直线与圆

版本：人教版 直线于圆的位置关系

重点知识讲解：

（一）判定方法： 1. 直线与圆

(xa)2(yb)2r2(r0) 直线l：AxByC0（1） 圆C：（2）

由（1）、（2）消去一个未知数，得到关于另一个未知数的方程必是一元二次方程，其根的判别式为，圆心到直线l的距离为d。

2. 直线与椭圆

x2y221(ab0)2l：AxByC0ab 直线（1） 椭圆：（2）

由（1）、（2）消去一个未知数，得到关于另一未知数的方程，必是一元二次方程其根的判别式为

图 形 y相离 O x相切相交无12012<0=0>0关 系公共点数方程组解△

3. 直线与双曲线

x2y221(a0，b0)2l：AxByC0ab 直线（1） 双曲线C：（2）

由（1）、（2）消去一个未知数，当l与C的渐近线平行时，得到的是关于另一未知数的一元一次方程，当l与C的渐近线不平行时得到的是一元二次方程，设其根的判别式为

图形 y相离相切 x相交22>0无101<0=0关系公共点数方程组解△

4. 直线与抛物线

直线l：AxByC0（1） 抛物线

2yC：2px(p0)（2）

由（1）、（2）消去一个未知数，当l与C的轴平行时得到的不是一元二次方程，当l与C的轴不平行时，得到的是关于另一未知数的一元二次方程，其根的判别式为

图 形 y相离相切 x相交22>0无101<0=0关 系公共点数方程组解△

综上判断直线与圆锥曲线位置关系，通法是消去一个未知数若得到的是关于另一未知数的一元二次方程，可用根的判别式来判断，注意直线与圆锥曲线相切必有一个公共点，对圆与椭圆来说反之亦对，但对双曲线和抛物线来说直线与其有一公共点，可能是相交的位

置关系。

【例题精讲】

x2y21yxm205 例1. m为何值时，直线与椭圆相离？相切？相

交？

x2y2 解：2051

5x220y21000 x24y220 0yxm

消y得：x24(x22mxm2)200

5x28mx4m2200

64m280(m25)064m280m24000m240010016425m5时直线与椭圆相切5m5时相交 m5或m5时相离

x2y2 例2. m为何值时，直线y3xm与双曲线9361相交，相切，

相离？若直线改为y2xm，其位置关系如何呢？

4x2y2 解：36y3xm

4x2(9x26mxm2)3605x26mxm236036m220(m236)16m2720 当0时m35

又双曲线的渐近线为y2x

当y2xm时，由上法可知，双曲线渐近线为y2x

m0时相离 m0时相交

当m35时 相切 当35m35时 相离 当m35或m35 相交

2y2 例3. 已知双曲线C：x31，直线l过点P（1，－1），倾角

为，讨论C与l公共点的个数。

y1tg(x1)2 解：x2y31

消y：(3tg2)x2(2tg22tg)x(tg22tg4)0

(2tg22tg)24(tg22tg4)(3tg2)0 tg2

（1）一个公共点时 相切：lx轴

2

0arctg2

相交：直线平行渐近线

y3x，3或23

（2）两个交点： （3）无公共点：

22[0，)(，)(arctg2，)(，)33233

(，arctg2)2

例4. l1，l2是互相垂直的两条直线，垂足为P（2，0），l1与l2与

y2x21各有二交点，分别是A1，B1与A2，B2

（1）求l1斜率k1的取值范围

（2）若|A1B1|5|A2B2|求l1与l2的方程

lyk(x2) 解：（1）设

1：y2x21 消y得：(k21)x222k2x2k210

0k2103k210k1k33或k33且k1同理：l：y1k(x2)2y2x21消y得：(1k2)x222x2k200k2(k23k03k31k20)0k1

k(3，1)(1，33)(33，1)(1，3)

（2）

|Ak2)[8k48k241B1|(1(k21)2k21] 4(1k2)(3k21)

(k21)2

14k2(3k2)4(k21)(3k2)|A2B2|(12)k(k21)2(k21)22|A1B1|25|A2B2|2 k2 当k2时 当k2时

22 例3. 已知椭圆4xy1及直线yxm

l1：y2(x2)l2：y2(x2)2 2(x2)2

l1：y2(x2)l2：y （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点

（2）求直线被椭圆截得的最长弦所在直线方程，并求弦长的最大值

4x2y21 解：（1）yxm

消y得：5x22mxm210

4m220(m21)(6m220)016m22055m22



m21x1x25

2mx1x25 （2）

2(11)[(xx)4x1x2] 12 弦长

4m24m242()2558(54m2)2550m24



m0时 直线为yx

弦长max2105

22 例4. 直线xy1与椭圆axby1交于A、B两点，若|AB|22，

M为弦AB中点，且

kOM22，求a、b的值

ax2by21 解：解法（I）xy1

2y：(ab)x2bxb10 消

则

x1x22bab

x1x2b1ab2b2b1)4]abab|AB|2[(x1x2)24x1x2]2[(22abab22ab(1) abababbb，1ab） AB中点 M（abkOMa2b213(2)b2(a0舍)3

由(1)(2)得a22ax1by1122axby1 22 解法（II）

相减得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0

y1y2ax1x1x2byy2x2yx2baM(，)ababa2kOMb2ab2ax22ay21消y：(12)ax222ax2a10xy122a2a1|AB|2224a2a(12)a1或0（舍）312ab33

a2

222xy2的一个焦点的直线交椭圆于P、Q两点 例5. 过椭圆

求POQ面积的最大值

y Q F P O x

解：设lPQ：y1kx(k存在) kxy10 O到PQ距离

d11k2

ykx1222xy2(2k2)x22kx10

SOPQSOPFSOQF211|OF|(d1d2)|OF||x1x2|22

42k|x1x2|2k22k2SPOQ2k222k2122k2k112k211k2122

2yax1有弦AB被yx垂直平分，求a的取值范 例6. 若抛物线

围

yax21 解：yxb

消y：ax21xb

ax2xb1014a(b1)0(4a1)ab41x1x2a1y1y22ba

中点

M(112ba，)2a2a

本周强化练习：

一. 选择题：

x2y21 1. 若过点M（3，1）的直线l和双曲线9只有一个公共点，

则直线l的条数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

x2y21y 2. 在轴上的截距为1的直线与焦点在x轴上的椭圆5m恒

有公共点，则m的取值范围是（ ）

A. （0，1） B. （0，5） C. [1，) D. [1，5)

x2y21x2y30 3. 若垂直于直线的直线l被双曲线205截得的弦45长为3，则直线l的方程（ ）

A. 2xy100 B. 2xy100 C. x2y100 D. 2xy100

2 4. 过点（0，－4）的直线被抛物线y4px截得的弦的中点轨迹方

程是（ ）

2(y2)4(px2) A.

2(y2)2(px2) B.

22 C. (y2)2(px2) D. (y2)4(px2)

22 5. 若直线ykx2与双曲线xy6的右支交于不同两点，则k的取值范围是（ ）

1515，33 A.

150，3B.

15，0 C. 3

15，1 D. 3223x4y12的右焦点作直线l交椭圆于A、B两点，若 6. 过椭圆

|AB|3，则这样的直线l存在（ ）

A. 一条 B. 二条 C. 三条 D. 四条

二. 填空题：

2 7. 过抛物线y4x的焦点作直线和抛物线交于A、B两点，弦AB

中点轨迹的方程是___________ 8. 抛物线

y22p(xp)(p0)2与直线xcosysinpcos的位置

关系是___________

x2y21l：ykx2 9. 已知直线和椭圆164，若直线l和椭圆相交，

则k的取值范围是___________

222xy2的一个焦点的直线交椭圆于P、Q两点，则 10. 过椭圆

SPOQ的最大值是___________

三. 解答题：

15 11. 双曲线中心在原点，焦点在x轴上，过其右焦点且斜率为5的

直线与双曲线交于点P、Q，若OPOQ，且|PQ|4，求双曲线方程。

【试题答案】 一. 1. B

2. D 提示：5m1

2xym022提示：x4y200

3. D

2222 消y：x4(2xm)20015x16mx4m200

2454m22016m5415315 m10

4. B 提示：设A(x1，y1)，B(x2，y2)

2y14px12y24px2相减：(y1y2)(y1y2)4p(x1x2)yy24p4pk1x1x2y1y22yy44px2y2(y2)2(px2)

5. D

ykx222xy6 提示：22 消y：x(kx2)60

(k21)x24kx46022 16k40(k1)0

3k25053渐近线xy0k21515k33k1

6. A 提示：如图，作ABx轴 F（1，0）

14y231y294

|AB||y1y32|223 ABF1F2只有一条

二. 7. y22(x1)

提示：设A(x1，y1)B(x2，y2)

y214x1y224x2(y1y2)(y1y2)4(x1x2)k42y2yyx1

y22(x1)

8. 相交 提示：直线：

xysincosp

xkyp

y1kxpk直线过(p，0)点

位置关系是相交 9. k0kR

2 10. 2

x2y2212ab三. 11. 解：双曲线

P(x1，y1)Q(x2，y2)

15(xc)y5222222 直线PQ：bxayab

(5b23a2)x26a2cx3a2c25a2b206a2cx1x225b3a2a2(3c25b2)x1x25b23a2OPOQx1x2y1y208x1x23c(x1x2)3c203a48a2b23b40 b23a2cxx2129x1x2a24c24a2|PQ|48c229a54

2a1

b23

2y2x13 双曲线