2018-2019年高考数学试题分类汇编极坐标参数方程附答案详解

程

1、（2018年高考数学全国卷I文理科22）

（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． （1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程． 【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． 转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0， 转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．

（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）． 由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点． 所以：必有一直线相切，一直线相交． 则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．

故：，解得：k=或0，（0舍去）

故C1的方程为：． 2、（2018年高考数学全国卷II文理科22）

（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

，（θ为参数），直线l的参

数方程为，（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．

【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），

转换为直角坐标方程为：．

直线l的参数方程为（t为参数）．

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转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．

（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，

+=1

则：

由于（1，2）为中点坐标，

，

所以：，

则：8cosα+4sinα=0，

解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2． 3、（2018年高考数学全国卷III文理科22）

（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为﹣

）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

，（θ为参数），过点（0，

（1）求α的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），

∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1， 当α=当α≠

时，过点（0，﹣时，过点（0，﹣

）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立； ）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+

，

∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，

∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1， ∴

或

，

， ）．

＜1，

综上α的取值范围是（

（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+

），

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设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），

联立

，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，

，

=﹣+2，

=，=﹣，

∴AB中点P的轨迹的参数方程为4、（2018年高考数学天津卷理科12）

，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．

（5分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线两点，则△ABC的面积为 ．

，（t为参数）与该圆相交于A，B

【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；

直线化为普通方程是x+y﹣2=0，

则圆心C到该直线的距离为d==，

弦长|AB|=2=2=2×=，

∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=×5、（2018年高考数学北京卷理科10）

×=．故答案为：．

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（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a= 1+【解答】解：圆ρ=2cosθ， 转化成：ρ2=2ρcosθ，

进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，

把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0． 由于直线和圆相切，

所以：利用圆心到直线的距离等于半径．

．

则：=1，

．a＞0则负值舍去．

解得：a=1±故：a=1+

．

6、（2018年高考数学江苏卷理科23） 在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（线C截得的弦长．

【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x， ∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．

﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲

∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴

y=4．

﹣=2，

∴直线l的普通方程为：x﹣

圆心C到直线l的距离为d=∴直线l被曲线C截得的弦长为2

，

．

7、（2019年全国卷III文理科）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，C(2,4)，D(2,)，弧AB，BC，CD所在圆4的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,)，曲线M1是弧AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD. （1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|23，求P的极坐标.

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解：（1）由题设可得，弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos.

所以M1的极坐标方程为2cos0π3ππ，M2的极坐标方程为2sin，4443πM3的极坐标方程为2cosπ.

4（2）设P(,)，由题设及（1）知

ππ，则2cos3，解得； 46π3ππ2π若，则2sin3，解得或； 44333π5π若. π，则2cos3，解得46若0综上，P的极坐标为

π或π或2π或5π. 3,3,3,3,63368、（2019年全国卷II文理科）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

O为极点，在极坐标系中，点M(0,0)(00)在曲线C:4sin上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P. （1）当0=



时，求0及l的极坐标方程； 3

时，04sin23. 33（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 解：（1）因为M0,0在C上，当0由已知得|OP||OA|cos2. 3|OP|2， 3设Q(,)为l上除P的任意一点.在Rt△OPQ中cos经检验，点P(2,)在曲线cos32上. 3所以，l的极坐标方程为cos2. 3（2）设P(,)，在Rt△OAP中，|OP||OA|cos4cos,即 4cos.. 因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,.

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所以，P点轨迹的极坐标方程为

4cos,,42 .

9、（2019年全国卷I文理科）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

1t2x，21t（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为y4t1t2正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．

21t24t2y1t21，且x解：（1）因为11，所以C的直角坐标方程为2221t221t1t22y2x1(x1).

42l的直角坐标方程为2x3y110.

（2）由（1）可设C的参数方程为xcos,（为参数，ππ）.

y2sinπ4cos11|2cos23sin11|3C上的点到l的距离为.

77当π2π时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.

3310、（2019年天津卷理科12）设aR，直线axy20和圆的值为 . 答案：

x22cos,（为参数）相切，则ay12sin3 4解析：本题主要考察极坐标与参数方程,直线和圆的位置关系

x22cos22 圆参数方程，转化为圆标准方程为(x2)(y1)4，圆心(2,1)，半径

y12sinr=2.

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因为直线与圆相切,即圆心到直线的距离等于圆的半径,r11、（2019年江苏卷21B）

[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知两点A3,|2a12|a212，解得a

3 4

，直线l的方程为sin,B2,3. 442（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离. 解：（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，

），B（2，）， 42)5. 24由余弦定理，得AB=32(2)2232cos(（2）因为直线l的方程为sin()3，

4则直线l过点(32,)，倾斜角为

23． 43B(2,)(322)sin()22，所以点B到直线l的距离为42又

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