高二数学立体几何试题及答案

一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题:

①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。 其中正确命题的个数是( ） A. 0 B. 1 C. 2 D。 3 2。 下列四个命题：

①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个 A。 1 B。 2 C。 3 D。 4

3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2:3,它的表面积为88，则它的对角线长为（ ) A. 12

B. 24

C。 214

D。 414

4. 湖面上漂着一个球,湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm,深为8cm的空穴,则该球的半径是（ ) A。 8cm

B。 12cm

C. 13cm

D. 82cm

5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（ ）

12 A. 2

14B。 4

12C.



14D. 2

6. 已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题： ①//lm;②l//m；③l//m；④lm//.

其中正确的两个命题是（ ) A。 ①② B。 ③④ C. ②④ D. ①③

7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm

B。 6cm

C。 218

2

D. 312

3

1

8。 设正方体的全面积为24cm，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ） A.

26cm3

32cm3B。 3

8cm3C. 3

4cm3D。 3

9。 对于直线m、n和平面、能得出的一个条件是（ ） A. mn，m//，n//

B。 mn，m，n

D。 m//n，m，n

C。 m//n，n，m

10。 如果直线l、m与平面、、满足：l，l//，m，m，那么必有（ ） A. 和lm

B. //，和m// D。 且

C. m//，且lm

11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点,则该正四面体

的体积与正方体的体积之比为（ ） A. 1：3

B。 1：2

C。 2：3

D。 1：3

12. 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）

二. 填空题（每小题4分，共16分)

13。 正方体的全面积是a，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。

14。 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为14cm，则棱台的高为____________。

15。 正三棱柱的底面边长为a，过它的一条侧棱上相距为b的两点作两个互相平行的截面,在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。

2

32

16. 已知、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断:

①m⊥n,②，③n，④m。

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________。

三。 解答题（共74分）

17。 （12分）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是棱DA、DC、DD1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面，并证明之。 18. （12分）球内有相距1cm的两个平行截面，截面的面积分别是

5cm2和8cm2，球心不在截面之间,求球的表面积与体积。

19. （12分)一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。

3 20. （12分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的2，这个梯形

绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（52),求这个旋转体的体积。

21。 （12分）有一块扇形铁皮OAB，∠AOB=60°，OA=72cm，要剪下来一个扇形ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。（如图）试求 (1)AD应取多长？ （2）容器的容积.

3

22。 （14分)如图,正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为AB、BC的中点，EFBDG。 (1）求证：平面B1EF平面BDD1B； （2)求点D1到平面B1EF的距离d； （3)求三棱锥B1EFD1的体积V。

【试题答案】 一。 1. B 2. B 7. B 8. D 二。

3。 C 9。 C 4。 C 10。 A 5. A 11。 D 6。 D 12。 B

 13. 2a2 14。 2cm 15。 3ab

16。 mn，m，n（或m，n，mn）

4

三。

17. 证明：过A、C、D1的平面与平面EFG平行,由E、F、G是棱DA、DC、DD1的中点可得GE//AD1，GF//CD1，GE平面EFG，GF平面EFG ∴AD1//平面AEG，CD1//平面EFG 又AD1CD1D1 ∴平面EFG//平面ACD1

18。 解:如图，设两平行截面半径分别为r1和r2，且r2r1

22r5，r8 12 依题意，

r125，r228OA1和OA2都是球的半径ROO1OO2R2r12R2r22R25R28

R25R281解得R29R3S球4R236(cm2)

V球42R36(cm3)3

19. 解：由三视图知正三棱锥的高为2mm

由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为23mm

3a232 设底面边长为a，则

a4

∴正三棱柱的表面积

5

14232483(mm2)2

20。 解：如图，梯形ABCD,AB//CD，∠A=90°,∠B=45°，绕AB边旋转一

SS侧2S底3422周后形成一圆柱和一圆锥的组合体。

设

CDx，AB3x2

ADABCDx2，BCx22

S全面积S圆柱底S圆柱侧S圆锥侧

AD22ADCDADBCx2x22xxx4222522x4

52x2(52)，则x2 根据题设4

所以旋转体体积

VAD2CD3AD2(ABCD)

122312(32)

73

21。 解：如图,设圆台上、下底面半径分别为r、R、AD=x，则OD72x

6

由题意得

⌒60AB2R72180⌒60CD2r(72x)180OD72x3R

R12，r6，x36 AD36cm

2222x(Rr)36(126)635 （2）又圆台的高h=

1Vh(R2Rrr2)3

1635(12212662)3350435(cm)

22. 证明：（1）如图,连结AC

∵正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面呈正方形 ∴AC⊥BD

7

又AC⊥D1D ∴AC⊥平面BDD1B1

∵E、F分别为AB、BC的中点 ∴EF//AC

∴EF⊥平面BDD1B ∴平面B1EF平面BDD1B1

解(2）在对角面BDD1B1中,作D1HB1G,垂足为H

∵平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1B1G ∴D1H平面B1EF，且垂足为H ∴D1H为点D1到平面B1EF的距离 在Rt△D1HB1中,D1HD1BsinD1B1H

D1B12A1B12224BB4sinD1B1HsinB1GB1GB117

D1H4416171717

1D1HSB1EF3

（2）

VVB1EFD1VD1B1EF11612173172163



8