高中数学 第1章 导数及其应用 1.1.1 平均变化率 1.1.2 瞬时变化率——导数知识导航 苏教

1.1.1 平均变化率 1.1.2 瞬时变化率——导数

知识梳理

1.函数f(x)在区间［x1,x2］上的平均变化率为___________.

2.设物体运动的路程与时间的关系是s=f(t),当Δt趋近于0时,函数f(t)在t0+Δt之间的平均变化率

f(t0t)f(t0)趋近于常数.我们把这个常数称为t0时刻的____________.

t3.函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在(x0,f(x0))处切线的斜率,即k=f′(x0)=_____________. 知识导学

要学好本节内容,最重要的是理解平均变化率和瞬时变化率的概念.本节的重点是导数的定义及其几何意义,难点是利用割线逼近的方法求曲线在某点处的导数,及两种变化率之间的关系. 疑难突破

1.正确理解平均变化率和瞬时变化率的关系.

剖析:平均变化率和瞬时变化率都是反映事物变化程度的量,平均变化率表示的是曲线在某区间上的变化趋势;瞬时变化率表示的是曲线上某一点处的变化趋势. 2.怎样理解导数的定义及几何意义?

剖析:导数是函数在某一点处的瞬时变化率，导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.导数的概念就是变量变化速度在数学上的一种抽象,深刻理解导数的定义是本节的关键. 典题精讲

2

【例1】 已知f(x)=x,求曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率. 思路分析：为求得过点(3,9)处的切线斜率,我们从经过点(3,9)的任意一条直线(割线)入手.

(3x)29解：设P(3,9),Q(3+Δx,(3+Δx)),则割线PQ的斜率为kPQ==6+Δx.

x2

当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数6,从而曲线y=f(x)在点P(3,9)处的切线斜率为6.

绿色通道：利用割线逼近切线的方法,求曲线在某一点处的切线斜率的方法是一种比较直观的解题方法.

2

变式训练：已知f(x)=2x,求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率.

思路分析:为求得过点(1,2)处的切线斜率,我们从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手.

2

解:设P(1,2),Q(1+Δx,2(1+Δx)),则割线PQ的斜率为

2(1x)22kPQ==4+2Δx.

x当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(1,2)处的切线斜率为4.

2

【例2】 已知f(x)=x+3. (1)求f(x)在x=1处的导数; DOC版.

..

(2)求f(x)在x=a处的导数.

思路分析：函数在某一点处的导数实际上就是相应函数图象在该点切线的斜率,深刻理解概念是正确解题的关键.

yf(1x)f(1)(1x)23(123)解:(1)因为=2+Δx， xxx当Δx无限趋近于0时,2+Δx无限趋近于2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.

yf(ax)f(a)(ax)23(a23)(2)因为=2a+Δx， xxx且当Δx无限趋近于0时,2a+Δx无限趋近于2a,所以f(x)在x=a处的导数等于2a.

绿色通道：本题主要考查对导数概念的理解程度,及应用定义解题的熟炼程度. 变式训练：已知f(x)=3x+5,求当x=2时的导数.

思路分析：函数在某一点处的导数的几何意义就是函数图象在该点切线的斜率. 解:因为

yf(2x)f(2)3(2x)5(325)3. xxx所以f(x)在x=2时的导数为3.

2

【例3】 已知曲线y=3x-x,求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程. 思路分析：求曲线上某点的切线斜率就是求函数在那一点的导数值.

y3(1x)2(1x)(3121)53x, 解:因为xx当Δx趋近于0时,5+3Δx就趋近于5,所以曲线y=3x-x在点A(1,2)处的切线斜率是5.

切线方程为y-2=5(x-1), 即5x-y-3=0. 绿色通道：根据导数的定义将切线的斜率求出,再根据点斜式方程求出切线方程,这是用导数求某点处切线的一般方法. 变式训练：已知曲线y=

2

138x上一点P(2,),求点P的切线斜率及点P处的切线方程. 33思路分析：先求出某点处的切线斜率,即求该函数在某点处的导数，然后利用导数定义求解.

11(2x)323y33解:因为 xx11[322x32(x)2(x)3]4x2x2x3123=4+2Δx+x， 33xx12当Δx趋近于0时,4+2Δx+ x就趋近于4，

31388所以曲线y=x上点P(2,)处的切线斜率为4，切线方程为y4(x2)，即

333164xy0

3问题探究

32

问题：某钢管厂生产钢管的利润函数为P(n)=-n+600n+67 500n-1 200 000,其中n为工厂DOC版.

..

每月生产该钢管的根数,利润P(n)的单位是元. (1)求边际利润函数P′(n)=0时n的值; (2)解释(1)中n的实际意义.

导思：这是一道有关边际函数的实际应用题,由于利润函数已给出，只需先求边际利润函数P′(n),再根据P′(n)=0解出n的值即可.

y(nn)3600(nn)267500(nn)1200000探究：(1)因为 nn=(-3n+1 200n+67 500)+Δn.

22

当Δn无限趋近于0时,-3n+1 200n+67 500+Δn无限趋近于-3n+1 200n+67 500.

2

∴P′(n)=-3n+1 200n+67 500.

2

由P′(n)=0,即-3n+1 200n+67 500=0. 解得n=450或n=-50(舍).

即当边际利润函数P′(n)=0时,n的值为450.

(2)P′(n)=0时,n的值为450表示的实际意义是当工厂生产450根钢管时,利润增加量为零.

2

DOC版.