求一类常系数线性常微分方程特解的有限递推法

方有康

(沈阳理工大学理学院,辽宁沈阳 110168)

摘要: 对于非齐次项为多项式,指数函数,正(余)弦函数,或它们的乘积形式的常系数线性常微分方程,提

出了求其特解的有限递推法.它方法统一,计算简洁,便于编程,能解决高阶问题,能在有限步内得出方程的 解析特解,因而优于目前广泛采用的待定系数法.

关键词: 常系数线性常微分方程;递推法;待定系数法

1 问题的提出

本文求如下的n阶常系数线性常微分方程的特解:

∑ ajy(j)=eaxcosbx∑

j=0

n

m

bkxk(1.1) bkxk(1.2)

k=0m

∑ ajy(j)=eaxsinbx∑

j=0

n

k=0

式中y(j)=djy戠dxj;an=1;a,b,∈R;aj,bk∈C;j=1,2,…,n;k=1,2,…,m.

在科学技术上,这是一类很重要的微分方程.目前国内外的高等数学,工程数学或常微 分方程的教科书中都采用待定系数法来求这类微分方程的特解.这需要首先求出所对应的 齐次方程的特征根(因为要确定特征方程各特征根的重数),再按a是特征根的重数r(当 (1.1)或(1.2)的右端不含三角函数时)设特解为

yp=xrQm(x)eax

当(1.1)或(1.2)的右端含三角函数时,按a+ib是特征根的重数r设特解为

yp=xreax((Qm(x)(cosΞx+sinΞx))

然后计算yp的各阶导数,再把它们代回原方程中,比较方程两边同类项的系数,得出一个线 性方程组,然后再解这个线性方程组才能求出yp的各项待定系数.整个求解过程繁琐,计算 量大.特别是方程的右端是高次多项式和三角函数及指数函数的乘积时,求导过程中yp的 各阶导数表达式的项数将以几何级数的方式急剧增加,得出的线性方程组也是一个大型的 线性方程组.当方程阶数较大时,待定系数法更是显得为力[122].本文提出的有限递推法 无需先求出所对应的齐次方程的特征根,无需设定特解的形式且具有计算简洁,方法统一, 便于编程,能解决高阶问题和能在有限步内得出方程的解析特解的特点,很好地解决了待定 系数法所遇到的困难.

2 主要成果

让我们首先来解决方程右边仅为多项式的情况,设方程

y(n)+an-1y(n-1)+…+a0y=Pm(x)(2.1)

式中Pm(x)=bmxm+bm-1xm-1+…+b2x2+b1x+b0(bm≠0)为x的m次多项式.不失 一般性,我们规定上式中a0≠0.因为若不然,我们可以令方程左边非零最低阶项为新的

a0y,其余各项(可以为零)按y的导数的阶数由低到高分别为a1y(1),a2y(2),…,且方程右边

不变,对这样得出的新方程我们称之为原方程的降阶方程.求出降阶方程的特解再积分,就 得出原方程的特解.例如要求y″+2y′=x2的特解,我们先求出y′+2y=x2的特解,再对 其积分就得出原方程的特解了.

定理1 令方程(2.1)左端导数阶数最小(非零)项为aly(l),1ΦlΦn.记t=m-l+1, 则当lΦm时(当l>m时,方程的特解显然为y3=Pm(x)镈a0),方程的特解y3可由如下 的递推公式最多在t步内推出:

y(t)=P(t)m(x)镈a0(2.2)

对k=1,2,…,t计算

n

aiy(t+i-k))(2.3)

y(t-k)=a-10(P(t-k)m(x)-∑

l

y3=y(0)(2.4)

证明 当lΦm时,用(2.1)式的两边对x求导t次,便得出(2.2)式(此时y的高于t的 各阶导数为零).因为在上述求导过程中(2.3)式中右边的各项都已求得,所以再按(2.3)进 行初等的代数递推便可得出(2.4).

例1 求方程y(4)-3y″+2y′=6x2-5的特解. 解 我们首先求其降阶方程

y镈-3y′+2y=6x2-5(2.5)

的特解.这里l=1,m=2,t=m-l+1=2.对方程t次求导并删除高于y(m)的各项(显 然等于零),我们有

-3y″+2y′=12x(2.6) 2y″=12

以y″=6代入(2.6)得y′=6x+9再代入(2.5)得

y3=3x2+9x+11

积分之,得所求原方程的特解为yp=x3+4.5x2+11x.

对于方程右端是指数函数,正(余)函数与多项式的乘积形式,我们有如下的定理及其推 论.

定理2 设yp是方程

y(n)+an-1y(n-1)+…+a0y=Pm(x)eax(cosbx+isinbx)(2.7)

的特解,y3是方程

y(n)+An-1y(n-1)+…+A0y=Pm(x)(2.8)

的特解,式中Pm(x)如定理1所定义.令z0=a+ib,

A0(z)=zn+an-1zn-1+…+a1z+a0(2.9)

是(2.1)所对应的齐次方程关于z的特征多项式,

A0=A0(z0)(2.10)