数列基本量的运用

数列，特别是等差数列和等比数列，有着较为广泛的实际应用。例如，我国已颁布的供各种生产部门设计产品尺寸用的国家标准, 就是按等比数列对产品尺寸进行分级的；再如按揭购房已进入老百姓的日常生活领域，其中也要用到数列的知识。我们在解决等差数列等比数列问题时，常用的公式是等差数列的通项公式ana1(n1)d，前项和公式Snna1n(n1)d，及等比数列通项公式ana1qn1，前项和公式2a1(1qn)Sn(q1)。可以看出等差数列中a1,d，等比数列中a1,q作用非常重要，

1q在这里把它们叫做基本量。在等差、等比数列的通项公式与前n项和的公式中，涉及a1，an，n、d(或q)、Sn五个量之间的关系，我们常常要通过公式变形，用其中的已知量来表示未知量，在这个过程中，要注意等式的变形，避免在变形中出现错误。根据有关公式和已知条件求未知量的问题，实际上就是用方程或方程组的思想解决问题，要分析其中哪些是已知量、未知量，有几个未知量，能不能求解、怎样求解。这种思想在新教材中体现得较为充分，不少的例题、习题均属下述模式：已知数列满足某某条件，求这个数列。这类问题一般都要通过列出关于基本量方程或方程组，然后求解。用方程的观点认识等差、等比数列的基础知识、从本质上掌握公式.解决应用问题时, 应分清是等差数列问题,还是等比数列问题，抓住基本量,是解决等差数列和等比数列综合问题的关键。对于单纯的等差数列或等比数列问题，比较容易解决。但试题往往将等差数列与等比数列综合在一起，这样由于量比较多关系复杂，学生会顾此失彼，搞不清量与量之间的关系，思路不清。下面针对等差数列与等比数列综合题，说一说这种模式的题型如何用基本量方程或方程组的方法来解决。

一 审清题意：看清数列是什么数列，找出量与量之间的关系。 例1已知等差数列﹛an﹜中，a2是a1,a4的等比中项。求公比q。

分析：此题容易得出错解q=1，原因是学生一看求公比，就不看条件，直接认为数列是等比数列。而本题是等差数列中三项成等比数列问题，应用等差数列基本量表示出三项，再由等比中项列关系式。

解：设公差为d。由 a2a1d a4a13d

2 又 ∵ a2a1a4 ∴ (a1d)2a1(a13d)

可得 a1d ∴ a22a1 qa22 a1二 表示各个量：等差数列中的量用基本量表示，等比数列中的量用表示。根据条件列基本量方程组。

例2 ﹛an﹜是等比数列，是﹛bn﹜等差数列，且cnanbn，若cn的前三项是1，1，2，求﹛an﹜。

解析：此题涉及三个数列，cn是an，bn对应项的和。给出了的前三项，可以得出三个方程，然后求出﹛an﹜。

解：设﹛an﹜的首项为a1，公比为q。公差为d。

c1a1b1c3a3b3∴

a11由 c2a2b可得1qdq2,q0（舍去）

2q22dana1qn12n1

上例是比较简单的等差，等比综合题，只要将各量用基本量表示后即可根据量之间的关系列方程组解决问题。对于比较复杂的问题，处理方法也是如此，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清an和Sn，抓住基本量a1，d（q），再调用有关的概念和公式求解． 下举一例供参考

例3 已知数列｛an｝是公差不为零的等差数列，数列｛akn｝是公比为q的等比数列，且k1＝1，k2＝5，k3＝17，求k1+k2+k3+…+kn的值．

分析：此题目中抽象符号比较多，要分清｛akn｝与｛an｝的关系: 数列｛akn｝中的项是以数列｛an｝中抽出的部分项, 由已知条件k1＝1，k2＝5，k3＝17可以知道等差数列｛an｝中的 a1，a5，a17成等比数列 .而要求的k1+k2+k3+…+kn的值，实质上就是求数列｛kn｝的前n项和，要求｛kn｝的前n项和，就要确定数列｛kn｝的通项公式．应该从求等比数列｛akn｝的公比入手其公式为：a5a1．，而a5，a1要由等差数列｛an｝的通项公式来确定，

问题就转化成求等差数列中的公差d和a1了．由于a1，a5，a17成等比数列，则有（a1+4d）2

＝a1（a1+16d），从而an应该可以求出了．

解：设数列｛an｝的公差为d，d≠0，则a5＝a1+4d，a17＝a1+16d．

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因a1，a5，a17成等比数列，则（a1+4d）＝a1（a1+16d），即2d＝a1d． 又d≠0，则a1＝2d．所以

an＝a1+（n－1）d＝2d+（n－1）d＝（n+1）d． 因数列｛akn｝的公比为q，则q＝

n－1

n－1

n－1

a5(51)d3．所以 a1(11)dakn＝ak1·3＝a1·3＝2d·3．

n－1n－1

又akn＝（kn+1）d，则2d·3＝（kn+1）d．由d≠0，知kn＝2·3－1（n∈N+）．因 此k1+k2+k3+…+kn

012n－1

＝2·3－1+2·3－1+2·3－1+…+2·3－1．

012n－1

＝2（3+3+3+…+3）－n

3n1n ＝2·

31＝3－n－1．

此题的已知条件下，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，准确辨别数学符号，，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的．

通过上述例题我们可以发现等差数列和等比数列的综合问题，涉及的知识面很宽，题目的变化也很多，但是万变不离其宗，只要抓住基本量a1，d（q），充分运用方程、函数、转化等数学思想方法，合理调用相关知识，这样，任何问题都不能把我们难倒．

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