值域_求值域的方法大全及习题加详解

函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,

对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域

 常用求值域方法

（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。

y例1、求函数

1,x[1,2]x的值域。（）

例2、 求函数y3x的值域。（） 答案：值域是：[,3] 【同步练习1】函数y12x2的值域. （）

解：{y0

1y}

2（2）、配方法：二次函数或可转化为形如F(x)a[f(x)]2bf(x)c类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意f(x)的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

2yx2x5,xR的值域。（） 例1、求函数

2yx2x5,x[1,2]的值域。例2、求函数（） 2y(x1)4 ∵x[1,2] 解：将函数配方得：

由二次函数的性质可知：当x=1时，ymin4，当x1时，ymax8 故函数的值域是：[4，8]

例3、求y2log22x6log2x62log2x22。（）（配方法、换元法）

22解：„„„所以当x时，y有最小值-2。故所求函数值域为[-2，+∞）。

例4、设0≤x≤2，求函数f(x)432解：f(x)432xx1xx11

4

1的值域．

1(2x3)28，

∵0≤x≤2，∴≤2x≤4．

∴当2x3时，函数取得最小值8；当2x1时，函数取得最大值4， ∴函数的值域为[8，4]．

评注：配方法往往需结合函数图象求值域．

例5、求函数y2x34x13的值域。（）（配方法、换元法） 解：y114x624x134x1324x137 222177

4x1313，所以y，故所求函数值域为[ ，+∞]。 =

222例6、求函数y2x24x的值域。（）（配方法）

y0,2。

【同步练习2】（）

1、求二次函数yx4x2（x1,4）的值域. （）

2

2、求函数yex24x3的值域. （）

3、求函数y4x2x1,x[3,2]的最大值与最小值. （）

4、求函数ylog2

5、已知x0,2，求函数f(x)4

6、若x2y4,x0,y0,试求lgxlgy的最大值。（） 最大值lg2。

（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．

例1、求f(x)x1x的值域． 解：令1xt0，则x1t(t≥0)，

2x12xxlog2(x[1,8])的最大值和最小值. （） 2432x5的值域. （）

155f(x)f(1t2)1t2tt≤，

2442所以函数值域为，．

评注：利用引入的新变量t，使原函数消去了根号，转化成了关于t的一元二次函数，使问题得以解决．用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域． 小结：

【同步练习3】求函数yx12x的值域。 解：由12x0，得x541。令12xtt0 211t21t212tt11，因为t0，所以y。故所求函数值域为[- 得x，于是y22221

∞， ]。

2

例2、求函数yx1x2x2的值域。 解：设xsin，则 21112ysincossin2sin21cos2sin2。

22224所以

12121212，，故所求函数值域为y。

22222yx45x【同步练习4】求函数的值域。 2解：由5x0，可得|x|5

故可令x5cos,[0,]

y5cos45sin10sin()44

∵0

5444

当/4时，ymax410 当时，ymin45

故所求函数的值域为：[45,410]

小结：

【同步练习5】

1、求函数yx12x的值域. （）

2yx21(x1)2、求函数的值域。（） 21(x1)0 解：因2即(x1)1

故可令x1cos,[0,]

2∴ycos11cossincos1

2sin()14

∵

0,0544

2sin()12402sin()1124 故所求函数的值域为[0,12]

3、已知函数f(x)的值域为3,5，求函数yf(x)12f(x)的值域. （）

89

（4）、函数有界性法（方程法）

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。 我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例1、求函数ysinx3的值域。

sinx3解：因为sinx30，所以ysinx3ysinx3，则sinx3y1 1y由于sinx1，所以

113y11，解得2y。故所函数的值域为[-2，- ]。

221yx21求函数y2 的值域

x1x21y01y1y1 原函数的值域为11

例2、求函数y3sinx1的值域。

2cosx3解：因为2cosx30，所以2ycosx3y3sinx1， 即3sinx2ycosx3y1，所以

34y92sinx2y4y92cosx3y14y92，令

cos34y92，sin2y4y92得sinx3y14y92，

由

3y14y291，解得2y44

，故所函数的值域为[-2， ]。

55ex12sin12sin1yyyx1sin，1cos的值域. e1，【同步练习6】求函数

ex11yyxex01ye12sin11yy|sin|||1,1sin2y2sin1y2sin1y(1cos)1cos2sinycos1y4y2sin(x)1y,即sin(x)1y4y21y4y2又由sin(x)1知1

解不等式，求出y，就是要求的答案

（5）、数形结合法（函数的图像）：对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化．

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

2x2x3 (2≤x0)，例1、 求函数f(x)2x2x3 (0≤x≤3)的值

域．

分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域． 解：作图象如图所示．

数值的整体变

∵f(1)f(1)4，f(2)3，f(3)0，∴函数的最大值、最小值分别为0和4，即函数的

f(0)3，

值域为

[4，0]．

22y(x2)(x8)例2、 求函数的值域.

解：原函数可化简得：y|x2||x8|

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B(8)间的距离之和。 由上图可知，当点P在线段AB上时，y|x2||x8||AB|10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y|x2||x8||AB|10 故所求函数的值域为：[10,]

22例3、求函数yx6x13x4x5的值域.

解：原函数可变形为：

y(x3)2(02)2(x2)2(01)2

上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(2,1)的距离之和，

22由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin|AB|(32)(21)43，

故所求函数的值域为[43,]

22yx6x13x4x5的值域. 例4、求函数

2222y(x3)(02)(x2)(01)解：将函数变形为：

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(2,1)到点P(x,0)的距离之差。 即：y|AP||BP|

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P'，则构成ABP'，根据三角形两

22||AP'||BP'|||AB|(32)(21)26 边之差小于第三边，有

即：26y26

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有||AP||BP|||AB|26 综上所述，可知函数的值域为：(26,26]

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），(2,1)，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），(2,1)，在x轴的同侧。 【同步练习7】

1、求函数yx1x3的值域.

2、求函数yx3x1的值域.

3、求函数y

（6）均值不等式法：利用基本关系[f(x)]20,两个正数的均值不等式ab2ab在应用时要注意“一正二定三相等”；

3利用基本不等式ab2ab,abc3abc(a,b,cR)，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时

x24x5x24x8的值域. x22x5x22x2的最大值.

4、求函数fx要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

x22x2(x1)的值域 例1、求函数yx1(x1)211x12(x1) 解：原函数可化为 yx1x1 当且仅当x0时取等号，故值域为2,

例3、 求函数

y(sinx1212)(cosx)4sinxcosx的值域.

解：原函数变形为：

y(sin2xcos2x)1ces2xsec2x3tan2xcot2x33tan2xcot2x2511sin2xcos2x

当且仅当tanxcotx

即当

xk4时(kz)，等号成立

故原函数的值域为：[5,)

a1x2b1xc1（7）、根判别式法：对于形如y（a1，a2不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数2a2xb2xc2转化成关于x的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 如:

b型：直接用不等式性质k+x2bxb. y2型,先化简，再用均值不等式xmxnx11 例：y121+x2x+xx2mxnc.. y2型 通常用判别式xmxnx2mxnd. y型 xn 法一：用判别式a. y 法二：用换元法，把分母替换掉2x2x1（x+1）（x+1）+1 1 例：y（x+1）1211x1x1x1

1xx2例1、求函数y的值域． 21x解：原函数化为关于x的一元二次方程(y1)xxy10．

2（1）当y1时，xR，(1)24(y1)(y1)≥0，解得（2）当y1时，x0，而1，．

22故函数的值域为，．

2213≤y≤； 221313评注：①在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零；②使用此法须在xR或仅有个别值（个别值是指使分母为0的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的y值，若在求出的值域中则应除去此y1xx23)的值域，则不能使用此方法． 值）不能取的情况下，否则不能使用，如求函数y，x(2，1x2例2、求函数yxx(2x)的值域.

222x2(y1)xy0（1） 解：两边平方整理得：

∵xR

24(y1)8y0 ∴

解得：12y12

但此时的函数的定义域由x(2x)0，得0x2

222x2(y1)xy0在实数集R有实根，0由，仅保证关于x的方程：而不能确保其实根在区间[0，

2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的

132,2。 值域为可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0x2

yxx(2x)0

ymin0,y12代入方程（1）

x1解得：

222422[0,2]

22242x12即当时，

原函数的值域为：[0,12]

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

【同步练习8】

5x28x51、求函数y的值域. 2x1

2、求函数y

ax28xbx1的值域. x22x23、函数f(x)log3

4、设函数 yfx

x21的定义域为(,)，值域为[0,2]，求a,b的值.

axb的值域为 1,5，求a,b . 2x225、已知函数y=f(x)=2xbxcb0 的值域为[1,3],求实数b,c的值.

x21（8）、分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．

2x例1、求函数yx的值域．

212x(2x1)111解：yx． 212x12x1∵2x0，∴x11，∴∴111． 2x111∴10， ，2x12x1∴函数的值域为(0，1)．

求yx1的值域. x2x23311 ，可得值域yy1

x2x2axb(c0)，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为小结：已知分式函数ycxd解：（利用部分分式法）由yayy；

cadac(adbc)，如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为yccxdb用复合函数法来求值域。 （8）、倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

y例1、求函数

x2x3的值域.

x2x3x20时，1x21x2yx2yx20时，y=00y121x220y12

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，

首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，

一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 【例题综合分析】

例1、求下列函数的值域：

（1）y3x2x2； （2）yx26x5； （3）y3x1； x2（4）yx41x； （5）yx1x2； （6）y|x1||x4|；

1sinx2x2x22x2x11(x)； （9）y（7）y2； （8）y

2cosx2x12xx1解：

（1）法一：公式法（略）

法二：（配方法）y3xx23(x)∴y3xx2的值域为[221622323， 121223,)． 12【拓展】求函数y3x2x2，x[1,3]的值域．

解：（利用函数的单调性）函数y3xx2在x[1,3]上单调增， ∴当x1时，原函数有最小值为4；当x3时，原函数有最大值为26． ∴函数y3xx2，x[1,3]的值域为[4,26]．

2（2）求复合函数的值域：设x6x5（0），则原函数可化为y22．

又∵x6x5(x3)44，∴04，故∴yx26x5的值域为[0,2]． （3）（法一）反函数法：y22[0,2]，

3x12x1的反函数为y，其定义域为{xR|x3}，

x3x2∴原函数y3x1的值域为{yR|y3}． x23x13(x2)77， 3x2x2x2（法二）分离变量法：y∵

770，∴33， x2x2∴函数y3x1的值域为{yR|y3}． x22（4）换元法（代数换元法）：设t1x0，则x1t， ∴原函数可化为y1t24t(t2)25(t0)，∴y5， ∴原函数值域为(,5]．

说明：总结yaxbcxd型值域，变形：yax2bcx2d或yax2bcxd （5）三角换元法：∵1x01x1，∴设xcos,[0,]， 则ycossin22sin()

4∵[0,]，∴∴2sin(52[,]，∴sin()[,1]， 444424)[1,2]，

∴原函数的值域为[1,2]．

2x3(x4)(4x1)，∴y（6）数形结合法：y|x1||x4|52x3(x1)5，

∴函数值域为[5,)．

（7）判别式法：∵xx10恒成立，∴函数的定义域为R．

22x2x22由y2得：(y2)x(y1)xy20 ①

xx1①当y20即y2时，①即3x00，∴x0R

2②当y20即y2时，∵xR时方程(y2)x(y1)xy20恒有实根， 22∴(y1)4(y2)0，∴1y5且y2，

∴原函数的值域为[1,5]．

（8）y2xx1x(2x1)1111xx，

2x12x12x12x122212111111∵x，∴x0，∴x22(x)22x12(x1)22222，当且仅当x121时，即x2x12212时等号成立．∴y211，∴原函数的值域为[2,)． 22（9）（法一）方程法（函数有界性）：原函数可化为：sinxycosx12y，

2∴1ysin(x)12y（其中cos11y2,siny1y2），

∴sin(x)12y1y243[1,1]，∴|12y|1y2，∴3y24y0，∴0y4， 3∴原函数的值域为[0,]．

（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆x2y21上的点的连线的斜率的范围，解略． 例2、若关于x的方程(22|x3|)23a有实数根，求实数a的取值范围．（综合） 解：原方程可化为a(22|x3|)23， 令t2|x3|，则0t1，af(t)(t2)23，又∵af(t)在区间(0,1]上是减函数，

∴f(1)f(t)f(0)，即2f(t)1， 故实数a的取值范围为：2a1．

例3、 求函数

yx2x3的值域。（换元法、不等式法）

2解：令tx2(t0)，则x3t1

y（1）当t0时，

t111t21t120yt2 ，当且仅当t=1，即x1时取等号，所以

（2）当t=0时，y=0。

10,2 综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法

【拓展练习】（共11题，附答案） 一、选择题

1、下列函数中，值域是（0，+∞）的函数是 A．y111x1xxy() B． C． D．y()1y1235x122、已知f(x)2x36x2a（a是常数），在2,2上有最大值3，那么在2,2上的最小值是

A．5 B．11 C．29

D．37

3、已知函数yx22x3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 A、[ 1，+∞） B、[0，2] C、（-∞，2] D、[1，2]

4、（04年天津卷.文6理5）若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=

11 D. 425、（04年湖北卷.理7）函数f(x)axloga(x1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为

11（A） （B） （C）2 （D）4

42y2xy6、若x2y21，则的最小值是__________的最大值是______________

x134 A.

2 4B.

2 2C.

7、已知函数ylg(ax2x1)的值域为R，则实数a的取值范围是_____________ 8、下列函数的值域分别为：

（1） （2） （3） （4） . （1）y2eexx11 （2） y0.25x22x （3）y3xx （4）y3x25x42

2x2bxc(b0)的值域为[1,3]，求实数b,c的值。 9、已知函数f(x)2x1

210、已知二次函数f(x)axbx(a0)满足条件：f(5x)f(x3)且方程f(x)x 有等根，⑴ 求

f(x)的解析式；⑵ 是否存在实数m,n(mn)，使得f(x)的定义域为[m,n]，值域为[3m,3n]。

x22xa,x[1,) 11、已知函数f(x)x（1）

当a1时，求函数f(x)的最小值 ； 2（2）

若对任意x[1,)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围。

答案：同步练习 g3.1011函数的最值与值域 1—5、DDDAB 6、

35； 7、[0,1] 4128(1)(-1,1) (2)0,4 (3)R (4), 9、b2,c2 10(1)f(x)

52127xx (2)m4,n0 9(1) (3)a3 222x1、函数yx的值域为(0,1)．（分离常数法）

212、若函数f(x)logax在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a【拓展练习】（） 一、选择题

2（函数单调性法） 或2．

211 (x≤－)的值域是( )（函数单调性法）

2x77A.(－∞,－] B.［－,+∞)

443323C.［,+∞) D.(－∞,－32］

221、函数y=x+

2

2、函数y=x+12x的值域是( )（换元法）（配方法） A.(－∞,1] C.R

B.(－∞,－1] D.［1,+∞)

x

1、函数f(x)＝a+loga(x+1)在［0,1］上的最大值和最小值之和为a,则a的值为( )（） A.

11 B. C.2 D.4 422、函数y＝log2x+logx(2x)的值域是( ) （）

A.(-∞,-1］ B.［3,+∞) C.［-1,3］ D.(-∞,-1］∪［3,+∞)

2

3、已知f(x)是奇函数,且当x＜0时,f(x)＝x+3x+2.若当x∈［1,3］时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为( ) A.

931 B.2 C. D. 4444、把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是

( ) A.

332222

cm B.4 cm C.32 cm D.23 cm 22

5、在区间［1.5,3］上,函数f(x)＝x+bx+c与函数g(x)x1同时取到相同的最小值,则函数f(x)x1在区间［1.5,3］上的最大值为( )

A.8 B.6 C.5 D.4

222

6、若方程x+ax+b＝0有不小于2的实根,则a+b的最小值为( ) A.3 B.

19161718 C. D. 5557、函数f(x)|xn|的最小值为( )

n1A.190 B.171 C.90 D.45 8、设a＞1,函数f(x)＝logax在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为

1,则a等于( ) 2A.2 B.2 C.22 D.4 9、设a、b∈R,a+2b＝6,则a+b的最小值是( ) A.22 B.2

2

753 C.-3 D.

23x2y221(b＞0)上变化,则x2+2y的最大值为( ) 10、若动点(x,y)在曲线

4bb2b2b24,0b44,0b24 D.2b A.4 B.4 C.42b,b42b,b211、设a,b∈R,记max{a,b}＝a,ab,函数f(x)＝max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是_________.

b,ab.+

12、规定记号“Δ”表示一种运算,即ababab,a、b∈R.若1Δk＝3,则函数f(x)＝kΔx的值域是__________.

22

13、已知函数f(x)＝2+log3x,x∈［1,9］,则函数y＝［f(x)］+f(x)的值域为___________. 14、若变量x和y满足条件xy30,y则z＝2x+y的最小值为_______;的取值范围是_________.

xx2y0,15、求下列函数的值域:（）

2

(1)y＝x-4x+6,x∈［1,5); (2)y5x1;

4x2(3)y2xx1.

16、(2009山东烟台高三模块检测,20)设函数g(x)1312xaxbx(a,b∈R),在其图象上一点P(x,y)32处的切线的斜率记为f(x).

(1)若方程f(x)＝0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式;

22

(2)若g(x)在区间［-1,3］上是单调递减函数,求a+b的最小值.

【答案】

xx

1、解析:f(x)＝a+loga(x+1)是单调递增(减)函数〔原因是y＝a与y＝loga(x+1)单调性相同〕,且在［0,1］

0

上的最值分别在两端点处取得,最值之和为f(0)+f(1)＝a+loga1+a+loga2＝a, ∴loga2+1＝0.∴a

1

. 答案:B 2

2、解析:y＝log2x+logx(2x)＝log2x1log2x1log2x1.

log2xlog2x∵|log2x11||log2x|2,

log2x|log2x|∴log2x11∈(-∞,-1］∪［3,+∞).故选D.

log2x3、解析:设x＞0,则-x＜0,

22

∴f(x)＝-f(-x)＝-［(-x)+3(-x)+2］＝-x+3x-2.

31时f(x)max＝,当x＝3时f(x)min＝-2. 2419∴m≥且n≤-2.故m-n≥. 答案:A

44∴在［1,3］上,当x

4、解析:设其中一段长为3x,则另一段为12-3x,则所折成的正三角形的边长分别为x,4-x,它们的面积分别为

323323(4x)2,则它们的面积之和为Sx(4x)2 x,444433(2x28x16)[(x2)24],可见当x＝2时,两个正三角形面积之和的最小值为23 cm2. 42答案:D

5、解析:g(x)x12

1112(x1)13,当且仅当x＝2时,g(x)min＝3, x1x1∴f(x)＝(x-2)+3.

∴在区间［1.5,3］上,f(x)max＝f(3)＝4. 故选D.

2222

6、解析:将方程x+ax+b＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x＝0的方程,则a+b的几何意义为l上的

222

点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d的最小性知a+b≥d＝

(00x2x41)2(x21)22(x≥2), 2x1x1x12令u＝x+1,易知f(u)u2

1162(u≥5)在［5,+∞)上单调递增,则f(u)≥f(5)＝, u5∴a+b的最小值为

22

16.故选B. 57、解析:f(x)＝|x-1|+|x-2|+„+|x-9|+|x-10|+|x-11|+„+|x-18|+|x-19|, 由|a-b|≤|a|+|b|(当且仅当a·b≤0时取等号), 得|x-1|+|x-19|≥|x-1-x+19|＝18, |x-2|+|x-18|≥|x-2-x+18|＝16,„ |x-9|+|x-11|≥|x-9-x+11|＝2, |x-10|≥0.

上面各式当x＝10时同时取等号,

10(180)90. 答案:C

2118、解:由a＞1知f(x)为增函数,所以loga2a-logaa＝,即loga2＝,解得a＝4.所以选D.

22∴f(x)最小值为18+16+„+2+0＝

a2b21,故令a6cos,b3sin, 9、解析:∵63∴ab6cos3sin3sin().

∴a+b的最小值为-3. 答案:C

222

10、解析:令x＝2cosθ,y＝bsinθ,则x+2y＝4cosθ+2bsinθ＝-4sinθ+2bsinθ+4＝

b2bbbb2b22

-4(sin)+4+;当＜1即0＜b＜4时,x+2y取最大值4,此时sin;当1即b≥4

444444时,x+2y的最大值为2b,此时sinθ＝1.故选A.

11、解析:如右图所示,函数y＝max{|x+1|,|x-2|}的图象为图中实线部分,

2

∴max{|x+1|,|x-2|}的最小值为12、解析:由题意1k∴f(x)33. 答案: 22k1k3,解得k＝1,

x1x.

x1在［0,+∞)上递增,

而f(x)x∴f(x)≥1. 答案:［1,+∞)

13、解析:∵f(x)＝2+log3x,x∈［1,9］, ∴y＝［f(x)］+f(x)的定义域为2

2

1x9,1x9.2

解得1≤x≤3,即定义域为［1,3］. ∴0≤log3x≤1.

22

又y＝［f(x)］+f(x)

22

＝(2+log3x)+2+log3x

2

＝(log3x)+6log3x+6

2

＝(log3x+3)-3, ∵0≤log3x≤1, ∴6≤y≤13.

故函数的值域为［6,13］. 答案:［6,13］

14、解析:如图作出可行域,易知将直线DE:2x+y＝0平移至点A(2,1)时目标函数z＝2x+y取得最小值,

y表示可行域内点与原点连线的斜率,由图形知,直线从GH绕原点逆时针方向转动到xy11AB位置,斜率变得越来越大,故-1＝kGH＜≤kAB＝. 答案:5 (-1,］

22x即zmin＝2×2+1＝5,

15、解:(1)y＝x-4x+6＝(x-2)+2,

∵x∈［1,5),

∴由图象知函数的值域为{y|2≤y＜11}.

2

2

(2)y5x1

4x255(4x2)12 ＝44x257(4x2)2 ＝44x2＝

57. 42(4x2)∵

7≠0,

2(4x2)5. 45}. 4∴y≠

∴函数的值域为{y∈R|y≠

2

(3)令x1t,则x＝t+1(t≥0), ∴y＝2(t+1)-t＝2t-t+2＝2(t2

2

1215)+. 48∵t≥0, ∴y≥

15. 815,+∞). 82

∴函数的值域是［

16、解:(1)根据导数的几何意义知f(x)＝g′(x)＝x+ax-b,

2

由已知-2、4是方程x+ax-b＝0的两个实数, 由韦达定理,24a,

24b,a2,2∴f(x)＝x-2x-8. b8,(2)g(x)在区间［-1,3］上是单调减函数,

2

∴在［-1,3］区间上恒有f(x)＝g′(x)＝x+ax-b≤0,

2

即f(x)＝x+ax-b≤0在［-1,3］上恒成立,

f(1)0,ab1,这只需满足即可,也即

f(3)0b3a9,而a+b可视为平面区域2

2

ab1,内的点到原点距离的平方,其中点(-2,3)距离原点最近,∴当

b3a9,a2,22

时,a+b有最小值13. b3

【拓展练习】

x211、函数y2的值域是（ ）（）

x1 A．[-1，1] 2、若函数 A．3

B．[-1，1）

C．（-1，1]

D．（-1，1）

1（） f(x)(x1)21的定义域和值域都是[1,b],(b1)，则b的值为（ ）

2B．4

C．5

D．6

3、已知定义在闭区间[0,a]上的函数y=x-2x+3，若y的最大值是3，最小值是2，则a的取值范围是 . （）

2

5、函数y=x-2x+a在[0,3]上的最小值是4，则a= ；若最大值是4，则a= .

2x3x9的值域分别是集合P、Q，则（ ）

6、已知函数y（）（根判别法） ,y2x4x7x122

A．pQ

B．P=Q

C．PQ

D．以上答案都不对

7、函数y2x24x(x[0,4])的值域是（ ）（）（配方法）

A．[0，2]

B．[1，2]

C．[－2，2]

D．[－2，2]

8、若函数f(x)3x1的值域是{y|y0}{y|y4},则f(x)的定义域是( ) x13 A．[1,3] B．[1,1)(1,3] C．(,1]或[3,) D．[3,+∞)

339、求下列函数的值域：

3x5(x1) ②y=|x+5|+|x-6| ③y4x2x2 5x3x④yx12x ⑤y2

x2x4①y

10、设函数f(x)xx21. 4 （Ⅰ）若定义域限制为[0，3]，求f(x)的值域； （Ⅱ）若定义域限制为[a,a1]时，f(x)的值域为[11,]，求a的值. 216x2ax211、若函数f(x)2的值域为[－2，2]，求a的值.

xx1

一、选择题

x1．若函数y＝2的定义域是P＝{1,2,3}，则该函数的值域是 A．{2,4,6} B．{2,4,8}

C．{1,2，log32} D．{1,2，log23}

2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为 A．[a，b] B．[a＋1，b＋1] C．[a－1，b－1] D．无法确定 3．函数y＝

( )

( )

x(x>0)的值域是

x＋x＋1

2

( )

1

B．(0，)

3

11

C．(0，] D．[，＋∞)

33

2

4．函数y＝x－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( ) A．[1，＋∞) B．[0,2] C．(－∞，2] D．[1,2] A．(0，＋∞)

11

5．若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是( )

2f(x)

110A．[，3] B．[2，] 2351010C．[，] D．[3，]

233

x6．(2009·海南/宁夏高考)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为 ( ) A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题(每小题5分，共20分)

2x－5

7．函数y＝的值域是{y|y≤0或y≥4}，则此函数的定义域为__________．

x－3

34

8．已知f(x)的值域是[，]，g(x)＝f(x)＋1－2f(x)，则y＝g(x)的值域是__________．

899．函数f(x)＝x－2x＋2x－5x＋4的最小值为__________．

10．(2009·泉州质检)在实数的运算法则中，我们补充定义一种新运算“”如下：当a≥b时，ab＝a；

2

当a【答案】

xxx1、解析：由题意得，当x＝1时，2＝2，当x＝2时，2＝4，当x＝3时，2＝8，即函数的值域为{2,4,8}，故应选B. 答案：B

2、解析：∵函数y＝f(x＋1)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位得到的，其值域不改变，∴其值域仍为

[a，b]，故应选A. 答案：A

xx1111

3、解析：由y＝2(x>0)得0x＋x＋1x＋x＋11331

x＋＋12x·＋1x2

2

x选C.

4、解析：x＝1时，y取最小值2；令y＝3，得x＝0或x＝2.故1≤m≤2. 答案：D

11

5、解析：令t＝f(x)，则t∈[，3]，F(t)＝t＋，根据其图象可

2t当t＝1时，F(x)min＝F(t)min＝F(1)＝2；

10

当t＝3时，F(x)max＝F(t)max＝F(3)＝，

310

故其值域为[2，]． 答案：B

3x6、解析：令2＝x＋2⇒x1<0(舍)或x2＝2，

xx令2＝10－x即2＋x＝10，则22x－51

7、解析：y＝＝2＋，

x－3x－3

11即≤－2或≥2， x－3x－315由≤－2⇒≤x<3， x－321757由≥2⇒3知：

3438

8、解析：∵f(x)∈[，]，则2f(x)∈[，]，

8949

11

1－2f(x)∈[，]．

94

11

令t＝1－2f(x)∈[，]，

3222

1－t1－t则f(x)＝，g(x)＝＋t，

222

－t＋2t＋1

即g(x)＝，对称轴t＝1，

2117777

g(x)在t∈[，]上单调递增，g(x)∈[，]．答案：[，]

329898

x－2x≥0

9、解析：由2

x－5x＋4≥0

2

x≥2或x≤0，

⇒

x≥4或x≤1，

∴x≥4或x≤0.

又x∈[4，＋∞)时，f(x)单调递增⇒f(x)≥f(4)＝1＋22；而x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减⇒f(x)≥f(0)＝0＋4＝4.

故最小值为1＋22. 答案：1＋22 10、解析：

【拓展练习】 一、选择题

2

1.函数y＝x－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为 ( ) A.{－1,0,3} B.{0,1,2,3} C.{y|－1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}

22

2.若函数f(x)＝(a－2a－3)x＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的取值范围是( ) A.a＝－1或a＝3 B.a＝－1 C.a＝3 D.a不存在

x3.已知函数f(x)＝lg(4－x)的定义域为M，g(x)＝0.5－4的定义域为N，则M∩N＝( ) A.M B.N C.{x|2≤x<4} D.{x|－2≤x<4}

2

－x－3x＋4

4.(2009·江西高考)函数y＝的定义域为 ( )

xA.[－4,1] B.[－4,0) C.(0,1] D.[－4,0)∪(0,1]

11

5.若函数f(x)的值域为[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是 ( )

2f(x)

11051010A.[，3] B.[2，] C.[，] D.[3，] 23223

6.(2010·南通模拟)若函数y＝f(x)的值域是[1,3]，则函数F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是( ) A.[－5，－1] B.[－2,0] C.[－6，－2] D.[1,3]

二、填空题

2

ln(2＋x－x)

7.函数f(x)＝的定义域为 .

|x|－x8.函数的值域：y＝－x－6x－5为 .

2

4

9.已知函数f(x)＝－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a，b)

|x|＋2

共有 个.

三、解答题

10.求下列关于x的函数的定义域和值域： (1)y＝1－x－x；

2

(2)y＝log2(－x＋2x)； （3）

【答案】

2

1、解析：把x＝0,1,2,3分别代入y＝x－2x， 即y＝0，－1,3. 答案：A

a22a302、解析：依题意应有,解得a1. 答案：B

a303、解析：M＝{x|4－x>0}＝{x|x<4}， N＝{x|0.5x－4≥0}＝{x|x≤－2}， 则M∩N＝N. 答案：B

2

－x－3x＋4

4、解析：要使y＝有意义，

xx23x4≥0,只要

x0所以所求定义域为[－4,0)∪(0,1]. 答案：D

2

1111t－1

5、解析：令f(x)＝t，t∈[，3]，问题转化为求函数y＝t＋在[，3]的值域.又y′＝1－2＝2，当2t2tt111

t∈[，1]，y′≤0，y＝t＋为减函数， 在[1,3]，y′≥0，y＝t＋在[1,3]上为增函数，故t＝1时ymin

2tt10

＝2，t＝3时y＝为最大.

3

1110

∴y＝t＋，t∈[，3]的值域为[2，]. 答案：B

t23

6、解析：∵1≤f(x)≤3，∴1≤f(x＋3)≤3，

∴－6≤－2f(x＋3)≤－2，∴－5≤F(x)≤－1. 答案：A

21x2,2xx0,解得7、解析：由

x0,xx0,即－122

8、解析：设μ＝－x－6x－5(μ≥0)，则原函数可化为y＝μ.又∵μ＝－x－6x－5＝

2

－(x＋3)＋4≤4，

∴0≤μ≤4，故μ∈[0,2]，

2

∴y＝－x－6x－5的值域为[0,2]. 答案：[0,2]

44

9、解析：由0≤－1≤1，即1≤≤2得0≤|x|≤2，满足整数数对的有(－2,0)，

|x|＋2|x|＋2

(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个. 答案：5

10、解：（1）要使函数有意义，则1x≥0,∴0≤x≤1

x≥0,函数的定义域为[0,1].[来源:学科网] ∵函数y＝1－x－x为减函数， ∴函数的值域为[－1,1].

2(2)要使函数有意义，则－x＋2x>0，∴02又∵当x∈(0,2)时，－x＋2x∈(0,1]，

2∴log2(－x＋2x)∈(－∞，0]. 即函数的值域为(－∞，0].

(3)函数定义域为{0,1,2,3,4,5}， 函数值域为{2,3,4,5,6,7}.