2021年新高考八省联考数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分40分） 1．（5分）集合A＝{x|A．[2，3]
𝑥−4𝑥−2
≤0}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B＝（ ）
C．[1，2]
D．（2，3]
B．[3，4]
2．（5分）已知z＝1﹣i2020，则|z+2i|＝（ ） A．√10 B．2√2 C．2
D．√2
3．（5分）2022年北京冬季奥运会将在北京和张家口举行，现预备安排甲、乙、丙、丁四人参加3个志愿服务项目，每人只参加一个志愿服项目，每个项目都有人参加，则不同的安排方案有（ ） A．24
B．36
C．48
D．72
4．（5分）对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数a的31次方是个35位数，那么根据10＜a＜10，取常用对数得
34
31
35
3431
＜𝑙𝑔𝑎＜3531
可得到1.09＜lga
＜1.15，由对数表可知这个数是13，已知某个正整数的57次方是个45位数，则该正整数是（ ） a lga A．5
→
→
2 0.30
3 0.48
5 0.70 B．6
→
6 7 9 11 12 13 14
0.78 0.85 0.95 1.04 1.08 1.11 1.18
C．7
𝜋3
𝜋6
→
→
→
D．8
→
→
→
5．（5分）已知向量𝑎，𝑏满足𝑎=（sin，sin），|𝑏|=√2，且𝑎⊥（𝑎−𝑏），则𝑎与𝑏的夹角为（ ） A． 4𝜋
B．
3
𝜋
C．
3𝜋4
D．
5𝜋4
6．（5分）将3个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（ξ＝3表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球），则E（ξ），E（2ξ+1）分别等于（ ） A．
2516
，258
B．
2516
，338
C．，3
2
3
D．，4
2
3
7．（5分）已知未成年男性的体重G（单位：kg）与身高x（单位：cm）的关系可用指数模型G＝aebx来描述，根据大数据统计计算得到a＝2.004，b＝0.0197．现有一名未成年男性身高为110cm，体重为17.5kg，预测当他体重为35kg时，身高约为（ ）（ln2≈0.69）
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A．155cm B．150cm C．145cm D．135cm
8．（5分）如图所示，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为（ ）
A．18+3√2 B．6√13+3√2 C．6√5+9√2 D．10+3√2+4√10
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）下列四个等式其中正确的是（ ） A．tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°=√3 B．
𝑡𝑎𝑛22.5°𝜋8
𝜋8
1−𝑡𝑎𝑛222.5°
=1 =
21
C．cos2−sin2D．
1
𝑠𝑖𝑛10°
−
√3=4
𝑐𝑜𝑠10°
10．（5分）已知斜率为√3的直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是（ ） A．
1|𝐴𝐹|
+
1|𝐵𝐹|
=1 B．|AF|＝6 C．|BD|＝2|BF| D．F为AD中点
11．（5分）如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（ ） A．f（x）＝sinx
B．f（x）＝ex C．f（x）＝x3+3x
D．f（x）＝x|x|
12．（5分）下列命题中的真命题是（ ） A．∀x∈R，2x1＞0
﹣
B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 D．∃x∈R，tanx＝2
C．∃x∈R，lgx＜1
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
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𝑥2𝑦2
13．（5分）设F为双曲线𝐶：2−2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为
𝑎𝑏
直径的圆与双曲线C的其中一条渐近线交于点P（不同于O），若双曲线C右支上存在点M满足𝑃𝑀=𝑀𝐹，则双曲线C的离心率为 ．
14．（5分）已知关于x的不等式2x+𝑥−𝑎≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为 ．
15．（5分）玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某歌星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去，如果落地后两面一样，你就去！”这个办法 .（选填“公平”或“不公平”） 16．（5分）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，则二面角P﹣BC﹣A的大小为 ．
2
→
→
四．解答题（共6小题，满分58分）
17．（10分）已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，__________．若存在正整数n，使得Sn有最小值． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求Sn的最小值．
从①a3＝﹣1，②d＝2，③d＝﹣2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答．
18．每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如右的频率分布直方图：
（Ⅰ）求这100人睡眠时间的平均数𝑥（同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位）；
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（Ⅱ）由直方图可以认为，人的睡眠时间t近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似地等于样本平均数𝑥，σ2近似地等于样本方差s2，s2≈33.6．假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间（39.2，50.8）的人数． 附：√33.6≈5.8．若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．
19．（12分）如图，在△ABC中，B=3，BC＝2，线段AC的垂直平分线交AB于点D，连接CD．
（1）若△BCD的面积为
√6𝜋
√3，求CD的长； 3
（2）若DE=2，求角A的大小．
20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∠BAA1＝45°，CA＝CB，点O在棱AA1上，CO⊥AA1． （1）求证：AA1⊥BC；
（2）若BB1=√2AB＝2，直线BC与平面ABB1A1所成角为45°，D为CC1的中点，求二面角B1﹣A1D﹣C1的余弦值．
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1𝑥2𝑦2
21．（12分）已知椭圆𝐶：2+2=1(𝑎＞𝑏＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，且点𝑎2𝑏
𝑃(1，2)在椭圆上． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：x﹣y﹣1＝0椭圆C相交于A，B两点，求△OAB（O为坐标原点）的面积S．
22．（12分）已知函数f（x）=𝑥．
（1）求曲线y＝f（x）在（，f（））处的切线方程；
2
2
𝜋
𝜋𝑠𝑖𝑛𝑥
3
（2）求证：f（x）＞1−6；
（3）求证：当0＜x≤1.1时，f（x）＞
𝑙𝑛(1+𝑥)
． 𝑥𝑥2
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2021年新高考八省联考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分） 1．（5分）集合A＝{x|A．[2，3] 解：∵集合A＝{x|
𝑥−4𝑥−2
≤0}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则A∩B＝（ ）
C．[1，2]
D．（2，3]
B．[3，4]
𝑥−4𝑥−2
≤0}＝{x|2＜x≤4}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，
∴A∩B＝（2，3]． 故选：D．
2．（5分）已知z＝1﹣i2020，则|z+2i|＝（ ） A．√10 B．2√2 ×505
C．2 D．√2
解：由z＝1﹣i2020＝1﹣i4得|z+2i|＝|2i|＝2． 故选：C．
＝1﹣1＝0，
3．（5分）2022年北京冬季奥运会将在北京和张家口举行，现预备安排甲、乙、丙、丁四人参加3个志愿服务项目，每人只参加一个志愿服项目，每个项目都有人参加，则不同的安排方案有（ ） A．24
B．36
C．48
D．72
解：先把4人分成3组，然后把3组全排列有C42A33＝36种． 故选：B．
4．（5分）对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数a的31次方是个35位数，那么根据1034＜a31＜1035，取常用对数得
3431
＜𝑙𝑔𝑎＜3531
可得到1.09＜lga
＜1.15，由对数表可知这个数是13，已知某个正整数的57次方是个45位数，则该正整数是（ ） a lga A．5
2 0.30
3 0.48
5 0.70 B．6
6
7
9
11
12 13 14
0.78 0.85 0.95 1.04 1.08 1.11 1.18
C．7
D．8
解：某个正整数的57次方是个45位数，设这个数为a， 则1044＜a57＜1045，
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则
4457
＜lga＜57，
45
则0.77＜lga＜0.79， ∴a＝6， 故选：B．
5．（5分）已知向量𝑎，𝑏满足𝑎=（sin，sin），|𝑏|=√2，且𝑎⊥（𝑎−𝑏），则𝑎与𝑏的夹角
3
6
→
→
→
𝜋𝜋
→
→→
→
→
→
为（ ） A． 4
→
𝜋
B．
3
𝜋3
𝜋6
→
𝜋
C．
3𝜋4
D．
5𝜋4
解：由𝑎=（sin，sin），|𝑏|=√2， 所以|𝑎|=√𝑠𝑖𝑛23+𝑠𝑖𝑛26=√4+4=1；
又𝑎⊥（𝑎−𝑏），所以𝑎•（𝑎−𝑏）=𝑎2−𝑎⋅𝑏=0， 所以𝑎•𝑏=𝑎2=1，
→→
→→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
𝜋𝜋31
所以cosθ=
𝑎⋅𝑏
|𝑎|×|𝑏|
→→=
√21=2； 1×√2又θ∈[0，π]， 所以θ=4， 即𝑎与𝑏的夹角为．
4
→
→
𝜋
𝜋
故选：A．
6．（5分）将3个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（ξ＝3表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球），则E（ξ），E（2ξ+1）分别等于（ ） A．
2516
，258
B．
2516
，338
C．，3
2
3
D．，4
2
3
解：由E（2ξ+1）＝2E（ξ）+1，
43−337又P（ξ＝1）==； 36443−219P（ξ＝2）==； 36442−17P（ξ＝3）=3=64； 4
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3
33
3
3
P（ξ＝4）=
1； 6437
19
7
1
25
∴E（ξ）＝1×64+2×64+3×64+4×64=16； ∴E（2ξ+1）=8． 故选：B．
7．（5分）已知未成年男性的体重G（单位：kg）与身高x（单位：cm）的关系可用指数模型G＝aebx来描述，根据大数据统计计算得到a＝2.004，b＝0.0197．现有一名未成年男性身高为110cm，体重为17.5kg，预测当他体重为35kg时，身高约为（ ）（ln2≈0.69） A．155cm
B．150cm
C．145cm
D．135cm
33
解：根据题意，a＝2.004，b＝0.0197，则G＝aebx＝2.004×e0.0197x， 现有一名未成年男性身高为110cm，体重为17.5kg，则17.5＝2.004×e0.0197当他体重为35kg时，身高为m，则有35＝2.004×e0.0197则有2×（2.004×e0.0197
×110
×m
×110
，①
，②
）＝2.004×e0.0197
×m
，
变形可得2＝2.004×e0.0197解可得m≈145， 故选：C．
×（m﹣110）
，变形可得0.0197（m﹣110）＝ln2，
8．（5分）如图所示，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为（ ）
A．18+3√2 解：如图，
B．6√13+3√2 C．6√5+9√2 D．10+3√2+4√10
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延长EF、A1B1 相交于M，连接AM交BB1 于H， 延长FE、A1D1 相交于N，连接AN交DD1 于G， 可得截面五边形AHFEG．
∵ABCD﹣A1B1C1D1是边长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点， ∴EF＝3√2，AG＝AH=√62+42=2√13，EG＝FH=√32+22=√13． ∴截面的周长为6√13+3√2． 故选：B．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分） 9．（5分）下列四个等式其中正确的是（ ） A．tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°=√3 B．
𝑡𝑎𝑛22.5°𝜋8
𝜋8
1−𝑡𝑎𝑛222.5°
=1 =
21
C．cos2−sin2D．
1
𝑠𝑖𝑛10°
−
√3=4
𝑐𝑜𝑠10°
𝑡𝑎𝑛25°+𝑡𝑎𝑛35°
解：对①：tan60°＝tan（25°+35°）=1−𝑡𝑎𝑛25°𝑡𝑎𝑛35°=√3，故tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°=√3，故正确； 对②：
𝑡𝑎𝑛22.5°𝜋8
𝜋8
1−𝑡𝑎𝑛222.5°
=tan45°＝1，故
2
1𝑡𝑎𝑛22.5°
1−𝑡𝑎𝑛222.5°
=，故错误；
2
1
对③：cos2−sin2对④：1
=cos=
4
𝜋
√2，故错误； 2
𝑠𝑖𝑛10°
−
𝑐𝑜𝑠10°−√3𝑠𝑖𝑛10°2𝑐𝑜𝑠(60°+10°)2𝑠𝑖𝑛20°√3====4，故正确． 11𝑐𝑜𝑠10°𝑠𝑖𝑛10°𝑐𝑜𝑠10°𝑠𝑖𝑛20°𝑠𝑖𝑛20°
22故选：AD．
10．（5分）已知斜率为√3的直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C
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交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是（ ） A．
1|𝐴𝐹|
+
1|𝐵𝐹|
=1 B．|AF|＝6
𝑝2
C．|BD|＝2|BF| D．F为AD中点
𝑝
2解：方法一：如图，F（，0），直线l的斜率为√3，则直线方程为y=√3（x−）， 𝑦2=2𝑝𝑥22联立{𝑝，得12x﹣20px+3p＝0．
𝑦=√3(𝑥−)
2解得：xA=
3𝑝𝑝，xB= 268𝑝
由|AB|＝|AF|+|BF|＝xA+xB+p=3=8，得p＝3． 所以抛物线方程为y2＝6x． 则|AF|＝xA+=2p＝6，故B正确； 所以|BF|＝2，
|BD|=𝑐𝑜𝑠60°=4，∴|BD|＝2|BF|，故C正确； 所以|AF|＝|DF|＝6，则F为AD中点．
1|𝐴𝐹|
|𝐵𝐹|
𝑝2+
1|𝐵𝐹|
=，故A错误，
3
2
方法二：设直线AB的倾斜角为θ 利用抛物线的焦点弦的性质，由|𝐴𝐵|=
𝑝
𝑝
2𝑝
=8，则p＝3， 𝑠𝑖𝑛2𝜃|𝐴𝐹|=1−𝑐𝑜𝑠𝜃=6，|𝐵𝐹|=1+𝑐𝑜𝑠𝜃=2，
1|𝐴𝐹|
+
1|𝐵𝐹|
=
2𝑝
=，
3
|𝐵𝐵′|
2
在Rt△DBB′中，cosθ=|𝐵𝐷|，所以|BD|＝4，因此F为AD中点． 故选：BCD．
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11．（5分）如果对定义在R上的奇函数y＝f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y＝f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（ ） A．f（x）＝sinx
B．f（x）＝ex C．f（x）＝x3+3x
D．f（x）＝x|x|
解：因为任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）， 故x1f（x1）﹣x1f（x2）＞﹣x2f（x2）+x2f（x1），
即（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，所以函数f（x）在R上单调递增， A：y＝sinx在R上不单调，不符合题意；
B：y＝ex在R上单调递增，但是非奇非偶函数，不符合题意；
C：f′（x）＝3x2+3＞0恒成立，故f（x）在R上单调递增，符合题意； D：由于y＝x|x|={故选：CD．
12．（5分）下列命题中的真命题是（ ） A．∀x∈R，2x1＞0
﹣
𝑥2，𝑥≥0
在R上单调递增，符合题意．
−𝑥2，𝑥＜0
B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0 D．∃x∈R，tanx＝2
C．∃x∈R，lgx＜1
解：∵指数函数y＝2t的值域为（0，+∞）
∴任意x∈R，均可得到2x1＞0成立，故A项正确；
﹣
∵当x∈N*时，x﹣1∈N，可得（x﹣1）2≥0，当且仅当x＝1时等号 ∴存在x∈N*，使（x﹣1）2＞0不成立，故B项不正确； ∵当x＝1时，lgx＝0＜1
∴存在x∈R，使得lgx＜1成立，故C项正确；
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∵正切函数y＝tanx的值域为R
∴存在锐角x，使得tanx＝2成立，故D项正确 故选：ACD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
𝑥2𝑦2
13．（5分）设F为双曲线𝐶：2−2=1(𝑎＞0，𝑏＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为
𝑎𝑏
直径的圆与双曲线C的其中一条渐近线交于点P（不同于O），若双曲线C右支上存在点M满足𝑃𝑀=𝑀𝐹，则双曲线C的离心率为 √2 ．
解：如图所示：双曲线对称性，设渐近线的方程为：y=x，即bx﹣ay＝0，右焦点F（c，0），
所以F到渐近线的距离d=√𝑂𝐹2−𝑑2=√𝑐2−𝑏2=a，
𝑎2𝑎𝑏
所以|OP|＝a，|PF|＝b，所以可求得𝑃(，)，
𝑐𝑐𝑏𝑐√𝑎2+𝑏2→
→
𝑏
𝑎=𝑐=b，在直角三角形OPF中可得|OP|=
𝑏𝑐
F（c，0），因为𝑃𝑀=𝑀𝐹，则可得M为P，F的中点，所以𝑀(把M代入双曲线𝐶：可得
(𝑎2+𝑐2)24𝑎2𝑐2
𝑥2𝑦2
−=1(𝑎＞0，𝑏＞0)， 𝑎2𝑏2→→
𝑎2+𝑐2𝑎𝑏
，2𝑐)， 2𝑐−
𝑎2𝑏24𝑏2𝑐2
=1，整理可得c2＝2a2，所以𝑒=√2．
故答案为：√2．
14．（5分）已知关于x的不等式2x+𝑥−𝑎≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小
2
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值为
32 ．
解：∵x＞a，∴x﹣a＞0，
∴2x+𝑥−𝑎=2（x﹣a）+𝑥−𝑎+2a≥2√2(𝑥−𝑎)⋅𝑥−𝑎+2a＝2a+4， 即2a+4≥7，所以a≥，即a的最小值为 2
323
2
2
2当且仅当x＝a+1时取等号． 故答案为．
23
15．（5分）玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某歌星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去，如果落地后两面一样，你就去！”这个办法 公平 （.选填“公平”或“不公平”） 解：抛两枚同样的一元硬币，结果为正反，反正，正正，反反， 故一正一反的概率为，两面一样的概率为，
2
2
1
1
故这个办法公平， 故答案为：公平．
16．（5分）如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，则二面角P﹣BC﹣A的大小为 45° ．
解：由已知 PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴PA⊥BC，
∵AB 是⊙O 的直径，且点 C 在圆周上， ∴AC⊥BC， 又∵PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC． 而 PC⊂平面 PAC，
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∴PC⊥BC，
又∵BC 是二面角 P﹣BC﹣A 的棱， ∴∠PCA 是二面角 P﹣BC﹣A 的平面角， 由 PA＝AC 知△PAC 是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，
即二面角 P﹣BC﹣A 的大小是 45°． 故答案为：45°．
四．解答题（共6小题，满分58分）
17．（10分）已知{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，且a5＝1，__________．若存在正整数n，使得Sn有最小值． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求Sn的最小值．
从①a3＝﹣1，②d＝2，③d＝﹣2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答． 解：①a3＝﹣1时，
根据题意得a5﹣a3＝2d，1﹣（﹣1）＝2d，解得d＝1， （Ⅰ）an＝a5+（n﹣5）d＝1+（n﹣5）×1＝n﹣4，
𝑛(𝑛−1)𝑑𝑛(𝑛−1)𝑛2−7𝑛（Ⅱ）Sn＝na1+=n×（﹣3）+2=2 2所以当n＝3或4时，（Sn）min＝﹣6． ②d＝2时，
根据题意得a1＝a5﹣4d＝1﹣4×2＝﹣7，
（Ⅰ）an＝a1+（n﹣1）d＝﹣7+（n﹣1）×2＝2n﹣9 （Ⅱ）Sn＝na1+
𝑛(𝑛−1)𝑑𝑛(𝑛−1)×2
=n×（﹣7）+=n2﹣8n， 22所以当n＝4时，（Sn）min＝﹣16， ③d＝﹣2时，
根据题意得a1＝a5﹣4d＝1﹣4×（﹣2）＝9，
（Ⅰ）an＝a1+（n﹣1）d＝9+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n+11 （Ⅱ）Sn＝na1+
𝑛(𝑛−1)𝑑𝑛(𝑛−1)2
=n×9−×2＝﹣n+10n， 22第 14 页 共 20 页
所以Sn没有最小值．
18．每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础．为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如右的频率分布直方图：
（Ⅰ）求这100人睡眠时间的平均数𝑥（同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，人的睡眠时间t近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似地等于样本平均数𝑥，σ2近似地等于样本方差s2，s2≈33.6．假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间（39.2，50.8）的人数． 附：√33.6≈5.8．若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．
解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，这100人睡眠时间的平均数为： 𝑥=0.06×34+0.18×38+0.20×42+0.28×46+0.16×50+0.10×54+0.02×58=44.72≈45；
（Ⅱ）由题意得，μ﹣σ≈39.2，μ+σ≈50.8，P（39.2＜t＜50.8）＝0.6826，
∴估计该人群中一周睡眠时间在区间（39.2，50.8）的人数约为10000×0.6826＝6826（人）． 19．（12分）如图，在△ABC中，B=，BC＝2，线段AC的垂直平分线交AB于点D，连接CD．
（1）若△BCD的面积为
√6𝜋
3√3，求CD的长； 3
（2）若DE=2，求角A的大小．
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解：（1）由已知得S△BCD=2BC•BD•sinB=3， 又BC＝2，sinB=∴BD=，
又cosB=，在△BCD中，由余弦定理，得：CD2＝BC2+BD2﹣2BC•BD•cosB＝22+()2−2×2××
2
3128=． 29122323√31√32，
∴CD=3．
（2）因为CD＝AD=𝑠𝑖𝑛𝐴=2𝑠𝑖𝑛𝐴， 在△BCD中，由正弦定理，得又∠BDC＝2A，得解得cosA=2，
因为A为三角形内角，A∈（0，π）， 所以A=．
20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，∠BAA1＝45°，CA＝CB，点O在棱AA1上，CO⊥AA1． （1）求证：AA1⊥BC；
（2）若BB1=√2AB＝2，直线BC与平面ABB1A1所成角为45°，D为CC1的中点，求二面角B1﹣A1D﹣C1的余弦值．
𝜋
4√22√7𝐷𝐸√6𝐵𝐶
𝑠𝑖𝑛∠𝐵𝐷𝐶
=
𝐶𝐷𝑠𝑖𝑛𝐵
，
2
𝑠𝑖𝑛2𝐴
=
√6，
2𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵
第 16 页 共 20 页
（1）证明：∵平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，平面AA1C1C∩平面AA1B1B＝AA1，OC⊥AA1， ∴OC⊥平面AA1B1B， ∴OC⊥OB，
∵CA＝CB，OC＝OC，∠COA＝∠COB＝90°， ∴Rt△AOC≌Rt△BOC， ∴OA＝OB， ∵∠BAA1＝45°，
∴∠ABO＝∠BAA1＝45°，∠AOB＝90°，即AA1⊥OB， 又OC⊥AA1，OB∩OC＝O，OB、OC⊂平面BOC， ∴AA1⊥平面BOC， ∴AA1⊥BC．
（2）解：以O为原点，OA、OB、OC所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，OC⊥平面AA1B1B，
∵直线BC与平面ABB1A1所成角为45°， ∴∠CBO＝45°，
∵AB=√2，∴OA＝OB＝OC＝1，
∴B（0，1，0），A1（﹣1，0，0），B1（﹣2，1，0），D（﹣1，0，1）， ∴𝐴1𝐷=（0，0，1），𝐵1𝐷=（1，﹣1，1），
→𝑚⋅𝐴1𝐷=0𝑧=0设平面A1B1D的法向量为𝑚=（x，y，z），则{→→，即{，
𝑥−𝑦+𝑧=0
𝑚⋅𝐵1𝐷=0
→
→
→
→
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令x＝1，则y＝1，z＝0，所以𝑚=（1，1，0），
∵OB⊥平面AA1C1C，∴平面A1C1D的一个法向量𝑛=𝑂𝐵=（0，1，0），
√2𝑚⋅𝑛1∴cos＜𝑚，𝑛＞=→→==2，
|𝑚|⋅|𝑛|√2×1→
→
→
→
→
→→
由图可知，二面角B1﹣A1D﹣C1为锐角，
√2故二面角B1﹣A1D﹣C1的余弦值为．
2
21．（12分）已知椭圆𝐶：𝑃(1，2)在椭圆上．
3
1𝑥2𝑦2
+=1(𝑎＞𝑏＞0)的左、右焦点为F，F，离心率为，且点12𝑎2𝑏22
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：x﹣y﹣1＝0椭圆C相交于A，B两点，求△OAB（O为坐标原点）的面积S．
解：（1）椭圆𝐶：3
)在椭圆上， 21𝑥2𝑦2
+=1(𝑎＞𝑏＞0)的左、右焦点为F，F，离心率为，且点𝑃(1，12𝑎2𝑏22
2+2=1𝑎=2 𝑎4𝑏
可得𝑐1⇒{𝑏=√3，
= 𝑎2𝑐=1 2
22
{𝑎=𝑏+𝑐∴椭圆的标准方程为
𝑥24
19
+
𝑦23
=1．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
𝑥2𝑦2
联立{4+3=1，化为7y2+6y﹣9＝0，
𝑥−𝑦−1=0
6
则y1+y2=−7，y1y2=−7，
∴|y1﹣y2|=√(𝑦1+𝑦2)2−4𝑦1𝑦2=√(−)2−4×(−)=∵F2（1，0），直线l：x﹣y﹣1＝0． ∴直线l经过点F2，
∴S=2×|OF2|•|y1﹣y2|=2×1×
1
1
12√26√2=7． 7679712√2． 79
22．（12分）已知函数f（x）=𝑥．
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𝑠𝑖𝑛𝑥
（1）求曲线y＝f（x）在（，f（））处的切线方程；
2
2
𝜋𝜋
（2）求证：f（x）＞1−
𝑥2
； 6𝑙𝑛(1+𝑥)
． 𝑥（3）求证：当0＜x≤1.1时，f（x）＞解：（1）因为𝑓′(𝑥)=
𝜋
2
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥𝜋4
，所以𝑓′()=−2． 22𝜋𝑥2
4𝜋42
(𝑥−)=−𝑥+， 2𝜋𝜋2𝜋2又因为𝑓(2)=𝜋，所以切线方程为𝑦−𝜋=−即𝑦=−
44
𝑥+； 𝜋𝜋2𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2
（2）证明：𝑓(𝑥)＞1−⇔＞1−6．
6𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2𝑥2
注意到f（x）与𝑦=1−都是偶函数，因此只需证明x＞0时＞1−成立，
6𝑥6𝑥3
即𝑠𝑖𝑛𝑥＞𝑥−成立即可．
6𝑥3𝑥2
设𝑔(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑥+，x≥0，则𝑔′(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥−1+．
62设ℎ(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥−1+
𝑥2
，则h'（x）＝x﹣sinx，由于（x﹣sinx）′＝1﹣cosx≥0， 2即h′（x）≥0，因此h（x）在x≥0时递增， 可得h（x）≥h（0）＝0恒成立．
从而可知g（x）在x≥0时递增，因此g（x）≥g（0）＝0，且等号只在x＝0成立．
𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2𝑥3
因此当x＞0时，𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑥+6＞0，即＞1−，
𝑥6
故f（x）＞1−
𝑥2
； 6𝑙𝑛(1+𝑥)𝑠𝑖𝑛𝑥𝑙𝑛(1+𝑥)
⇔＞⇔𝑠𝑖𝑛𝑥＞𝑙𝑛(1+𝑥)． 𝑥𝑥𝑥（3）证明：当0＜x≤1.1时，𝑓(𝑥)＞𝑥3𝑥3
由（2）可知，当0＜x≤1.1时，𝑠𝑖𝑛𝑥＞𝑥−恒成立，因此只需证明当0＜x≤1.1时，𝑥−
66＞𝑙𝑛(1+𝑥)即可．
设𝑔(𝑥)=𝑥−6−𝑙𝑛(1+𝑥)，0≤x≤1.1， 则𝑔′(𝑥)=1−2−1+𝑥=1+𝑥−2=
𝑥2
1
𝑥
𝑥2
𝑥(2−𝑥−𝑥2)𝑥(1−𝑥)(2+𝑥)
=，
2(1+𝑥)2(1+𝑥)𝑥3
因此当0≤x≤1，g（x）递增；1≤x≤1.1，g（x）递减．
1．11．11．1
又因为g（0）＝0，𝑔(1.1)=1.1−6−𝑙𝑛2.1，而且1.1−6＞1.1−5=0.8338．
3
3
3
又因为2.14＝19.4481，2.73＝19.683，所以2.14＜2.73＜e3，
第 19 页 共 20 页
从而2.1＜𝑒4，因此𝑙𝑛2.1＜=0.75，从而g（1.1）＞0.8338﹣0.75＞0． 因此可知，当0＜x≤1.1，g（x）＞0恒成立，
𝑥3
即𝑥−6＞𝑙𝑛(1+𝑥)．
3
34
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