小学奥数平面几何五大定律

教学目标：

1． 熟练掌握五大面积模型

2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图S1:S2a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACDaS1S2AbBS△BCD；

CD反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE(ABAC):(ADAE)

DAADEEB

图⑴ 图⑵

三、蝴蝶定理

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

CBC

DAS2BDS4①S1:S2S4:S3或者S1S3S2S4②AO:OCS1S2:S4S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①S1:S3a2:b2

②S1:S3:S2:S4a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为ab．

1 2S1OS3S4CAS2aS1OS3BbC

四、相似模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

AEAFDDB①

FGEC

BGC

ADAEDEAF； ABACBCAG22②S△ADE：S△ABCAF:AG．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么SABO:SACOBD:DC． 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的

AEFO三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

BD典型例题

【例 1】 如图，正方形ABCD的边长为6，AE1.5，CF2．长方形EFGH的面积为 ．

_HC _D_H _D_A_E

_G

_A

_E

_G

_B

_F

_C

_B

_F

_C

【解析】 连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

2 S△DEF661.5622624.54216.5,所以长方形EFGH面积为33．

【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

_ E_ A_ F

_ D

_ G

_ C _ B

_ F

_ A_ E_ B

_ GD_ C _

【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四

边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接AG．(我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起)． ∵在正方形ABCD中，S△ABG∴S△ABG1ABAB边上的高， 21S2ABCD(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)

同理，S△ABG1SEFGB． 2∴正方形ABCD与长方形EFGB面积相等． 长方形的宽88106.4(厘米)．

【例 2】 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积

是多少？

AHDEGBFC D【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：

HAEGB111SSSSDHC，而SABCDSAHBSCHBSCHD36 SS 可得：EHBCHB、DHGAHB、FHB22211SSS(SSS)3618； 即EHBBHFDHGAHBCHBCHD22 而SEHBSBHFSDHGS阴影SEBF，SEBF 所以阴影部分的面积是：S阴影18SEBF那么图形就可变成右图：

FC

11111BEBF(AB)(BC)364.5． 22228184.513.5

解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，

3 AD(H)EG

这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有： S阴影SABCDSAEDSBEFSCFD36BFC111111136363613.5． 2222222

【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分

别与P点连接,求阴影部分面积．

ADA(P)DADPPCCBB

【解析】 （法1）特殊点法．由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部

11分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面

4611积为62()15平方厘米．

46（法2）连接PA、PC．

BC由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和

11等于正方形ABCD面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的，

4611所以阴影部分的面积为62()15平方厘米．

46

【例 3】 如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB8，AD15，四边形EFGO的面积

为 ．

ADOEBFGC

【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积．

1由于长方形ABCD的面积为158120，所以三角形BOC的面积为12030，所以三角形AOE和

43DOG的面积之和为1207020；

44 11又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为12030，所以四边形EFGO的面积为

24302010．

另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积三角形BFD面积白色部分的面积，而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050，所以四边形的面积为605010．

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE2ED，则阴影部分的面积为 ．

AOB【解析】 如图，连接OE．

EDAMOBENDC

C

根据蝴蝶定理，ON:NDSCOE:SCDE11SCAE:SCDE1:1，所以SOENSOED；

2211OM:MASBOE:SBAESBDE:SBAE1:4，所以SOEMSOEA．

521111又SOEDS矩形ABCD3，SOEA2SOED6，所以阴影部分面积为：362.7．

3425

【例 4】 已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，

求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)

A甲乙IJMBNH丙EDF

【解析】 因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平

行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200． 根据图形的容斥关系，有SABCCS丙SABNSAMCSAMHN，

SAMHN．

140043． 4即400S丙 200200SAMHN，所以S丙又S阴影SADFS甲S乙SAMHN，所以S阴影S甲S乙S丙SADF143

【例 5】 如图，已知CD5，DE7，EF15，FG6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38，

右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是 ．

5 AACDBEFGCDBEFG

【解析】 连接AF，BD．

根据题意可知，CF571527；DG715628；

15SCBF，SBEC12SCBF，SAEG21SADG，SAED7SADG， 272827287122115SSCBF38； SS65于是：；ADGADGCBF28272827可得SADG40．故三角形ADG的面积是40．

所以，SBEF

【例 6】 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB2:5，AE:AC4:7，S△ADE16平方厘

米，求△ABC的面积．

AADEDEBCB【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE

AD:AB2:5(24):(54)，

C

S△ABE:S△ABCAE:AC4:7(45):(75)，所以S△ADE:S△ABC(24):(75)，设S△ADE8份，则S△ABC35份，S△ADE16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互

补角)两夹边的乘积之比 ．

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三

角形ABC的面积是多少？

AADECDECB【解析】 连接BE．

∵EC3AE ∴S∴SABC B

3SABE

15，∴S15S15．

又∵AB5AD

ADESABE5SABCABCADE

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BDDC4，BE3，AE6，乙部分面积

是甲部分面积的几倍？

6 AEB甲DEA乙C

B甲D乙C

【解析】 连接AD．

∵BE3，AE6 ∴AB3BE，S∴S2SABD3SBDE

，S乙5S甲．

又∵BDDC4，

ABCABD，∴SABC6SBDE

【例 7】 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD5:2，

AE:EC3:2，S△ADE12平方厘米，求△ABC的面积．

DDAAEBCE【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE

AD:AB2:5(23):(53)

BCS△ABE:S△ABCAE:AC3:(32)(35):(32)5，

所以S△ADE:S△ABC(32):5(32)6:25，设S△ADE6份，则S△ABC25份，S△ADE12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例 8】 如图，平行四边形ABCD，BEAB，CF2CB，GD3DC，HA4AD，平行四边形ABCD的面

积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．

HHAGDFBCEAGDFBCE

【解析】 连接AC、BD．根据共角定理

∵在△ABC和△BFE中，ABC与FBE互补，

SABBC111． ∴△ABCS△FBEBEBF133又S△ABC1，所以S△FBE3．

同理可得S△GCF8，S△DHG15，S△AEH8．

所以SEFGHS△AEHS△CFGS△DHGS△BEFSABCD8815+3+236．

7 所以

SABCD21． SEFGH3618

【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？

C1312O131213D131212AB

【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.

因此，原来四边形的面积为1212144.(也可以用勾股定理)

【例 10】 如图所示，ABC中，ABC90，AB3，BC5，以AC为一边向ABC外作正方形ACDE，

中心为O，求OBC的面积．

EEOA3B5CDOA3B5CD

【解析】 如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置．

所以OCFOCB180，那么B、C、F三点在一条直线上．

F

由于ABC90，AOC90，所以OABOCB180．而OCFOAB，

由于OBOF，BOFAOC90，所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为538，所以它

1的面积为8216．

45根据面积比例模型，OBC的面积为1610．

8

【例 11】 如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，AEB90，AC、BD交于O．已

知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．

8 CBCBOEDADOEAF

【解析】 如图，连接DE，以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到ABF的位置．

那么EAFEABBAFEABDAE90，而AEB也是90，所以四边形AFBE是直角梯形，且AFAE3，

所以梯形AFBE的面积为：

135312(cm2)．

2又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2AE2BE2325234，所以

SABD1AB217(cm2)． 2那么SBDESABDSABESADESABDSAFBE17125(cm2)，

1SSBDE2.5(cm2)． 所以OBE2

【例 12】 如下图，六边形ABCDEF中，ABED，AFCD，BCEF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，

BC平行于EF，对角线FD垂直于BD，已知FD24厘米，BD18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？

BACGABCFEDFED

【解析】 如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重

合到图中的AG了．这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为2418432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米．

【例 13】 如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC1:2，AD与BE交于

点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

AAAEBDFCB33EF312CD

9 EFBDC

S△ABFBD1S△ABFAE1, ，【解析】 方法一：连接CF，根据燕尾定理，

SECS△ACFDC2△CBF设S△BDF1份，则S△DCF2份，S△ABF3份，S△AEFS△EFC3份，如图所标

55S△ABC 1212所以SDCEF方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABD11S△ABC， 33BFS△ABD11121， S△ADES△ADCS△ABC，所以

FES△ADE122331111111S△DEFS△DEBS△BECS△ABC，

223232122115SS而△CDE．所以则四边形DFEC的面积等于． △ABC32312【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方

厘米?

AFBGDECBBAA3F3G1DDEFx2y3xyCEG

C【解析】 设S△DEF1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影55S△BCD平方厘米. 1212

【例 14】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)．如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面

1积的，且AO2，DO3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍．

3AOBDAHOCBDG 【解析】 在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条

件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件

CSABD:SBCD1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条

件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．

解法一：∵AO:OCSABD:SBDC1:3，∴OC236，∴OC:OD6:32:1． 解法二：作AHBD于H，CGBD于G． ∵SABD111SSDOC， SBCD，∴AHCG，∴AOD33310 1∴AOCO，∴OC236，∴OC:OD6:32:1．

3【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC？

A2B1G3DC【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，SBGC

123，那么SBGC6；

⑵根据蝴蝶定理，AG:GC12:361:3．

【例 15】 如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、

4、4和6．求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积．

AOGDFC

【解析】 ⑴根据题意可知，△BCD的面积为244616，那么△BCO和CDO的面积都是1628，所以

△OCF的面积为844；

BE⑵由于△BCO的面积为8，△BOE的面积为6，所以△OCE的面积为862，

根据蝴蝶定理，EG:FGSCOE:SCOF2:41:2，所以SGCE:SGCFEG:FG1:2， 那么SGCE112SCEF2． 1233

【例 16】 如图，长方形ABCD中，BE:EC2:3，DF:FC1:2，三角形DFG的面积为2平方厘米，求长方

形ABCD的面积．

AGDFC

AGDFC

B【解析】 连接AE，FE．

EBE因为BE:EC2:3，DF:FC1:2，所以S因为SAEDDEF3111()S长方形ABCDS长方形ABCD． 53210AGD1S长方形ABCD，AG:GF1:15:1，所以S221011 5SGDF10平方厘米，所以

SAFD12平方厘米．因为SAFD1S长方形ABCD，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米． 6

【例 17】 如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分的面积．

BCGAD

【解析】 因为M是AD边上的中点，所以AM:BC1:2，根据梯形蝴蝶定理可以知道

MS△AMG:S△ABG:S△MCG:S△BCG12（:12）（:12）:221:2:2:4，设S△AGM1份，则S△MCD123

份，所以正方形的面积为1224312份，S阴影224份，所以S阴影:S正方形1:3，所以

S阴影1平方厘米．

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘

米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米．

ADFBEC

2S梯形（12）9(平方厘米)，

【解析】 连接DE，根据题意可知BE:AD1:2，根据蝴蝶定理得

S△ECD3(平方厘米)，那么SABCD12(平方厘米)．

【例 18】 已知ABCD是平行四边形，BC:CE3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是

平方厘米．

AODAODB【解析】 连接AC．

CEBCE

由于ABCD是平行四边形，BC:CE3:2，所以CE:AD2:3， 根据梯形蝴蝶定理，SCOE:SAOC:SDOE:SAOD22:23:23:324:6:6:9，所以SAOC6(平

12 方厘米)，

SAOD9(平方厘米)，又SABCSACD6915(平方厘米)，阴影部分面积为

61521(平方厘米)．

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分

的面积是 平方厘米．

A9214BEDA921CBO4

DEC

2【分析】 连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SOCDSOAE．

根据蝴蝶定理，SOCDSOAESOCESOAD4936，故SOCD所以SOCD36，

6(平方厘米)．

【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分

的面积是 平方厘米．

A8162BEDA816CBO2EDC

【解析】 连接AE．由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SOCDSOAE．

根据蝴蝶定理，

SOCDSOAESOCESOAD28161S2，故

SOCD216，所以

SOCD4(平方厘米)．

另解：在平行四边形ABED中，SADEABED116812(平方厘米)， 2所以SAOESADESAOD1284(平方厘米)， 根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8244(平方厘米)．

【例 19】 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余

下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．

AE25O8F?BAE25O8F?B

【解析】 连接DE、CF．四边形EDCF为梯形，所以SEODS13 DCDCFOC

，又根据蝴蝶定理，SEODSFOCSEOFSCOD，

所以SEODSFOCSEOFSCOD2816，所以SEOD4(平方厘米)，SECD4812(平方厘米)．那

么长方形ABCD的面积为12224平方厘米，四边形OFBC的面积为245289(平方厘米)．

【例 20】 如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点．已知正方形DEFG的

面积48，AK:KB1:3，则BKD的面积是多少？

DKBEAGDKAG

【解析】 由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形．在梯形ADBC中，BDK和

11ACK的面积是相等的．而AK:KB1:3，所以ACK的面积是ABC面积的，那么BDK的

1341面积也是ABC面积的．

4由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且

FCBEMFCAMDE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形

DEFG的面积相等，为48．

112． 4【例 21】 下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA的中

m点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，(mn)的值等

n于 ．

那么BDK的面积为48AHDAHDEGEG

【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都

比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积． 如下图所示，在左图中连接EG．设AG与DE的交点为M． 左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的

BFCBFC1，所以三角形AMD的面积为411111 12．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为14．

2488214 AHDAHDMEGENGBFCBFC

如上图所示，在右图中连接AC、EF．设AF、EC的交点为N． 可知EF∥AC且AC2EF．那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的

1，所以三角形BEF 的面4111113积为12，梯形AEFC的面积为．

248288在梯形AEFC中，由于EF:AC1:2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：

31112:12:12:221:2:2:4，所以三角形EFN的面积为，那么四边形BENF的面积812242411111为 ．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为14．82466311m3那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为:3:2，即，

23n2那么mn325．

【例 22】 如图， △ABC中，DE，FG，BC互相平行，ADDFFB，

则S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB ．

ADFBEGC

【解析】 设S△ADE1份，根据面积比等于相似比的平方，

所以S△ADE:S△AFGAD2:AF21:4，S△ADE:S△ABCAD2:AB21:9， 因此S△AFG4份，S△ABC9份，

进而有S四边形DEGF3份，S四边形FGCB5份，所以S△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGCB1:3:5

【巩固】如图，DE平行BC，且AD2，AB5，AE4，求AC的长．

ADBE

【解析】 由金字塔模型得AD:ABAE:ACDE:BC2:5，所以AC42510

15 C

【巩固】如图， △ABC中，DE，FG，MN，PQ，BC互相平行，

ADDFFMMPPB，则

AS△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB． 【解析】 设

DFMEGS△ADE1份，S△ADE:S△AFGAD2:AF21:4，因此

S△AFG4份，进而有S四边形DEGF3份，同理有

BNQCS四边形FGNM5份，S四边形MNQP7份，S四边形PQCB9份．

所以有

PS△ADE:S四边形DEGF:S四边形FGNM:S四边形MNQP:S四边形PQCB1:3:5:7:9

【例 23】 如图，已知正方形ABCD的边长为4，F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE:EC1:3，AF与BE相交于点G，求S△ABG

ABABABGFGFGFD

【解析】 方法一：连接AE，延长AF，DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，所以有AB:CMBF:FC1:1，

因此CM4，根据题意有CE3，再根据另一个沙漏有GB:GEAB:EM4:7，所以

ECDECMDEC432(442)． ABE1111方法二：连接AE,EF，分别求S△ABF4224，S△AEF4441232247，根S△ABG据蝴蝶定理S△ABF:S△AEFBG:GE4:7，所以S△ABG4S△474432S△ABE(442)． 471111

【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点， BF交EC于M，求BMG的面积．

AFFDIADEBHMGCB

EMHGC

【解析】 解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF//BD，而FD:BCFH:HC1:2，

EB:CDBG:GD1:2所以CH:CFGH:EF2:3，

并得G、H是BD的三等分点，所以BGGH，所以

2BG:EFBM:MF2:3，所以BMBF，SBFD5111SABDS222ABCD1； 41212111SS又因为BGBD，所以BMG． BFD353303 解法二：延长CE交DA于I，如右图，

16 可得，AI:BCAE:EB1:1，从而可以确定M的点的位置，

21 BM:MFBC:IF2:3，BMBF，BGBD(鸟头定理)，

53 可得SBMG

【例 25】 如图，ABCD为正方形，AMNBDEFC1cm且MN2cm，请问四边形PQRS的面积为多少？

DERSPAMNBQFC21211SBDFS53534ABCD1 30DERSPFCQMNB MQMBMPPC【解析】 (法1)由AB//CD，有，所以PC2PM，又，所以 QCECMNDC

A11111MQQCMC，所以PQMCMCMC，所以SSPQR占SAMCF的，

2236612所以SSPQR1(112)(cm2)．

631(法2)如图，连结AE，则SABE448(cm2)，

2RBERRBAB2216而，所以2，SABRSABE8(cm2)． ABEFEFEF33311MNMP而SMBQSANS343(cm2)，因为， 22DCPC1114所以MPMC，则SMNP24(cm2)，阴影部分面积等于

323312SABRSANSSMBQSMNP33(cm2)．

333

【例 26】 如右图，三角形ABC中，BD:DC4:9，CE:EA4:3，求AF:FB．

AFBODEC

【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOCBD:CD4:912:27 S△AOB:S△BOCAE:CE3:412:16

（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC27:16AF:FB

【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能

掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

17

【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC3:4，AE:CE5:6，求AF:FB.

AFBODEC

【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOCBD:CD3:415:20 S△AOB:S△BOCAE:CE5:615:18

（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC20:1810:9AF:FB

【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC2:3，EA:CE5:4，求AF:FB.

AFBODEC

【解析】 根据燕尾定理得S△AOB:S△AOCBD:CD2:310:15 S△AOB:S△BOCAE:CE5:410:8

（都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S△AOC:S△BOC15:8AF:FB

【点评】本题关键是把△AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能

掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【例 27】 如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE3:2，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．

AEFHB【分析】 连接AH、BI、CG．

AEFIDC

GGHIDC

B222AC，故SABESABC； 555根据燕尾定理，SACG:SABGCD:BD2:3，SBCG:SABGCE:EA3:2，所以

49SACG:SABG:SBCG4:6:9，则SACG，SBCG；

19192248那么SAGESAGC；

551995由于CE:AE3:2，所以AE18 9，则EG:EH，EG:EBSACG:SACB4:19，所以SACG:SACH4:919EG:GH:HB4:5:，同样分析可得10AG:GI:ID10:5:4，

55215511所以SBIESBAE，SGHISBIE．

1010551919519【巩固】 如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积．

同样分析可得SACHAAFIBHGDEFICBHGDEC

【解析】 连接BG，S△AGC6份

根据燕尾定理，S△AGC:S△BGCAF:FB3:26:4，S△ABG:S△AGCBD:DC3:29:6

S6得S△BGC4(份)，S△ABG9(份)，则S△ABC19(份)，因此△AGC,

S△ABC19同理连接AI、CH得

S△ABHS6S6196661,△BIC,所以△GHI S△ABC19S△ABC19S△ABC1919三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19

【巩固】如图，ABC中BD2DA，CE2EB，AF2FC，那么ABC的面积是阴影三角形面积的 倍．

ADGFHB【分析】 如图，连接AI．

ADGFHIC

IC

EBE根据燕尾定理，SBCI:SACIBD:AD2:1，SBCI:SABICF:AF1:2，

22所以，SACI:SBCI:SABI1:2:4，那么，SBCISABCSABC．

12472同理可知ACG和ABH的面积也都等于ABC面积的，所以阴影三角形的面积等于ABC面积的

72113，所以ABC的面积是阴影三角形面积的7倍． 77

【巩固】如图在△ABC中，

△GHI的面积DCEAFB1的值． ,求

△ABC的面积DBECFA219 AEHFIBGDCBFIAEHGDC

【解析】 连接BG,设S△BGC1份，根据燕尾定理S△AGC:S△BGCAF:FB2:1,S△ABG:S△AGCBD:DC2:1,得

S2S△AGC2(份)，S△ABG4(份),则S△ABC7(份)，因此△AGC,同理连接AI、CH得

S△ABC7S△ABH2S△BIC2S72221,,所以△GHI S△ABC7S△ABC7S△ABC77【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面

积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.

【例 28】 如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC被分成9部分，请写出

这9部分的面积各是多少?

AAGGPQFBBFNDECM

【解析】 设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，

CM，CN．

根据燕尾定理，S△ABP:S△CBPAG:GC1:2，S△ABP:S△ACPBD:CD1:2，设S△ABP1(份)，则

1S△ABC1225(份)，所以S△ABP

5211213121同理可得，S△ABQ,S△ABN,而S△ABG，所以S△APQ，S△AQG．

72375353721311239同理，S△BPM，S△BDM,所以S四边形PQMN3521273570139511511115,S四边形NFCES四边形MNED,S四边形GFNQ

33570423214263212

【巩固】如图，ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形

JKIH的面积是多少？

DEC20 CFGKA【解析】 连接CK、CI、CJ．

CDEGKB

JIFJIDEHB

HA根据燕尾定理，SACK:SABKCD:BD1:2，SABK:SCBKAG:CG1:2，

1111所以SACK:SABK:SCBK1:2:4，那么SACK，SAGKSACK．

12473212类似分析可得SAGI．

151又SABJ:SCBJAF:CF2:1，SABJ:SACJBD:CD2:1，可得SACJ．

41117那么，SCGKJ．

4218417根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为

84172161619，所以四边形JKIH的面积为1SCGKJ2SAGISABE2．

84153707070

【例 29】 右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与

BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？

AGMFCBDEAGNMB【解析】 连接CM、CN．

NDEFC

1根据燕尾定理，S△ABM:S△CBMAG:GC1:1，S△ABM:S△ACMBD:CD1:3，所以S△ABMS△ABC；

5再根据燕尾定理，S△ABN:S△CBNAG:GC1:1，所以S△ABN:S△FBNS△CBN:S△FBN4:3，所以AN:NF4:3，那么

1根据题意，有S△ABC5S△ANG15122S△ABC． ，所以SFCGN1S△AFCS△ABC77428S△AFC24375S△ABC7.2，可得S△ABC336(平方厘米) 28

【例 30】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面

积.

21 ADEIHEQDPAIMHNBFGCBFGC

【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！

令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP

⑴求S四边形ADMI：在△ABC中，根据燕尾定理，S△ABM:S△CBMAI:CI1:2S△ACM:S△CBMAD:BD1:2 设S△ABM1(份)，则S△CBM2(份),S△ACM1(份),S△ABC4(份),

1111所以S△ABMS△ACMS△ABC，所以S△ADMS△ABMS△ABC,S△AIMS△ABC,

431212111所以S四边形ADMI()S△ABCS△ABC,

121261同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC面积的

6⑵求S五边形DNPQE：在△ABC中，根据燕尾定理S△ABN:S△ACNBF:CF1:2S△ACN:S△BCNAD:BD1:2,

11111所以S△ADNS△ABNS△ABCS△ABC,同理S△BEQS△ABC

3372121在△ABC中，根据燕尾定理S△ABP:S△ACPBF:CF1:2,S△ABP:S△CBPAI:CI1:2 111111S△ABC 所以S△ABPS△ABC，所以S五边形DNPQES△ABPS△ADNS△BEPS△ABC1055521211111113同理另外两个五边形面积是△ABC面积的，所以S阴影13 3610570105

【例 31】 如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形

面积.

ADEIHADEQCNRIPHBFGBMFSGC

【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR

在△ABC中根据燕尾定理，S△ABR:S△ACRBG:CG.2:1, S△ABR:S△CBRAI:CI1:2

222所以S△ABRS△ABC,同理S△ACSS△ABC,S△CQBS△ABC

77722211所以S△RQS1，同理S△MNP

7777711131根据容斥原理，和上题结果S六边形

777010

22

课后练习：

练习1. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BECE,AD2BD,CF3AF，求△ABC的面积．

AFDBEC

【解析】 S△BDE:S△ABC(BDBE):(BABC)(11):(23)1:6，

S△CEF:S△ABC(CECF):(CBCA)(13):(24)3:8S△ADF:S△ABC(ADAF):(ABAC)(21):(34)1:6

设S△ABC24份，则S△BDE4份，S△ADF4份，S△CEF9份，S△DEF244497份，恰好是7平方厘米，所以S△ABC24平方厘米

练习2. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EAAB，CBBF，DCCG，HDDA，求四边形ABCD的面积．

HDAE【解析】 连接BD．由共角定理得S△BCD:S△CGFHCBGDCBGFAEF

(CDCB):(CGCF)1:2，即S△CGF2S△CDB

同理S△ABD:S△AHE1:2，即S△AHE2S△ABD 所以S△AHES△CGF2(S△CBDS△ADB)2S四边形ABCD 连接AC，同理可以得到S△DHGS△BEF2S四边形ABCD

S四边形EFGHS△AHES△CGFS△HDGS△BEFS四边形ABCD5S四边形ABCD

所以S四边形ABCD66513.2平方米

练习3. 正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是

平方厘米．

ADEGHFADBCEGHF M【解析】 欲求四边形BGHF的面积须求出EBG和CHF的面积．

BC

1由题意可得到：EG:GCEB:CD1:2，所以可得：SEBGSBCE

3将AB、DF延长交于M点，可得：

23 BM:DCMF:FDBF:FC1:1，

12而EH:HCEM:CD(ABAB):CD3:2，得CHCE，

251121而CFBC，所以SCHFSBCESBCE

2255111 SBCEABBC12030

2241177 S四边形BGHFSSSS01．4 EBCEBCEBCEBC3351515 本题也可以用蝴蝶定理来做，连接EF，确定H的位置(也就是FH:HD)，同样也能解出．

练习4. 如图，已知ABAE4cm，BCDC，BAEBCD90，AC10cm，则SABCSACESCDE

cm2．

CBCBAEDA'AEDC'

【解析】 将三角形ABC绕A点和C点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形AEC'和A'DC，再连接A'C'，

显然ACAC'，ACA'C，ACA'CAC'，所以ACA'C'是正方形．三角形AEC'和三角形A'DC关于正方形的中心O中心对称，在中心对称图形ACA'C'中有如下等量关系： SAECSA'DC'；SAEC'SA'DC；SCEDSC'DE．

11所以SABCSACESCDESAEC'SACESCDESACA'C'101050cm2．

22

练习5. 如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF 的面

积是_____平方厘米．

ADADEGHEGHBFC

BFC【解析】 连接BH,根据沙漏模型得BG:GD1:2,设S△BHC1份，根据燕尾定理S△CHD1277（122)210份，SBFHG，所以SBFHG1201014(平方厘米). 此S正方形2366

练习6. 如图，ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，若ABC的面积为1，那么四

24

2份，S△BHD2份，因

边形CDMF的面积是_________．

ADNCBADNBEMMCFE

【解析】 由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，那

F么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积． 连接CM、CN．

根据燕尾定理，SABM:SACMBF:CF2:1，而SACM2SADM，所以SABM2SACM4SADM，那么

4BM4DM，即BMBD．

5BMBF4214147那么SBMF． SBCD，S四边形CDMFBDBC53215215301111另解：得出SABM2SACM4SADM后，可得SADMSABD，

55210117则S四边形CDMFSACFSADM．

31030

练习7. 如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DCCE:AE4:3，且三角形ABC的面积是74，求角形GHI 的面积．

AAFIBHGDEFICBHGDEC

【解析】 连接BG，S△AGC12份

根据燕尾定理，S△AGC:S△BGCAF:FB4:312:9，S△ABG:S△AGCBD:DC4:316:12

S12得S△BGC9(份)，S△ABG16(份)，则S△ABC9121637(份)，因此△AGC,

S△ABC37同理连接AI、CH得

S△ABH12S△BIC12S371212121,,所以△GHI S△ABC37S△ABC37S△ABC3737三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是7412 37

月测备选

【备选1】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角

边分别为2cm和4cm，乙三角形两条直角边分别为3cm和6cm，求图中阴影部分的面积．

25 甲234乙6

甲234乙6

【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所

（362422）11（cm2）以阴影部分面积为：3462

【备选2】 如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，则阴影部分的

面积是 平方厘米．

DMOAPNC

【解析】 因为三角形ABP面积为矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，三角形ABO面积为矩形ABCD的

1面积的，即9平方厘米，又四边形PMON的面积为3平方厘米，所以三角形AMO与三角形BNO的

4面积之和是18936平方厘米．

又三角形ADO与三角形BCO的面积之和是矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部分面积为18612(平方厘米)．

【备选3】 如图，已知BD3DC，EC2AE，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占

△ABC 面积的几分之几？

AA11E24.5D1CBEO9O213.5BDCB3【解析】 连接CO,设S△AEO1份，则其他部分的面积如图所示，所以S△ABC124.5139313.59从小到大各占△ABC面积的, ,,30306030103020

1291830份，所以四部分按

【备选4】 如图，在△ABC中，延长AB至D，使BDAB，延长BC至E，使CE若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？

1BC，F是AC的中点，226 AFBD【解析】 ∵在△ABC和△CFE中，ACB与FCE互补，

SACBC224． ∴△ABCS△FCEFCCE111又SABCCE

2，所以SFCE0.5．

同理可得S△ADF2，S△BDE3．

所以S△DEFS△ABCS△CEFS△DEBS△ADF20.5323.5

【备选5】 如图，BD:DC2:3,AE:CE5:3,则AF:BF

AECFBDG【解析】 根据燕尾定理有S△ABG:S△ACG2:310:15,S△ABG:S△BCGS△ACG:S△BCG15:65:2AF:BF

5:310:6,所以

【备选6】 如图在△ABC中，

△GHI的面积DCEAFB1的值． ,求

△ABC的面积DBECFA3AEHFIBGDCBFIGDCHAE

【解析】 连接BG,设S△BGC1份，根据燕尾定理S△AGC:S△BGCAF:FB3:1,S△ABG:S△AGCBD:DC3:1,得

S3S△AGC3(份)，S△ABG9(份),则S△ABC13(份)，因此△AGC,同理连接AI、CH得

S△ABC13S△ABHS313,△BIC, S△ABCS△ABC13所以

S△GHI133334 S△ABC131327