上海高二高中数学期末考试带答案解析

班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________

一、填空题

1.如果复数2.在二项式

（其中为虚数单位），那么的展开式中，含

（即的虚部）为__________。

的项的系数是 （用数字作答）.

的抛物线的标准方程为___________． ，则

的值是__________．

，它的一个焦点与抛物线

的焦点相同。

3.顶点在原点，以轴为对称轴且经过点4.双曲线5.已知双曲线

的一个焦点是

的一条渐近线方程是

则双曲线的方程为 。

6.某年级共有210名同学参加数学期中考试，随机抽取10名同学成绩如下：

则总体标准差的点估计值为 （结果精确到0.01）.

7.某展室有9个展台，现有3件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；

8.把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________. 9.若且，则的最大值是_______. 10.如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。已知镜口圆的直径为12

米,镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为________米.

11.△ABC的三个顶点A、B、C到平面的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且A,B,C在平面△ABC的重心到平面的距离为___________。 12.过点

且与双曲线

只有一个公共点的直线有 条。

的同侧，则

13.△ABC的三边长分别是3,4,5,P为△ABC所在平面外一点,它到三边的距离都是2,则P到的距离为_________.

14.如图，平面⊥平面，∩=，DA，BC，且DA⊥于A，BC⊥于B，AD=4，BC=8，AB=6，在平面内不在上的动点P，记PD与平面所成角为，PC与平面所成角为，若，则△PAB的

面积的最大值是 。

二、选择题

1.下列四个命题： ①满足

的复数只有1,I;

②若a,b是两个相等的实数,则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数; ③|z+|=2|z|;

④复数zR的充要条件是z=; 其中正确的有（ ） A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

2.平面A．

，直线，

，且，则与B．与斜交

（ ） C．

D．位置关系不确定

3.在正方体

的侧面

内有一动点

到直线

与直线

的距离相等,则动点

所在的曲

线的形状为 ( )

4.已知点A．

及抛物线

B．

，若抛物线上点满足C．

，则

的最大值为（ ）

D．

三、解答题

1.（本题满分12分）第一题满分5分，第二题满分7分． 已知复数，=2，是虚部为正数的纯虚数。 （1）求的模；（2）求复数。

2.（本题满分14分）第一题满分7分，第二题满分7分． 已知， （1）若

，求

的值；

（2）若，求中含项的系数；

3.（本题满分14分）第一题满分4分，第二题满分4分，第三题满分6分．

甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将4张扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。 （1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示），写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；

（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？

（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；若甲抽到的牌的牌面数字不比乙大，则乙胜。你认为此游戏是否公平，说明你的理由。

4.（本题满分16分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分6分． 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切。 （1）求动圆圆心的轨迹M的方程； （2）设过点P，且倾斜角为的直线与曲线M相交于A，B两点，A，B在直线上的射影是。求梯形

的面积；

（3）若点C是（2）中线段上的动点，当△ABC为直角三角形时，求点C的坐标。

5.（本题满分18分）第一题满分5分，第二题满分5分，第三题满分8分．

如图，有一公共边但不共面的两个三角形ABC和A1BC被一平面DEE1D1所截，若平面DEE1D1分别交AB,AC,A1B,A1C于点D,E,D1,E1。

（1）讨论这三条交线ED,CB, E1 D1的关系。

（2）当BC//平面DEE1D1时,求

的值;

（3）当BC不平行平面DEE1D1时,

的值变化吗？为什么？

上海高二高中数学期末考试答案及解析

一、填空题

1.如果复数【答案】－3 【解析】略

2.在二项式

的展开式中，含

的项的系数是 （用数字作答）.

（其中为虚数单位），那么

（即的虚部）为__________。

【答案】28 【解析】略

3.顶点在原点，以轴为对称轴且经过点【答案】【解析】略

4.双曲线【答案】－2 【解析】略

5.已知双曲线

则双曲线的方程为 。 【答案】

的抛物线的标准方程为___________．

的一个焦点是，则的值是__________．

的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。

【解析】略

6.某年级共有210名同学参加数学期中考试，随机抽取10名同学成绩如下：

则总体标准差的点估计值为 （结果精确到0.01）. 【答案】17.60 【解析】略

7.某展室有9个展台，现有3件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种； 【答案】60 【解析】略

8.把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________. 【答案】【解析】略 9.若且

，则的最大值是_______.

【答案】4 【解析】略

10.如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。已知镜口圆的直径为12

米,镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为________米.

【答案】6.5 m 【解析】略

11.△ABC的三个顶点A、B、C到平面的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且A,B,C在平面△ABC的重心到平面的距离为___________。 【答案】3, 【解析】略 12.过点

且与双曲线

只有一个公共点的直线有 条。

的同侧，则

【答案】4 【解析】略

13.△ABC的三边长分别是3,4,5,P为△ABC所在平面外一点,它到三边的距离都是2,则P到的距离为_________. 【答案】 【解析】略

14.如图，平面⊥平面，∩=，DA，BC，且DA⊥于A，BC⊥于B，AD=4，BC=8，AB=6，在平面内不在上的动点P，记PD与平面所成角为，PC与平面所成角为，若，则△PAB的

面积的最大值是 。

【答案】12

【解析】由条件可得：PB=2PA，即P到B的距离为到A的距离的2倍 在平面内以AB为轴，AB的中垂线为轴，建立平面直角坐标系 设P（，）则∴∴

∴平面

=

∴

内P点轨迹为以（

=

∴

+27=0

=16

，0）为圆心，4为半径的圆（与轴的交点除外）

=12

∴高的最大值为4， ∴面积的最大值为

二、选择题

1.下列四个命题： ①满足

的复数只有1,I;

②若a,b是两个相等的实数,则(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数; ③|z+|=2|z|;

④复数zR的充要条件是z=; 其中正确的有（ ） A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

【答案】B

【解析】【考点】复数的基本概念；充要条件；命题的真假判断与应用．

分析：对于①z=1，可判断错误；对于②找出反例a=b=0不满足题意，判定错误；③若z=i，则其不正确；对于④z= ，则其虚部为0，故正确．故可得答案． 解答：解：对于①有：z=1，±i不满足，可判断错误；

②（a-b）+（a+b）i=2ai，∴a=b≠0时，（a-b）+（a+b）i是纯虚数，错误； ③若z=i，则其不正确；

对于④z=，则其虚部为0，故正确； 故答案为④． 故选B．

点评：本题考查复数的基本概念、充要条件、命题的真假判断与应用，是基础题．

2.平面，直线，，且，则与（ ）

D．位置关系不确定 A．B．与斜交 C．

【答案】D

【解析】【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

分析：由面面垂直的性质知在其中一个平面内，垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，故只需取m垂直于α和β的交线，则b可为α内的任何一条直线，则b与β位置关系不确定 解答：解：设α∩β=c，当m⊥c时，由面面垂直的性质知m⊥α， 因为b?α，所以b⊥m，

所以b可为α内的任何一条直线， 所以b与β位置关系不确定 故选D

点评：本题考查空间的线面位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力．

3.在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点 所在的曲

线的形状为 ( )

【答案】B

【解析】【考点】曲线与方程．

分析：根据题意可知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，利用抛物线的定义推断出P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．看图象中，A的形状不符合；B的B点不符合；D的A点符合．从而得出正确选项．

解答：解：依题意可知P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，

根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分． A的图象为直线的图象，排除A．

C项中B不是抛物线的焦点，排除C． D项不过A点，D排除． 故选B．

点评：本题是基础题，考查抛物线的定义和考生观察分析的能力，数形结合的思想的运用，考查计算能力，转化思想．

4.已知点及抛物线，若抛物线上点满足，则的最大值为（ ） A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由题意可得

m2=。

故答案为C。

三、解答题

1.（本题满分12分）第一题满分5分，第二题满分7分． 已知复数，=2，是虚部为正数的纯虚数。 （1）求（2）∴=设复数

解之得∴

或

===

（

的模；（2）求复数

|=|

||

是虚部为正数的纯虚数

=

）

。 |=|

||

|=8；

【答案】解：（1）|

【解析】略

2.（本题满分14分）第一题满分7分，第二题满分7分． 已知， （1）若（2）若

【答案】解：（1）因为所以又所以

（2）

（1）-（2）得：所以：（2）因为所以中含

项的系数为

，

,

（1）

，求，求,

中含

项的系数；

的值；

【解析】略

3.（本题满分14分）第一题满分4分，第二题满分4分，第三题满分6分．

甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将4张扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。 （1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示），写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；

（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？

（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；若甲抽到的牌的牌面数字不比乙大，则乙胜。你认为此游戏是否公平，说明你的理由。

【答案】解：（1）甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4’表示，红桃2，红桃3，红桃 4分别用2，3，4表示）为：

（2，3）、（2，4）、（2，4’）、（3，2）、（3，4）、（3，4’）、 （4，2）、（4，3）、（4，4’）、（4’, 2）、（4’，3）（4’，4） 共12种不同情况

(没有写全面时：只写出1个不给分，2—4个给1分，5—8个给2分，9—11个给3分) （2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4’ 因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为

（3）由甲抽到的牌比乙大的有

（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4’，2）、（4’，3）5种， 甲胜的概率

，乙获胜的概率为

此游戏不公平。 【解析】略

4.（本题满分16分）第一题满分4分，第二题满分6分，第三题满分6分． 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切。 （1）求动圆圆心的轨迹M的方程； （2）设过点P，且倾斜角为的直线与曲线M相交于A，B两点，A，B在直线上的射影是

的面积；

（3）若点C是（2）中线段

上的动点，当△ABC为直角三角形时，求点C的坐标。

。求梯形

【答案】

解: （1）曲线M是以点P为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为（2）由题意得，直线AB的方程为

于是， A点和B点的坐标分别为A所以

（3）设C（－1，y）使△ABC成直角三角形，，，. (i) 当方法一：当即

方法二：当求得C点的坐标是(ii) 因为(iii) 当方法一：当时

为直角。

时，由几何性质得C点是时，

时，

为直角. C点的坐标是时，得直线AC的方程为

。

不可能为直角. 时，

，即

，

，

，

，B（3，

），

消y得

.

，所以，时，

，解得，此

方法二：当的中点，即C点的坐标是。

故当△ABC为直角三角形时，点C的坐标是或

【解析】略

5.（本题满分18分）第一题满分5分，第二题满分5分，第三题满分8分．

如图，有一公共边但不共面的两个三角形ABC和A1BC被一平面DEE1D1所截，若平面DEE1D1分别交AB,AC,A1B,A1C于点D,E,D1,E1。

（1）讨论这三条交线ED,CB, E1 D1的关系。

（2）当BC//平面DEE1D1时,求

的值;

（3）当BC不平行平面DEE1D1时,

的值变化吗？为什么？

【答案】（1）互相平行或三线共点。 当BC//平面DEE1D1时，

平面ABC平面DEE1D1=ED BC// ED,同理CB// E1 D1 ∴ED//CB// E1 D1

当BC不平行平面DEE1D1时, 延长ED、CB交于点H，

∴H∈EF ∵EF平面DEE1D1 ∴H∈平面DEE1D1 同理H∈平面A1BC

∴H∈平面DEE1D1∩平面A1BC

即H∈E1D1 ∴E1、D1、H三点共线 ∴三线共点

（2）解：∵BC//平面DEE1D1

且BC平面ABC，平面ABC∩平面DEE1D1=\"ED \" ∴BC∥ED，同理BC∥E1D1 在△ABC中，BC∥ED ∴∴

=

同理可得

=

=

=1

（3）解：

由（1）可得，延长ED、CB、E1D1交于点H， 过点B作BF∥AC，BG∥A1C ∵BF∥AC ∴同理可得

=

=

=

在△HCE中，BG∥CE1 ∴同理可得∴

的值不变化，仍为1 【解析】略

=

=

====1