天津市和平区双菱中学2020-2021学年八年级下学期期中数学试题

学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题

1．若代数式3x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A．x＜3

B．x≤3

C．x＞3

D．x≥3

2．计算：9a＋25a＝（ ） A．8a B．34a C．8a

D．15a 3．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）． A．4，5，6

B．1，1，2 C．6，8，11

D．5，12，23

4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）

A．△B＝△F B．△B＝△BCF C．AC＝CF D．AD＝CF

5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为( )

A．4 B．3 C．2 D．1

6．如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC＝20m，则AB=（ ）

A．200m B．2010m C．402m D．50m

7．已知菱形ABCD，AC＝6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于（ ）

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A．20 B．25 C．202 D．1530

8．利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点A，使OA=5，过点A作直线l垂直于OA，在1上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，以OB长为半径作弧，弧与数轴的交点为C，那么点C表示的无理数是（ ）

A．21 B．29 C．7 D．29

9．下列二次根式的运算正确的是（ ） A．

52=5 B．482 552C．355410D．5323103 10．如图，△ABC中，AD△BC于D，AB＝5，BD＝4，DC＝2，则AC=（ ）

A．13 B．13 C．5 D．5

11．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF△BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=6，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．10 B．12 C．16 D．18

12．如图，在直角三角形ABC中，△ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一

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点（不与点A，B重合），作ME△AC于点E，MF△BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）

A．1.2 二、填空题

B．1.5 C．2.4 D．2.5

13．若直角三角形两条直角边长分别为5，3，则该直角三角形斜边长为___． 14．计算(3-2)(3+2)的结果是______．

15．依次连接菱形各边中点所得到的四边形是__________．

16．如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于___．

17．如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2； P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是________．

18．如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=6，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，则OM+ON的最小值是___．

三、解答题

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19．计算：

246÷312

20．如图，三角形纸片ABC中，△BCA＝90°，BC=5，AB=13，在AC上取一点E，使AB的一部分与BC重合，点A与BC延长线上的点D重合，则CE的长为多少．

21．如图，BE是△ABC的中线，BD△AC，BD=AC，连接AD、DE．

2（1）求证：BC＝DE；

（2）当△ABC＝90°时，判断四边形ADBE的形状，并说明理由．

1

22．如图，四边形ABCD中，△A=△ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F． （1）求证：四边形BDFC是平行四边形；

（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．

23．如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′．

（1）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长= ； （2）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；

（3）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．

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参考答案：

1．B 【解析】 【分析】

根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可． 【详解】

由题意得，3﹣x≥0，解得，x≤3，故选B． 【点睛】

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2．A 【解析】 【分析】

先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可． 【详解】

解：原式3a5a 8a．

故选：A． 【点睛】

本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键． 3．B 【解析】 【分析】

欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】

解：A、因为42＋52≠62，所以不能构成直角三角形； B、因为12＋12=（2）2，所以能构成直角三角形； C、因为62＋82≠112，所以不能构成直角三角形；

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D、因为52＋122≠232，所以不能构成直角三角形． 故选：B． 【点睛】

此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 4．B 【解析】 【分析】

根据已知条件可以得到AC//DE，对选项判断即可求出解． 【详解】

解：△D，E分别是AB，BC的中点 △AC//DE，DE1AC 2A：根据△B＝△F得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意； B：△B＝△BCF，△CF//AD，△四边形ADFC为平行四边形，选项符合题意； C：根据AC＝CF得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意； D：根据AD＝CF得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意； 故答案为B． 【点睛】

此题考查了中位线的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握有关性质即判定方法是解题的关键． 5．A 【解析】 【分析】

因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA=2，则AC=2OA=4，又BD=AC，故可求． 【详解】

解：△四边形ABCD是矩形 △OC=OA，BD=AC 又△OA=2，

答案第2页，共18页

△AC=OA+OC=2OA=4 △BD=AC=4 故选A． 【点睛】

本题考查矩形的对角线的性质．熟练掌握矩形对角线相等且互相平分是解题的关键. 6．C 【解析】 【分析】

在直角三角形中已知直角边和斜边的长，利用勾股定理求得另外一条直角边的长即可． 【详解】

解：△CB=60m，AC=20m，AC△AB， △AB=602202402（m）． 故选：C． 【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，解题的关键是正确的从实际问题中发现直角三角形并对应好直角边和斜边． 7．A 【解析】 【分析】

先利用菱形的面积公式计算出BD8，然后根据菱形的性质和勾股定理可计算出菱形的边长10，从而得到菱形的周长． 【详解】

解：菱形ABCD的面积是24，即ACBD24，

BD2428， 612菱形的边长32425， 菱形ABCD的周长4520．

故选：A． 【点睛】

答案第3页，共18页

本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积计算可利用平行四边形的面积公式计算，也可利用菱形面积ab(a、b是两条对角线的长度）进行计算． 8．B 【解析】 【分析】

利用勾股定理列式求出OB判断即可． 【详解】

解：由勾股定理得，OB=522229， △点C表示的无理数是29． 故选：B． 【点睛】

本题考查了勾股定理，熟记定理并求出OB的长是解题的关键． 9．B 【解析】 【分析】

根据二次根式的性质对A进行判断，根据二次根式的除法法则对B进行判断，根据二次根式的加法对C进行判断，根据二次根式的乘法法则对D进行判断. 【详解】 解：A、B、1252=5，所以A选项的计算错误；

4848452==，所以B选项的计算正确； 5555582C、35545，所以C选项的计算错误； D、532330，所以D选项的计算错误； 故选B. 【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的化简；熟练掌握二次根式的化简与运算是解决问题的关键．

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10．B 【解析】 【分析】

在RtABD中，由勾股定理可求得AD，则在RtACD中，由勾股定理可求得AC． 【详解】 解：

ADBC，

ADBADC90，

在RtABD中，由勾股定理可得ADAB2BD252423， 在RtACD中，由勾股定理可得ACAD2CD2322213， 故选：B． 【点睛】

本题主要考查勾股定理，熟练运用勾股定理求直角三角形的边长是解题的关键． 11．B 【解析】 【分析】

由矩形的性质可证明SPEBSPFD，即可求解． 【详解】

解：作PMAD于M，交BC于N．

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，

SADCSABC，SAMPSAEP，SPBESPBN，SPFDSPDM，SPFCSPCN，

MPAE2

1SDFPSPBE266，

2S阴6612，

故选：B．

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【点睛】

本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明SPEBSPFD． 12．A 【解析】 【分析】

先由勾股定理求出AB=5，再证四边形CEMF是矩形，得EF=CM，当CM△AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM=2.4，即可得出答案． 【详解】

解：连接CM，如图所示：

△△ACB=90°，AC=3，BC=4， △AB=AC2BC232425，

△ME△AC，MF△BC，△ACB=90°， △四边形CEMF是矩形， △EF=CM，

△点P是EF的中点， △CP=EF，

2当CM△AB时，CM最短， 此时EF也最小，则CP最小，

△△ABC的面积=2AB×CM=2AC×BC， △CM=

AC•BC342.4， =5AB1111△CP=2EF=2CM=1.2， 故选：A． 【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形

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1的判定与性质是解题的关键． 13．34 【解析】 【分析】

直接利用勾股定理计算即可． 【详解】

解：直角三角形的两个直角边分别为3和5，

这个直角三角形的斜边长为325234．

故答案为34． 【点睛】

本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2b2c2．

14．-1 【解析】 【分析】

由于式子复合平方差公式的特点,则由平方差公式展开可得(3 )2-22即可解答 【详解】

由平方差公式,得(3 )2-22 由二次根式的性质,得3-22 计算,得-1 【点睛】

此题考查平方差公式的性质，解题关键在于利用平方差公式的性质进行计算 15．矩形 【解析】 【详解】

连接AC、BD交于O，

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△E、F. G、H分别是AB、AD、CD、BC的中点， △EF△BD，FG△AC，HG△BD，EH△AC， △EF△HG，EH△FG，

△四边形EFGH是平行四边形， △四边形ABCD是菱形， △AC△BD，

△EF△BD，EH△AC， △EF△EH， △△FEH=90°，

△平行四边形EFGH是矩形， 故答案为矩形． 16．6cm 【解析】 【分析】

由菱形ABCD的周长为48cm，根据菱形的性质，可求得AD的长，ACBD，又由E是

AD的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求得线段OE的长． 【详解】

解：菱形ABCD的周长为48cm，

AD12cm，ACBD，

E是AD的中点，

OE1AD6(cm)． 2故答案是：6cm． 【点睛】

此题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度不大，注意掌握数形

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结合思想的应用． 17．3 【解析】 【分析】

分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可． 【详解】

如图，分别延长AE、BF交于点H． △△A=△FPB=60°， △AH△PF， △△B=△EPA=60°， △BH△PE，

△四边形EPFH为平行四边形， △EF与HP互相平分． △G为EF的中点，

△G也正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN． △CD=10-2-2=6，

△MN=3，即G的移动路径长为3．

故答案为：3. 【点睛】

本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，是中考的热点． 18．210 答案第9页，共18页

【解析】 【分析】

利用轴对称变换以及平移变换，作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的性质以及轴对称的性质，可得当O，N，Q在同一直线上时，OMON的最小值等于OQ长，利用勾股定理进行计算，即可得到OQ的长，进而得出OMON的最小值． 【详解】

解：如图所示，作点O关于BC的对称点P，连接PM，将MP沿着MN的方向平移MN长的距离，得到NQ，连接PQ， 则四边形MNQP是平行四边形，

MNPQ2，PMNQMO， OMONQNON，

当O，N，Q在同一直线上时，OMON的最小值等于OQ长， 连接PO，交BC于E，

由轴对称的性质，可得BC垂直平分OP， 又矩形ABCD中，OBOC，

E是BC的中点，

OE是ABC的中位线，

OE1AB3， 2OP236，

又PQ//MN，

PQOP，

RtOPQ中，OQOP2PQ26222210，

OMON的最小值是210，

故答案为：210．

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【点睛】

本题主要考查了矩形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 19．

32 2【解析】 【分析】

先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可计算； 【详解】

解：原式＝243 ﹣63 +＝22-2+＝2 22 232． 2【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可；在二次根式的混合运算中，如果能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往可以事半功倍； 20．

10 3【解析】 【分析】

结合已知条件可知AC=4，利用三角形面积推出S△ABC=S△BCE+S△BDE，即可推出CE的长度． 【详解】

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解：△△ACB=90°，BC=5，AB=13， △AC=12，

根据将其三角形纸片ABC对折后点A落在BC的延长线上，则AB=BD=13， △S△ABC=S△BCE+S△BDE， △×5×12=BC×EC+EC×BD， △30=×EC（5+13）， △CE=

1212121210． 3【点睛】

此题主要考查了翻折变换的性质，根据已知得出S△ABC=S△BCE+S△BDE进而求出EC是解题关键．

21．（1）见解析；（2）菱形，理由见解析 【解析】 【分析】

（1）首先判定四边形DBCE是平行四边形，然后即可证得BC=DE；

（2）首先证得四边形ADBE是平行四边形，然后利用对角线互相垂直的平行四边形是平行四边形判定菱形即可． 【详解】

解：（1）证明：△BE是△ABC的中线， △EC=AC，

2△BD=AC，

2△BD=CE， △BD△AC，

△四边形DBCE是平行四边形， △BC=DE；

（2）四边形ADBE是菱形，理由如下： △BE是△ABC的中线， △EA=2AC，

111答案第12页，共18页

△BD=AC，

2△BD=AE， △BD△AC，

△四边形ADBE是平行四边形， △△ABC=90°， △AB△DE，

△四边形ADBE是菱形． 【点睛】

本题考查了平行四边形的判定、性质及菱形的判定，解题的关键是平行四边形的判定，本题中应用到了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 22．（1）见解析；（2）62或35 【解析】 【分析】

（1）根据同旁内角互补两直线平行求出BC//AD，再根据两直线平行，内错角相等可得

1CBEDFE，然后利用“角角边”证明BEC和FCD全等，根据全等三角形对应边相等

可得BEEF，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；

（2）分△BCBD时，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；△BCCD时，过点C作CGAF于G，判断出四边形AGCB是矩形，再根据矩形的对边相等可得AGBC3，然后求出DG2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四边形的面积列式计算即可得解；△BDCD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC2AD2，矛盾． 【详解】

解：（1）证明：AABC90，

BC//AD，

CBEDFE，

在BEC与FED中，

CBEDFEBECFED， CEDE答案第13页，共18页

BECFED，

BEFE，

又E是边CD的中点，

CEDE，

四边形BDFC是平行四边形；

（2）△BCBD3时，由勾股定理得，ABBD2AD2321222， 所以，四边形BDFC的面积32262；

△BCCD3时，过点C作CGAF于G，则四边形AGCB是矩形， 所以，AGBC3，

所以，DGAGAD312，

由勾股定理得，CGCD2DG232225， 所以，四边形BDFC的面积3535；

△BDCD时，BC边上的中线应该与BC垂直，从而得到BC2AD2，矛盾，此时不成立；

综上所述，四边形BDFC的面积是62或35．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）确定出全等三角形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．

23．（1）4；（2）点D（8﹣23，0）；（3）点D的坐标为（35﹣1，0）或（﹣35﹣1，0）． 【解析】 【分析】

（1）由点B的坐标知OA=8、AB=6、OB=10，根据折叠性质可得BA=BA′=6，据此可得答案；

答案第14页，共18页

（2）连接AA′，利用折叠的性质和中垂线的性质证△BAA′是等边三角形，可得△A′BD=△ABD=30°，据此知AD=ABtan△ABD=23，继而可得答案；

（3）分点D在OA上和点D在AO延长线上这两种情况，利用相似三角形的判定和性质分别求解可得． 【详解】

（1）如图1，由题意知OA=8、AB=6， △OB=10，由折叠知，BA=BA′=6， △OA′=10-6=4． 故答案为4；

（2）如图2，连接AA′． △点A′落在线段AB的中垂线上， △BA=AA′．

△△BDA′是由△BDA折叠得到的， △△BDA′△△BDA，

△△A′BD=△ABD，A′B=AB， △AB=A′B=AA′， △△BAA′是等边三角形， △△A′BA=60°， △△A′BD=△ABD=30°，

△AD=ABtan△ABD=6tan30°=23， △OD=OA﹣AD=8﹣23， △点D（8﹣23，0）；

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（3）△如图3，当点D在OA上时． 由旋转知△BDA′△△BDA， △BA=BA′=6，△BAD=△BA′D=90°． △点A′在线段OA的中垂线上， △BM=AN=OA=4，

△A′M=A'B2BM2=6242=25， △A′N=MN﹣A′M=AB﹣A′M=6﹣25，

由△BMA′=△A′ND=△BA′D=90°知△BMA′△△A′ND， 则

124A'MBM25==，即， DNA'NDN625解得：DN=35﹣5，

则OD=ON+DN=4+35﹣5=35﹣1， △D（35﹣1，0）；

△如图4，当点D在AO延长线上时，过点A′作x轴的平行线交y轴于点M，延长

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AB交所作直线于点N， 则BN=CM，MN=BC=OA=8，由折叠知△BDA′△△BDA， △BA=BA′=6，△BAD=△BA′D=90°． △点A′在线段OA的中垂线上， △A′M=A′N=MN=4，

则MC=BN=AB'2AN'2=25， △MO=MC+OC=25+6，

由△EMA′=△A′NB=△BA′D=90°知△EMA′△△A′NB， 则

4MEMA'ME==，即，

254A'NNB12解得：ME=8525，则OE=MO﹣ME=6+．

55 △△DOE=△A′ME=90°、△OED=△MEA′， △△DOE△△A′ME， DOOEDO==，即A'MME46△

255， 855解得：DO=35+1，则点D的坐标为（﹣35﹣1，0）． ． 综上，点D的坐标为（35﹣1，0）或（﹣35﹣1，0）

【点睛】

本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握折叠变换的性质、矩形的性质、

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相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点．

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