苏教九年级下册数学计算题

第45讲 二次函数

题一： 判断下列函数是否为二次函数，如果是，指出其二次项系数、一次项系数和常数项： （1）d =n122

3n；（2）yx2；（3）y =1x2． 2题二： 判断①y = 5x22

4，②t =x326x，③y = 2x3

32312

8x+3，④ y =x1，⑤y =228xx是否为二次函数，如果是，指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 题三： 已知y(k1)xk题四： 已知y(k3)xk3x1是关于x的二次函数，求k的值． 6x9是关于x的二次函数，求k的值．

2k23k2题五： 当m为何值时，函数y(m1)xm题六： 已知y(m1)xm214mx2是关于x的二次函数．

2m1(m3)xm，当m为何值时，y是关于x的二次函数？

第45讲 二次函数

题一： 见详解． 详解：（1）d =n122

313n是二次函数，二次项系数、一次项系数和常数项分别为、、0；

222（2）yx2是一次函数，不是二次函数；

（3）y = 1x是二次函数，二次项系数、一次项系数和常数项分别为1、0、1．

题二： 见详解． 详解：①y = 5x22

② t =x32

4，③y = 2x3

8x+3，⑤y =

2

312不符合二次函数解析式， 2xx32

6x，④y =x822

1符合二次函数解析式，②t =x36x的二次项系数、一次项系

2数和常数项分别为、

332 36、0，④y =x1的二次项系数、一次项系数和常数项分别为、0、

881.

题三：

2．

k2k详解：∵函数y(k1)x3x1是关于x的二次函数，

2．

k10∴2，解得k =

kk=2

题四： 0．

详解：∵函数y(k3)x∴k23k26x9是关于x的二次函数，

k30k3k2=22，解得k = 0．

题五： 1．

详解：∵函数y(m1)x2

m214mx2是关于x的二次函数，

∴m+1=2，且m+1≠0，解得m =1．

题六： 3．

详解：∵函数y(m1)xm22m1(m3)xm是关于x的二次函数，

m10∴2，解得m =3． m2m1=2

第46讲 二次函数y=ax2的图象

题一： 在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）y = 2x； （2）y =x．

2

122

2

题二： 在同一直角坐标系中作出y = 3x和y =

2

3x的图象 .

2

题三： 观察函数y = 2x与y = x的图像，回答：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及函数的单调性．

122

题四： 观察函数y = 3x与 y = 3x的图像，回答：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及函数的单调性．

2

2

第46讲 二次函数y=ax的图象

题一： 见详解． 详解：列表得： x 2 8 22

1 2 1 2 0 0 0 1 2 1 2 2 8 2 y = 2x2 y =x 12 2 描点、连线可得图象为：

题二： 见详解． 详解：列表得：

x y = 3x2 y = 3x 22 12 12 1 3 3 0 0 0 1 3 3 2 12 12 描点、连线，如图所示：

题三： 见详解．

详解：（1）抛物线y =x的开口方向是向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0），当x≠0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x＞0时，曲线自左向右逐渐上升，当x＜0时，曲线自左向右逐渐

2

下降；二次函数 y = 2x的开口方向是向下，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0），当x≠0时，抛物线上的点都在x轴下方；当x＞0时，曲线自左向右逐渐下降，当x＜0时，曲线自左向右逐渐上升．

题四： 见详解．

2

详解：（1）抛物线y = 3x的开口方向是向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0），当x≠0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x＞0时，曲线自左向右逐渐上升，当x＜0时，曲线自左向右逐渐

2

下降；二次函数y = 3x的开口方向是向下，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0），当x≠0时，抛物线上的点都在x轴下方；当x＞0时，曲线自左向右逐渐下降，当x＜0时，曲线自左向右逐渐上升．

122

第47讲 二次函数y=ax2+k的图象

题一： 在同一个直角坐标系中作出y =

121x，y =x2221的图象，比较它们的异同，并找出它们

的关系．

22

题二： 函数y=2x图象与函数y=2x-2的图象有什么关系？

题三： 写出下列函数的开口方向，对称轴，顶点坐标．

22

（1）y = 6x1；（2）y = x2+8；（3）y = 23x．

题四： 写出下列函数的开口方向，对称轴，顶点坐标．

222

（1）y = x11；（2）y = 3x+2；（3）y = 76x．

第47讲

题一： 见详解． 详解：列表： 二次函数y=ax+k的图象

2

x y =x2 x 12… … … … 2 2 2 1 1 1 20 0 0 1 1 22 2 2 1 … … … … 1 1 21 1 2 1 描点、连线，如图所示：

函数y =x和函数y =x122

122

1的开口大小和方向相同，都是开口向上，对称轴相同，都是y轴，

只有顶点坐标的位置不同，分别是（0，0）（0，1）．

题二： 见详解． 详解：列表： x y = 2x2 x … … … … 2 8 2 6 1 2 1 0 0 0 0 2 1 2 1 0 2 8 2 6 … … … … 描点、连线，如图所示：

函数y = 2x图象与函数y = 2x2的图象的开口方向相同，都是向上；对称轴相同，都是y轴；

22

顶点不同，函数y = 2x的顶点坐标(0，0) ，函数y =2x2的顶点坐标(0，2)．

题三： 见详解．

详解：（1）开口向上，对称轴y轴，顶点坐标（0，1）； （2）开口向下，对称轴y轴，顶点坐标（0，8）； （3）开口向下，对称轴y轴，顶点坐标（0，2）．

题四： 见详解．

详解：（1）开口向上，对称轴y轴，顶点坐标（0，11）； （2）开口向上，对称轴y轴，顶点坐标：（0，2） （3）开口向下，对称轴y轴，顶点坐标（0，7）．

2

2

第48讲 二次函数y=a(x-h)2的图象

题一： 在同一坐标系中，画出函数y2(x2)2和函数y2(x2)2的图象． 题二： 在同一坐标系中，画出函数y(x3)2和函数y(x3)2的图象． 题三： 说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 1212y=x2 y = 2x2+1 y = 2(x-3)2 y = 4(x+2)2

题四： 说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y =x2 y =121x 25912 y = (x+)2 y =3（x9）2 92

第48讲

题一： 见详解． 详解：列表得：

二次函数y=a(xh)2的图象

x y2(x2)2 4 8 0 8 2 3 2 1 0 2 1 2 0 8 4 8 x y2(x2)2 2 0 3 2 描点、连线，如图所示：

题二： 见详解． 详解：列表得： x y1(x3)2 21 2 1 2 1 23 0 3 0 4 1 25 2 5 2 x y1(x3)2 22 1 24 1 22 描点、连线，如图所示：

题三： 见详解．

详解：说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

函数 开口方向 向上 向上 向上 2对称轴 顶点坐标 （0，0） （0，1） （3，0） （2，0） y = x2 y = 2x2+1 y =2(x-3)2 y = 4（x+2） x = 0 x = 0 x = 3 x = 2 向下

题四： 见详解．

详解：说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： 函数 开口方向 向下 对称轴 顶点坐标 （0，0） 1（0，） 9y =x2 y =121x 25912x=0 向上 x=0 x= x=9 92y = (x+)2 y =3(x9)2

92向下 向上 （，0） （9，0） 92

第49讲 二次函数y=a(x-h)2+k的图象

题一： 说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： 函数 开口方向 4 对称轴 顶点坐标 y =3x2 y =3x2+2 y = 4(x 1)2 y = 4(x+2)2

题二： 说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y =x2 y =x2+8 y =(x+7)2 y=(x1)2+5 12322323

22

题三： 二次函数y=2x的图象经过下列哪种平移可得到二次函数y=2（x+1）3的图象（ ） A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位

22

题四： 二次函数y=3x的图象经过怎样的变换可以得到二次函数y =3（x4）+2的图象？

题五： 将抛物线y x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位， 得到的抛物线解析式是（ ）

2 2

A. y =3(x 3)2 B. y = 3(x+3)2

22

C. y = 3(x+3)+2 D. y = 3(x 3)+2

2

题六： 将抛物线y 2x向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是（ ）

22

A. y =2(x 3)5 B. y = 2(x+3)5

22

C. y = 2(x+3)+5 D. y = 2(x 3)+5

第49讲

二次函数y=a(xh)+k的图象

2

题一： 见详解．

详解：说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： 函数 开口方向 向上 向上 对称轴 顶点坐标 （0，0） （0，2） （1，0） （，） y =3x2 y =3x2+2 y y x x+2)22y轴 y轴 x =1 x 向下 向下

题二： 见详解．

详解：说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： 函数 开口方向 向下 对称轴 顶点坐标 （0，0） y =x2 y =x2+8 3223x =0 23向下 x =0 （0，8） y =(x+7)2 12向上 x （，0） y=(x2+5 向上 x =1 （1，5） 题三： C．

2

详解：由“左加右减”的原则将函数y=2x的图象向左平移1个单位，所得二次函数的解析式为： y=2(x+1)2；

2

由“上加下减”的原则将函数y=2（x+1）的图象向下平移3个单位，所得二次函数的解析式为：y=2(x+1)2 ． 故选C．

题四： 见详解．

222

详解：由y=3x先向右平移4个单位，得y=3（x），再向上平移2个单位，得y =3（x）+2．

题五： D

解析: 由“左加右减”的原则将函数y x2的图象向右平移3个单位，所得二次函数的解析式为：

2

y x ；

2

由“上加下减”的原则将函数y x 的图象向上平移2个单位，所得二次函数的解

2

析式为：D. y x +2．所以选D. 题六： D

解析: 由“左加右减”的原则将函数y x的图象向右平移3个单位，所得二次函数的解析式为：

2

y (x ；

2

由“上加下减”的原则将函数y x 的图象向上平移5个单位，所得二次函数的解析式为：D. y x 3)2+5．所以选D.

2

第50讲 二次函数y=ax2+bx+c的图象

题一： 已知二次函数y = xx．求出这个函数图象的顶点坐标．

2

题二： 已知二次函数y = xx．求出这个函数图象的顶点坐标．

题三： 写出下列 函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．

2

（1）y = x+6x

2

（2）y = 2xx

题四： 写出下列 函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．

2

（1）y = x+2x

2

（2）y = 2xx

2

第50讲

二次函数y=ax+bx+c的图象

2

题一： （1，）．

22

详解：∵y = xx(x)，∴顶点坐标是（1， 4）． 题二： （，）．

222

详解：∵y = x4x(x+4x+4) (x+2)，∴顶点坐标是（，）． 题三： 见详解．

22

详解：（1）y= x+6x (x)+4，

2

∵a＜0，∴抛物线y = x+6x的开口方向下，顶点坐标为（3，4），对称轴是x =3． （2）y = 2x2

x(x2

39x+2169161) = 2(x232

)417， 817）． 8∵a＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为x =

33，顶点坐标为（，44题四： 见详解．

详解：（1）∵a =1，∴开口方向向上；

2

原二次函数经变形得：y =(x+1)， 故顶点为（，），对称轴是x ．

2

（2）∵y=2xx的二次项系数为2， ∴开口方向向上；

2

y=2x2x(x)， ∴顶点坐标为（1，），对称轴为x =1．

第51讲 用待定系数法求二次函数的解析式（一）

题一： 已知二次函数的图象经过（1，4）、（2，1）、（0，1）三点，求二次函数的解析式．

题二： 已知一个二次函数的图象经过A（4，3），B（1，0），C（，8）三点，求这个二次函数解析式．

题三： 已知二次函数图象顶点（2，），抛物线与y轴交于点（0，1），求这个二次函数的解析式．

题四： 已知二次函数的顶点坐标为（4，），且其图象经过点（5，1），求此二次函数的解析式．

题五： 已知：二次函数的图象经过原点，对称轴是直线x = ，最高点的纵坐标为4，求：该二次函数解析式．

题六： 已知二次函数图象的对称轴为x = 2，与y轴交点的纵坐标是3，且图象经过（，5），求此二次函数图象的关系式．

第51讲

2

用待定系数法求二次函数的解析式（一）

题一： y x+6x+1．

2

详解：设所求二次函数的解析式为y = ax+bx+c（a≠0）， 代入（1，4）、（2，1）、（0，1）三点， abc4a3得4a2bc1，解得b6， c1c1所以这个二次函数的解析式是y = x+6x+1．

2

题二： y = xx+3．

2

详解：设二次函数解析式为y = ax+bx+c（a≠0）． ∵二次函数的图象经过A（4，3），B（1，0），C（，8）三点， 16a4bc3a1∴abc0，解得b4， abc8c32

则该二次函数的解析式是：y = xx+3．

2

题三： y =x 4x+1.

2

详解：设这个二次函数的解析式y =a (xh)+k（a≠0），

2

h2h2则k3，解得k3，

a12a(0h)k1则这个二次函数的解析式y = (x 2)3．

2

即y =x 4x+1.

2

题四： y = 3xx+46．

2

详解：设此二次函数的解析式为y = a (x)； ∵二次函数图象经过点（5，1），

2

∴a()， ∴a =3，

2

∴y=3(x)x224x+46．

2

题五： y = xx．

详解：∵二次函数的图象对称轴是直线x = ，最高点的纵坐标为4， ∴抛物线的顶点坐标为（，4），

2

∴设y = a(x+2)+4（a≠0）， ∵二次函数的图象经过原点，

2

∴代入（0，0）点，则有0=a(0+2)+4，解得a ，

2

∴二次函数解析式为： y = xx． 题六： y =

2

22

x58x+3． 5详解： 根据二次函数与y轴交点的纵坐标是3，可知图像经过点（0，3）,

2

设二次函数的解析式为y = a (x )+k；

2

3= a(0 )+k

5= a(1 )+k 2

a =

27 k = 5522

x58x+3． 5二次函数的解析式为：y =

第52讲 用待定系数法求二次函数的解析式（二）

题一： 已知二次函数y =ax+bx+c的图象经过A，0)，B(3，0)，C(0，三点，求这个二次函数的解析式．

题二： 已知二次函数的图象经过点，0)、(3，0)和(0，6)，求这个二次函数的解析式．

题三： 二次函数的图象经过点(2，3)，对称轴x = ，抛物线与x轴两个交点的距离为4，求这个二次函数的解析式.

题四： 已知二次函数图象经过(2，，对称轴 x =1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式．

2

题五： 已知二次函数y=ax+bx+c的顶点坐标是(2，)，且图象与x轴两交点间的距离为2，求这个二次函数的解析式．

2

题六： 已知二次函数y=ax+bx+c，当x= 时有最小值，且图象在x轴上截得线段长为4，求函数解析式．

2

第52讲

2

用待定系数法求二次函数的解析式（二）

题一： y =xx．

详解：设抛物线的解析式为y = a(x+1)(x， 把C(0，代入得a×1×() = ， 解得a =1，

2

所以这个二次函数的解析式为y =(x+1)(x x题二： y x2+4x+6．

详解：设抛物线解析式y=a(x+1)(x)， 则a(0+1)()=6， 解得a = ，

2

所以，y = (x+1)(x)= x+4x+6，

2

故这个二次函数的解析式y = x+4x+6． 题三： y =

x．

3269xx+．

555详解：∵对称轴为直线x = ，抛物线与x轴两个交点的距离为4， ∴抛物线与x轴两个交点的坐标为，0)，(1，0)， 设抛物线解析式为y= a(x+3)(x)， 把点(2，

代入得a，解得a =

3， 532x569x+． 55所以抛物线解析式为y =

2

3(x+3)(x5)=

题四： y = xx．

详解：∵抛物线与x轴两交点距离为4，且以x=1为对称轴， ∴抛物线与x轴两交点的坐标为，0)，(3，0)， 设抛物线的解析式y=a(x+1)(x)， 又∵抛物线过(2，点， ∴ a， 解得a =1，

∴二次函数的解析式为y =(x+1)(xx2x．

2

题五： y=xx+3．

2

详解：根据题意，抛物线y=ax+bx+C过(1，0)，(2，，(3，0)， abc0所以4a2bc1，解得a=1，b=

9a3bc0，C=3，

故这个二次函数的表达式为y = x2

题六： y=x+2x．

2

x+3．

详解：∵抛物线对称轴为x= ，图象在x轴上截得线段长为4， ∴抛物线与x轴两交点坐标为，0)，(1，0)， 设抛物线解析式为y=a(x+3)(x， 将顶点坐标，代入，得a ， 解得a =1，

∴抛物线解析式为y=(x+3)(x，即y=x2+2x．

第53讲 用函数的观点看一元二次方程

题一： 足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的飞行高度y（m）关于飞行时间x（s）的函数图象（不考虑空气的阻力），已知足球飞出1s时，足球的飞行高度是2.44m，足球从飞出到落地共用3s． （1）求y关于x的函数关系式；

（2）足球的飞行高度能否达到4.88米？请说明理由；

（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44m（如图所示，足球的大小忽略不计）．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框12m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左边框？

题二： 小强在一次投篮训练中，从距地面高1.55米处的O点投出一球向篮圈中心A点投去，球的飞行路线为抛物线，当球达到离地面最大高度3.55米时，球移动的水平距离为2米．现以O点为坐标原点，建立直角坐标系（如图所示），测得OA与水平方向OC的夹角为30°，A、C两点相距1.5米． （1）求点A的坐标；

（2）求篮球飞行路线所在抛物线的解析式；

（3）判断小强这一投能否把球从O点直接投入篮圈A点（排除篮板球），如果能，请说明理由；如果不能，那么前后移动多少米，就能使刚才那一投直接命中篮圈A点了．（结果可保留根号）

2

题三： （1）已知二次函数y= x+3x的值为

2

（2）解方程xx．

2

题四： （1）已知二次函数y= x+2x的值为

2

（2）解方程xx+3=0．

，求自变量x的值.

3，求自变量x的值.

题五： 已知二次函数y=2xx．

（1）在所给的直角坐标系中，画出该函数的图象； （2）写出该函数图象与x轴的交点坐标．

2

2

题六： 已知二次函数y=xx+6． （1）画出这个二次函数的图象．

（2）观察图象，当x取那些值时，函数值为0？

第53讲

用函数的观点看一元二次方程

题一： 见详解．

2

详解：（1）设y关于x的函数关系式为y=ax+bx． 依题可知：当x =1时，y = 2.44；当x =3时，y =0． ab2.44a1.22∴，∴，

9a3b0b3.66∴y = x+3.66x．

（2）不能．理由：∵y =4.88，∴4.88= x2+3.66x， ∴x2

2

∵()＜0，∴方程4.88= x2+3.66x无解． ∴足球的飞行高度不能达到4.88m． （3）∵ y =2.44，∴2.44= x2+3.66x， ∴x2x+2=0， ∴x1=1（不合题意，舍去），x2=2．∴平均速度至少为题二： 见详解．

详解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC=30°，AC=1.5=333∴OC=OA2AC232()2=，

222

x+4=0．

12= 6（m/s）． 23， 233，1.5）； 2（2）∵顶点B的纵坐标：

∴设抛物线的解析式为y = a（x ∴点A的坐标为（5=2，∴B（2，2）， 2

）+2，

把点O（0，0）坐标代入得0=a(

12

)+2，解得a =，

21122

∴抛物线的解析式为y＝(x−2)+2，即y＝x+2x；

2233时，y≠1.5， 2∴小强这一投不能把球从O点直接投入球篮；

（3）①∵当x＝12

②当y =1.5时，1.5＝(x−2)+2，

2解得x1=1（舍），x2=3，又∵3＞33， 233∴小强只需向后退（3−）米，就能使刚才那一投直接命中球篮A点了．

2

题三： 见详解．

22

详解：（1）令y= 4，则x+3x = 4，即xx，解得x1= ，x2=4，

2

所以，当二次函数yx+3x的值为时，自变量x的值为x1= ，x2=4； （2）因式分解，得（x+1）（x4）=0， x+1=0或x4=0， 解得x1= ，x2=4． 题四： 见详解．

22

详解：（1）令y = 3，则x+2x = 3，即xx3=0，解得x1= ，x2=3，

2

所以，当二次函数yx+2x的值为3时，自变量x的值为x1= ，x2=3； （2）因式分解，得（x+1）（x3）=0， x+1=0或x3=0， 解得x1，x2=3． 题五： 见详解． 详解：（1）作出函数图象如图所示；

（2）令y =0，则2x2

x，解得x1=1+2，x2

2，0）．

2，

∴与x轴的交点坐标为（1+2，0）（题六： 见详解． 详解：（1）图象如图：

（2）观察图象可得：

①当x = 2或x = 3时，y=0．

第讲 实际问题与二次函数（一）

题一： 某商品现在售价为每件60元，每月可卖出300件，此时每件可赚20元．市场调查：如调整售价，每涨价1元，每月可少卖10件；每降价1元，每月可多卖10件．该商品下月新一轮的进价每件减少10元，下月应如何定价，才能使下月的总利润最大？

题二： 凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去． (1)设每间包房收费提高x(元)，则每间包房的收入为y1(元)，但会减少y2间包房租出，请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式． (2)为了投资少而利润大，每间包房提高x(元)后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y(元)，请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由．

题三： 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看

32

成一点)的路线是抛物线y =x+3x+1的一部分，如图所示．

5(1)求演员弹跳离地面的最大高度；

(2)已知人梯高BC =3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．

题四： 如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球

2

看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m． (1)当h=2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围) (2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．

第讲 实际问题与二次函数（一）

题一： 见详解．

详解：设定价为x元/件，总利润为y元，则 现在进价为60 元/件)；下月进价为40 元/件)； 涨价时，下月总销量是x x，(60≤x≤90)； 降价时，下月总销量是x)= x，(30≤x≤60)；

2

yx)(x x2+1200x = x+9000，(30≤x≤90) 当x=60时，y有最大值是9000元． 题二： 见详解． 详解：(1)由题意得： y1=100+x，

y2=

x1•10=x， 2021x)， 2(2)y=(100+x即：y=

12

(x-50)+11250， 2因为提价前包房费总收入为100×100=10000元． 当x =50时，可获最大包房收入11250元， ∵11250＞10000．

又∵每次提价为20元，每间包房晚餐提高40元与每间包房晚餐提高60元获得包房收入相同，

∴每间包房晚餐应提高40元或60元．

但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该更好．

∴每间包房晚餐应提高60元． 题三： 见详解．

3235219详解：(1)将二次函数y=x+3x+1化成y =(x)+，

2455当x =

519时，y有最大值，ymax =， 2419米． 4因此，演员弹跳离地面的最大高度是(2)能成功表演．

32

理由是：当x=4时，y=×4+3×4+1=3.4．

532

即点B (4，3.4)在抛物线y=x+3x+1上，

5因此，能表演成功． 题四： 见详解．

详解：(1)∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，

2

∴抛物线y=a(x+h过点(0，2)，

2

∴2=a +2.6，

解得：a =1， 601(x602

2

故y与x的关系式为：y =(2)当x=9时，y =所以球能过球网； 当y=0时，+2.6，

1(x60+2.6=2.45＞2.43，

12

(x−6)+2.6＝0， 60239(舍去)

解得：x1=6+239＞18，x2=6

故会出界；

(3)当球正好过点(18，0)时，抛物线y=a(x236ah， 0144ah1a解得：，

8h32

+h还过点(0，2)，代入解析式得：

此时二次函数解析式为：y=1(x2

8+， 38此时球若不出边界h≥，

3当球刚能过网，此时函数解析式过(9，2.43)，抛物线y=a(x析式得：

22.43a(96)h， 22a(06)h2

+h还过点(0，2)，代入解

43a2700解得： ，

193h75此时球要过网h≥

193， 758故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．

3

第55讲 实际问题与二次函数（二）

题一： (1)用长为20米的篱笆，一面靠墙(墙的长度是10米)，围成一个长方形花圃，如图，设AB边的长为x米，花圃的面积为y平方米，求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

(2)一个边长为3厘米的正方形，若它的边长增加x厘米，面积随之增加y平方厘米，则y关于x的函数解析式是___________．

3

题二： (1)长方体底面周长为50cm，高为10cm，则长方体体积y (cm)关于底面的一条边长x(cm)的函数解析式是___________，其中x的取值范围是___________；

(2)某印刷厂一月份印书50万册，如果从二月份起，每月印书量的增长率都为x，那么三月份的印书量y(万册)与x的函数解析式是___________．

题三： 李大叔想用篱笆围成一个周长为80米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．

(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？

题四： 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住(如图)．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大．

题五： 如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两

2

直角边上，设AB = x m，长方形的面积为y m，要使长方形的面积最大，其边长x应有多长？

题六： 一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，BC=6．用这块废料剪出一个平行四边形AGEF，其中，点G，E，F分别在AB，BC，AC上．设CE =x (1)求x =2时，平行四边形AGEF的面积．

(2)当x为何值时，平行四边形AGEF的面积最大？最大面积是多少？

第55讲 实际问题与二次函数（二）

题一： 见详解．

详解：(1)根据已知得，AB = x，则BC = x，

2

所以，矩形面积y = x(x)，即y = x+20x； 由于墙的长度是10米，故0＜x≤10，解得5≤x＜10； (2)原边长为3厘米的正方形面积为：3×3=9 (平方厘米)， 边长增加x厘米后边长变为：x+3，

2

则面积为：(x+3)平方厘米，

22

∴y= (x+3) x+6x． 题二： 见详解．

详解：(1)∵长方体底面周长为50cm，底面的一条边长x(cm)， ∴底面的另一条边长为：x)cm，根据题意得出： y =xx)×10= x2+250x， x0∵，

25x0∴0＜x＜25；

(2)∵一月份印书量50万册，

2月份起，每月印书量的增长率都为x， ∴2月份印书量为50×(1+ x)，

22

∴三月份的印书量为y=50×(1+x)×(1+x)=50(1+x)=50x+100x+50． 题三： 见详解．

详解：(1)根据题意可得： S=xx)= x2+40x，且有0＜x＜40， 所以S与x之间的函数关系式为：S =xx)= x2+40x，并写出自变量x的取值范围为： 0＜x＜40；

2

(2)求 S = x+40x的最大值，

2

S = x2+40x = x)+400，

所以当x=20时，有S的最大值S =400，

答：当x是20m时，矩形场地面积S最大，最大面积是400m． 题四： 见详解． 详解：(1)由题意得：

40x12

＝−x+20x， 22自变量x的取值范围是0＜x≤25，

y＝x•

1212

x+20x(x20)+200， 22∵20＜25，

∴当x=20时，y有最大值200平方米，

即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大． 题五： 见详解． (2)y=

详解：根据题意得：AD=BC=

y1，上边三角形的面积为：x2x)

y，右侧三角形的面积为：x

1x2所以yy)， x12x)

yx1x2y)， x整理得y = = = ∵

122

x+12x， 5122

[x512(x 512＜0 5x+(

122

)525]， 452

)+15， 2∴长方形面积有最大值，此时边长x应为故要使长方形的面积最大，其边长应为

5m． 25m． 2题六： 见详解．

详解：设平行四边形AGEF的面积是S． ∵四边形AGEF是平行四边形， ∴EF∥AG；

∵∠A=30°，∠C=90°，CE=x，BC=6， ∴∠A=∠CFE=30°， ∴CF=3x，AC=63， ∴AF=633x；

3x)x=

3x+63x，即S=

2

∴S=AF•CE=(63(1)当x=2时，S=

3x+63x；

2

3+123=83，即S=83，

答：平行四边形AGEF的面积为83； (2)由S=

3x+63x，得

2

S＝−3x2+63x，

∴S＝−3(x−3)+93，

∴当x =3时，平行四边形AGEF的面积最大，最大面积是93．

2

第56讲 实际问题与二次函数（三）

题一： 军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y (m)与飞

12

行时间x (s)的关系满足y=x+10x，经过多少秒时间炮弹到达它的最高点？最高点的高

5度是多少米？

题二： 一小球被抛出后，距离地面的高度h (米)和飞行时间t (秒)满足下面的函数关系式；h= t2+10t+1，小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

题三： 某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)．

题四： 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．以点O为原点建立如图所

2

示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax+bx+0.9． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高．

题五： 摩托车刹车后行驶的距离s(单位：m)与行驶的时间t (单位：s)的函数关系式是s=12tt2，当遇到紧急情况时，摩托车刹车后前进了多少米后才能停下来？

题六： 公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s 2

=20tt，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行多远后才能停下来？

第56讲

题一： 见详解．

详解：依题意，关系式化为：

实际问题与二次函数（三）

11y=x2+10x=(x2

551∵＜0

5x+252

2

1)=(x52

+125．

∴由二次函数性质可得经过25秒炮弹到达它的最高点，最高点的高度是125米． 题二： 见详解．

2

详解：h= t+10t+1 = t2t)+1 = t2t+1)+1+5

2

= t+6， ＜0，

则抛物线的开口向下，有最大值， 当t=1时，h有最大值是6． 题三： 见详解．

详解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为x = x)cm． ∵x≥x， ∴0＜x≤45， 由题意得：y = xx)×20 = x2x)

2

= x+40500 ∵0＜x≤45，＜0，

∴当x = 45时，y有最大值，最大值为40500．

3

答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm． 题四： 见详解．

2

详解：(1)由题意得点E(1，1.4)，B(6，0.9)，代入y=ax+bx+0.9得 ab0.91.4， 36a6b0.90.9a0.1解得，

b0.6∴所求的抛物线的解析式是 y= x2+0.6x+0.9； (2)把x=3代入yx2+0.6x+0.9得

2

y+0.6×3+0.9=1.8 ∴小华的身高是1.8米． 题五： 见详解． 详解：∵s =12tt2= (t32

)+9， 2

3时，s最大值=9， 2∴摩托车刹车后前进了9米后才能停下来． 题六： 见详解．

详解：依题意：该函数关系式化简为s= t当t =2时，汽车停下来，滑行了20米． 故惯性汽车要滑行20米． 当t =

2

+20，

第57讲 图形的相似与相似图形的性质

题一： 下列图形中一定相似的一组是( ) A．邻边对应成比例的两个平行四边形 B．有一个内角相等的两个菱形

C．腰长对应成比例的两个等腰三角形 D．有一条边相等的两个矩形

题二： 下列四个说法正确的有( )

①所有的直角三角形都相似；②所有的正方形都相似； ③所有的等腰三角形都相似；④所有的菱形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

题三： 在如图所示的相似四边形中，x、y的长度分别为x=______，y=______，∠α=______．

题四： 如图是两个相似四边形，则x、y的长度分别为x=______，y=______，∠α=______．

题五： 如图，AD=2，AC= 4，BC=6，△ABC∽△DAC．求AB，CD的长．

题六： 如图，已知△ABC∽△AED，AB=8，AC=6，DE= 4，D为AB的中点， 求AE，BC的长．

第57讲

题一： B．

详解：A．邻边对应成比例的两个平行四边形，对应的角不一定相等，因而不一定相似，故本选项错误；

B．有一个内角对应相等的两个菱形相似，故本选项正确； C．腰长对应成比例的等腰三角形不一定相似，故本选项错误； D．有一条边相等的两个矩形不一定相似，故本选项错误．故选B． 题二： A．

详解：①所有的直角三角形只有一个直角相等，相似还需要一个锐角相等，错误；②所有的正方形，角都是直角，边对应成比例，所以都相似，正确；③所有的等腰三角形两边对应成比例，但这两边的夹角不一定相等，错误；④所有的菱形对应边成比例，但对应角不一定对应相等，错误．所以只有②一个正确．故选A． 题三： 31.5，27，83°．

详解：∵两个四边形相似，∴它们的对应边成比例，对应角相等，

∴18：4=y：6=x：7，解得x=31.5，y=27；∠α=360°－(77°+83°+117°)=83°．

图形的相似与相似图形的性质

3248，，80°． 55详解：∵两个四边形相似，∴它们的对应边成比例，对应角相等， 63248∴，解得x=，y=；∠α=360°－30°－120°－130°=80°． 8xy55题四：

8题五： 3，．

3详解：∵△ABC∽△DAC，∴

ABACBC， ADCDAC8又AD=2，AC= 4，BC=6，∴AB=3，CD=．

3题六：

16，6． 3ADAE， ACAB∵D为AB的中点，AB=8，AC=6，DE= 4，

ADAB4816∴AD=DB= 4，∴AE=，

AC63详解：∵△ABC∽△AED，∴又∵

ADDEACDE64，∴BC==6． AD4ACBC

第58讲 相似三角形的判定(一)

题一： 如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD=2，DB=3，DE=1，求BC的长．

题二： 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若BC=3DE，AB=15，求AD的长．

第58讲

相似三角形的判定(一)

题一： 2.5．

详解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=AD：AB， ∵AD=2，DB=3，∴AB=AD+BD=5，∴1：BC=2：5，∴BC=2.5． 题二： 5．

详解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=AD：AB， ∵BC=3DE，∴DE：BC=AD：AB=1：3，又∵AB=15，∴AD=5．

第59讲 相似三角形的判定(二)

题一： 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由： (1)∠B=50°，AB= 4，AC=3.2，∠B′=50°，A′B′=2，A′C′=1.6； (2)AB=10，BC=12，AC=15，A′B′=1.5，B′C′=1.8，A′C′=2.25．

题二： 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由： (1)∠C=90°，AC=6，BC= 4，∠C’=90°，A′C′=9，B′C′=6； (2)AB=1，BC=1.5，AC=2，A′B′=8，B′C′=10，A′C′=16．

题三： 已知一个三角形三边长为8，6，12，另一个三角形有一条边为4，要使这两个三角形相似，它的另外两边长应当是多少？

题四： 如图，一个三角形钢筋框架三边长分别为20cm、50cm、60cm，要做一个与其相似的钢筋框架．现有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，你认为有几种不同的截法？并分别求出．

第59讲

题一： 不一定相似；相似．

相似三角形的判定(二)

ABAC， ABAC∵∠B=∠B′=50°，但∠B与∠B′不是已知对应边的夹角， ∴△ABC与△A′B′C′不一定相似；

(2)∵AB=10，BC=12，AC=15，A′B′=1.5，B′C′=1.8，A′C′=2.25， 详解：(1)∵AB= 4，AC=3.2，A′B′=2，A′C′=1.6，∴

ABACBC，∴△ABC∽△A′B′C′． ABACBC题二： 相似；不相似．

详解：(1)∵∠C=90°，AC=6，BC= 4，∠C’=90°，A′C′=9，B′C′=6， ∴

ACBC，∠C=∠C′，∴△ABC∽△A′B′C′； ACBC(2)∵AB=1，BC=1.5，AC=2，A′B′=8，B′C′=10，A′C′=16， ∴

121.5ABACBC∴，即， ABACBC81610∴△ABC与△A′B′C′不相似．

168和8或和2． 33详解：设另外两边分别为x、y，题中没有指明边长为4的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：

8612①若边长为4的边与边长为8的边相对应，，

4xy题三： 3和6或

解得x=3，y=6，则另两边为3和6； ②若边长为4的边与边长为6的边相对应，解得x=

③若边长为4的边与边长为12的边相对应，

1286， 4xy6812， 4xy1616，y=8，则另两边为和8； 3388解得x=，y=2，则另两边为和2．

33168和8或和2． 33题四： 两种；30，25，10或36，30，12． 详解：有两种不同的截法：

①如图(一)，以30cm长的钢筋为最长边，设中边为x，短边长为y， 故三角形框架的两边长可以是3和6或

30xy，解得x=25，y=10， 605020所以从50cm长的钢筋上分别截取10cm、25cm的两段；

②如图(二)，以30cm长的钢筋为中边，设长边为x，短边长为y， 则

30xy，解得x=36，y=12， 506020所以从50cm长的钢筋上分别截取12cm、36cm的两段； ③若以30cm长的钢筋为短边，设长边为x，中边长为y， 则则

x30，解得x=90(不合题意，舍去)． 6020

第60讲 相似三角形的判定(三)

题一： 如图，△ABC与下列三角形相似但不全等的是（ ）

A．B．C．D．

题二： 判定下列三角形中哪些是相似的？

题三： 求证：如果一个直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形的两条直角边的对应比相等，那么这两个三角形相似．

题四： 求证：有一个锐角相等的两个直角三角形相似．

题五： 如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D、E分别在AB、BC上．图中有与△DBE相似的三角形吗？请说明理由．

题六： 如图，△PQR是等边三角形，∠APB=120°，以每两个三角形为一组写出图中所有的相似三角形，并选择其中的一组加以证明．

题七： 腰与底成比例的两个等腰三角形是否相似？证明你的结论．

题八： 等腰梯形被一条对角线分成的两个三角形是否相似？证明你的结论．

第60讲

相似三角形的判定(三)

题一： C．

详解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°， ∴∠C=75°，∠A=30°，

A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°， B选项中三角形各角的度数都是60°，

C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°， D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，

∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选C．

题二： ①、⑤、⑥相似；②、⑦相似；③、④、⑧相似．

详解：根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到①、⑤、⑥相似；

根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似得到②、⑦相似； 根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到③、④、⑧相似． 题三： 见详解．

详解：已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．

ACBC． ACBC

证明：∵∠C=∠C′=90°，

ACBC，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′． ACBC题四： 见详解．

详解：已知：如图，在Rt△ACB∽Rt△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠E=90°， 试说明Rt△ACB∽Rt△DEF．

证明：∵∠A=∠D，∠C=∠E=90°，∴Rt△ACB∽Rt△DEF． 题五： △GAD，△ECH，△GFH．

详解：图中有与△DBE相似的三角形有：△GAD，△ECH，△GFH． 理由：∵△ABC、△DEF都是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°， ∴∠ADG+∠BDE=120°，∠BDE+∠DEB=120°， ∴∠ADG=∠BED，∴△BDE∽△AGD， 同理：△BDE∽△CEH，

∵∠GHF=∠CHE，∠C=∠F=60°， ∴△CEH∽△FGH，∴△BDE∽△FGH，

∴图中有与△DBE相似的三角形有：△GAD，△ECH，△GFH． 题六： △APQ∽△PBR，△APQ∽△ABP，△PBR∽△ABP． 详解：△APQ∽△PBR，△APQ∽△ABP，△PBR∽△ABP．

证明：∵△PQR是等边三角形，∴∠PQR=∠QPR=∠PRQ=60°， ∴∠A+∠APQ=∠B+∠BPR=60°，

∵∠APB=120°，∴∠APQ+∠BPR=60°，

∴∠A=∠BPR，∠B=∠APQ，∴△APQ∽△PBR， ∵∠A是公共角，∠B=∠APQ，∴△APQ∽△ABP， ∴△APQ∽△PBR∽△ABP． 题七： 相似．

详解：腰与底成比例的两个等腰三角形相似．理由如下： ∵两个等腰三角形的腰与底成比例，

∴两个等腰三角形的三条对应边的比相等， ∴这两个三角形相似． 题八： 不相似．

详解：等腰梯形被一条对角线分成的两个三角形不相似．理由如下：

根据只有两边对应成比例，且夹角相等的三角形相似，如图所示，AB=CD，BD=BD，只有当∠ABD=∠BDC时，两三角形相似，而此时四边形ABCD是平行四边形．

第61讲 相似三角形的判定(四)

1题一： 在△ABC中，AB=12，AC=15，D为AB上一点，DB=AB，在AC上取一点E得△ADE，

3若这两个三角形相似，则AE的长为___________．

题二： 如图，在△ABC中，D是BA的延长线上的一点，AB=6，AC= 4，AD=2，若CA的延长线上存在点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为___________．

题三： 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE． 求证：△ABC∽△ADE．

题四： 如图，AB=AC，∠DAE=∠B．求证：△ABE∽△DCA．

ABBCAC，点B，D，F，E在同一条直线上，请找出图中的相似三角ADDEAE形，并说明理由． 题五： 如图，

题六： 如图，已知EF∥AC，GH∥AB，IK∥BC，写出图中所有和△DGF相似的三角形．

题七： 如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，对角线BD⊥DC．

2

求证：BD=AD•BC．

题八： 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，对角线AC、BD相交于点E，且AC2

⊥BD．求证：CD=BC•AD．

第61讲

题一： 10或6.4．

相似三角形的判定(四)

1详解：∵AB=12，AC=15，DB=AB，∴DB= 4，AD=8，

3如图①，若△ADE∽△ACB，则如图②，若△ADE∽△ABC，则

ADAE，∴AE=6.4； ACABADAE，∴AE=10， ABAC综上所述，AE的长为10或6.4．

4或3． 3详解：∵AB=6，AC= 4，AD=2， 题二：

如图①，若△AED∽△ACB，则如图②，△AED∽△ABC，则综上所述，AE的长为

AEAD4，∴AE=； 3ACABAEAD，∴AE=3， ABAC4或3． 3

题三： 见详解．

详解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE， 又∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE． 题四： 见详解．

详解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CDA=∠BAD+∠B， 又∵∠DAE=∠B，∴∠BAE=∠CDA， ∴△ABE∽△DCA． 题五： 见详解．

详解：△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE，△AFE∽△BFC．

ABBCAC，∴△ABC∽△ADE， ADDEAE∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE， 理由：∵

ABACABAD，∴， ADAEACAE∴△BAD∽△CAE，

∵∠ACB=∠AED，∠AFE=∠BFC， ∴△AFE∽△BFC． 题六： 见详解． 详解：①∵GH∥AB，

∴∠B=∠DGF，∠BEF=∠GDF， ∴△GDF∽△BEF； ②∵GH∥AB，

∴∠B=∠DGF，∠GDF=∠A． ∴△GDF∽△BAC； ③∵EF∥AC，

∴∠EFB=∠C，∠GDF=∠GHC， ∴△GDF∽△GHC；

同理④△GDF∽△DHK；⑤△GDF∽△IED；⑥△GDF∽△IAK． 题七： 见详解．

详解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC， ∵BD⊥DC，∴∠BDC=90°，

∵∠BAD=90°，∴∠BAD=∠BDC． ∵

∴△ABD∽△DCB，∴

2

BDAD， BCBD∴BD=AD•BC． 题八： 见详解．

详解：∵AD∥BC，∠BCD=90°，∴∠ADC=∠BCD=90°， 又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBD，∴△ACD∽△DBC， ∴

ADCD2

，即CD=BC•AD． CDBC

第62讲 相似三角形的判定习题课

题一： 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，已知AD=2，DB=3，AE=3，CE= 4.5，DE= 4，BC=10．求证：△ADE∽△ABC．

题二： 如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的△ACD与△ECA相似吗？为什么？

题三： 如图，CD=2BC，ED=2AC，BC∥DE，点A、C、D在同一条直线上． 求证：△ABC∽△ECD．

题四： 已知四边形ABCD中，E、F、G分别在AD、BD、CD上，且EF∥AB，FG∥BC． 求证：△DEG∽△DAC．

题五： 如图，在△ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2=DB·CE．求证：△ADB∽△EAC．

题六： 如图，点B、C、D在一条直线上，ED⊥CD，AC⊥EC，CB·CE=CA·ED． 求证：△ABC∽△CDE．

题七： 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADO=∠BCO 求证：△ABO∽△DCO．

题八： 如图，△ABC的高BD、CE相交于O，连接ED，△ADE与△ABC相似吗？若相似，给出证明．

第62讲

题一： 见详解．

详解：∵AD=2，DB=3，AE=3，CE= 4.5， ∴AB=AD+DB=5，AC=AE+CE=7.5， ∵DE= 4，BC=10，∴

相似三角形的判定习题课

ADAEDE2， ABACBC5∴△ADE∽△ABC． 题二： 见详解．

详解：△ACD与△ECA相似． 理由：设正方形的边长为a，

则AC=2a，CD=a，AD=5a，EC=2a，CA=2a，EA=10a， ∴AC：EC=CD：CA=AD：EA，∴△ACD∽△ECA． 题三： 见详解．

详解：∵BC∥DE，∴∠ACB=∠CDE， ∵CD=2BC，ED=2AC， ∴

BCAC1==，∴△ABC∽△ECD． CDED2

题四： 见详解．

DEDFDGDFDEDG=，∵FG∥BC，∴=，∴=， DADBDADCDCDB∵∠EDG=∠ADC，∴△DEG∽△DAC． 题五： 见详解．

详解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE， 详解：∵EF∥AB，∴

ABDBABDB，∴，∴△ADB∽△EAC． CEABCEAC题六： 见详解．

详解：∵ED⊥CD，AC⊥EC，∴∠ACE=∠EDC=90°， ∴∠ACB+∠ACE=∠CED+∠EDC，∴∠ACB=∠CED， ∵AB=DB·CE，∴

2

又∵CB·CE=CA·ED，∴

CACB，∴△ABC∽△CDE． CEED题七： 见详解．

详解：∵∠ADO=∠BCO，∠AOD=∠BOC，

OAODOAOB，∴， OBOCODOC又∵∠AOB=∠DOC，∴△ABO∽△DCO． 题八： 见详解．

详解：△ADE与△ABC相似．理由如下：

∵BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC=∠ADB=90°， 又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE， ∴△AOD∽△BOC，∴

ADABBDADAE，即， AEACCEABAC又∵∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC．∴

第63讲 相似的应用

题一： 如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距6米，与树相距15米，求树的高度．

题二： 如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿在竖直放置时，影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上(BC)，有一部分落在斜坡上(CD)，他测得落在地面上影长为10米，留在斜坡上的影长为2米，∠DCE为45°，则旗杆的高度约为多少米？

题三： 如图，这是我校足球场右上角的示意图，B点是发点球处，围栏外A点有一根电杆．利用皮尺无法直接测量A、B之间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，作出图示，说说你的理由．

题四： 有一棵高大的松树，要测出它的高度，但不能爬到树上去，也不能将树砍倒，你有什么方法吗？说一说你的方法．

题五： 如图所示，小明为测量一棵树CD的高度，他在距树24米处立了一根高为2米的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27米时，他的眼睛、标杆的顶端和树顶端在同一直线上．已知小明身高1.6米，求树的高度．

题六： 身高1.7米的人站在两棵树之间，距较高的树5米，距较矮的树3米，若此人观察两棵树所成的视线的夹角为90°，且较矮的树的高为4米，求较高的树的高．

第63讲

题一： 7米．

详解：∵AB⊥OD，CD⊥OD，∴AB∥CD，

相似的应用

ABOB， CDOD∵AB=2，OB=6，OD=6+15=21， ∴△OAB∽△OCD，∴

26，∴CD=7． CD21答：树的高度为7米． ∴

32． 2详解：延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E，

题二： 5+∵CD=2，∠DCE= 45°，∴DE=CE=2，

DE1，∴EF=2DE=22， EF2∵DE⊥BC，AB⊥BC，∴△EDF∽△BAF， ∵同一时刻物高与影长成正比，∴

22232DEEF，即，∴AB=5+． AB102222ABBF32答：旗杆的高度约为5+米．

2∴

题三： 见详解．

1BC，作∠BED=∠ACB，交AB的延长2线于点D，得到△BDE，只要测量出BD的长度，即可得到A、B间的距离． 理由：∵∠ABC=∠DBE，∠BED=∠ACB，

详解：如图，构造出△ABC，在CB的延长线上截取BE=∴△ABC∽△DBE，∴

ABBC=2，∴AB=2BD． BDBE

题四： 见详解．

详解：方法一：如图，将一小木棒A′B′也立在阳光下，测量小木棒(A′B′)此时的影子

长B′C′和树的影子长BC，测量小木棒A′B′的长，则易知△ABC∽△A′B′C′，故有ABBCABBC，所以AB=．因为A′B′，BC及B′C′都已经测量出来，从而可计ABBCBC算得到树高AB．

方法二：如图，找一根比你身体高一点的木棒，将它竖直立在地上，你沿CE方向，从木棒DF的F处往后退到G点，使眼睛可以看到木棒顶端D与树尖A在同一条直线上，同时，测出水平方向与木棒DF和树AB的交点E，C，HG为眼睛离地面的高度．易知△HDE∽△HAC，

HEDEHCDE，故AC=，所以只要测出HC，DE，HE，就可以用上式求得AC，从而HCACHE树高AB=AC+BC，这样，树高就可以求得了． 从而

题五： 5.2米．

详解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，

∵人、标杆、树都垂直于地面，∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°， ∴AB∥EF∥CD，∴∠EMA=∠CNA， ∵∠EAM=∠CAN，∴△AEM∽△ACN，∴∵AB=1.6，EF=2，BD=27，FD=24，∴∴CN=3.6，∴CD=3.6+1.6=5.2， 因此，树的高度为5.2米．

EMAM， CNAN21.62724， CN27

题六： 8.2米．

详解：根据题意作出图形，则AB= 4，GC=BD=3，CH=DF=5，CD=1.7，∠ACE=90°， ∴AG=2.3，∴∠ACG+∠ECH=90°，

∵∠A+∠ACG=90°，∴∠A=∠ECH，∴△AGC∽△CHE，

AGGC2.33，即，∴HE≈6.5，∴EF=EH+HF=6.5+1.7=8.2． CHHE5HE答：较高的树的高是8.2米． ∴

第讲 相似三角形的面积与周长

题一： 已知△ABC∽△DEF，

AB3，△DEF的周长是12，面积是32． DE4求△ABC的周长及面积．

题二： 如图，Rt△ABC到Rt△DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3：2． (1)DE与AB的长度之比是多少？

(2)已知Rt△ABC的周长是12，面积是6，求Rt△DEF的周长与面积．

题三： 如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，

AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，

求矩形DEFG的周长．

EF1， GF2

题四： 如图，在△ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC上，点G、F分别在AB、AC上，AH是BC边上的高，AH与GF相交于K，已知S△AGF﹕S△ABC=9﹕，EF=10，求AH的长．

第讲

题一： 9，18．

相似三角形的面积与周长

AB3， DE4∴△ABC的周长：△DEF的周长 =3：4， △ABC的面积：△DEF的面积 =9：16， 又∵△DEF的周长是12，面积是32， 详解：(1)∵△ABC∽△DEF，∴△ABC的周长为12×

39=9，面积为32×=18． 4168题二： 2：3；8，．

3详解：(1)由相似变换可得DE：AB=DF：AC=2：3； (2)∵AC：DF=3：2，

∴△ABC的周长：△DEF的周长 =3：2， △ABC的面积：△DEF的面积 =9：4，

∵△ABC的周长为12，面积为6，8∴△DEF的周长为8，面积为．

3题三： 18．

详解：设EF=x，则GF=2x． ∵GF∥BC，AH⊥BC，∴AK⊥GF． ∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC， AKGF， AHBC∵AH=6，BC=12， ∴

6x2x，解得x=3． 612∴矩形DEFG的周长为18． 题四： 16．

详解：设AH=x，则AK=AH－KH=AH－EF=x－10， ∵四边形DEFG为矩形，

∴GF∥BC，∴△AGF∽△ABC， ∴∴

SAGFSABC(AK29AK3，解得)，

AHAH8即

x103，解得x=16．故AH=16． x8

第65讲 相似三角形的性质习题课

题一： 如果两个相似三角形对应高的比为4：5，则这两个三角形的相似比是________，它们的面积的比是________．

题二： 两个相似三角形的对应边的比是2：3，周长之和是20，那么这两个三角形周长分别为_________．

题三： 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△EBF：S△ABF= 4：10：25，则DE：EC=( ) A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2

题四： 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，且DE：EC=5：3，连接AE、BD相交于F，△DEF、△EFB、△ABF的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3=( ) A．5：8：10 B．25：：100 C．9：25： D．25：40：

题五： 已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC， 且S△ADE：S四边形DBCE=1：15，那么DE：BC的值等于________．

题六： 已知：如图，△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，AD=3DB，若△ABC的面积为32，则四边形BCED的面积为________．

题七： 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，EF⊥AB，BE=10，AC3BC，求EF的长． 4

题八： 已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35和14． (1)已知他们的周长相差60，求这两个三角形的周长．

(2)已知它们的面积相差588，求这两个三角形的面积．

题九： 如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB=9，AC=6，AD=3，若使△ADE与△ABC相似，求AE的长及它们的面积比．

题十： 如图，在△ABC中，AB=8厘米，BC=16厘米，点P从点A出发沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？此时，它们的面积比是多少？

第65讲 相似三角形的性质习题课

题一： 4：5，16：25．

详解：∵相似三角形对应高的比为4：5，

则三角形的相似比等于其对应高的比，即为4：5， 面积比等于其对应边长的比的平方，即为16：25． 故答案为4：5，16：25．

题二： 8，12．

详解：∵两个相似三角形的对应边的比是2：3， ∴这两个三角形周长比为2：3， 又∵周长之和是20，

∴这两个三角形周长分别为20×

23=8，20×=12． 55故答案为8，12．

题三： A．

详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，

22

∵S△DEF：S△ABF= 4：25，S△DEF：S△ABF =DE：AB，∴DE：AB=2：5， 又∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选A． 题四： D．

详解：∵DE：EC=5：3，∴DE：DC=5：8，

又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=DC，∴DE：AB=5：8 ∵DE∥AB，∴△DFE∽△BFA，∴DE：AB=DF：FB=5：8，

22

∴S1：S2=DF：FB=5：8，S1：S3=5：8=25：， ∴S1：S2：S3=25：40：．故选D．

1． 4详解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，

∵S△ADE：S四边形DBCE=1：15，∴S△ADE：S△ABC=1：16， 题五：

又∵S△ADE：S△ABC=(题六： 14．

详解：∵AD=3DB，∴AB=AD+DB=3DB+DB= 4DB，∴∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴

SADESABCDE2DE1=． )，∴

BCBC4AD3DB3， AB4DB4AD29=()=， AB16∵S△ABC=32，∴S△ADE=18，∴S四边形BCED=S△ABC－S△ADE=32－18=14．

题七： 6．

详解：∵∠BFE=∠C=90°，且∠EBF=∠ABC， ∴△BEF∽△BAC，∴

ACEF3， BCBF4设EF=3x，BF= 4x，

222

由勾股定理，得(3x)+(4x)=10，解得x=2，即EF=3x=6． 题八： 100，40；700，112．

详解：(1)∵两个相似三角形的对应边长分别是35和14， ∴这两个三角形的相似比为5：2， ∴这两个三角形的周长比为5：2， ∵他们的周长相差60，

∴设较大的三角形的周长为5x，较小的三角形的周长为2x， ∴5x－2x=60，,∴x=20，

∴5x=5×20=100，2x=2×20= 40，

∴较大的三角形的周长为100，较小的三角形的周长为40． (2)∵这两个三角形的相似比为5：2， ∴这两个三角形的面积比为25：4， ∵他们的面积相差588，

∴设较大的三角形的面积为25x，较小的三角形的面积为4x， ∴(25－4)x=588，∴x=28，

∴25x=25×28=700，4x= 4×28=112，

∴较大的三角形的面积为700，较小的三角形的面积为112． 题九：

9或2，1∶4或1∶9． 2AEADAE3=，即=， ABAC96详解：①若△AED∽△ABC，则∴AE=

9，S△AED∶S△ABC=1∶4； 2ADAE3AE=，即=， ABAC96∴AE=2，S△ADE∶S△ABC=1∶9， ②若△ADE∽△ABC，则

9，它们的面积比为1∶4； 2当△ADE∽△ABC时，AE的长为2，它们的面积比为1∶9． 题十： 0.8或2；4：25或1：4．

详解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似，则AP=2x厘米，BQ= 4x厘米， ∵AB=8厘米，BC=16厘米，∴BP=(8－2x)厘米， ①若BP与BC边是对应边，则BP：BC=BQ：BA， 即(8－2x)：16= 4x：8，解得x=0.8， ∴BP：BC=2：5，∴S△BPQ∶S△BCA= 4：25；

②若BP与BA边是对应边，则BP：BA=BQ：BC， 即(8－2x)：8= 4x：16，解得x=2， ∴BP：BA=1：2，∴S△BPQ∶S△BAC=1：4；

综上所述，经过0.8秒后△PBQ和△ABC相似，它们的面积比是4：25； 经过2秒后△PBQ和△ABC相似，它们的面积比是1：4．

因此，当△AED∽△ABC时，AE的长为

第66讲 位似

题一： 用两种方法，以O为位似中心，把△ABC缩小为原来的

1． 2

题二： 以点O为位似中心，将网格中的图形放大为原来的2倍．

题三： 如图，△ABC在方格中．

(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A(2，3)、C(5，2)，并求出B点坐标；

(2)以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形．

题四： 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A(1，3)、B(2，2)、C (2，1)，D (3，3)．

(1)以原点O为位似中心，相似比为2，将图形放大，画出符合要求的位似四边形； (2)在(1)的前提下，写出点A的对应点坐标A，并说明点A与点A坐标的关系．

题五： 如图，△ABC的两个顶点BC均在第一象限，以点A(0，1)为位似中心，在y轴左方作△ABC的位似图形△ABC，△ABC与△ABC的位似比为1：2．若设点C的纵坐标是m，则其对应点C的纵坐标是( )

A．－(2m－3) B．－(2m－2) C．－(2m－1) D．－2m

题六： 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．将△ABC绕C点按顺时针方向旋转180°后，记所得的图形是△NMC．设点M的横坐标是a，则点B的横坐标是( )

A．－a B．－(a+1) C．－(a－1) D．－(a+2)

第66讲

题一： 见详解．

详解：如图所示，△ABC与△ABC即为所求．

位似

题二： 见详解． 详解：作图如下：

题三： 见详解．

详解：(1)如图画出原点O、x轴、y轴，建立直角坐标系， 则B的坐标为 (2，1)；

(2)如图，△ABC即为所求．

题四： 见详解．

详解：(1)符合要求的位似四边形有两个，如图所示．

(2)点A的对应点A有2个，分别是A(2，6)或A(－2，－6)， 其中点A的横、纵坐标分别是点A的横、纵坐标分别乘以2或－2． 题五： A．

详解：设点C的纵坐标为m，则A、C间的纵坐标的长度为(m－1)， ∵△ABC放大到原来的2倍得到△ABC， ∴C、A间的纵坐标的长度为2 (m－1)，

∴点C的纵坐标是－[2(m－1)－1]=－(2m－3)．故选A． 题六： D．

详解：过B点和M点作x轴的垂线，垂足分别是D和E，

∵点M的横坐标是a点，C的坐标是 (－1，0)．∴EC = a+1， 又∵△CNM的边长与△ABC的边长相等， ∴DC=a+1，∴DO=a+2，

∴B点的横坐标是－(a+2)．故选D．

第67讲 正弦、余弦、正切定义

题一： (1)如图，在Rt△ABC中，∠C=90゜，AC=12，AB=13， 则sinA=______；cosA=______；tanA=______； sinB=______；cosB=______；tanB=______．

(2)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，

则sinA=______，cosA=______，tanA=______； sinB=______，cosB=______，tanB=______．

题二：(1)在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，

则sinA=______；cosA=______；tanA=______； sinB=______；cosB=______；tanB=______．

(2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=α． 则sinα=______；cosα=______；tanα=______；

sin(90°－α)=______；cos(90°－α)=______；tan(90°－α)=______．

题三：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3，则cosB+tanB=______． 2

题四：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则tanA+tanB=______．

第67讲

正弦、余弦、正切定义

题一：见详解．

详解：(1)∵∠C=90°，AC=12，AB=13，∴BC=AB2AC2132122=5， ∴sinA=CB5AB13；cosA=AC12BC5AB13；tanA=AC12；

sinB=

ACAB1213；cosB=CBAB513；tanB=ACBC125． (2)由图可知，∠C=90°，AC=6，AB=10，BC=8， ∴sinA=CBAB45；cosA=AC3BC4AB5；tanA=AC3； sinB=

ACAB35；cosB=CBAB45；tanB=ACBC34．

题二：见详解．

详解：(1)如图，∵∠C=90°，AC=1，BC=3，∴AB=AC2BC212(3)22， ∴sinA=CBAB32；cosA=ACAB12；tanA=BCAC3；

sinB=

AC1CB3AB2；cosB=

AB2；tanB=AC3BC3．

(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，CD=1， ∴AD=CD2AC212225, ∴sinα=

CD15AC225CD1AD55；cosα=AD55；tanα=AC2； sin(90°－α)=

ACAD25255；cos(90°－α)=CDAD1555；tan(90°α)=ACCD2．

题三：1232． －

详解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=∴∠B=60°，∴cosB+tanB=

3， 21123． 32243． 3详解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则∠B=90°－30°=60°，

题四：∴tanA+tanB=tan30°+tan60°=343． 333

第68讲 正弦、余弦、正切应用

题一：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=

3，求∠B三角函数值． 4

题二：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

5，求∠A及∠B的其它三角函数值． 13

题三：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E是AC边的中点，

3AB=213，BC=12，tanB=．

2(1)求△ABC的面积； (2)求tan∠EDC的值．

3题四：如图，在△ABC中，∠ABC= 45°，sinA=，AB=14，BD是AC边上的中线．

5(1)求△ABC的面积； (2)求tan∠ABD的值．

题五：如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，AD⊥AB，若BD=2CD，

1tan∠CAD=，求tanB的值．

5

题六：如图，D是△ABC中BC边的中点，∠BAD=90°，tanB=2，AD=2， 求sin∠DAC的值．

3

第68讲

题一：见详解． 详解：依题意，tanA=

正弦、余弦、正切应用

BC3=， AC4设BC=3x，AC= 4x，由勾股定理得AB=BC2AC2=5x， ∴sinB=

AC4x4BC3x3AC4x4==，cosB===，tanB===． AB5x5AB5x5BC3x3

题二：见详解． 详解：∵sinA=

BC5=， AB13设BC=5k，则AB=13k，由勾股定理得AC=AB2BC2=12k， ∴cosA=sinB=

AC12BC5=，tanA==， AB13AC12AC12BC5AC12=，cosB==，tanB==． AB13AB13BC5

题三：见详解．

详解：(1)在△ABD中，∠ADC=90°，AB=213，tanB=∴AD+BD=AB，

2

2

2

3， 2AD32222

=，即AD+BD=(213)=52，BD=AD， BD23解得AD=6，BD= 4，或AD=－6(舍去)，BD=－4(舍去)， 在△ABC中，AD⊥BC，BC=12，

11×BC×AD=×12×6=36； 22(2)在Rt△ABD中，E是AC边上的中点， ∴AE=EC=DE，∴∠EDC=∠ACD， ∴△ABC的面积为∴tan∠EDC=tan∠ACD =

AD63==． CD1244

题四：见详解．

详解：如图，(1)作CH⊥AB，垂足为点H，

3∵sinA=，∴设CH=3x，那么AC=5x，AH= 4x，

5∵∠ABC=45°，∴BH=CH=3x．

∵AB=14，∴4x+3x=14，解得x=2，即CH=6， 11×AB×CH=×14×6= 42； 22(2)作DM⊥AB，垂足为点M， ∴△ABC的面积=

∵DM∥CH，AD=CD，∴DM=∴BM=10，∴tan∠ABD=

1CH=3，AM= 4． 2DM3=． BM10

5题五：．

31CE1详解：过点C作AD的垂线，交AD的延长线于E，∵tan∠CAD=，∴=，

AE55设CE=x，则AE=5x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD， ∴△CDE∽△BDA，则∵BD=2CD，∴

DECD， ADBDDECD15，∴DE=x， ADBD235xDE35∴tan∠DCE===，

CEx35∵AB//CE，∴∠DCE=∠B，∴tanB=．

3

3题六：．

5详解：过C点作AB的垂线，交BA的延长线于E， AD2=，AD=2，∴AB=3， AB3∵CE⊥AB，∴∠E=90°，

∵∠DAB=90°，∴∠E=∠DAB，∴AD∥CE， ∵D为BC中点，∴AB=AE=3， ∵∠BAD=90°，tanB=在△BEC中，tanB=

CE2=，∵BE=3+3=6，∴CE=4， BE3∴在Rt△AEC中，CE= 4，AE=3，由勾股定理得AC=CE2AE2=5，

∵AD∥CE，∴∠DAC=∠ECA，∴sin∠DAC=sin∠ECA=

AE3=． AC5

第69讲 特殊角的三角函数值

题一：求下列各式的值：

(1)3cos302sin45tan45cos60；(2)(1+2)+(

题二：求下列各式的值．

(1)sin30°+sin45°+2cos60°cos45°；(2)2sin45°－(cos60sin60)22

2

0

1－1

)+2cos30°． 2tan60． 2

题三：根据下列条件，确定锐角α的值： (1)sinα+cos30°=

2

52

；(2)tanα－(1+3)tanα+3=0． 4

题四：根据下列条件，确定锐角α的值： (1)cos(α+10°)－33132

=0；(2)sinα－sinα+=0． 242

题五：如图，在正方形ABCD中，AB=1，在边BC的延长线上取一点E，使CE=CA，AE与CD相交于点F．求：tan22.5°的值．

题六：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，将四边形ACBD沿直线EF折叠，使D与C重合，CE与CF分别交AB于点G、H． (1)求证：△AEG∽△CHG；

(2)若BC=1，求cos∠CHG的值．

第69讲

特殊角的三角函数值

题一： 2－2；33． 详解：(1)原式=3×(2)原式=1+2+2× 题二：1

231－2×+1×=2－2；

2223=33． 211；+2． 4221111++2××=1；

24224详解：(1)原式=(2)原式=2×23311－(－)+=+2． 22222

题三：30°；60°或45°． 详解：(1)∵sinα+cos30°=

2

2

332155，cos30°=，∴sinα=－()=，∴α=30°；

22442(2)∵tanα－(1+3)tanα+3=0，∴(tanα－3)(tanα－1)=0， ∴tanα=3或tanα=1，∴α=60°或α= 45°．

题四：20°；30°或60°． 详解：(1)∵cos(α+10°)－(2)∵sinα－∴sinα－

题五：2－1．

详解：∵在正方形ABCD中，AB=1， ∴AC=2，而CE=CA，∴∠E=∠CAE， ∴BE=BC+CE=2+1，而∠ACB= 45° ∴tan∠E=tan22.5°=

题六：见详解．

2

33=0，∴cos(α+10°)=，∴α+10°=30°，∴α=20°； 2231331sinα+=0，∴(sinα－)(sinα－)=0，

422231=0或sinα－=0，∴α=30°或α=60°．

221AB==2－1． BE21

详解：(1)∵△ABD是等边三角形，∴∠EAG=∠D=60°， 根据折叠的性质知：DE=CE，∠D=∠GCH=∠EAG=60°， 又∵∠EGA=∠HGC，∴△AEG∽△CHG； (2)在△ABC中，∠BAC=30°，BC=1， 则AC=3，AB=2，故AD=AB=2， 设DE=EC=x，则AE=2－x，

在Rt△AEC中，由勾股定理得(2－x)+3=x，解得x=∴AE=

2

2

7， 417AE1，EC=，∴cos∠AEC==， 44EC7由(1)的相似三角形知∠AEG=∠CHG，故cos∠CHG=cos∠A

第70讲 锐角三角函数的关系与性质

1题一：如图，在△ABC中，已知∠C=90°，sinA=，求cosA和tanB的值．

3

题二：如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=

2．求△ABC的面积和tanB的值． 3

1sin2A题三：在△ABC中，∠C=90°，化简．

sin(90A)

题四：在△ABC中，∠C=90°，化简12sin26cos26(sin26cos26)2．

第70讲

锐角三角函数的关系与性质

题一： 22，22． 3详解：∵∠C=90°，sinA=∴cosA=

BC1=，设BC=x，AB=3x，∴AC=AB2BC2=22x， AB3AC22x22AC22x==，tanB===22． 3xx3ABBC5． 2BC2详解：由sinA==，BC= 4，得AB=6，

AB3题二：45，由勾股定理得AC=AB2BC2=25， ∴S△ABC=

51AC×BC×AC=45，tanB==． 2BC2

题三：1．

22

详解：∵sinA+cosA=1，sin(90°A)=cosA，

1sin2Asin2Acos2Asin2AcosA1． ∴sin(90A)cosAcosA

题四：2sin26．

22

详解：∵sinA+cosB=1，sin26°＜cos26°，

∴原式=sin226cos2262sin26cos26(sin26cos26)2 =(sin26cos26)2sin26cos26=

第71讲 解直角三角形

题一： (1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，b=2，解这个直角三角形． (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=8，∠B=60°，解这个直角三角形． (3)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

1，AC=23，求BC的长． 2

(4)在△ABC中，若∠C=90°，sinA=

题二：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=33，解这个直角三角形． (2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=10，∠A=60°，解这个直角三角形．

3，AC+AB=32+23，求BC的长． 3

(3)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin∠A=

2，求BC的长． 5

(4)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，△ABC的面积为2，求tanA+tanB的值．

第71讲

题一：见详解．

解直角三角形

详解：(1)∵Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，b=2，a+b=c， ∴根据勾股定理得c=a2b2=22，

6213ab==，sinB===， c222c222又∵∠A和∠B都为锐角，∴∠A=60°，∠B=30°．

(2)如图，∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=180°－∠C－∠B=30°，

222

∴sinA=

∵BC=a=8，∴AB=2a=16，∴AC=AB2BC21628283．

(3)∵sinA=

331BC，∴∠A=30°．∴tanA==tan30°=，∴BC=×23=2．

332AC36AC，设BC=3x，AB=3x，∴AC=6x，∴cosA==， 3AB3(4)如图，∵sinA=∵AC+AB=32+23，∴6x+3x=32+23，∴x=2，∴BC=3×2=6．

题二：见详解．

详解：(1)∵Rt△ABC中，a+b=c，∠C=90°，a=3，b=33， ∴c=a2b2=6，∴tanA=

33a==， b3332

2

2

∴∠A=30°，∴∠B=90°－∠A=90°－30°=60°．

(2)∵∠C=90°，∠A=60°，b=10，∴∠B=180°－∠C－∠A =30°， 又∵b=10，∴AB=

AC=20，BC=ACtan60°=103． sin30BCBC2==， AB105(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=∴BC=4，AC=AB2BC2=221． (4)∵△ABC的面积为2，∴ab=4．

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，∴a+b=42=16，

2

2

aba2b2∴tanA+tanB===16÷4=4．

abba

第72讲 解斜三角形

题一：如图，△ABC中，∠A=30°，tanB3，AC=23，求AB的长． 2

题二：如图，在△ABC中，∠BCA=135°，AC=22，BC=4．求AB的长．

题三：在△ABC中，BC=6，AC=63，∠A=30°，求AB的长．

题四：在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，求AB边上的高CD的长．

题五：如图，在△ABC中∠C是锐角，BC=a，AC=b．

1(1)证明：SABCabsinC；

2(2)△ABC是等边三角形，边长为4，求△ABC的面积．

4，∠C=30°，AB=10． 5求：(1) AC的长；(2)△ABC的面积． 题六：如图，在△ABC中，sin∠B=

第72讲

题一： 5．

详解：如图，作CD⊥AB于D，

在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=23，∴CD=3，AD=3， 在Rt△BCD中，tanB解斜三角形

3CD，∴BD==2，∴AB=AD+BD=5． 2tanB

题二：210．

详解：如图，作AD⊥BC交BC的延长线于D，

∵∠BCA=135°，∴∠ACD=45， 在Rt△ACD中，AC=22，∠ACD=45， 2=2， 2在Rt△BDA中， BD=BC+CD=6，AD=2．

∴CD=AD=ACsin45°=22×∴AB=BD2AD26222210．

题三：12或6．

详解：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，∵∠A=30°，AC=63， ∴CD=

31AC=33，AD=ACcos30°=63×=9，

22在Rt△BCD中，∵BC=6，CD=33，∴BD=BC2CD262(33)2=3， ∴AB=AD+BD=9+3=12；

如图2，同理可得AB=AD－BD=9－3=6． 综上所述，AB的长为12或6．

题四：43或43或4． 3详解：①当AB=AC时，∵∠A=30°，∴CD=

11AC=×8=4； 22

②当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°， ∴CD=cos∠BCDBC=cos30°×8=43；

③当AC=BC时，则AD=4，∴CD=tan∠AAD=tan30°×4=43． 3

综上所述，AB边上的高CD的长为

题五：略；43．

详解：(1)如图，作AD⊥BC， ∴SABC43或43或4． 31BCAD， 21在Rt△ACD中，AD=ACsinC，∴SABCabsinC；

2(2)∵△ABC是等边三角形，边长为4，sin60°=3， 2

1∴SABC44sin6043．

2

题六：16；24323．

详解：(1)作AD⊥BC，垂足为点D，在△ABD中，∠ADB=90°，

AD4，∵AB=10，∴AD=8． AB5在△ACD中，∠ADC=90°，∠C=30°，∴AC=2AD=16； (2)在△ABD中，∠ADB=90°，AB=10，AD=8，∴BD=6． ∴sin∠B=

在△ACD中，∠ADC=90°，AD=8，AC=16，∴CD=83， ∴BC=683，∴SABC11ADBC8(683)24323． 22

第73讲 解直角三角形与实际问题

题一：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=3，D为CB延长线上一点，且

BD=2AB．求AD的长．

题二：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AD为∠BAC的角平分线，且AD=163，求3BC的长．

题三：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，现从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，如果AC是120米，求河宽CD的长？

题四：如图，小山上有一座铁塔AB，在D处测得点A的仰角∠ADC=60°，点B的仰角∠BDC=45，在E处测得点A的仰角∠E=30°，并测得DE=90米．求小山高BC和铁塔高AB．

题五：为了测量学校旗杆AB的高度，学校数学实践小组做了如下实验：在阳光的照射下，旗杆AB的影子恰好落在水平地面BC的斜坡坡面CD上，测得BC=20米，CD=18米，太阳光线AD与水平面夹角为30°且与斜坡CD垂直．根据以上数据，请你求出旗杆AB的高度．

题六：小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度．

题七：如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，求灯塔P到环海路的距离PC．

题八：如图，在一条东西公路l的两侧分别有村庄A和B，村庄A到公路的距离为3千米，村庄A位于村庄B北偏东60°的方向，且与村庄B相距10千米．现有一辆长途客车从位于村庄A南偏西76°方向的C处，正沿公路l由西向东以40千米/小时的速度行驶，此时，小明正以25千米/小时的速度由B村出发，向正北方向赶往公路l的D处搭乘这趟客车． (1)求村庄B到公路l的距离； (2)小明能否搭乘上这趟长途客车？

(参考数据31.73，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)

题九：如图，山顶建有一座铁塔，塔高BC=80米，测量人员在一个小山坡的P处测得塔的底部B点的仰角为45°，塔顶C点的仰角为60度．已测得小山坡的坡角为30°，坡长MP=40米．求山的高度AB．

题十：如图，为了测量某山AB的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为30°，求山AB的高度．

第73讲

题一： 27．

解直角三角形与实际问题

详解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=3，

AC2，BC=1， sin60∵D为CB延长线上一点，BD=2AB， ∴AB∴BD=4，CD=5，∴ADCD2AC227．

题二：83．

详解：在△ACD中，∠C=90°，AD=由勾股定理得DC=AD2AC2=163， 3831AD=，

32∴∠DAC=30°，∴∠BAC=2×30°=60°，∴∠B=90°－60°=30°，

∴tan30°=

3AC8==，∴BC=83． BCBC3题三：(603－60)米．

详解：过点A作AF⊥CD于F，

根据题意知∠ACF=30°，∠ADF=45，AC=120， 在Rt△ACF中，cos∠ACF=∴CF=120×3CF=cos30°=，

2AC3=603， 2AF11又sin∠ACF==sin30°=，∴AF=120×=60，

AC22在Rt△ADF中，tan∠ADF=

AF= tan45°=1， DF∴DF=60，∴CD=CF－DF=603－60， 答：河宽CD的长为(603－60)米．

题四：45米，(45345)米．

详解：在△ADE中，∠E=30°，∠ADC=60°， ∴∠E=∠DAE=30°，∴AD=DE=90； 在Rt△ACD中，∠DAC=30°，

1AD=45，AC=ADsin∠ADC=ADsin60°=453， 2在Rt△BCD中，∠BDC=45，∴△BCD是等腰直角三角形． ∴CD=

∴BC=CD=45，∴AB=AC－BC=45345，

答：小山高BC为45米，铁塔高AB为(45345)米．

563米． 3详解：作AD与BC的延长线，交于E点．在Rt△CDE中，∠E=30°， ∴CE=2CD=2×18=36，则BE=BC+CE=20+36=56，

题五：在Rt△ABE中，tan∠E=因此，旗杆AB的高度是563AB，∴AB=BEtan30°=，

3BE563米． 3

题六：(3+6)米．

详解：延长AC交BF延长线于点D，作CE⊥BD于点E，则∠CFE=30°， 在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，∴CE=2，EF=4cos30=23， 在Rt△CED中，CE=2，∴DE=4， ∴BD=BF+EF+ED=12+23， 在Rt△ABD中，AB=

11BD=(12+23)=3+6， 22因此，树的高度是(3+6)米．

题七：2503米．

详解：∵∠PAB=90°－60°=30°，∠PBC=90°－30°=60°， 又∵∠PBC=∠PAB+∠APB，∴∠PAB=∠APB=30°，∴PB=AB， 在直角△PBC中，PC=PBsin60°=500×3=2503， 2因此，灯塔P到环海路的距离PC是2503米．

题八：2千米；能．

详解：(1)设AB与l交于点O，在Rt△AOE中，∠OAE=60°，AE=3，

AE=6，∵AB=10，∴OB=AB－OA=4．

cos60在Rt△BOD中，∠OBD=∠OAE=60°，∴BD=OBcos60°=2， 因此，观测点B到公路l的距离为2千米； ∴OA=

(2)能．因为CD=3tan76°－53≈3.38．

t客车=

3.382=0.0845(小时)，t小明==0.08(小时)，t客车＞t小明． 4025

题九：(60+403)米．

详解：如图，过点P作PE⊥AM于E，PF⊥AB于F， 在Rt△PME中，∵∠PME=30°，PM= 40，

∴PE=20．∵四边形AEPF是矩形，∴FA=PE=20，

设BF=x，∵∠FPB= 45°，∴FP=BF=x．∵∠FPC=60°， ∴CF=PFtan60°=3x，∵CB=80，∴80+x=3x， 解得x= 40(3+1)，∴AB= 40(3+1)+20=60+403． 答：山高AB为(60+403)米．

题十：50(3+3)米．

详解：过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，设AB=x， 在Rt△DEC中，∠DCE=30°，CD=100，∴DE=50，CE=503， 在Rt△ABC中，∠ACB= 45°，∴BC=x，

则AF=AB－BF=AB－DE=x－50，DF=BE=BC+CE=x+503， 在Rt△AFD中，∠ADF=30°，tan30°=

x50x5033，∴x=50(3+3)， 3AF， FD∴经检验x=50(3+3)是原分式方程的解． 答：山AB的高度约为50(3+3)米．