2014年安徽省高考数学试卷(文科)

2014年安徽省高考数学试卷（文科）

一、选择题（共本大题10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）设i是虚数单位，复数i3+A．﹣i B．i

C．﹣1 D．1

=（ ）

2．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（ ） A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0 C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0

D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0

3．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（ ） A．y=﹣1 B．y=﹣2

C．x=﹣1

D．x=﹣2

4．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A．34 B．55 C．78 D．

5．（5分）设a=log37，b=23.3，c=0.81.1，则（ ） A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 6．（5分）过点P（﹣

，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾

斜角的取值范围是（ ） A．（0，

]

B．（0，

]

C．[0，

]

D．[0，

]

7．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（ ） A．

B．

C．

D．

8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ） A．

B．

C．6

D．7

9．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（ ） A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8 10．（5分）设，为非零向量，||=2||，两组向量，

，

，均由2个和2个排列而成，若

•

+，•

，+

•，+和•

，所

有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（ ）

1页

.

A． B． C． D．0

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）（

）

+log3+log3= ．

，过点A作BC的垂

12．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2

线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2，过点A2作A1C的垂线，垂足为A3…，依此类推，设BA=a1，AA1=a2，A1A2=a3，…，A5A6=a7，则a7= ． 13．（5分）不等式组

表示的平面区域的面积为 ．

14．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=

，则f（

）+f（

）= ．

15．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：

（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．

下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）． ①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3

②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2 ③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx ④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx ⑤直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx． 三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为

，求cosA与a的值．

17．（12分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）． （1）应收集多少位女生的样本数据？

2页

.

（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．

（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． P（K2≥k0） k0 附：K2=

0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 ．

0.005 7.879 18．（12分）数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*． （Ⅰ）证明：数列{（Ⅱ）设bn=3n•

}是等差数列；

，求数列{bn}的前n项和Sn．

19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2

，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH

⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH． （Ⅰ）证明：GH∥EF；

（Ⅱ）若EB=2，求四边形GEFH的面积．

20．（13分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0． （Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；

（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值． 21．（13分）设F1，F2分别是椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过

点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|． （Ⅰ）若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； （Ⅱ）若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．

2014年安徽省高考数学试卷（文科）

参与试题解析

3页

.

一、选择题（共本大题10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）设i是虚数单位，复数i3+A．﹣i B．i

C．﹣1 D．1

=（ ）

【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果． 【解答】解：复数i3+故选：D．

【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．

2．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（ ） A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0 C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0

D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0 =﹣i+

=﹣i+

=1，

【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．

【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0， 故选：C．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 3．（5分）抛物线y=x2的准线方程是（ ） A．y=﹣1 B．y=﹣2

C．x=﹣1

D．x=﹣2

【分析】先化为抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．

【解答】解：抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，焦点在y轴上，2p=4， ∴=1，

∴准线方程 y=﹣=﹣1． 故选：A．

【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．

4页

.

4．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A．34 B．55 C．78 D．

【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．

【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2； 第二次循环得z=3，x=2，y=3； 第三次循环得z=5，x=3，y=5； 第四次循环得z=8，x=5，y=8； 第五次循环得z=13，x=8，y=13； 第六次循环得z=21，x=13，y=21； 第七次循环得z=34，x=21，y=34；

第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55， 故选：B．

【点评】本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题．

5．（5分）设a=log37，b=23.3，c=0.81.1，则（ ） A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b

【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小． 【解答】解：1＜log37＜2，b=23.3＞2，c=0.81.1＜1， 则c＜a＜b， 故选：B．

【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论． 6．（5分）过点P（﹣

，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾

斜角的取值范围是（ ） A．（0，

]

B．（0，

]

C．[0，

]

D．[0，

]

【分析】用点斜式设出直线方程，根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 围．

5页

≤1，由此求得斜率k的范围，可得倾斜角的范

.

【解答】解：由题意可得点P（﹣的斜率一定存在，设为k， 则直线方程为 y+1=k（x+

，﹣1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线

），即 kx﹣y+k﹣1=0．

≤

根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得 1， 即 3k2﹣2故选：D．

k+1≤k2+1，解得0≤k≤

，故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]，

【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．

7．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值． 【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=位，

所得图象是函数y=

sin（2x+

﹣2φ），

， sin（2x+

）的图象向右平移φ的单

图象关于y轴对称，可得即φ=﹣

，

﹣2φ=kπ+

当k=﹣1时，φ的最小正值是故选：C．

．

【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题． 8．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（ ） A．

B．

C．6

D．7

【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的体积． 【解答】解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何

6页

.

体，如图，

正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1， 故几何体的体积为：V正方体﹣2V棱锥侧故选：A．

【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． 9．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（ ） A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8

【分析】分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值． 【解答】解：

＜﹣1时，x＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣1；

=

．

﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1； x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2， ∴﹣1=3或a﹣2=3， ∴a=8或a=5，

a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；

≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a； ﹣1≤x≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1； x＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1， ∴2﹣a=3或﹣+1=3， ∴a=﹣1或a=﹣4，

a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去； 综上，a=﹣4或8． 故选：D．

【点评】本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，属于中档题．

10．（5分）设，为非零向量，||=2||，两组向量

7页

，，，和，

.

，，，均由2个和2个排列而成，若•+•+•+•所

有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（ ） A．

B．

C．

D．0 ，

，

，

和

，

，

，

，均由2个和2个排

【分析】两组向量

列而成，结合其数量积组合情况，即可得出结论． 【解答】解：由题意，设与的夹角为α， 分类讨论可得 ①②足； ③

•

+

•

+

•

+

•

=4•=8||2cosα=4||2，满足题意，此时

••

++

••

++

••++••

=•+•+•+•=10||2，不满足

=•+•+•+•=5||2+4||2cosα，不满

cosα=

∴与的夹角为故选：B．

【点评】本题考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）（

）

+log3+log3= ．

．

【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可． 【解答】解：（=

．

．

）

+log3+log3=

+log35﹣log34+log34﹣log35

故答案为：

【点评】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，考查计算能力．

8页

.

12．（5分）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2，过点A作BC的垂

线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2，过点A2作A1C的垂线，垂足为A3…，依此类推，设BA=a1，AA1=a2，A1A2=a3，…，A5A6=a7，则a7= 【分析】根据条件确定数列{an}是等比数列，即可得到结论． 【解答】解：∵等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2∴sin45°=

，即

=

，

，

．

同理=，=，

的等比数列，首项a1=2，

由归纳推理可得{an}是公比q=则a7=

=，

故答案为：．

【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据等腰直角三角形之间的关系，得到数列{an}是公比q=

的等比数列是解决本题的关键．

13．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为 4 ．

【分析】由不等式组作出平面区域为三角形ABC及其内部，联立方程组求出B的坐标，由两点间的距离公式求出BC的长度，由点到直线的距离公式求出A到BC边所在直线的距离，代入三角形面积公式得答案． 【解答】解：由不等式组

作平面区域如图，

由图可知A（2，0），C（0，2）， 联立∴|BC|=

，解得：B（8，﹣2）．

．

．

点A到直线x+2y﹣4=0的距离为d=

9页

.

∴

故答案为：4．

．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

14．（5分）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=

，则f（

）+f（

）=

．

【分析】通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．

【解答】解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=则f（

）+f（

）

，

=f（8﹣）+f（8﹣） =f（﹣）+f（﹣） =﹣f（）﹣f（） ==

=

． ．

故答案为：

【点评】本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力． 15．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：

（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．

下列命题正确的是 ①③④ （写出所有正确命题的编号）． ①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3

②直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2 ③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx

10页

.

④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx ⑤直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx．

【分析】分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P出的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．

【解答】解：对于①，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，

又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，

∴命题①正确；

对于②，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），则y′|x=﹣1=0，

而直线l：x=﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切， ∴命题②错误；

对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线， 又x∈

时x＜sinx，x∈

时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附

近位于直线y=x两侧， ∴命题③正确； 对于④，由y=tanx，得曲线的切线， 又x∈

时tanx＜x，x∈

时tanx＞x，满足曲线C在P（0，0），则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的

附近位于直线y=x两侧， ∴命题④正确； 对于⑤，由y=lnx，得设g（x）=x﹣1﹣lnx，得

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．

∴g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．

∴y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，

11页

，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1，

，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，

.

命题⑤错误． 故答案为：①③④．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的最值，判断③④时应熟记当x∈时，tanx＞x＞sinx，该题是中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为

，求cosA与a的值．

，利用平方关系，求出cosA，

【分析】利用三角形的面积公式，求出sinA=利用余弦定理求出a的值．

【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为∴∴sinA=

=，

，

，

又∵sin2A+cos2A=1 ∴cosA=±， 由余弦定理可得a=

=2

或2

．

【点评】本题考查三角形的面积公式、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．

17．（12分）某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）． （1）应收集多少位女生的样本数据？

（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．

（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成

12页

.

每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． P（K2≥k0） k0 附：K2=

0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 ．

0.005 7.879 【分析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可．

（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率． （3）利用性检验进行求解即可 【解答】解：（1）300×

=90，所以应收集90位女生的样本数据．

（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，

所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75． （3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表

男生 每周平均体育运动时间 不超过4小时 每周平均体育运动时间 超过4小时 总计 210 =

165 45 女生 30 总计 75 60 225 90 300 结合列联表可算得K2=

≈4.762＞3.841

所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”． 【点评】本题主要考查频率分布直方图以及性检验的应用，比较基础 18．（12分）数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*． （Ⅰ）证明：数列{（Ⅱ）设bn=3n•

}是等差数列；

，求数列{bn}的前n项和Sn．

13页

.

【分析】（Ⅰ）将nan+1=（n+1）an+n（n+1）的两边同除以n（n+1）得由等差数列的定义得证． （Ⅱ）由（Ⅰ）求出bn=3n•Sn．

【解答】证明（Ⅰ）∵nan+1=（n+1）an+n（n+1）， ∴∴∴数列{

， ，

}是以1为首项，以1为公差的等差数列；

，

，

=n•3n，利用错位相减求出数列{bn}的前n项和

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴bn=3n•∴

， =n•3n，

•3n﹣1+n•3n① •3n+n•3n+1②

①﹣②得==∴

3n﹣n•3n+1

【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．

19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2

，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH

⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH． （Ⅰ）证明：GH∥EF；

（Ⅱ）若EB=2，求四边形GEFH的面积．

【分析】（Ⅰ）证明GH∥EF，只需证明EF∥平面PBC，只需证明BC∥EF，利用

14页

.

BC∥平面GEFH即可；

（Ⅱ）求出四边形GEFH的上底、下底及高，即可求出面积．

【解答】（Ⅰ）证明：∵BC∥平面GEFH，平面GEFH∩平面ABCD=EF，BC⊂平面ABCD， ∴BC∥EF，

∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴EF∥平面PBC，

∵平面EFGH∩平面PBC=GH， ∴EF∥GH；

（Ⅱ）解：连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK． ∵PA=PC，O为AC中点， ∴PO⊥AC， 同理可得PO⊥BD，

又∵BD∩AC=O，AC⊂底面ABCD，BD⊂底面ABCD， ∴PO⊥底面ABCD，

又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO⊄平面GEFH， ∴PO∥平面GEFH，

∵平面PBD∩平面GEFH=GK， ∴PO∥GK，且GK⊥底面ABCD ∴GK是梯形GEFH的高 ∵AB=8，EB=2， ∴∴KB=又∵PO∥GK，

∴GK=PO，即G为PB中点，且GH=由已知可得OB=4∴GK=3，

故四边形GEFH的面积S=

=

15页

，

，即K为OB中点，

， =6，

，PO==

=18．

.

【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查梯形面积的计算，正确运用线面平行的判定与性质是关键．

20．（13分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0． （Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；

（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值． 【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2， 由f′（x）=0，得x1=∴由f′（x）＜0得x＜由f′（x）＞0得故f（x）在（﹣∞，在（

，

＜x＜

）和（）上单调递增；

时，即a≥4

，x2=，x＞

；

，+∞）单调递减， ，x1＜x2， ；

（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈[0，1]，当

①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．

②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减， 因此f（x）在x=x2=

处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，

∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值； 当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值； 当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题． 21．（13分）设F1，F2分别是椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过

16页

.

点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|． （Ⅰ）若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； （Ⅱ）若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率．

【分析】（Ⅰ）利用|AB|=4，△ABF2的周长为16，|AF1|=3|F1B|，结合椭圆的定义，即可求|AF2|；

（Ⅱ）设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率． 【解答】解：（Ⅰ）∵|AB|=4，|AF1|=3|F1B|， ∴|AF1|=3，|F1B|=1， ∵△ABF2的周长为16， ∴4a=16，

∴|AF1|+|AF2|=2a=8， ∴|AF2|=5；

（Ⅱ）设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k， ∴|AF2|=2a﹣3k，|BF2|=2a﹣k ∵cos∠AF2B=，

在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2﹣2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B， ∴（4k）2=（2a﹣3k）2+（2a﹣k）2﹣（2a﹣3k）（2a﹣k）， 化简可得（a+k）（a﹣3k）=0，而a+k＞0，故a=3k， ∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k， ∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2， ∴AF1⊥AF2，

∴△AF1F2是等腰直角三角形， ∴c=∴e==

a，

．

【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

17页