指对幂函数知识点

〖2.1〗指数函数

【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果xna,aR,xR,n1，且nNn，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，

na的n次方根用符号a表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号a表示，负的n次方

根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．

n②式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当

n为偶数时，a0．

③根式的性质：(na)na；当n为奇数时，

nana；当n为偶数时，

nana (a0)． |a|a (a0) （2）分数指数幂的概念

m①正数的正分数指数幂的意义是：a幂等于0．

nnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数

 mn②正数的负分数指数幂的意义是：a(1am)nn(1a)(a0,m,nN,且n1)．0

m的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质

①aarrsarrs(a0,r,sR) ②(a)arsrs(a0,r,sR)

③(ab)ab(a0,b0,rR)

r

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数 函数名称 定义 x指数函数 函数ya(a0且a1)叫做指数函数 a1 0a1 xy ya yaxy图象 y1 (0,1)y1 (0,1) O 定义域 值域 xR (0,) Ox过定点 奇偶性 单调性 图象过定点(0,1)，即当x0时，y1． 非奇非偶 在R上是增函数 ax在R上是减函数 aaax1(x0)1(x0) 1(x0)1(x0)1(x0) 1(x0)函数值的 变化情况 aaxxxxa变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义 ①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，

N叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：xlogaNa（2）几个重要的对数恒等式

loga10，logaa1，logaabxN(a0,a1,N0)．

b．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）． （4）对数的运算性质 如果a0,a1,M0,N0，那么

MN①加法：logaMlogaNloga(MN) ②减法：logaMlogaNloga③数乘：nlogaMlogaMnbn

(nR) ④alogaNN

⑤logabMnlogaM(b0,nR) ⑥换底公式：logaNlogbNlogba(b0,且b1)

【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数 a1 0a1 ylogaxy x1y x1 ylogax (1,0) 图象 O(1,0)xO x定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在(0,)上是增函数 (0,) R 图象过定点(1,0)，即当x1时，y0． 非奇非偶 在(0,)上是减函数 logax0(x1)函数值的 变化情况 logax0(x1) logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1) a变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高． (6)反函数的概念

设函数yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf习惯上改写成yf（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式yf(x)中反解出xf③将xf1111(y)，

(x)．

(y)；

(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

①原函数yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

1②函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf'(x)的值域、定义域．

1③若P(a,b)在原函数yf(x)的图象上，则P(b,a)在反函数yf④一般地，函数yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．

(x)的图象上．

〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

③单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．

qp④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中p,q互

qq质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则yxqp是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则yxp是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则yxp是非奇非偶函数．

⑤图象特征：幂函数yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若

x1，其图象在直线yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线yx下方．