， 引申２若直线ｚ与双曲线ｃ：山＿一 ＝１ 相切于点（ＸＯ，ｕｏ），动直线？与两定直线ｌｌ：ｂｘ— ａｙ：０和１２：ｂｘ＋ａｙ：０分别交于Ｐ、Ｑ两点， 则ＳＡＯＰＱ是定值，且该定值为 ． 士１，即直线ｌ与椭圆 ｉ在－ｖ．四－－个Ｉ顶点处相切时ＡＯＰＱ的面积取得最小值８． ４．３第（２）ｄ，ＮＮ￣Ｎ
