第３６卷第５期 吉首大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｓｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖ０Ｉ．３６ ＮＯ．５ Ｓｅｐｔ．２０１５ ２０１５年９月 文章编号：１００７—２９８５（２０１５）０５—００１３—０３ 一阶常系数非奇次线性微分方程的通解 邓 雪 ，赵俊峰 ，张雄锋。 （１．华南理工大学数学学院，广东广州５１０６４０；２．广东工贸职业技术学院机械工程系， 广东广州５１０５１０；３．华南理工大学物理与光电学院，广东广州５１０６４０） 摘要：通过严谨的数学推导，利用待定系数法，对于一阶常系数非奇次线性微分方程Ｙ ＋Ｐｙ—Ｑ（ｚ），给出了Ｑ（ｘ） 的不同情况的特解的具体表达式，以及带有不同表达形式的特解的通解公式． 关键词：通解；特解；线性微分方程；待定系数法 中图分类号：Ｏ１７２ 文献标志码：Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊｄｘｂ．２０１５．０５．００３ １ 问题的提出 对于一阶常系数非奇次线性微分方程Ｙ ＋Ｐｙ—Ｑ（ｘ），常用的方法是根据公式Ｙ非奇通一 （Ｉ厂Ｑ（ ）ｅ ｄｚ＋ｃ）一ｅ一 （ Ｑ（ ）ｅ ｄ ＋ｃ）求其通解 ５１．但是，对于Ｑ（ ）的不同情况，不定积 分．ｒＱ（－ｚ）ｅ ｄｚ的计算有时是十分复杂的．笔者根据公式 非奇通一ｙ奇通＋ 靠奇特一ｃｅ ＋ 靠奇特，采用待定 ｅ一 系数法，针对Ｑ（ ）的不同情况，得出对应的 靠奇特，求出Ｙ ＋Ｐｙ—Ｑ（ｚ）的通解，从而省去了繁琐的计算． ２ 主要结果 定理Ｉ 对于一阶常系数非奇次线性微分方程Ｙ ＋Ｐｙ—Ｑ（ ），其中Ｐ为常数，Ｑ（ｚ）已知，根据Ｑ（ｚ） 的不同情况，对应特解的具体表达式为： ｆＱ （ ）一∑ｎ …，则 靠奇特一∑ｂ — ； ＋Ｐｙ—Ｑ（ ）一｛ ｅｈ，贝ｕ ３，靠奇特一Ａｅ （龙≠一户）； ｓｉｎ口ｚ＋７ｃｏｓ ａｘ，贝０ 靠奇特一Ａ ｓｉｎ口ｚ＋Ｂｃｏｓ口ｚ． 对应地，其通解的表达式为Ｙ非奇通一Ｃｅ ＋ 靠奇特． （ ） 证明 针对一阶常系数非奇次线性微分方程 Ｙ ＋Ｐｙ—Ｑ（ｚ）， （２） 用待定系数法求其对应的非齐次的特解．现考虑３种情况： （１）当Ｑ（ ）一Ｑ （ｚ）一∑口 一一ａ ０ｚ ＋ｎ ｚ 一 ＋…＋口 一ｚ 。＋ａ 一 ＋ｎ ，采用待定系数法，令 ｉ—ｏ 靠齐特一∑ｂ ～一６。ｚ ＋ｂｌｚ 一 ＋…＋６ 一２ｚ ＋ｂｍ－ｉｚ＋ｂ ， ｉ一０ （３） ＊收稿日期：２０１５—０４一Ｏ７ 基金项目：教育部人文社会科学规划基金项目（１３ＹＪＣＺＨ０３０）；２０１５年广东省高等学校质量工程项目（精品资源共享 课）；２０１５年华南理工大学中央高校基本科研业务费重点项目（Ｘ２１ＸＤ２１５２３６Ｗ）；华南理工大学教改项目 （Ｘ２１ＸＹ１１５１２１０） 作者简介：邓雪（１９７４一），女，辽宁沈阳人，华南理工大学数学学院副教授，博士，主要从事高等数学研究． ｌ４ 吉首大学学报（自然科学版） 第３６卷 贝Ｕ （４） 将（３），（４）式代入（２）式中，有 ｍ６。ｚ一 ＋（ 一１）ｂ１ｚ ＋…＋２ｂ 一２ｚ＋ｂ 一１＋ｐｂ。ｚ ＋ｐｂｌｚ一 ＋…＋ 户６—２ｚ。＋ｐｂｍ一１Ｘ＋ｐｂ ＝＝：口。ｚ ＋口１ 一 ＋…＋ 以 一２ ＋ａｍ－－１ ＋ａｍ． 比较（５）式两端同类项的系数得 ＊ ，齐 特 一 ｍ ６ Ｏ ｌ。ａｏ 一：ｐ ６ｂｏ ，＋ ６。， Ｉａ 一 ＝：：ｐｂ 一１＋２ｂ 一２， ｍ ｚ 【ａ 一ｐｂ ＋ｂｍ－１． ＋１个等式， ＋１个自变量，可求出ｂ ｏ， ＋ 其中州。， ，…棚 已知，ｂ。，ｂｔ，…，ｂ 未知，则方程组（６）共有 ， 一ｍ 一 ｂ６ 一， ．即得 靠齐特＝＝：∑ｂ ｚ—ｌ，有 １ 、， ｉ ｏ ６Ｌ ｚ ２一 非弃通：ｙ齐通＋ 靠齐特一ｃｅ巾＋∑ｂ …． ｉ＝０ （７） ＋ （２）当Ｑ（ｚ）： ｅ （是≠一 ），令 靠齐特一Ａｅｈ，则 靠ｔ卉特＝ｋＡｅ ．将３Ｊ 齐特和 靠 特代入（２）式，得 ｋＡｅ ＋ Ａｅ — ｅ ．因ｅ虹≠０，两边消去ｅｋｘ，得Ａ一币＋ ２ ６ ｍ ２ 一 通：ｙ柏＋３， ＝ｃｅ ＋（南 ． 口ＡＣＯＳ ｎｚ—ａＢ ｓｉｎ口ｌｚ＋ｐＡｓｉｎ ａｘ ＋ｐＢｃｏｓ ａｚ一），ｓｉｎ ｇｔ３Ｃ＋７ｃｏｓ ａｚ’ （８） ＋ ６ 卅 （３）当Ｑ（ｚ）：Ａｓｉｎ ｎ ＋ｙｃ。ｓ ｎｚ，令 靠齐特一Ａｓｉｎ ｄ ＋Ｂｃ。ｓ口ｚ，则 靠｜齐特一口Ａｃ。ｓ ｎ —ａＢｓｉｎ ａｚ， 一 将 罪齐特和 罪．齐特代入（２）式，得 进而得 ｆｐＡ—ａＢ— ， ＩａＡ＋ｐＢ＝），． 解出Ａ和Ｂ，可求得 靠齐特，则有 Ｙ非齐通一ｙ齐通十 靠齐特：Ｃｅ一 ＋Ａ ｓｉｎ ａｘ＋Ｂｃｏｓ ａｘ－ 综上所述，由（７），（８），（９）式，推导出（１）式．证毕． ３ 应用 例１ 求方程３ 十２ 一６ｚ的通解． 解 对应奇次方程的解为ｙ齐通一Ｃｅ－ｔ 一ｃｅ— ２．设 靠齐特一６。ｘ＋ｂ ，则３，靠．齐特一ｂ。，将 靠齐特和 靠．齐特 代入原方程得 ３６ ＋２６。ｚ＋２ｂｌ一６ｘ． （１Ｏ） 比较（１０）式两端同类项的系数得 ｆｂ 一３， ｉｆ２３ｂ ０—６， ｌ ＋ｚ６ 一。，。１６、＝＝一导． 故特解 靠齐特＝３ｘ一÷，从而 非齐通一Ｃｅ＿＿ ＋３ｘ一 ・ 例２ 求方程Ｙ ＋２ｙ一５ｅ 的通解． 解 对应奇次方程的解为ｙ井遵一ｃｅ一 出一Ｃｅ－宅 ．设３，罪齐特一Ａ ｅ ，则 靠．齐特一２Ａｅ ，将 靠齐特和 罪齐特 第５期 邓雪，等；一阶常系数非奇次线性微分方程的通解 １５ 代入原方程得 ２Ａｅ ＋２Ａｅ趾＝５ｅ ． （１１） 比较（１１）式两端同类项的系数得Ａ一｛，故特解 靠齐特一｛ｅ缸，从而 非齐通：ｃｅ ＋｛ ． 例３ 求方程Ｙ ＋ ：ｓｉｎ Ｘ的通解． 解 对应奇次方程的解为ｙ奇通：ｃｅ—ｊ ｈ＝Ｃｅ～．设 靠齐特－－Ａｓｉｎ ｚ＋Ｂｃｏｓ ，则３，靠．齐特＝Ａｃｏｓ Ｘ— Ｂｓｉｎ Ｘ，将 靠齐特和 靠 特代入原方程得 （ＡＣＯＳ —Ｂｓｉｎ ｚ）＋（Ａｓｉｎ Ｘ＋ＢＣＯＳ Ｘ）＝ｓｉｎ Ｘ， 整理得 （Ａ—Ｂ）ｓｉｎ ＋（Ａ＋Ｂ）ＣＯＳ ｚ＝ｓｉｎ ． （１２） 比较（１２）式两端同类项的系数得 Ａ． １ 一 ， ｆＡ—Ｂ一１， ＩＡ＋Ｂ一０， Ｂ １ 一 ・ 故特解 靠齐特一 １故特解 靠齐特一 １ ｃ。ｓｏｓ ，从而 非齐通一 一 ＋ １ ，从而 非齐通一 一＋ Ｃｅ １ｓ ｎ ｘｉ － ｓ ｎ ｘｉｎ － ｃ。ｓ ．０ｓ ． ４ 结语 针对Ｑ（ ）的不同情况，利用待定系数法推导出一阶常系数非奇次线性微分方程Ｙ ＋ＰＹ—Ｑ（ｚ）的通 解的具体表达式．同时，通过实例验证这一结果是有效的．在实际教学中，这一结论为讲授“一阶常系数非 奇次线性微分方程”的教师和学习该课程的学生扩展了思路，同时在求解过程中省去了繁琐的计算． 参考文献： ［１］同济大学应用数学系．高等数学（下）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２． ［２］王全迪，郭 艾，杨立洪．高等数学（下）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００９． ［３］陈凤平，付一平，杨立洪．高等数学（下）ｌ－Ｍ］．广州：华南理工大学出版社，２００５． ［４］王丽燕．高等数学大讲堂［Ｍ］．大连：大连理工大学出版社，２００４． ［５］黄庆怀．２０１２考研高等数学辅导教材［Ｍ］．北京：北京航空航天大学出版社，２０１１ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｏｎｅ Ｏｒｄｅｒ Ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｎｏｎ—Ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｌｉｎｅａｒ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＤＥＮＧ Ｘｕｅ ，ＺＨＡＯ Ｊｕｎｆｅｎｇ ，ＺＨＡＮＧ Ｘｉｏｎｇｆｅｎｇ。 （１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｏｕｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ ５１０６４０，Ｃｈｉｎａ；２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｄｕｓｔｒｙ ａｎｄ Ｃｏｍｍｅｒｃｅ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ ５１０５１０，Ｃｈｉｎａ；３．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｏｔｏｅｌｅｃｔ ｒｉｃｉｔｙ，Ｓｏｕｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ ５ １ ０６４０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒ ｏｎｅ ｏｒｄｅｒ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｎｏｎ－ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｙ ＋Ｐｙ—Ｑ （ｚ）。ｔｈｅ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｓｐｅｃｉａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｑ（ｚ）ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｕｎ— ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｗｉｔｈ ｓｐｅｃｉａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ａｓ ｗｅｌ１． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｇｅｎｅｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｓｐｅｃｉａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｕｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ （责任编辑向阳洁）