人教版初三数学上册教案全册

河北张家口市下花园中学

初中 九 年级（ 上 册）

教 案

科目 数 学 教师

中 数 组

2011~2012 学年 上 学期

2011 -2012 学年度 上 学期 数学 学科教学进度表

周别 教学内容（课或章或单元） 二次根式3 二次根式的乘法3、加减2 二次根式的加减1、第21章复习3 一元二次方程2、解一元二次方程3 解一元二次方程5 实际问题与一元二次方程5 第22章复习与检测5 图形的旋转3、中心对称2 中心对称1、 图案设计1、 第23章复习与检测3 圆3、与圆有关的位置关系2 与圆有关的位置关系4 正多边形和圆2、弧长和扇形面积3 第24章复习与检测 阶段复习与段考5 随机事件与概率5 用列举法求概4、用频率估计概率1 用频率估计概率1、课题学习2,、 第25章复习与检测 期末复习 期末复习 期考、评卷、工作总结

教学活动 时数 备注 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 中秋放假 运动会 国庆放假 校庆

课题 教 学 目 标 §21.1二次根式（概念及基本性质） 1． 了解二次根式的概念及基本性质． 课型 新知课3课时 2． 经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生概括、归纳能力． 3． 通过对二次根式概念和基本性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力. 4． 学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的乐趣，并提高应用的意识. 教学重点 二次根式的概念和基本性质. 二次根式基本性质的灵活应用. 教学难点 教具准备 主要教学过程 【活动1】 学生根据所学知识填写课本第2页“思考”栏目，教师提问： ⑴所填的结果有什么特点？ ⑵平方根的性质是什么？ ⑶如果把上面所填的式子叫做二次根式，那么你能用数学符号表示二次 根式吗？ （学生可能碰到的困难：①是否会想到用字母表示数；②是否能概括出a≥0这一教 条件.） （备用问题）议一议： 学 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 过 3．当a<0，a有意义吗？ 程 1例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、、x（x>0）、x个人修改 已知：反比例函数y=3，那么x它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是_________． 2、x、-2、0、0、42、-2、1、xy（x≥0，y•≥0）． xyxy x≥例2 当x是多少时，3x1在实数范围内有意义？ 【巩固练习】 1.课本第3页练习1、2、3 2.课本第3页“思考”栏目 【拓展应用】 1 3例3 当x是多少时，2x3+（答案：当x≥-1在实数范围内有意义？ x131且x≠-1时，2x3+在实数范围内有意义．） 2x12x的值．(答案:) 5y 例4 (1)已知y=2x+x2+5，求

(2)若a1+b1=0，求a2011+b2011的值．(答案:0) 【归纳小结】 本节课要掌握： 1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 1．A 2．D 3．B 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 【作业设计一】 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．-7 B．37 C．x D．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A．4 B．16 C．8 D． 1 x1．a（a 3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A．5 B．5 C．≥0） 2．a 3．没有 1 D．以上皆不对 5 二、填空题 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当x是多少时， 1. 52. x>-x≠0 3且2 3.2x32+x在实数范围内有意义？ x1 3 3．若3x+x3有意义，则x2=_______． 2 4.使式子(x5)有意义的未知数x有（ ）个． 4．B 5．a=5，b=-4 A．0 B．1 C．2 D．无数 5.已知a、b为实数，且a5+2102a=b+4，求a、b的值． 【活动2】 问题：比较a与0的大小. 结论： a（a≥0）是一个非负数．即a≥0. a具有双重非负性. 【做一做】根据算术平方根的意义填空： （4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______； （1272）=______；（）=_______；（0）2=_______． 32

结论： （a）2=a（a≥0） 例1 计算 1．（325272 ） 2．（35）2 3．（） 4．（）226【巩固练习】 计算下列各式的值：www.xkb1.com （18）2 （2272 92） （） （0）2 （4）438(35)2(53)2 【拓展应用】例2 计算 1．（x1）2（x≥0） 2．（a2）2 3．（a22a1）2 4．（4x212x9）2 例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 【归纳小结】 本节课应掌握： 1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）=a（a≥0）;反之:a=（a）（a≥0）． 22【作业设计二】 一、选择题 1．下列各式中15、3a、b21、a2b2、m220、144，二次根式的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0 二、填空题 1．（-3）2=________． 2．已知x1有意义，那么是一个_______数． 三、综合提高题 1．计算 （1）（9）2 （2）-（3）2 （3）（ (5) (2332)(2332)

12（-36）2 （4）22 ）3

2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）3．已知xy1+1 （4）x（x≥0） 6x3=0，求xy的值． 4．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5 【活动3】问题：填空 122=_______；0.012=_______；()2=______； 10 23()2=________；02=________；()2=_______． 37 （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： 123123 22=2；0.012=0.01；()2=；()2=；02=0；()2=．10371037 因此，一般地：a2=a（a≥0） 例1 化简 22 （1）9 （2）(4) （3）25 （4）(3) 2解：（1）9=32=3 （2）(4)=42=4 2（3）25=52=5 （4）(3)=32=3 【巩固练习】 教材P5练习2． 【应用拓展】 例2 填空：当a≥0时，a2=_____；当a<0时，a2=_______，•并根据这一性质回答下列问题． （1）若a2=a，则a可以是什么数？ （2）若a2=-a，则a可以是什么数？ （3）a2>a，则a可以是什么数？ 分析：∵a2=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就2不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，a2=(a)，那么-a≥0．

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知a2=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为a2=a，所以a≥0；新 课 标 第 一 网 （2）因为a2=-a，所以a≤0； （3）因为当a≥0时a2=a，要使a2>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，a2=-a，要使a2>a，即使-a>a，a<0综上，a<0 22例3当x>2，化简(x2)-(12x)． 【归纳小结】本节课应掌握： a2=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，a2＝－a的应用拓展． 【作业设计三】 一、选择题 1．(2)(2)的值是（ ）． A．0 B．13213222 C．4 D．以上都不对 332 2．a≥0时，a2、(a)、-a2，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）． 22 A．a2=(a)≥-a2 B．a2>(a)>-a2 22 C．a2<(a)<-a2 D．-a2>a2=(a) 二、填空题 1．-0.0004=________． 2．若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________． 三、综合提高题 1．先化简再求值：当a=9时，求a+12aa2的值，甲乙两人的解答如下： 2 甲的解答为：原式=a+(1a)=a+（1-a）=1； 2乙的解答为：原式=a+(1a)=a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a│+a2000=a，求a-19952的值．

23. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+(x3)+x210x25。 教后反思： 课题 教 学 目 标 §21.2二次根式的乘除（一） 课型 新知课 理解a²b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a²b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简 由具体数据，发现规律，导出a²b＝ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，得出ab=a²b（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．

教学重点 教学难点 ，ab=a²b（a≥0，b≥0）及它们的运用． a²b＝ab（a≥0，b≥0）发现规律，导出a²b＝ab（a≥0，b≥0）．X k b 1 . c o m 教具准备 主要教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空 （1）4³9=_______，49=______； （2）16³25=_______，1625=________． （3）100³36=________，10036=_______． 教 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 学 4³9_____49，16³25_____1625， 过 36________10036 程 2．利用计算器计算填空 个人修改 100³ （1）2³3______6，（2）2³5______10， （3）5³6______30，（4）4³5______20， （5）7³10______70． 老师点评（纠正学生练习中的错误） 二、探索新知 （学生活动）让3、4个同学上台总结规律． 老师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数 相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为 a²b＝ab．（a≥0，b≥0） 反过来: ab=a²b（a≥0，b≥0） 例1．计算 11 （1）5³7 （2）³9 （3）9³27 （4）³6 32 分析：直接利用a²b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可．

解：（1）5³7=35 （2）11³9=9=3 33（3）9³27=927923=93 （4）11³6=6=3 22 例2 化简 （1）916 （2）1681 （3）81100 22（4）9xy （5） 分析：利用ab=a²b（a≥0，b≥0）直接化简即可． 解：（1）916=9³16=3³4=12 （2）1681=16³81=4³9=36 （3）81100=81³100=9³10=90 22 （4）9xy=32³x2y2=32³x2³y2=3xy （5）=96=32³6=36 三、巩固练习 （1）计算（学生练习，老师点评） ① 16³8 ②36³210 ③5a²20; 18; 24; 1ay 5(2) 化简: ; 12a2b2 教材P11练习全部 四、应用拓展 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）(4)(9)49 （2）4121212³25=4³³25=4³25=412=83 252525 解：（1）不正确．

（2）不正确． 12112112改正：4³25=³25=25=112=167＝47 252525 五、归纳小结 本节课应掌握：（1）a²b＝ab=（a≥0，b≥0），ab=a²b（a ≥0，b≥0）及其运用． 第一课时作业设计 一、选择题 1．若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm，•那么此直角 三角形斜边长是（ ）． 改正：(4)(9)=49＝4³9=2³3=6 A．32cm B．33cm C．9cm D．27cm 2．化简a 1．B 2．C 3.A 4.D 1的结果是（ ）． a A．a B．a C．-a D．-a 3．等式x1x1x21成立的条件是（ ） A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．下列各等式成立的是（ ）． A．45³25=8 5 B．53³42=205 C．43³32=75 D．53³42=206 二、填空题 1．1014=_______． 1 2．自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体 2下落的高度为720m，则下落的时间是_________． 三、综合提高题 1．一个底面为30cm³30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？ 2．探究过程：观察下列各式及其验证过程． 1．136 2．12s 1．设：底面正方形铁桶

22 （1）2=2 332222223(232)22验证：2=2³== 33333223222(221)2== 2222232121212133 （2）3=3 88验证：3的底面边长为x， 则x2³10=30³30³20，x2=30³30³2， x=302 333333=32³== 88321833 33(321)33(321)3== 32228313131 同理可得：4444 1515 555，„„ 52424a=_______（a>0）,并验证你的结论． a21 通过上述探究你能猜测出： a答案: 2． aaa= a22a1a1aaa32验证：a=a2 a21a1a21=a3aaa3aaa21a21a21=a(a21)aa21a21=a a. a21教后反思：

课题 教 学 目 标 理解§21.2二次根式的乘除（二） 课型 新知课 aaaa=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算． bbbb 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简． 理解教学重点 教学难点 教具准备 aaaa=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． bbbb发现规律，归纳出二次根式的除法规定．X|k |b| 1 . c|o |m 主要教学过程 个人修改

教 学 过 程 【课堂引入】（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空 （1） 169916=________，=_________； （2）=________，=________； 361636163436=________，=_________； （4）=________，=________． 81168116169491_____；_____；______；361616 3616163636_____． 8181（3）规律： 3．利用计算器计算填空: （1）3227=_________，（2）=_________，（3）=______，（4）=________． 4358 规律：32273227______；_______；_____；_____. 43584358【探索新知】 一般地，对二次根式的除法规定： aaaa=（a≥0，b>0），反过来，=（a≥0，b>0） bbbb下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 【例题讲解】 例1．计算：（1）311112 （2） （3） （4） 2841683 分析：上面4小题利用 例2．化简： aa=（a≥0，b>0）便可直接得出答案． bb3b25x9x （1） （2） （3） （4） 2229a169yy 分析：直接利用aa=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的． bb【随堂练习】新-课-标-第-一-网 教材P14 练习1． 【应用拓展】

x25x49x9x例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值． 2x1x6x6分析：式子 答案:6 aa=，只有a≥0，b>0时才能成立． bb因此得到9-x≥0且x-6>0，即60）和=（a≥0，b>0）及其运用． bbbb【课后练习】 一、选择题 1．计算121312． 1的结果是（ ）35 A．2722 5 B． C．2 D．772．阅读下列运算过程： 13322525， 35333555 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简结果是（ ）． A．2 B．6 C． 2的6136 D．6 教后反思： 课题 课型 新知课 §21.2二次根式的乘除（三） 教 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 学 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否目 满足最简二次根式的要求． 标 教学重点 最简二次根式的运用．

会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学难点 教具准备 主要教学过程 个人修改 【课堂引入】请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 153 =，553328 1．计算（1），（2），（3） 5272a 632 =，2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•273 那么它们的传播半径的比是_________． 【探索新知】 82a = a观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 2a教 1．被开方数不含分母； 学 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2Rh1 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 2Rh2过 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式． 程 学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书． 老师点评：不是． h1h22Rh12Rh1h1=. 2Rhhh2Rh2222 【例题讲解】 5244223例1．(1) 3; (2) xyxy; (3) 8xy 12 例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长． 【随堂练习】教材P14 练习2、3 【应用拓展】 例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二 次根式： 11(21)21==2-1， 2121(21)(21)11(32)32==3-2， 3232(32)(32) 同理可得：1=4-3，„„ 43 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （1111+++„„）（2002+1）的值． 20022001213243

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的． 解：原式=（2-1+3-2+4-3+„„+2002-2001）³（2002+1） =（2002-1）（2002+1） =2002-1=2001 【归纳小结】 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 【课后练习】 一、选择题 1．如果x（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． yxyx（y>0） B．xy（y>0） C．（y>0） D．以上yy A．都不对 2．把（a-1）1中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）． a1 A．a1 B．1a C．-a1 D．-1a 3．在下列各式中，化简正确的是（ ） A．151=315 B．=±2322 C．a4b=a2 b D． x3x2=xx1 教后反思： 课题 教 学 目 标 课型 新知课 §21.3二次根式的加减（一） 理解和掌握二次根式加减的方法． 先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．

教学重点 二次根式化简为最简根式． 会判定是否是最简二次根式． 教学难点 教具准备 主要教学过程 【课堂引入】 学生活动：计算下列各式． 3 （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合 并就是字母不变，系数相加减． 【探索新知】 学生活动：计算下列各式． 教 （1）22+32 （2）28-38+58 学 （3）7+27+397 （4）33-23+2 老师点评： 过 （1）如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题吗？ 程 22+32=（2+3）2=52 （2）把8当成y； 28-38+58=（2-3+5）8=48=82 （3）把7当成z； 7+27+9个人修改 7 =27+27+37=（1+2+3）7=67 （4）3看为x，2看为y． 33-23+2 =（3-2）3+2 =3+2 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的． （板书）32+8=32+22=52

33+27=33+33=63 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【例题讲解】 例1．计算 （1）8+18 （2）16x+x 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52 （2）16x+x=4x+8 例2．计算 （1）348-9x=（4+8）x=12x 1+312 3 （2）（48+20）+（12-5） 解：（1）348-91+312=123-33+63=（12-3+6）3=153 3 （2）（48+20）+（12-5）=48+20+12-5 =43+25+23-5=63+5 【随堂练习】教材P19 练习1、2． 【应用拓展】 例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2x9x+y23y1x2）-（x-5x）的值． 3xxy2 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）+（y-3）2=0，即x=1，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，2•再合并同类二次根式，最后代入求值． 解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0 ∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 ∴x=1，y=3 22x9x+y23 原式=yx21-x+5x xxy3

=2xx+xy-x =xx+6xy 当x=x+5xy 1，y=3时， 21132³+6=+36 2224 原式=【归纳小结】 本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并． 【课后练习】 一、选择题 1．以下二次根式：①12；②22；③2；④27中，与3是同类二次3根式的是（ ）． A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④ 2．下列各式：①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④24=22，其中错误的有（ ）． 3 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题 1．在8、122175a、9a、125、3a3、30.2、-2中，与3a33a8是同类二次根式的有________． 2．计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是________． 三、综合提高题 1．已知5≈2.236，求（80-1到0.01） 41445）的值．）-（3+（结果精确555教后反思：

课题 课型 新知课 §21.3二次根式的加减（二） 教 运用二次根式、化简解应用题． 学 通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题． 目 标 教学重点 利用二次根式化简的数学思想解应用题． 讲清如何解答应用题既是本节课的难点. 教学难点 教具准备 主要教学过程 个人修改 【课堂引入】 上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步， 先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并， 下面我们讲三道例题以做巩固． 【探索新知】【例题讲解】 例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米 /•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点 C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用教 最简二次根式表示） 分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角学 形面积公式就可以求出x的值． 解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米． C过 则有PB=x，BQ=2x 1程 依题意，得：x²2x=35 Q2 x2=35 APB x=35 所以35秒后△PBQ的面积为35平方厘米． 22 PQ=PBBQx24x25x2535=57 答：35秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为57厘米． 例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？ 分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度． 解：由勾股定理，得 AB=AD2BD2422220=25 BC=BD2CD22212=5 所需钢材长度为

AB+BC+AC+BD =25+5+5+2 =35+7 ≈3³2.24+7≈13.7（m） 答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材． 【随堂练习】教材P19 练习3 【应用拓展】 例3．若最简根式3ab4a3b与根式2ab2b36b2是同类二次根式，求a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式） 分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式2ab2b36b2不是最简二次根式，因此把2ab2b36b2化简成|b|²2ab6，才由同类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b． 解：首先把根式2ab2b36b2化为最简二次根式： 2 2ab2b36b2=b(2a16)=|b|²2ab6 由题意得4a3b2ab6 3ab2 ∴2a4b6 3ab2 ∴a=1，b=1 【归纳小结】 本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 【课后练习】 一、选择题X|k |b| 1 . c|o |m 1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式） A．52 B．50 C．25 D．以上都不对 2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．（结果同最简二次根式表示） A．13100 B．1300 C．1013 D．513

教后反思： 课题 课型 新知课 §21.3二次根式的加减（三） 教 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 学 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 目 标 教学重点 二次根式的乘除、乘方等运算规律； 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学难点 www.xkb1.com 教具准备 主要教学过程 【课堂引入】 请同学们完成下列各题: 1．计算 （1）（2x+y）²zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式 ³单项式；（2）单项式³多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）教 平方差公式的运用． 【探索新知】 学 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成 立． 过 整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切， •当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 程 例1．计算: （1）（6+8）³3 （2）（46-32）÷22 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律． 解：（1）（6+8）³3=6³3+8³3 =18+24=32+26 解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22 =23-个人修改 3 2 例2．计算 （1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7） 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍

然成立． 解：（1）（5+6）（3-5） =35-（5）2+18-65 =13-35 （2）（10+7）（10-7）=（10）-（7） =10-7=3 22 【随堂练习】课本P20练习1、2． 【应用拓展】 xbxa例3．已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0， ba化简x1xx1x+，并求值． x1xx1x（x1-x）=1，因此对代数式的化简，可先x） 分析：由于（x1+将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可． (x1x)2(x1x)2解：原式=+ (x1x)(x1x)(x1x)(x1x)(x1x)2(x1x)2=+ (x1)x(x1)x =（x+1）+x-2x(x1)+x+2x(x1) =4x+2 ∵xbxa=2- ba ∴b（x-b）=2ab-a（x-a） ∴bx-b2=2ab-ax+a2 ∴（a+b）x=a2+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b）2 ∵a+b≠0 ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b）+2 【归纳小结】 本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 【课后练习】

教后反思：

课题 教 学 目 标 §22.1 一元二次方程（一） 课型 新知课 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．态度、情感、价值观 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 教学重点 教学难点 教具准备 主要教学过程 【课堂引入】 学生活动：列方程． 问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，•两隅 相去适一丈，问户高、广各几何？” 大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，•那么门 的高和宽各是多少？ 如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，•根据题意， •得________． 教 整理、化简，得：__________． ACCB问题（2）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． 学 ABAC 过 AB Cwww.czsx.com.cn 如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________． 程 整理得：_________． 个人修改 问题（3）有一面积为m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m， 恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____， 根据题意，得：_______． 整理，得：________． 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理． 【探索新知】 学生活动：请口答下面问题． （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？ 老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 【例题讲解】 例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等． 解：去括号，得： 40-16x-10x+4x2=18 移项，得：4x2-26x+22=0 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22． 例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式． 解：去括号，得： x2+2x+1+x2-4=1 移项，合并得：2x2+2x-4=0 其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4． 【随堂练习】 教材P 练习1、2 【应用拓展】 例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可． 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）2≥0 ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程． 【归纳小结】 本节课要掌握： （1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用． 【课后练习】 教后反思：

课题 课型 新知课 §22.1 一元二次方程（二） 教 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具学 体问题． 目 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概标 念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题． 判定一个数是否是方程的根； 教学重点 由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学难点 教具准备 主要教学过程 个人修改 【课堂引入】 学生活动：请同学完成下列问题． 问题1．如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距 离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？ _ 10 设梯子底端距墙为xm，那么， _ 8 根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________． 教 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 „ 学 问题2．一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，•苗圃的长和宽各 过 是多少？ 设苗圃的宽为xm，则长为_______m． 程 根据题意，得________． 整理，得________． 列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【探索新知】 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2•中一元二次方程的解是多 少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 22 老师点评：（1）问题1中x=6是x-36=0的解，问题2中，x=10是x+2x-120=0 的解． （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12 的解． 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．

回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是－6，但-6不满足题意； 同理，问题2中的x=-12的根也满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根， 并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 【例题讲解】 例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根． 例2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 解：（1）移项得x2= 根据平方根的意义，得：x=±8 即x1=8，x2=-8 （2）移项、整理，得x2=2 根据平方根的意义，得x=±2 即x1=2，x2=-2 （3）因为x2-3x=x（x-3） 所以x2-3x=0，就是x（x-3）=0 所以x=0或x-3=0 即x1=0，x2=3 分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义． 【随堂练习】 教材P 思考题 练习1、2． 【应用拓展】 例3．要剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，•这块铁片应该怎样剪？ 设长为xcm，则宽为（x-5）cm 列方程x（x-5）=150，即x2-5x-150=0 请根据列方程回答以下问题： （1）x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由． （2）完成下表： 分析：x2-5x-150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和八年级 x 10 11 12 13 14 15 16 17 „ 上册的整式2x-5x-150 中的分解因 （3）你知道铁片的长x是多少吗？ 式的方法去 解：（1）x不可能小于5．理由：如果x<5，则宽（x-5）<0，不合题意． 求根，•但 x不可能等于10．理由：如果x=10，则面积x2-5x-150=-100，也不可能． 是我们可以（2） 用一种新的 x 10 11 12 13 14 15 16 17 „„ 方法──2x-5x-150 -100 -84 -66 -46 -24 0 26 „„ “夹逼”方 （3）铁片长x=15cm 法求出该方【归纳小结】 程的根． 本节课应掌握： （1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处；

（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根； （3）要会用一些方法求一元二次方程的根． 【课后练习】 教后反思： 课题 课型 新知课 §22.2.1 直接开平方法 教 理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 学 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意出这个方程，然后目 知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程． 标 运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 教学重点 教学难点 教具准备 通过根据平方根的意形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意形如（x+m）2=n（n≥0）的方程． 主要教学过程 个人修改

教 学 过 程 【课堂引入】学生活动：请同学们完成下列各题 问题1．填空 （1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2． 问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？ 老师点评： p2p 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（） ． 22 问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2 则PB=x，BQ=2x 1_Q 依题意，得：x²2x=8 2 x2=8 _ PA _ _ B 根据平方根的意义，得x=±22 即x1=22，x2=-22 1 可以验证，22和-22都是方程x²2x=8的两根，但是移动时间不能是负 2 值． 2 所以22秒后△PBQ的面积等于8cm． 【探索新知】 上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±22，如果x换 元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±22 即2t+1=22，2t+1=-22 11 方程的两根为t1=2-，t2=-2- 22分析：很清【例题讲解】 2例1：解方程：x+4x+4=1 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=±1 即x+2=1，x+2=-1 所以，方程的两根x1=-1，x2=-3 例2．市计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年2楚，x+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为2（x+2）=1．

人均住房面积增长率． 解：设每年人均住房面积增长率为x， 则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接开平方，得1+x=±1.2 即1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%． （学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”． 分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10【随堂练习】教材P 练习 （1+x）+10【应用拓展】 例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、（1+x）三月份营业额平均增长率是多少？ x=10（1+x）2 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x． 那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）当成一个数，配方得： 分析：设13该公司二、 （1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56 三月份营业22333额平均增长 x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6 率为x，•222 方程的根为x1=10%，x2=-3.1 那么二月份 因为增长率为正数， 的营业额就 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%． 应该是（1+x），三【归纳小结】 月份的营业2由应用直接开平方法解形如x=p（p≥0），那么x=±p转化为应用直接开平方法额是在二月份的基础上2解形如（mx+n）=p（p≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的． 再增长的，应是（1+x）【课后练习】 2． 教后反思：www.xkb1.com 课题 课型 新知课 §22.2.2 配方法（一） 教 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 学 通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，•引入不目 能直接化成上面两种形式的解题步骤． 标 讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤． 教学重点 不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 教学难点

教具准备 主要教学过程 【课堂引入】 （学生活动）请同学们解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可 得 x=±p或mx+n=±p（p≥0）． 如：4x2+16x+16=（2x+4）2 教 【探索新知】 列出下面二个问题的方程并回答： 学 （1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？ （2）能否直接用上面三个方程的解法呢？ 过 问题1：印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，•八 分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共程 多少，两队猴子在一起”． 大意是说：一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的1的平方，另一队猴8子数是12，那么猴子总数是多少？你能解决这个问题吗？新 课 标 第 一 网 问题2：如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？ www.czsx.com.cn 老师点评：问题1：设总共有x只猴子，根据题意，得： x=（1x）2+12 8 整理得：x2-x+768=0 问题2：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=500 整理，得：x2-36x+70=0 （1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有． （2）不能． 既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化： x2-x+768=0 移项→ x=2-x=-768 两边加（2）使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2-x+322=-768+1024 2左边写成平方形式 → （x-32）2=•256 •降次→x-32=±16 即 x-32=16或

个人修改

【例题讲解】 例1．按以上的方程完成x2-36x+70=0的解题． 2222 老师点评：x-36x=-70，x-36x+18=-70+324，（x-18）=2，x-18=±2， x-18=2或x-18=-2，x1≈34，x2≈2．新|课|标|第|一|网 可以验证x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合题意，所以道路的宽应 为2． 例2．解下列关于x的方程 x-32=-16 解一次方程→x1=48，x2=16 可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子． （1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0 分析：（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（2）同上． 【随堂练习】教材P38 讨论改为课堂练习，并说明理由． 教材P39 练习1 2．（1）、（2）． 【应用拓展】 例3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B•两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，•几秒后△PCQ•的面积为Rt△ACB面积的一半． 分析：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．•根据已知列出等式． 解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． _ P111 根据题意，得：（8-x）（6-x）=³³8³6 222 整理，得：x2-14x+24=0 （x-7）2=25即x1=12，x2=2 _ C x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去． 所以2秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半． _ Q_ B 【归纳小结】 本节课应掌握： 左边不含有x的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程． 【课后练习】 教后反思： 课题 课型 新知课 §22.2.2 配方法（二） 了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 教 学 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目． 目

标 讲清配方法的解题步骤．新课标第一网 教学重点 把常数项移到方程右边后，•两边加上的常数是一次项系数一半的平方． 教学难点 教具准备 主要教学过程 个人修改 【课堂引入】 解下列方程： （1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0 解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9 x-4=±3即x1=7，x2=1 （2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22 2 （x+2）=3即x+2=±3 教 x1=3-2，x2=-3-2 【探索新知】 学 像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方 法． 过 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次 方程来解． 程 例1．解下列方程 （1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来 完成，即配一个含有x的完全平方． 解：（1）移项，得：x2+6x=-5 配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4 由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5 （2）移项，得：2x2+6x=-2 二次项系数化为1，得：x2+3x=-1 3335 配方x2+3x+（）2=-1+（）2（x+）2= 2224 355353 由此可得x+=±，即x1=-，x2=-- 222222 （3）去括号，整理得：x2+4x-1=0 移项，得x2+4x=1 配方，得（x+2）2=5 x+2=±5，即x1=5-2，x2=-5-2 【随堂练习】教材P 练习 2．（3）、（4）、（5）、（6）． 【应用拓展】 例2．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6 www.xkb1.com 解：设6x+7=y 分析：因为如果

1111 则3x+4=y+，x+1=y- 22661111 依题意，得：y2（y+）（y-）=6 2266 去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72， y4-y2=72 122）= 24117 y2-=± 22 （y2- y2=9或y2=-8（舍） ∴y=±3 当y=3时，6x+7=3 6x=-4 x=-展开（6x+7）2，那么方程就变得很复杂，如果把（6x+7）看为一个数y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=121，2（6x+7）+2 3x+1=（6x+7）-165 325 所以，原方程的根为x1=-，x2=- 33【归纳小结】 本节课应掌握： 当y=-3时，6x+7=-3 6x=-10 x=- 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤． 1，因此，方6程就转化为y•的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法． 【课后练习】 答案: 一、1．D 2．B 3．B 二、1．1，-5 2．正 3．x-y=三、1．（1）y2-2y-5 44413=0，y2-2y=，（y-1）2=， 999y-1=±131313，y1=+1，y2=1- 333 （2）x2-23x=-3 （x-3）2=•0，x1=x2=3 2．（x+2）2+（y-3）2=0，x1=-2，y2=3， ∴原式=268 13133．（1）设每件衬衫应降价x元，则（40-x）（20+2x）=1200， x2-30x+200=0，x1=10，x2=20 （2）设每件衬衫降价x元时，商场平均每天赢利最多为y， 则y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250 ∵-2（x-15）2≤0， ∴x=15时，赢利最多，y=1250元． 答：略 教后反思：

课题 课型 新知课 §22.2.3 公式法 了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 教 理解一元二次方程求根公式的推导过程，学 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的目 推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 标 求根公式的推导和公式法的应用． 教学重点 一元二次方程求根公式法的推导． 教学难点 教具准备 主要教学过程 个人修改 【课堂引入】用配方法解下列方程 （1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52 ⑴x1=1 1 总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． x2= （1）移项； 6 （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； 2 （4）原方程变形为（x+m）=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，分析：因为教 则一元二次方程无解． 前面具体数 字已做得很【探索新知】 学 如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步多，我们现 在不妨把a、骤求出它们的两根，请同学完成下面这个问题． 过 问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根b、c•也当 成一个具体22程 x=bb4ac，x=bb4ac 数字，根据122a2a上面的解题 解：略 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac步骤就可以一直推下去． bb24ac≥0时，•将a、b、c代入式子x=就得到方程的根． 2a （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． （1）x1=【例题讲解】 例1．用公式法解下列方程． （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 26226 21 3x2= （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 （2）x1=2，x2=-【随堂练习】教材P 练习1．（1）、（3）、（5） 【应用拓展】

（3）x1=

例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）xm22+（m-2）x-1=0提出了下列问题． （1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程． （2）若使方程为一元二次方程m是否存在？若存在，请求出． 你能解决这个问题吗？ 解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2 m2=1 m=±1 当m=1时，m+1=1+1=2≠0 当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去） ∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0 a=2，b=-1，c=-1 b2-4ac=（-1）2-4³2³（-1）=1+8=9 x=1113，6x2=1113 6 ⑷无实数根 (1)913 2241 21． 2 x1=1，x2=- 因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=- （2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0 所以m=0满足题意． ②当m2+1=0，m不存在． ③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0 所以m=-1也满足题意． 当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0， 解得：x=-1 当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0 解得x=-1 31． 3 因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-【归纳小结】本节课应掌握： （1）求根公式的概念及其推导过程； （2）公式法的概念； （3）应用公式法解一元二次方程； （4）初步了解一元二次方程根的情况． 【课后练习】

教后反思： 课题 §22.3 实际问题与一元二次方程(1) 课型 新知课 教 掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题． 学 通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建目 立数学模型，并利用它解决实际问题． 标 用“倍数关系”建立数学模型 教学重点 用“倍数关系”建立数学模型 教学难点 教具准备 主要教学过程 个人修改 【课堂引入】问题1：列方程解应用题 下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果 时的价格）： 星期 一 二 三 四 五 甲 12元 12.5元 12.9元 12.45元 12.75元 乙 13.5元 13.3元 13.9元 13.4元 13.75元 某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不 计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，•星期三比星期 教 二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？ 老师点评分析：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙 学 股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户 总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比 过 星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式． 解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张． 程 x1000(股)0.5x(0.2)y200 则 解得 y1500(股)0.4x0.6y1300 答：（略） 【探索新知】 上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？请同学们完成下面问题． （学生活动）问题2：某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？ 老师点评分析：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．•因为一月份是1万台，那么二月份应是（1+x）台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即（1+x）+（1+x）x=（1+x）2，那么就很容易从第一季度总台数列出等式． 解：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）

2•=3.31 去括号：1+1+x+1+2x+x2=3.31 整理，得：x2+3x-0.31=0 解得：x=10% 答：（略） 以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型． 【例题讲解】 例1．某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系． 解：设平均增长率为x 则200+200（1+x）+200（1+x）2=950 整理，得：x2+3x-1.75=0 解得：x=50% 答：所求的增长率为50%． 【随堂练习】 （1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米? （2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________． 【应用拓展】 例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率． 分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x²80%；第二次存，本金就变为1000+2000x²80%，其它依此类推． 解：设这种存款方式的年利率为x 则：1000+2000x²80%+（1000+2000x²8%）x²80%=1320 整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0 解得：x1=-2（不符，舍去），x2=答：所求的年利率是12．5%． 1=0.125=12.5% 8【归纳小结】 本节课应掌握： 利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它． 【课后练习】

教后反思： 课题 §22.3 实际问题与一元二次方程(2) 课型 新知课 教 掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题． 学 复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法． 目 标 如何全面地比较几个对象的变化状况． 教学重点 某些量的变化状况，不能衡量另外一些量的变化状况． 教学难点 教具准备 主要教学过程www.xkb1.com 个人修改

教 学 过 程 【课堂引入】 问题：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，•商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元? 解：设每张贺年卡应降价x元, 则（0.3-x）（500+ 解得：x=0.1 答：每张贺年卡应降价0.1元． 老师点评：总利润=每件平均利润³总件数．设每张贺年卡应降价x元，•则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+100x）=120 0.1【例题讲解】 刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?即绝对量与相对量之间的关系． 例1．某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，•那么商场平均每天可多售出34•张．•如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大． 解：（1）从“复习引入”中，我们可知，商场要想平均每天盈利120元，甲种贺年卡应降价0.1元． （2）乙种贺年卡：设每张乙种贺年卡应降价y元， x0.1³100） 分析：原来，两种贺年卡平均每天的盈利一样多，都是150元；y 则：（0.75-y）（200+³34）=120 0.253 即（-y）（200+136y）=120 4 整理：得68y2+49y-15=0 y=0.30.751000.10.2534，从这些数目看，•好象两种贺年卡每张降价的绝对量一样大，下面我们就通过解题来说明这个问题． 4981 新课标第一网 268 ∴y≈-0.98（不符题意，应舍去） ∴ y≈0.23元 答：乙种贺年卡每张降价的绝对量大． 因此，我们从以上一些绝对量的比较，不能说明其它绝对量或者相对量也有同样的变化规律． 例2．两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t•乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t•乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大? 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x， 则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元． 依题意，得5000（1-x）2=3000 解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去） 设乙种药品成本的平均下降率为y． 则：6000（1-y）2=3600

老师点评： 绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-300

整理，得：（1-y）2=0.6 解得：y≈0.225 新 课 标 第 一 网 答：两种药品成本的年平均下降率一样大． 因此，虽然绝对量相差很多，但其相对量也可能相等． 【随堂练习】 新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，•平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，•商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少? 【应用拓展】 例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润． （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式． （3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少? 解：（1）销售量：500-5³10=450（kg）；销售利润：450³（55-40）=450³15=6750元 （2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000 （3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000 解得：x1=80，x2=60 当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意． 当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）． 0）÷2=1000元，•乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，•乙种药品成本的年平均下降额较大． 相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题． 【归纳小结】本节课应掌握： 建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状 况的问题． 【课后练习】 教后反思： 课题 课型 新知课 §22.3 实际问题与一元二次方程(3) 教 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 学 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题． 目 标

根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题． 教学重点 根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． 教学难点 教具准备 主要教学过程 个人修改 【课堂引入】 1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？ 2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？ 3．梯形的面积公式是什么？ 4．菱形的面积公式是什么？X|k |b| 1 . c|o |m 5．平行四边形的面积公式是什么？ 6．圆的面积公式是什么？ 【例题讲解】 教 现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题． 例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，学 •上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ 过 （2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，程 •渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模． 解：（1）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m 1 依题意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6 2 整理，得：5x2+6x-8=0 4 解得：x1==0.8m，x2=-2（舍） 5 ∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m． 1.6750 （2）=25天 48 答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道． 例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正是一个与整 个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四 分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确 到0.1cm）？ 老师点评：依据题意知：矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，• 由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm， •则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：矩形的长为（27-18x）cm，宽 为（21-14x）cm． 1 因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的，则矩形的面积是封面面积 4 的． 所以（27-18x）（21-14x）=3³27³21 4

整理，得：16x2-48x+9=0 解方程，得：x=633， 4 x1≈2.8cm，x2≈0.2 所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm 因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm． 【巩固练习】 有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺） 【应用拓展】 例3．如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A•开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．X|k |b | 1 . c |o |m （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2． （2）如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C•后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使△PCQ的面积等于12.6cm2．（友情提示：过点Q•作DQ⊥CB，垂足为D，则：DQCQ） ABACCCQQDPAA(a)B(b) www.czsx.com.cn2www.czsx.com.cn 分析：（1）设经过x秒钟，使S△=8cm，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面PBQPB积公式便可得到一元二次方程的数学模型． （2）设经过y秒钟，这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2．因为AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根据三角形的面积公式即可建模． 解：（1）设x秒，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2． 则：1（6-x）²2x=8 2 整理，得：x2-6x+8=0 解得：x1=2，x2=4 ∴经过2秒，点P到离A点1³2=2cm处，点Q离B点2³2=4cm处，经过4秒，点P到离A点1³4=4cm处，点Q离B点2³4=8cm处，所以它们都符合要求． （2）设y秒后点P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，点Q在CA上移动，且使CQ=（2y-8）cm，过点Q作DQ⊥CB，垂足为D，则有 ∵AB=6，BC=8

DQCQ ABAC

∴由勾股定理，得：AC=6282=10 6(2y8)6(y4) 10516(y4) 则：（14-y）²=12.6 25 ∴DQ= 整理，得：y2-18y+77=0 解得：y1=7，y2=11 即经过7秒，点P在BC上距C点7cm处（CP=14-y=7），点Q在CA上距C点6cm处（CQ=•2y-8=6），使△PCD的面积为12.6cm2． 经过11秒，点P在BC上距C点3cm处，点Q在CA上距C点14cm>10， ∴点Q已超过CA的范围，即此解不存在． ∴本小题只有一解y1=7． 【归纳小结】 本节课应掌握： 利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 【课后练习】 一、选择题 1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）． A．37 B．5 C．38 D．7 2．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（ ）． A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m; B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m; C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m; D．以上都不对 3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）． A．8cm B．cm C．8cm2 D．cm2 二、填空题 1．矩形的周长为82，面积为1，则矩形的长和宽分别为________． 2．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________． 3．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．

三、综合提高题 1．如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽3m，背水坡度为1：2，迎水坡度为1：1，若坝长30m，完成大坝所用去的土方为4500m2，问水坝的高应是多少?（说明：•背水坡度CF1DE1）=，迎水坡度（精确到0.1m） BF2AE1DCA 2．在一块长12m，宽8m的长方形平地，划出地方砌一个面积为8m2•的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少? 3．谁能量出道路的宽度: 如图22-10，有矩形地ABCD一块，要在修一矩形花辅EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，•只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度? 请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行． EFB www.czsx.com.cnDHGCEF 教后反思：

B Awww.czsx.com.cn

课题 课型 新知课 §22.3 实际问题与一元二次方程(4) 教 掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题． 学 通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题． 目 标 通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题． 教学重点 建模． 教学难点 教具准备 主要教学过程 复习引入 （老师口问，学生口答）路程、速度和时间三者的关系是什么？ 探究新知新 课 标 第 一 网 我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程＝速度³时间”来建立一 元二次方程的数学模型，并且解决一些实际问题． 请思考下面的二道例题． 例1．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）•之间的关 系为：•s=10t+3t2，那么行驶200m需要多长时间? 教 分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把s=200•代 入求关系t的一元二次方程即可． 学 解：当s=200时，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0 20 解得t=（s） 过 320 答：行驶200m需s． 程 3个人修改 例2．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，•紧急刹车 后汽车又滑行25m后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）•从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）? 分析：（1）刚刹车时时速还是20m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．•因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为200=10m/s，那么根据：路程=速度³时间，便可求出所求的时间． 2 （2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可． （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．•由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度³时间，便可求出x的值． 解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是

200=10（m/s） 2 那么从刹车到停车所用的时间是25=2.5（s） 1020=8（m/s） 2.5 （2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20 从刹车到停车每秒平均车速减少值是 （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s 则这段路程内的平均车速为 所以x（20-4x）=15 整理得：4x2-20x+15=0 解方程：得x=20(208x)=（20-4x）m/s 2510 2 x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s） 答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s． 巩固练习 （1）同上题，求刹车后汽车行驶10m时约用了多少时间．（精确到0.1s） （2）刹车后汽车行驶到20m时约用了多少时间．（精确到0.1s） 应用拓展 例3．如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，•在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：•小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． （1）小岛D和小岛F相距多少海里? （2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，•那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里） ADBEFC www.czsx.com.cn 分析：（1）因为依题意可知△ABC是等腰直角三角形，△DFC也是等腰直角三角形，AC可求，CD就可求，因此由勾股定理便可求DF的长． （2）要求补给船航行的距离就是求DE的长度，DF已求，因此，只要在Rt△DEF中，由勾股定理即可求． 解：（1）连结DF，则DF⊥BC ∵AB⊥BC，AB=BC=200海里． ∴AC=2AB=2002海里，∠C=45°

∴CD=1AC=1002海里 2 DF=CF，2DF=CD ∴DF=CF=22CD=³1002=100（海里） 22 所以，小岛D和小岛F相距100海里． （2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里， EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2=1002+（300-2x）2 整理，得3x2-1200x+100000=0 解这个方程，得：x1=200-1006≈118.4 3 x2=200+1006（不合题意，舍去） 3 所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里． 归纳小结 本节课应掌握： 运用路程＝速度³时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题． 布置作业 1．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，•则这个两位数为（ ）． A．25 B．36 C．25或36 D．-25或-36 2．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超过3km以后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计），某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程（ ）． A．正好8km B．最多8km C．至少8km D．正好7km 二、填空题 1．以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标，抛出的距离s（单位：m）v2•与标出手的速度v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s=+2 9.8 如果抛出40m，那么标出手时的速度是________（精确到0.1） 2．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，•通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下：X k b 1 . c o m 时间t（s） 1 2 3 4 „„ 距离s（m） 2 8 18 32 „„ 写出用t表示s的关系式为_______． 三、综合提高题 1．一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后

小球停下来． （1）小球滚动了多少时间? （2）平均每秒小球的运动速度减少多少? （3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）? 教后反思：

课题 23.1 图形的旋转（1） 课型 新知课 教 1.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问学 题． 目 2. 通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用标 概念解决一些实际问题． 教学重点 旋转及对应点的有关概念及其应用． 从活生生的数学中抽出概念． 教学难点 教具准备 主要教学过程 个人修改 【复习引入】（学生活动）请同学们完成下面各题． 1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D， 作出平移后的图形． 2．如图，已知△ABC和直线L， 请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′． 3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ 教 （口述）老师点评并总结： （1）平移的有关概念及性质． 学 （2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）•的对称图形并口述它既有的一些 性质． 过 （3）什么叫轴对称图形？ 【探索新知】 程 我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定 的，下面我们就来研究． 1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？•从现 在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？www.xkb1.com （口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．•如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度． 2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老师点评略） 3．第1、2两题有什么共同特点呢？ 共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度． 像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 【例题讲解】 下面我们来运用这些概念来解决一些问题． 例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？

（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ 解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角．www.xkb1.com （2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置． 例2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形． （1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ （2）请画出旋转中心和旋转角． （3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？ （老师点评） （1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（2）•画图略．（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H． 最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，•但旋转角和对应点都是不唯一的． 【随堂练习】 教材P65 练习1、2、3． 【应用拓展】 例3．两个边长为1的正方形，如图所示，•让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为1，现把其中一个正方形固定不动，•另4一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？•说明理由． 分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，•要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△OEE`=S△ODD`，那么只要说明△OEF′≌△ODD′． 解：面积不变． 理由：设任转一角度，如图所示． 在Rt△ODD′和Rt△OEE′中 ∠ODD′=∠OEE′=90° ∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOE OD=OD ∴△ODD′≌△OEE′ ∴S△ODD`=S△OEE` ∴S四边形OE`BD`=S正方形OEBD= 14 【归纳小结】 本节课要掌握： 1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念． 2．旋转的对应点及其它们的应用． 【课后练习】 1．教材P66 复习巩固1、2、3． 2．《同步练习》

教后反思： 课题 23.1 图形的旋转（2） 课型 新知课 教 1.理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；理解旋学 转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用． 目 2. 先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图形的旋标 转的基本性质． 教学重点 图形的旋转的基本性质及其应用． 运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质． 教学难点

教具准备 主要教学过程 【课堂引入】(学生活动）老师口问，学生口答． 1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 3．请完成下面的题目． 如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看 做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？ 【探索新知】 上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题： 教 1．A、B、C、D、E、F到O点的距离是否相等？ 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA学 是否相等？ 3．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△过 OFA全等吗？ 请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，•再挖一个程 点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，•在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移去硬纸板． （分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明） 1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？ 2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？ 3．△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？ 老师点评：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点到旋转中心相等． 2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角，•即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角． 3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等． 综合以上的实验操作和刚才作的（3），得出 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等． 个人修改 （老师点评）：能．看做是一条边（如线段AB）绕O点，按照同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的． 老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？下面请看这个实验． 【例题讲解】 例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B•对 应点的位置，以及旋转后的三角形． 解：（1）连结CD （2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE上截取CB′=CB 则B′即为所求的B的对应点． （4）连结DB′ 则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形． 分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹例2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=△ABF是△ADE的旋转图形．

1， 4

（1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF的长度是多少？ （4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？ 分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF•的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．•△ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是A点． （2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的 ∴B是D的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角 （3）∵AD=1，DE=1 4 ∴AE=1()=214217 4 ∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点 ∴AF=17 4 （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF是等腰直角三角形． 【随堂练习】教材P 练习1、2． 【应用拓展】 例3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M•在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系． 解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形 ∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90° ∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的 ∴BK=DM 角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，•又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示 分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明． 【归纳小结】本节课应掌握： 1．对应点到旋转中心的距离相等； 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用． 【课后练习】 1．教材P66 复习巩固4 综合运用5、6． 教后反思： 课题 23.1 图形的旋转（3） 课型 新知课

理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识教 学 设计出美丽的图案． 目 复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计出美丽标 的图案． 教学重点 用旋转的有关知识画图． 根据需要设计美丽图案． 教学难点 教具准备 主要教学过程 个人修改 【课堂引入】 1．（学生活动）老师口问，学生口答． （1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？ （2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转 角有何关系？ （3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？ 2．请同学完成下面的作图题． 如图，△AOB绕O点旋转后，G点是B点的对应点，作出△AOB旋转后的三角形． 教 （老师点评）分析：要作出△AOB旋转后的三角形，应找出三方面：第一，旋 转中心：O；第二，旋转角：∠BOG；第三，A点旋转后的对应点：A′． 学 【探索新知】 从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，过 而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择 不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究． 程 1．旋转中心不变，改变旋转角 画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋 转图形． 2．旋转角不变，改变旋转中心 画出以下图，四边形ABCD分别为O、O为中心，旋转角都为30•°的旋转图形． 因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案．

【例题讲解】 例1．如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O•为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案． 分析：只要以O为旋转中心、旋转角以上面为变化，•旋转长度为菊花的最长OA，按菊花叶的形状画出即可． 解：（1）连结OA （2）以O点为圆心，OA长为半径旋转45°，得A． （3）依此类推画出旋转角分别为90°、135°、180°、225°、270°、315°的A、A、A、A、A、A． （4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶． 那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形． 例2．（学生活动）如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的点O′为旋转中心，•请同学画出图案，它还是原来的菊花吗？ 老师点评：显然，画出后的图案不是菊花，而是另外的一种花了． 【随堂练习】教材P65 练习． 【应用拓展】 例3．如图，如何作出该图案绕O点按逆时针旋转90°的图形． 分析：该备案是一个比较复杂的图案，是作出几个复合图形组成的图案，因此，要先画出图中的关键点，这些关键点往往是图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等，然后再根据旋转的特征，作出这些关键点的对应点，最后再按原图案作出旋转后的图案． 解：（1）连结OA，过O点沿OA逆时针作∠AOA′=90°， 在射线OA′上截取OA′=OA； （2）用同样的方法分别求出B、C、D、E、F、G、H的对应点B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′； （3）作出对应线段A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′A′、A•′G′、G′D′、D′H′、H′A′； （4）所作出的图案就是所求的图案． 【归纳小结】 本节课应掌握： 1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案； 2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，•要先求出图中的关键点──线的端点、角的顶点、圆的圆心等． 【课后练习】 1．教材P67 综合运用7、8、9． 教后反思：

课题 23.2 中心对称(1) 课型 新知课 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题． 教 学 复习运用旋转知识作图，•旋转角度变化，•设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋目 转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题． 标 教学重点 利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题． 从一般旋转中导入中心对称． 教学难点 小黑板、三角尺 教具准备 主要教学过程 个人修改 【课堂引入】 如图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画 出旋转后的三角形，•并写出简要作法． 老师点评：分析，本题已知旋转后点A的对应点是点 D，且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方 向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，•一般我们 选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为 顺时针方向；•已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结OA、 教 OD，则∠AOD即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的 角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可． 学 作法： （1）连结OA、OB、OC、OD； （2）分别以OB、OB为边作∠BOM=∠CON=∠过 AOD； （3）分别截取OE=OB，OF=OC； 程 （4）依次连结DE、EF、FD； 即：△DEF就是所求作的三角形，如图所示． 【探索新知】 问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图 案，并回答下列的问题： 1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？ 2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？ 老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲 图与乙图重合，△OAB与△COD重合． 像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，

那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 【例题讲解】 例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答． （1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？ 如果不是，请说明理由． （2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点． （3）旋转后的对应点，便是中心的对称点． 解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′=AD （2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D （3）连结A′B′、B′C′、C′D， 则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图23-44所示． 答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点． （2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．www.xkb1.com 例2．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心， 与△ABD•成中心对称的三角形． 解：（1）延长AD，且使AD=DA′，因为C点关于D的中心对称点是B（C′），B•点关于中心D的对称点为C（B′） （2）连结A′B′、A′C′． 则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示． 分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，•对称中心就是旋转中心． 分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C、B为一对的对应点，因此，只要再画出A关于D的对应点即可． 【随堂练习】教材P74 练习2． 【应用拓展】 例3．如衅，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置． （1）若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积． （2）若平移的距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积y，写出y与x的关系式． 解：（1）∵CC′=3，CB=4且AC=BC ∴BC′=C′D=1 ∴S△BDC`= 分析：（1）∵BC=4，AC=4 ∴△ABC是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1 （2）∵平移的距离为x，∴BC′=4-x 11³1³1= 22 （2）∵CC′=x，∴BC′=4-x ∵AC=BC=4 ∴DC′=4-x 112（4-x）（4-x）=x-4x+8 22【归纳小结】 ∴S△BDC`=本节课应掌握： 1．中心对称及对称中心的概念；

2．关于中心的对称点的概念及其运用． 【课后练习】 1．教材P73 练习1． 教后反思： 课题 23.2 中心对称(2) 课型 新知课 理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理教 学 解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用． ，提出问题，让学生分目 复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点）标 组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质． 教学重点 中心对称的两条基本性质及其运用． 让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质． 教学难点

教具准备 主要教学过程 【课堂引入】 1．什么叫中心对称？什么叫对称中心？ 2．什么叫关于中心的对称点？ 3．请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，•画出这个三角形关于这 个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论． 【探索新知】 （老师）在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形 （1）作△ABC一顶点为对称中心的对称图形； 教 （2）作关于一定点O为对称中心的对称图形．w w w .x k b 1.c o m 第一步，画出△ABC． 学 第二步，以△ABC的C点（或O点）为中心，旋转180°画出△A′B′和△A′ B′C′，如图1和用2所示． 过 程 (1) (2) 从图1中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形； 分别连接对称点AA′、BB′、CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段． 下面，我们就以图2为例来证明这两个结论． 证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中， OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′ ∴△AOB≌△A′OB′ ∴AB=A′B′ 同理可证：AC=A′C′，BC=B′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′ （2）点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O•旋转180•°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA=OA′，即点O是线段AA′的中点． 同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即点O是BB′和CC′的中点． 因此，我们就得到 1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 2．关于中心对称的两个图形是全等图形． 个人修改 分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转【例题讲解】 例1．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称． 解：（1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．

（2）同样画出点B和点C的对称点E和F． （3）顺次连结DE、EF、FD． 则△DEF即为所求的三角形． 例2．（学生练习，老师点评）如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B•′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）． 180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到． 分析：要证明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC转为在一个三角形内，应用两边之和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，•旋转60°，便可把OA、OB、OC转化为一个三角形内． 【随堂练习】教材P70 练习． 【应用拓展】 例3．如图等边△ABC内有一点O，试说明：OA+OB>OC． 解：如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO′B•的位置，则△AOC≌△AO′B． ∴AO=AO′，OC=O′B 又∵∠OAO′=60°，∴△AO′O为等边三角形． ∴AO=OO′ 在△BOO′中，OO′+OB>BO′ 即OA+OB>OC 【归纳小结】本节课应掌握： 中心对称的两条基本性质： 1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，•而且被对称中心所平分； 2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用． 【课后练习】 1．教材P74 复习巩固1 综合运用6、7． 教后反思： 课题 23.2 中心对称(3) 课型 新知课

教 了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用． 利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有学 复习两个图形关于中心对称的有关概念，目 关概念及其它的运用． 标 教学重点 中心对称图形的有关概念及其它们的运用． 区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形． 教学难点 小黑板、三角形X k b 1 . c o m 教具准备 主要教学过程 个人修改 【课堂引入】 1．（老师口问）口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？ 2．（学生活动）作图题． A O （1）作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示． （2）作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示． （2）延长AO使OC=AO， 延长BO使OD=BO， 教 连结CD 则△COD为所求的，如图所示． 学 【探索新知】 从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA=•OB，过 所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它重合． 上面的（2）题，连结AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成程 AD平行四边形，如图所示． ∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD O ∴△AOB≌△COD ∴AB=CD 也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合． CB 因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【例题讲解】 （学生活动）例1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形． 老师点评：老师边提问学生边解答． （学生活动）例2：请说出中心对称图形具有什么特点？ 老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳． 例3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形． AODBC

分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分． 证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC、•BD必过点O，且AO=CO，BO=DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，•四边形ABCD是平行四边形． 【随堂练习】 教材P72 练习． 【应用拓展】 例4．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，•求折痕EF的长． 分析：将矩形折叠，使C点和A点重合，折痕为EF，就是A、C两点关于O点对称，这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用，对称点连线被对称轴垂直平分，进而转化为中垂线性质和勾股定理的应用，求线段长度或面积． 解：连接AF，X|k |b| 1 . c|o |m ∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC． ∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°，又四边形ABCD为矩形，∠B=90°，AB=CD=3，AD=•BC=4 设CF=x，则AF=x，BF=4-x， 由勾股定理，得AC2=BC2+AB2=52 ∴AC=5，OC=15AC= 22 ∵AB2+BF2=AF2 ∴32+（4-x）=2=x2 ∴x=25 8 ∵∠FOC=90° 252515215）-（）2=（） OF= 28881515 同理OE=，即EF=OE+OF= 84【归纳小结】 ∴OF2=FC2-OC2=（本节课应掌握： 1．中心对称图形的有关概念； 2．应用中心对称图形解决有关问题． 【课后练习】 1．教材P74 综合运用5 P75 拓广探索8、9．

教后反思： 课题 教 学 目 标 23.2 中心对称（4） 课型 新知课 1.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题． 2. 通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题． 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y）及其运用． 运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题． 教学重点 教学难点 教具准备 主要教学过程 个人修改

教 学 过 程 【课堂引入】（学生活动）请同学们完成下面三题． 1．已知点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′． 2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ADC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形． 3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．新|课|标|第|一|网 l A 老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略） 【探索新知】 （学生活动）如图23-74，在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0， 3）、•D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O y的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答： 4这些坐标与已知点的坐标有什么关系？ 3CD 2A1老师点评：画法：（1）连结AO并延长AO B-4-3-2-1O123x （2）在射线AO上截取OA′=OA -1-2（3）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″． -3 ∵△AD′O与△A′D″O全等 ∴AD′=A′D″，OA=OA′ ∴A′（3，-1） 同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标． （学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时，•①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？ 老师点评：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．（2）坐标符号相反，即设P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）． 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， 即点P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）． 提问几个同学口述上面的问题． 【例题讲解】 例1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形． 分析：要作出线段AB关于原点的对称线段， y只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可． 43 2 解：点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）， 1B因此，线段AB的两个端点A（0，-1）， 23x-4-3-2-1O1-1B（3，0）关于原点的对称点分别为A′（1，0），B（-3，0）． A-2 连结A′B′． -3则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′．

例2．已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形． 老师点评分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，•依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′． 【随堂练习】 教材P73 练习． 【应用拓展】 例3．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1． y（1）在图中画出直线A1B1． 43（2）求出线段A1B1中点的反比例函数解析式． 2B（3）是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b A1（我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等）它与 -4-3-2-1O123x-1双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析 -2式，若不存在，请说明理由． -3 分析：（1）只需画出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1、B1，连结A1B1． （2）先求出A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=k代入求k． x （3）要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的线段作A1、B1关于原点的对称点A2、B2，连结A2B2的直线就是我们所求的直线． 解：（1）分别作出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1（1，0），B1（2，0），连结A1B1，那么直线A1B1就是所求的． （2）∵A1B1的中点坐标是（1， 设所求的反比例函数为y= 则1） 2k x1k1=，k= 2121 ∴所求的反比例函数解析式为y=2 x （3）存在． ∵设A1B1：y=k′x+b′过点A1（0，1），B1（2，0） b`11b` ∴ ∴1 k`02kb2 ∴y=-1x+1 2 把线段A1B1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线． 根据点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y）得：

A1（0，1），B1（2，0）关于原点的对称点分别为A2（0，-1），B2（-2，0） ∵A2B2：y=kx+b 1k1b ∴ ∴2 02k`bb1 ∴A2B2：y=-1x-1 211 下面证明y=-x-1与双曲线y=2相切 2x1yx11212x+2=-1  -x-1=12xx2yx x2+2x+1=0，b2-4ac=4-4³1³1=0 11 ∴直线y=-x-1与y=2相切 2x ∵A1B1与A2B2的斜率k相等 ∴A2B2与A1B1平行 ∴A2B2：y=-1x-1为所求． 2【归纳小结】 本节课应掌握： 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），•关于原点的对称点P′（-x，-y），及其利用这些特点解决一些实际问题． 【课后练习】 1．教材P74 复习巩固3、4． 2．选用作业设计． 教后反思： 课题 23.3 课题学习 图案设计 课型 新知课 教 利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如意的图案．学 通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大胆联想，目 设计出一幅幅美丽的图案． 标

教学重点 设计图案． 如何利用平移、轴对称、•旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案． 教学难点 小黑板、三角尺www.xk b1.com 教具准备 主要教学过程 个人修改 【课堂引入】（学生活动）请同学们完成下面的各题． 1．如图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B•点的对称点，•作出线 段AB，并回答，AB与CD有什么位置关系． 2．如图，已知线段CD，作出线段CD关于对称轴L的对称线段C′D′，•并说 明CD与对称线段C′D′之间有什么关系？ 3．如图，已知线段CD，作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形，•并 说明这两条线段之间有什么关系？ l CCC教 学 B D DD过 老师点评： 1．AB与CD平行且相等； 程 2．过D点作DE⊥L，垂足为E并延长，使ED′=ED，同理作出C′点，连结C′ D•′，•则CD′就是所求的．CD的延长线与C′D′的延长线相交于一点，这一点在 L上并且CD=•C′D′． 3．以D点为旋转中心，旋转后CD⊥C′D′，垂足为D，并且CD=C′D． 【探索新知】 请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或组合完成下面的图案设计． 例1．（学生活动）学生亲自动手操作题． 按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案． （1）准备一张正三角形纸片（课前准备）（如图a） （2）把纸片任意撕成两部分（如图b，如图c） （3）将撕好的如图b沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形． （4）并将（3）得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如图（d）（如图c）保持不动） （5）把如图（d）平移到如图（c）的右边，得到如图（e） （6）对如图（e）进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图（f）的图案． 老师必要时可以给予一定的指导． 【随堂练习】 教材P78 活动1． 【应用拓展】

例2．（学生活动）请利用线段、三角形、矩形、菱形、圆作为基本图形，•绘制一幅反映你身边面貌的图案，并在班级里交流展示． 老师点评：老师点到为止，让学生自由联想，老师也可在黑板上设计一、二图案． 【归纳小结】 本节课应掌握： 利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案． 【课后练习】 1．教材P78 活动2 P80 综合运用4、5、6、7． 2．选用作业设计． 一、选择题 1．在图所示的4个图案中既包含图形的旋转，还有图形轴对称是（ ） 2．将三角形绕直线L旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ） 二、填空题 1．基本图案在轴对称、平移、旋转变化的过程中，图形的______和______都保持不变． 2．如上右图，是由________关系得到的图形． 三、综合提高题 1．（1）图案设计人员在进行图设计时，•常常用一个模具板来设计一幅幅美丽漂亮的图案，你能说出用同一模具板设计出的两个图案之间是什么关系吗？ （2）现利用同一模具板经过平移、旋转、轴对称设计一个图案，•并说明你所表达的意义． 2．如图，你能利用平移、旋转或轴对称这样的变化过程来分析它的形成过程吗？ 教后反思：

课题 教 学 目 标 25.1 随机事件 课型 新知课 1.知识技能目标:了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点. 2.数学思考目标:学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程,发展学生从纷繁复杂的表 象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力. 3.解决问题目标:能根据随机事件的特点,辨别哪些事件是随机事件. 4.情感态度目标:引领学生感受随机事件就在身边,增强学生珍惜机会，把握机会的意识. 随机事件的特点. 判断现实生活中哪些事件是随机事件. 教学重点 教学难点 教 学 过 程 <活动一> 【问题情境】 摸球游戏 三个不透明的袋子均装有10个乒乓球.挑选多名同学来参加游戏. 游戏规则 每人每次从自己选择的袋子中摸出一球,记录下颜色,放回,搅匀,重复前面的试验.每人摸球5次.按照摸出黄色球的次数排序,次数最多的为第一名,其次为第二名,最少的为第三名. 【师生行为】 教师事先准备的三个袋子中分别装有10个白色的乒乓球；5个白色的乒乓球和5个黄色的乒乓球；10个黄色的乒乓球. 学生积极参加游戏,通过操作和观察,归纳猜测出在第1个袋子中摸出黄色球是不可能的,在第2个袋子中能否摸出黄色球是不确定的,在第3个袋子中摸出黄色球是必然的. 教师适时引导学生归纳出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件的特点. <活动二> 【问题情境】 指出下列事件中哪些是必然发生的,哪些是不可能发生的，哪些是随机事件？ 1.通常加热到100°C时，水沸腾； 2.姚明在罚球线上投篮一次，命中； 3.掷一次骰子，向上的一面是6点； 4.度量三角形的内角和，结果是360°； 5. 经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯； 6.某射击运动员射击一次，命中靶心； 7.太阳东升西落； 8.人离开水可以正常生活100天； 9.正月十五雪打灯； 10.宇宙飞船的速度比飞机快. 【师生行为】 个人修改 通过生动、活泼的游戏,自然而然地引出必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件,不仅能够激发学生的学习兴趣,并且有利于学生理解.能够巧妙地实现从实践认识到理性认识的过渡. 引领学生经历由实践认识到理性认识再重新认识实践问题的过程, 同时引入一些常识问题,使学生进一步感悟数学是认识客观世界的重要工具.

教师利用多媒体课件演示问题,使问题情境更具生动性. 学生积极思考,回答问题,进一步夯实必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件的特点.在比较充分的感知下，达到加深理解的目的. 教师在学生完成问题后应注意引导学生发现在我们生活的周围大量地存在着随机事件. <活动三> 【问题情境】 情境1 5名同学参加讲演比赛,以抽签方式决定每个人的出场顺序.签筒中有5根形状、大小相同的纸签,上面分别标有出场的序号1,2,3,4,5.小军首先抽签,他在看不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机地抽取一根纸签. 情境2 小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数. 在具体情境中列举不可能发生的事件、必然发生的事件和随机事件. 【师生行为】 学生首先思考,再把自己的观点和小组其他同学交流,并提炼出小组成员列举的主要事件，在全班发布. <活动四> 【问题情境】 请你列举一些生活中的必然发生的事件、随机事件和不可能发生的事件. 【师生行为】 教师引导学生充分交流，热烈讨论. <活动五> 【问题情境】 李宁运动品牌打出的口号是“一切皆有可能”，请你谈谈对这句话的理解. 【师生行为】 教师注意引导学生思考,交流合作,提升学生对问题的理解与判断能力. <活动六> 【问题情境】 归纳、小结 布置作业 设计一个摸球游戏,要求对甲乙公平. 【师生行为】 学生反思、讨论. 学生在设计游戏的过程中，进一步感悟随机事件的特点.作业的开放性为学生创设了更大的学习空间. 开放性的问题有利于培养学生的发散性思维和创新思维,也有利于学生加深对学习内容的理解. 随机事件在现实世界中广泛存在.通过让学生自己找到大量丰富多彩的实例，使学生从不同侧面、不同视角进一步深化对随机事件的理解与认识. 有意识地引领学生从数学的角度重新审视现实世界，初步感悟辩证统一的思想. 教后反思：现实生活中存在着大量的随机事件，而概率正是研究随机事件的一门学科.本课是“概率初步”一章的第一节课.教学中，教师首先以一个学生喜闻乐见的摸球游戏为背景，通过试验与分析，使学生体验有些事件的发生是必然的、有些是不确定的、有些是不可能的，引出必然发生的事件、随机

事件、不可能发生的事件.然后，通过对不同事件的分析判断，让学生进一步理解必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件的特点.结合具体问题情境，引领学生设计提出必然发生的事件、随机事件、不可能发生的事件，具有相当的开放度，鼓励学生的逆向思维与创新思维，在一定程度上满足了不同层次学生的学习需要. 做游戏是学习数学最好的方法之一，根据本节课内容的特点，教师设计了摸球游戏，力求引领学生在游戏中形成新认识，学习新概念，获得新知识，充分调动了学生学习数学的积极性，体现了学生学习的自主性.在游戏中参与数学活动，在游戏中分析、归纳、合作、思考，领悟数学道理.在快乐轻松的学习氛围中，显性目标和隐性目标自然达成,在一定程度上,开创了一个崭新的数学课堂教学模式. 课题 25.1.2 概率的意义 课型 新知课 教 学 目 标 知识技能目标: 1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 数学思考目标: 让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系. 解决问题目标: 在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识与能力.锻炼质疑、思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念. 情感态度目标: 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育. 在具体情境中了解概率意义. 对频率与概率关系的初步理解 教学重点 教学难点 教 学 过 程 一、创设情境，引出问题 教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁. 学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，„„ 教师对同学的较好想法予以肯定.（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认可的方法.如抓阄、投硬币） 追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？ 由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大 在学生讨论发言后，教师评价归纳. 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”还上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大. 质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？ 引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下. 二 、动手实践，合作探究 1．教师布置试验任务. （1）明确规则. 把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行. （2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上” 的频数及 “正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来.. 2．教师巡视学生分组试验情况. 注意： （1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关个人修改 现实中不确定现象是大量存在的， 新课标指出：“学生数学学习内容应当是现实的、有意义、富有挑战的”，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛，也为下

注学生是否积极思考、勇于克服困难. 一步引导学（2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调生开展探索控. 交流活动打3.各组汇报实验结果. 下基础. 由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前 的猜想有出入. 提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因. 在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到 每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性， 引 导他们小组合作，进一步探究. 解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合注意帮助解作. 决学生在填4．全班交流. 写统计表与把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进统计图遇到行累计，按照书上P140要求填好25-2.并根据所整理的数据，在25.1-1图上标注出的困难.通过对应的点,完成统计图. 以上实践探表25-2 究活动，让学抛掷次数n 50 100 150 200 250 300 350 400 生真实地感“正面向上”的频数m 受到、清楚地观察到试验 “正面向上”的频率 mn 所体现的规律，即大量重想一想1（投影出示）. 观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有复试验事件什么规律？ 发生的频率注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在接近事件发0.5上下波动. 生的可能性想一想2（投影出示） 的大小（概随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？ 在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生率）.鼓励学的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性.在试验次数较少生在学习中时，“正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会要积极合作趋于稳定，“正面朝上”的频率越来越接近0.5. 这也与我们刚开始的猜想是一致的.交流，思考探我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小. www.xkb1.com 究.学会倾听 别人意见，勇 为了给学生提供大量的、快捷的试验数据,利用计算机模拟掷硬币试验的课于表达自己件，丰富学生的体验、提高课堂教学效率，使他们能直观地、便捷地观察到试验结的见解. 果的规律性--大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近 . 其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.让学生阅读历史上数学 家做掷币试验的数据统计表（看书P141表25-3）. 表25-3 试验者 抛掷次数（n） “正面朝上”次数（m） “正面向上 （m/n） 棣莫弗 2048 1061 0.518 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 这个环节，让皮尔逊 12000 6019 0.5016 学生亲身经皮尔逊 24000 12012 0.5005 历了猜想试通过以上学生亲自动手实践,电脑辅助演示,历史材料展示, 让学生真实地感

受到、清楚地观察到试验所体现的规律，大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.同时,又感受到无论试验次数多么大,也无法保证事件发生的频率充分地接近事件发生的概率. 在探究学习过程中,应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等，鼓励学生在学习中不怕困难积极思考，敢于表达自己的观点与感受,养成实事求是的科学态度. 5.下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？ 学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易总结得出：“反面向上”的频率也相应稳定到0.5. 教师归纳： （1）由以上试验，我们验证了开始的猜想，即抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是说，用抛掷硬币的方法可以使小明与小强得到球票的可能性一样. （2）在实际生活还有许多这样的例子，如在足球比赛中，裁判用掷硬币的办法来决定双方的比赛场地等等. 三、评价概括，揭示新知 问题1.通过以上大量试验，你对频率有什么新的认识？有没有发现频率还有其他作用？ 学生探究交流.发现随机事件的可能性的大小可以用随机事件发生的频率逐渐稳定到的值（或常数）估计或去描述. 通过猜想试验及探究讨论，学生不难有以上认识.对学生可能存在语言上、描述中的不准确等注意予以纠正，但要求不必过高. 归纳：以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件的可能性的大小. 那么我们给这样的常数一个名称，引入概率定义.给出概率定义（板书）：一般m地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那n么这个常数p就叫做事件A的概率（probability）, 记作P（A）= p. 注意指出： 1．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映. 2．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同. 想一想(学生交流讨论) 问题2．频率与概率有什么区别与联系? 从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同. 四．练习巩固，发展提高. 1．书上P143.练习.1. 巩固用频率估计概率的方法. 2．书上P143.练习.2 巩固对概率意义的理解. 教师应当关注学生对知识掌握情况，帮助学生解决遇到的问题. 五．归纳总结，交流收获： 1．学生互相交流这节课的体会与收获，教师可将学生的总结与板书串一起，使学生对知识掌握条理化、系统化. 2．在学生交流总结时，还应注意总结评价这节课所经历的探索过程，体会到的数学价值与合作交流学习的意义. 验——收集数据——分析结果的探索过程，在真实数据的分析中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主动建构，为下一环节概率意义的教学作了很好的铺垫. 猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解，使之明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.为下节课进一步研究概率和今后的学习打下了基础. 当然，学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的.这节课教学应把握教学难度，注意关注学生接受情况.

教后反思：这节课是在学习了25.1.1节随机事件的基础上学习的，学生通过大量重复试验，体验用事件发生的频率去刻画事件发生的可能性大小，从而得到概率的定义. 1．对概率意义的正确理解，是建立在学生通过大量重复试验后，发现事件发生的频率可以刻画随机事件发生可能性的基础上.结合学生认知规律与教材特点，这节课以用掷硬币方法分配球票为问题情境，引导学生亲身经历猜测试验—收集数据—分析结果的探索过程.这符合《新课标》“从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程”的理念. 贴近生活现实的问题情境，不仅易于激发学生的求知欲与探索热情，而且会促进他们面对要解决的问题大胆猜想，主动试验，收集数据，分析结果，为寻求问题解决主动与他人交流合作.在知识的主动建构过程中，促进了教学目标的有效达成.更重要的是，主动参与数学活动的经历会使他们终身受益. w w w .x k b 1.c o m 2．随机现象是现实世界中普遍存在的，概率的教学的一个很重要的目标就是培养学生的随机观念.为了实现这一目标，教学设计中让学生亲身经历对随机事件的探索过程，通过与他人合作探究，使学生自我主动修正错误经验，揭示频率与概率的关系，从而逐步建立正确的随机观念，也为以后进一步学习概率有关知识打下基础. 3．在教学中，本课力求向学生提供从事数学活动的时间与空间，为学生的自主探索与同伴的合作交流提供保障，从而促进学生学习方式的转变，使之获得广泛的数学活动经验.教师在学习活动中是组织者、引导者与合作者，应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等，给学生以适时的引导与鼓励. 课题 教 学 目 标 25.2 列举法求概率 课型 新知课 知识技能目标: 学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策. 过程与方法目标: 经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率.渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力. 情感态度目标: 通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯. 学习运用列表法或树形图法计算事件的概率. 能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题. 教学重点 教学难点 创设情景，发现新知 （1）引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由。 1 教 4 学 8 7 6 5 过 程 A B （2）学生分组讨论，探索交流 图2 联欢晚会游在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即： “停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？” 由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小。此时我首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A、B两转盘， 即涉及2个因素，与前一课所讲授单转盘概率问题（教材P148例2）相比，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。怎样避免这个问题呢？

个人修改 选用这个引例，是基于以下考虑：以贴近学生生活的联欢晚会为背景，创设转盘游戏引入，能在最短时间内激发学生的兴趣，引起学生高度的注意力，进入情境。 这样既分

实际上，可以将这个游戏分两步进行。 于是，指导学生构造表格 （3）指导学生构造表格 散了难点，又激发了学生兴趣，A B 4 5 7 渗透了转1 化的数学6 思想。 8 首先考虑转动A盘：指针可能指向1，6，8三个数字中的任意一个，可能出现的结果 就会有3个。接着考虑转动B盘：当A盘指针指向1时，B盘指针可能指向4、5、7 三个数字中的任意一个，这是列举法的简单情况。当A盘指针指向6或8时，B盘指 针同样可能指向4、5、7三个数字中的任意一个。一共会产生9种不同的结果。 （4）学生填写表格，通过观察与计算，得出结论（即列表法） A B 4 5 7 1 （1，4） （1，5） （1，7） 6 （6，4） （6，5） （6，7） 8 （8，4） （8，5） （8，7） 从表中可以发现：A盘数字大于B盘数字的结果共有5种。 ∴P(A数较大)= , P(B数较大)=. 99 ∴P(A数较大)＞ P(B数较大) ∴选择A装置的获胜可能性较大。 在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性。 由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举。即先转动Ａ盘，可能自然地学出现1，6，8三种结果；第二步考虑转动Ｂ盘，可能出现4，5，7三种结果。 生感染了（5）解法二：(图略) 分类计数由图知：可能的结果为： （1，4），（1，5），（1，7）， 和分步计 （6，4），（6，5），（6，7）， 数思想。 ，（8，5，（8，7）。共计9种。 5 （8，4）4） ∴P(A数较大)= , P(B数较大)=. 99 ∴P(A数较大)＞ P(B数较大) ∴选择A装置的获胜可能性较大。 然后，引导学生对所画图形进行观察：若将图形倒置，你会联想到什么？这个图 形很像一棵树，所以称为树形图（在幻灯片上放映）。列表和树形图是列举法求概率 的两种常用的方法。 自主分析，再探新知X k b 1 . c o m 通过引例的分析，学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解，为了帮助学 生熟练掌握这两种方法，我选用了下列两道例题（本节教材P151—P152的例5和例 6）。 例1：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1) 两个骰子的点数相同； (2) 两个骰子的点数的和是9； (3) 至少有一个骰子的点数为2。 例1是教材上一道“掷骰子”的问题，有了引例作基础，学生不难发现：引例涉 及两个转盘，这里涉及两个骰子，实质都是涉及两个因素。于是，学生通过类比列出 下列表。

第2个 第1个 1 2 3 4 5 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） 由上表可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。由所列表格可以发现： （1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有，（2，616个，即（1，1）2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P(A)==。 636[满足条件的结果在表格的对角线上] （2）满足两个骰子的点数的和是9（记为事件B）的结果有4个，即（3，6），41（4，5），（5，4），（6，3），所以P(B)==。 369[满足条件的结果在（3，6）和（6，3）所在的斜线上] 11（3）至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，所以P(C)=。 36[满足条件的结果在数字2所在行和2所在的列上] 接着，引导学生进行题后小结： 当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。运用列表法求概率的步骤如下： ①列表 ； m②通过表格计数，确定公式P(A)=中m和n的值； mn③利用公式P(A)=计算事件的概率。 n分析到这里，我会问学生：“例1题目中的“掷两个骰子”改为“掷三个骰子”，还可以使用列表法来做吗？”由此引出下一个例题。 例2： 甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中3个相同的球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中2个相同的球，它们分别写有字母H和I。从三个口袋中各随机地取出1个球。 （1）取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少？ （2）取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？ 例2与前面两题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到3个因素。此时同学们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树形图法。 本游戏可分三步进行。分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键。 从图形上可以看出所有可能出现的结果共有12个，即： （幻灯片上用颜色区分） 这些结果出现的可能性相等。 （1）只有一个元音字母的结果（黄色）有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，5所以P； （一个元音）12有两个元音果（白色）有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以4的结1P(两个元音)； 1123P全部为元音字母的结果（绿色）只有1个，即AEI ，所以(三个元音)。 12（2）全是字母的结果（红色）共有2个，即BCH，BDH，所以2辅音1P(三个辅音)。 126通过例2的解答，很容易得出题后小结：

6 ，6） （1 ，6） （2 ，6） （3 ，6） （4 ，6） （5 ，6） （6 通过对上述问题的思考，可以加深学生对新方法的理解，更好的认识到列表法和画树形图法求概率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需信息，有利于学生根据实际情况选择正确的方法

当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。运用树形图法 求概率的步骤如下：（幻灯片） ①画树形图 ； m②列出结果，确定公式mP(A)=n中m和n的值； ③利用公式P(A)=计算事件概率。 n接着我向学生提问：到现在为止，我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况？ 列表法和画树形图法求概率有什么优越性？什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图法”更好呢？ 3.应用新知，深化拓展 为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况，提高应用所学知识解决问题的能力，在此我选择了教材P1课后练习作为随堂练习。 （1）经过某十字路口的汽车，它可能继续前行，也可能向左或向右，如果这三种可能性大小相同。三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率： ①三辆车全部继续前行； ②两辆车向右转，一辆车向左转； ③至少有两辆车向左转。 [随堂练习（1）是一道与实际生活相关的交通问题，可用树形图法来解决。] （2）在6张卡片上分别写有1——6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？ 通过解答随堂练习（2），学生会发现列出的表格和例1的表格完全一样。不同的是：变换了实际背景，设置的问题也不一样。这时，我提出：我们是否可以根据这个表格再编一道用列举法求概率的题目来呢？ 为了进一步拓展思维，我向学生提出了这样一个问题，供学生课后思考： 在前面的引例中，转盘的游戏规则是不公平的，你能把它改成一个公平的游戏吗？ 4.归纳总结，形成能力 我将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获。要求每个学生在组内交流，派小组代表发言。X|k |b| 1 . c|o |m 5.布置作业，巩固提高 （1）必做题：书本P1/ 3，P155/ 4，5 （2）选做题： ①请设计一个游戏，并用列举法计算游戏者获胜的概率。 ②研究性课题：通过调查学校周围道路的交通状况，为交通部门提出合理的建议等。 教后反思：