线性代数测试试卷及答案

一﹑选择题(每小题3分,共15分)

1. 设A﹑B是任意n阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)ABBA (B)(AB)2A2B2 (C)(AB)2A22ABB2 (D)ABBA 2. 如果n元齐次线性方程组AX0有基础解系并且基础解系含有s(sn)个解向量,那么矩阵A的秩为( )

(A) n (B) s (C) ns (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵A(aij)33的特征值为1,2,5,那么a11a22a33及A分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8 (D) 10, 8

22x14. 设实二次型f(x1,x2)(x1,x2)x的矩阵为A,那么( )

41223222110 (A) A (B) (C) (D) AAA

314121015. 若方阵A的行列式A0，则( ) (A) A的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分)

1 如果行列式D有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；

1002. 设A210，A*是A的伴随矩阵，则(A*)1 ；

3413. 设,是非齐次线性方程组AXb的解,若也是它的解, 那么 ； 4. 设向量(1,1,1)T与向量(2,5,t)T正交,则t ； 5. 设A为正交矩阵,则A ；

11bb21c ； c26. 设a,b,c是互不相同的三个数,则行列式aa27. 要使向量组1(1,,1)T,2(1,2,3)T,3(1,0,1)T线性相关，则 ； 8. 三阶可逆矩阵A的特征值分别为1,2,3,那么A1的特征值分别为 ；

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9. 若二次型f(x1,x2,x3)x21x225x232tx1x2-2x1x34x2x3是正定的，则t的取值范围为 ；

10. 设A为n阶方阵,且满足A22A4I0,这里I为n阶单位矩阵,那么A1 . 三﹑计算题（每小题9分，共27分）

21010

1. 已知A121，B01，求矩阵X使之满足AXXB.

01200

123423412. 求行列式的值.

341241233 求向量组1(1,0,1,0),2(2,1,3,7),3(3,1,0,3,),4(4,3,1,3,)的一个最大无关组和秩.

四﹑(10分)设有齐次线性方程组

x1(1)x2x30,(1)x1x2x30, xx(1)x0.312问当取何值时, 上述方程组(1)有唯一的零解﹔(2)有无穷多个解,并求出这些解. 五﹑(12分)求一个正交变换XPY,把下列二次型化成标准形:

f(x1,x2,x3)x21x22x234x1x24x1x34x2x3.

六﹑(6分)已知平面上三条不同直线的方程分别为

l1: ax2by3c0,l2: bx2cy3a0, l3: cx2ay3b0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为abc0.

线性代数（A卷）答案

一﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A

二﹑1. 0 2. (A*)1A 3. 1 4. 3 5. 1或-1

114116. (ca)(cb)(ba) 7. 0 8. 1,, 9. t0 10. AI

232三﹑1. 解 由AXXB得X(AI)1B. (2分)

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下面求(AI)1. 由于

110AI111 (4分)

011而

011(AI)1111. (7分)

110所以

0111001X(AI)1B1110111. (9分)

1100011122. 解

34234134124102110321043101101000341241111021312341341241 (4分) 23234113 (8分) 160 (9分) .

0440043. 解 由于

412312341234r5r01130113011332 rr

3113010533r47r200212004240733073312340113r42r3 (6分) 002120000故向量组的秩是 3 ，1,2,3是它的一个最大无关组。(9分) 四﹑解 方程组的系数行列式

111A111(1)(2)2 (2分)

111第3页共4页

①当A(1)(2)20,即1且2时,方程组有唯一的零解; (4分) ②当1时, A(1)(2)20,方程组的系数矩阵为

121 A211 ,

112 它有一个二阶子式

1230,因此秩(A)2n(这里n3),故方程组有无穷多个解.对A施

21行初等行变换,可得到方程组的一般解为

x1x3,x2x3, 其中x3可取任意数; (7分) xx,33③当2时, A(1)(2)20,方程组的系数矩阵为

111 A111 ,

111 显然,秩(A)1n(这里n3),所以方程组也有无穷多个解.对A施行初等行变换

可得方程组的一般解为

x1x2x3, 其中x2,x3可取任意数. (10分) x2x2,xx,33五﹑ 解 二次型的矩阵为

122 A212 , (2分)

221 因为特征多项式为

1IA2222 12 (1)2(5), 21 所以特征值是1(二重)和5. (4分)

把特征值1代入齐次线性方程组(IA)X0得

2x12x22x30,2x12x22x30, 2x2x2x0,231解此方程组可得矩阵A的对应于特征值1的特征向量为

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1(1,0,1)T,2(0,1,1)T.

利用施密特正交化方法将1,2正交化:

1111(1,0,1)T, 2(,1,)T,

22再将1,2单位化得 1(22T666,0,),2(,,)T, (8分) 22636把特征值5代入齐次线性方程组(IA)X0得

4x12x22x30,2x14x22x30, 2x2x4x0,231解此方程组可得矩阵A的对应于特征值5的特征向量为

3(1,1,1)T.

再将3单位化得

3(令

333T,,). (10分) 3333 33  33 322P(1,2,3)022666366则P是一个正交矩阵,且满足

100P1APPTAP010.

005所以,正交变换XPY为所求,它把二次型化成标准形

f(x1,x2,x3)y21y225y23. (12分)

六﹑证明:必要性

由l1,l2,l3交于一点得方程组

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ax2by3c0bx2cy3a0 cx2ay3b0有解,可知

a2b3c R(A)R(A)b1bc1ab2c3a0(abc)1ca0 (2分)

c2a3b1bc由于1c222a12[(ba)(cb)(ac)]0,所以abc0 (3分)

1ab充分性：abc0b(ac)

a2b2(acb2)2[ac(ac)2][a2c2(ac)2]0b2ca2b3cabc1bc

又因为b2c3a6bca6(abc)1ca0c2a3bcab1abR(A)R(A)2, (5分) 因此方程组

ax2by3c0bx2cy3a0 cx2ay3b0有唯一解，即l1,l2,l3交于一点. (6分)

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线性代数习题和答案

第一部分 选择题 (共28分)

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是

符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式 A. m+n C. n-m

a11a21a12a=m，13a22a23a11a=n，则行列式11a21a21a12a13等于（ ）

a22a23 B. -(m+n) D. m-n

1002.设矩阵A=020，则A-1等于（ ）

00313 A. 00012000 1

101B. 020012D. 0000 131003010 C.  1002

0010 3013123.设矩阵A=101，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ）

214 A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0 B. BC时A=0 C. A0时B=C D. |A|0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ ）

A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

7.设矩阵A的秩为r，则A中（ ）

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A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解

B.

11η1+η2是Ax=b的一个解 22 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A)A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的

特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ ） A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1 B.|A|必为1 C.A-1=AT D.A的行（列）向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（ ） A.A与B相似 B. A与B不等价

C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.23 34 B.34 26100 C.023

035

111D.120 102第二部分 非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的

空格内。错填或不填均无分。

11115.356 . 92536111123，B=.则A+2B= . 111124第8页共4页

16.设A=17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= . 19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 .

20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .

2010623.设矩阵A=133，已知α=1是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .

2210824.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

12023125.设A=340，B=（2）|4A|. .求（1）ABT；

2401213112513426.试计算行列式.

2011153342327.设矩阵A=110，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.

1232130301，α=，α=，α=1. 28.给定向量组α1=234

02244193试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。 12124229.设矩阵A=2103330266. 2334求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。

02230.设矩阵A=234的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.

24331.试用配方法化下列二次型为标准形

222x2 f(x1,x2,x3)=x123x34x1x24x1x34x2x3，

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并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； （2）η0，η1，η2线性无关。

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. 337

13717. 4 18. –10

19. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数 20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1

222z224. z12z3z4

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

1202225.解（1）ABT=34034

1211086=1810. 310（2）|4A|=43|A|=|A|，而

120|A|=3402. 121所以|4A|=·（-2）=-128 35211105123413135110511051131130026.解 

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511512111 0=1155=6055062301040.

5527.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

223（A-2E）-1=1101211143153. 1143423所以 B=(A-2E)-1A=153110

1123386=296. 2129213005321301130128.解一  01120224341901311210001000051112000880141400100001021, 103035112

011000所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）. 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，

2x1x23x30x3x12即 1

2x2x4323x14x2x39.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.

29.解 对矩阵A施行初等行变换

121000A0320960262 8232第11页共4页

212101210328303200000062000217000283=B. 31000（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.

（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的

列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。

（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T.

25/525/15经正交标准化，得η1=5/5，η2=45/15.

05/3λ=-8的一个特征向量为

1/31ξ3=2，经单位化得η3=2/3.

2/3225/5215/151/3所求正交矩阵为 T=5/5/152/3.

05/32/3100对角矩阵 D=010.

00825/5215/151/3（也可取T=05/32/3.）

5/545/152/331.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32 =（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.

y1x12x22x3x1y12y2x2x3， 即x2y2y3设y2xy33yx33，

120因其系数矩阵C=011可逆，故此线性变换满秩。

001经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 .

四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

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32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，

所以E-A可逆，且 （E-A）-1= E+A+A2 .

33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.

（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b， 所以η1，η2是Ax=b的2个解。 （2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，

即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.

则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.

又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而所以η0，η1，η2线性无关。

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l0=0 .