大学物理第二版课后习题答案第七章

习题精解

7-1一条无限长直导线在一处弯折成半径为R的圆弧，如图所示，若已知导线中电流强度为I,试利用比奥—萨伐尔定律求：（1）当圆弧为半圆周时，圆心O处的磁感应强度；（2）当圆弧为1/4圆周时，圆心O处的磁感应强度。

解（1）如图所示，圆心O处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。因为圆心O位于直线电流AB和DE的延长线上，直线电流上的任一电流元在O点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB和DE段在O点不产生磁场。

根据比奥—萨伐尔定律，半圆弧上任一电流元在O点产生的磁感应强度为

0Idl4R2

dB方向垂直纸面向内。半圆弧在O点产生的磁感应强度为

0Idl0I0IR4R24R24R

BR0方向垂直纸面向里。

（2）如图（b）所示，同理，圆心O处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成。因为圆心O位于电流AB和DE的延长线上，直线电流上的任一电流元在O点产生的磁感应强度均为零，所以直线电流AB和DE段在O点不产生磁场。

根据毕奥—萨伐尔定理，1/4圆弧上任一电流元在O点产生的磁感应强度为

0Idl4R2

dB方向垂直纸面向内，1/4圆弧电流在O点产生的磁感应强度为

RB200Idl0IR0I224R4R28R

方向垂直纸面向里。

如图所示，有一被折成直角的无限长直导线有20A电流，P点在折线的延长线上，设a为，试求P点磁感应强度。

解 P点的磁感应强度可看作由两段载流直导线AB和BC所产生的磁场叠加而成。AB段在P点所产生的磁感应强度为零，BC段在P点所产生的磁感应强度为

0I(cos1cos2)4r0

B式中

12,2,r0a 。所以

0I(coscos)4.0105(T)4a02

B方向垂直纸面向里。

7-3 如图所示，用毕奥—萨伐尔定律计算图中O点的磁感应强度。

解 圆心 O处的磁感应强度可看作由3段载流导线的磁场叠加而成，

AB段在P点所产生的磁感应强度为

0Icos1cos24r0

B式中

10,26,r0r2 ，所以

B0I0I3cos0cos12r62r2

方向垂直纸面向里。

同理，DE段在P点所产生的磁感应强度为

0I530IBcos1cos2r62r2

圆弧段在P点所产生的磁感应强度为

230B0Idl0I20Ir4r24r236r

O点总的磁感应强度为

0I30I30IBB1B2B312r126r2r2

方向垂直纸面向里。

7-4 如图所示，两根长直导线沿半径方向接到粗细均匀的铁环上的A、B两点，并与很远处的电源相接，试求环中心O点的磁感应强度。

解 因为O点在两根长直导线上的延长线上，所以两根长直导线在O点不产生磁场，

设第一段圆弧的长为l1，电流强度为I1，电阻为R1，第二段圆弧长为l2，电流强度为I2，电阻为R2，因为1、2两段圆弧两端电压相等，可得

I1R1I2R2

1S，而同一铁环的截面积为S和电阻率是相同的，于是有

电阻

R I1l1I2l2

由于第一段圆弧上的任一线元在O点所产生的磁感应强度为

0I1dl4R2

方向垂直纸面向里。

dB1第一段圆弧在O点所产生的磁感应强度为

0I1dl0I1l124R4R2

B1l10

方向垂直纸面向里。

同理，第二段圆弧在O点所产生的磁感应强度为

0I2dl0I2l224R4R2

B2l20方向垂直纸面向外。

铁环在O点所产生的总磁感应强度为

0I1l10I2l20224R4R

BB1B27-5 在真空中有两根互相平行的截流长直导线L1和L2，相距0.1m，通有方向相反的电流I120A,I210A，如图所示，求L1,L2所决定的平面内位于L2两侧各距L2为0.05m的a,b两点的磁感应强度为B。

解 截流长直导线在空间产生磁感应强度为

0I2x

B长直导线在a,b两点产生磁感应强度为

B1a0I10I1,B1b20.0520.15

方向垂直纸面向里

长直导线L2在a,b两点产生的磁感应强度为

0I20I2,B2b20.0520.05

B2a长直导线L2在a点产生磁感应强度为

0I10I21.2104(T)20.0520.05

BaB1aB2a方向垂直纸面向里

在b点产生磁感应强度为

0I10I21.33105(T)20.1520.05

BbB1bB2b方向垂直纸面向外

7-6 如图（a）所示载流长直导线中的电流为I，求通过矩形面积CDEF的磁通量。

解 在矩形平面上取一矩形面元dSldx（如图（b））截流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为

0IIdS0ldx2x2x

dm通过矩形面积的总磁通量为

0IIlbldx0ln2x2a

mba7-7 一载流无限长直圆筒，内半径为a，外半径为b，传到电流为I，电流沿轴线方向流动，并均匀的分布在管的横截面上，求磁感应强度的分布。

解 建立如图所示半径为r的安培回路，由电流分布的对称性，L上各点B值相等，方向沿圆的切线，根据安培环路定理有

LB•dlcosdlBdlB2rI0LL

可得

B0I2r

其中I是通过圆周L内部的电流.

当ra时， I0,B0

当arb时，

0Ir2a2I(r2a2)I2,Bba22rb2a2

当rb时，

II,B0I2r

7-8 一根很长的电缆由半径为R1的导体圆柱，以及内外半径分别为R2和R3的同轴导体圆柱构成。电流I从一导体流出，又从另一导体流回，电流都沿轴线方向流动，并均匀分布在其横截面上，设r为到轴线的垂直距离，试求磁感应强度随r的变化。

解 由电流分布具有轴对称性，可知相应的磁场分布也具有轴对称性，根据安培环路定理，有

LB•dlbdlB2rI0L

可得

B0I2r

其中是通过圆周L内部的电流，

IrIr2I2,B02R12R1 当rR时，

当R1rR2时，

II,B0I2r

当R2rR3 时，

2220IR32r2I(r2R2)IR3rII2,B222R3R2R32R22rR32R2

当rR3时， I0,B0

7-9一根很长的同轴电缆，由一导线圆柱（半径为a）和一同轴的导线圆管（内、外半径分别为b、c）构成。使用时，电流I从一导体流出，从另一导体流回。设电流都是均匀分布在导体的横截面上，求：（1）导体圆柱内（r(4)电缆外（r>c）各点处磁感应强度的大小。

解 如图所示，由电流分布具有轴对称性可知，相应的磁场分布也具有轴对称性。根据安培环路定理有

LBdlBdlB2rI0L

可得

0IB2r

其中I是通过圆周L内部的电流

IrIr2I2,B02a2a （1）当ra时，

（2）当arb时，

II,B0I2R

（3）当brc时，

Ir2b2c2b2Ic2r2c2b2II0IR32r2,B22rR32R2

（4）当rR3时， I0,B0

7-10 一载有电流I7.0A的硬导线，转折处为半径为r0.10m的四分之一圆周ab。均匀外磁场的大小为B1T，其方向垂直于导线所在的平面，如图所示，求圆弧ab部分所受的力。

解 在圆弧ab上取一电流元Idl，此电流元所受安培力为

dFIdlB 把dF沿轴正交分解，有图有

dFxdFcosBIcosdl

dFydFsinBIsindl

由于dlRd，所以

dFxBIcosRd 因此

dFyBIsinRd

FxdFxBIR

FydFyBIR

整个圆弧ab所受的安培力为

FFxiFyjBIRiBIRj

7-11 用铅丝制作成半径为R0.05m的圆环，圆环中载有电流I7A，把圆环放在磁场中，磁场的方向与环面垂直，磁感应强度的大小为1.0T，试问圆环静止时，铅丝内部张力为多少

解 如图所示，整个圆环所受的合力为零，圆环静止不动。欲求圆环内部任意一点的张力，可把圆环沿直径分为左右两部分，其中左半部分所受的安培力为，而左半部分又保持静止不动，则必有

BI2R2T 铅丝内部张力T为

TBIR0.35(N)

7-12 通以电流I的导线abcd形状如图所示，abcdl,bc弧是半径为R的半圆周，置于磁感应强度为B的均匀磁场中，B的方向垂直纸面向里。求此导线受到的安培力的大小和方向。

解 建立如图所示的坐标系。由安培定理得两线段和受力大小相等，方向相反，二力合力为零，导线所受力即为半圆弧所受力。

在bc弧上任取一电流元Idl，其受力为

dFIdlB 由对称性可知

FxdFx00FydFyBIRsind2BIR00

导线所受力F2BIRj

7-13 直径d0.02m的圆形线圈，共10匝，通以0.1A的电流时，问：（1）它的磁矩是多少 （2）若将该线圈置于1.5T的磁场中，它受到的最大磁力矩是多少

解 （1）载流圆形线圈的磁矩大小为

0.0242mNIS100.13.110(A•m)2

2（2）线圈置于的磁场中，它受到的最大磁力矩是

MmaxmB3.11041.54.7104(N•m2)

7-14 一电子动能为10eV，在垂直于匀强磁场的平面内做圆周运动，已知磁感应强

4度B1.010T，试求电子的轨道半径和回旋周期。

解 电子的轨道半径

mvReB2mBeB29.10938981031101.610190.11(m)1.610191.0104

电子回旋周期

2m3.6107(s)eB

T7-15 正电子的质量和电量都与电子相同，但它带的是正电荷，有一个正电子在

3B0.10T的均匀磁场中运动，其动能为Ek2.010eV，它的速度v 与B成60°角。试求该

正电子所做的螺旋线的运动的周期、半径和螺距。

解 将分解为平行和垂直与B的分量，有

vvsinsin60vvcoscos602Ekm2Ekm

回旋周期

T2R2m3.61010(s)veB

螺旋线的半径为

mv1.3103(m)eB

螺旋线的螺距为

R

hvT4.7103(m)

7-16 如图所示，一块长方形半导体样品放在xy面上，其长、宽和厚度依次沿x,y和z轴的方向，沿轴方向有电流通过，在轴方向加有均匀磁场。现测得

a1.0cm,b0.35cm,d0.10cm,I1.0mA,B0.30T

。在宽度为0.35cm，两侧的电势差UAA6.55mV。（1）试问这块半导体是正电荷导电（P型）还是负电荷导电（N型）（2）试求载流子的浓度。

解 （1）这块半导体是正电荷导电（P型）。

利用霍尔公式可得

IB2.91020(m3)qdUAA

n

7-17 螺绕环中心周长10cm，环上均匀密绕线圈200匝，线圈中通有电流0.1A。若管内充满相对磁导率r4200的均匀磁介质，则管内的B和H的大小各是多少

解 以 螺绕环中心为轴，作半径的圆周。根据磁介质中的安培环路定理，有

所以

LH•dlIi1NiNI

NI2000.1200(A•m1)2r0.1B=H=41074200200=1.06(T) H=7-18 一无限长圆柱形直导线外包一层磁导率为的圆筒形磁介质，导线半径为R1，磁介质的外半径为R2导线内，有电流I通过，且电流沿导线横截面均匀分布。求磁介质内外的磁场强度和磁感应强度的分布。

解 以圆柱形直导线中心为轴，作半径为的圆周。

根据磁介质中的安培环路定理，有

LH•dlI

当rR1时，

0Irr2IrI=2I,H=,B=R12R122R12

IR当rR2时， 2r2r

I=I,H=I0I2r,B=2r