线性代数测试试卷及答案

一﹑选择题(每小题3分，共15分)

1. 设A﹑B是任意n阶方阵,那么下列等式必成立的是（ ） (A）ABBA (B）(AB)2A2B2 （C）(AB)2A22ABB2 （D)ABBA 2. 如果n元齐次线性方程组AX0有基础解系并且基础解系含有s(sn)个解向量,那么矩阵A的秩为( )

(A） n (B) s （C) ns （D） 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵A(aij)33的特征值为1,2,5,那么a11a22a33及A分别等于（ ) (A） 10, 8 （B） 8, 10 （C） 10, 8 （D) 10, 8

22x14. 设实二次型f(x1,x2)(x1,x2)x的矩阵为A，那么（ ）

41223222110 （A） A （B） （C) （D) AAA

314121015。 若方阵A的行列式A0，则( ） (A） A的行向量组和列向量组均线性相关 (B）A的行向量组线性相关,列向量组线性无关

（C） A的行向量组和列向量组均线性无关 （D）A的列向量组线性相关，行向量组线性无关

二﹑填空题(每小题3分,共30分）

1 如果行列式D有两列的元对应成比例，那么该行列式等于 ；

1002。 设A210，A*是A的伴随矩阵，则(A*)1 ；

3413。 设,是非齐次线性方程组AXb的解，若也是它的解, 那么

 ；

4. 设向量(1,1,1)T与向量(2,5,t)T正交,则t ； 5。 设A为正交矩阵，则A ；

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11bb21c ; c26. 设a,b,c是互不相同的三个数，则行列式aa27。 要使向量组1(1,,1)T,2(1,2,3)T,3(1,0,1)T线性相关，则 ； 8。 三阶可逆矩阵A的特征值分别为1,2,3,那么A1的特征值分别为 ； 9. 若二次型f(x1,x2,x3)x21x225x232tx1x2-2x1x34x2x3是正定的，则t的取值范围为 ；

10. 设A为n阶方阵,且满足A22A4I0,这里I为n阶单位矩阵,那么A1 . 三﹑计算题（每小题9分，共27分）

21010



1. 已知A121，B01，求矩阵X使之满足AXXB.

0001212342。 求行列式

2341的值.

341241233 求向量组1(1,0,1,0),2(2,1,3,7),3(3,1,0,3,),4(4,3,1,3,)的一个最大无关组和秩.

四﹑（10分）设有齐次线性方程组

x1(1)x2x30,(1)x1x2x30, xx(1)x0.312问当取何值时, 上述方程组(1)有唯一的零解﹔(2)有无穷多个解，并求出这些解. 五﹑（12分）求一个正交变换XPY,把下列二次型化成标准形：

f(x1,x2,x3)x21x22x234x1x24x1x34x2x3.

六﹑（6分）已知平面上三条不同直线的方程分别为

l1: ax2by3c0,l2: bx2cy3a0, l3: cx2ay3b0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为abc0。

线性代数（A卷）答案

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一﹑1。 D 2. C 3。 B 4。 A 5。 A

二﹑1。 0 2。 (A*)1A 3。 1 4. 3 5. 1或-1

114116. (ca)(cb)(ba) 7. 0 8。 1,, 9。 t0 10. AI

23542三﹑1。 解 由AXXB得X(AI)1B。 （2分) 下面求(AI)1。 由于

110AI111 (4分）

011而

011(AI)1111。 （7分）

110所以

0111001X(AI)1B1110111。 (9分)

1100011122。 解

34234134124102110321043101101000341241111021312341341241 (4分) 23234113 (8分） 160 (9分) 。

0440043. 解 由于

412312341234r5r01130113011332 rr

3113010533r47r200212004240733073312340113 （6分) r42r3002120000第3页共4页

故向量组的秩是 3 ,1,2,3是它的一个最大无关组。（9分） 四﹑解 方程组的系数行列式

111A111(1)(2)2 (2分)

111①当A(1)(2)20,即1且2时,方程组有唯一的零解； （4分） ②当1时， A(1)(2)20,方程组的系数矩阵为

121 A211 ,

112 它有一个二阶子式

1230，因此秩(A）2n(这里n3），故方程组有无穷多个解.对A21施行初等行变换，可得到方程组的一般解为

x1x3,x2x3, 其中x3可取任意数； （7分） xx,33③当2时， A(1)(2)20,方程组的系数矩阵为

111 A111 ，

111 显然,秩（A)1n(这里n3），所以方程组也有无穷多个解.对A施行初等行变换

可得方程组的一般解为

x1x2x3, 其中x2,x3可取任意数. (10分) x2x2,xx,33五﹑ 解 二次型的矩阵为

122 A212 , (2分）

221 因为特征多项式为

1IA2222 12 (1)2(5), 21 第4页共4页

所以特征值是1(二重)和5。 (4分)

把特征值1代入齐次线性方程组(IA)X0得

2x12x22x30,2x12x22x30, 2x12x22x30,解此方程组可得矩阵A的对应于特征值1的特征向量为

1(1,0,1)T,2(0,1,1)T.

利用施密特正交化方法将1,2正交化：

1111(1,0,1)T， 2(2,1,2)T,

再将1,2单位化得 1(22,0,2T666T2)，2(6,3,6), (8分） 把特征值5代入齐次线性方程组(IA)X0得

4x12x22x30,2x14x22x30, 2x12x24x30,解此方程组可得矩阵A的对应于特征值5的特征向量为

T3(1,1,1)。

再将3单位化得

33(3,33,3T3). （10分） 令

263263 P()631,2,3033 263263 则P是一个正交矩阵,且满足

P1APPTAP100010。

005所以,正交变换XPY为所求,它把二次型化成标准形

f(x1,x2,x3)y21y225y23。 (12第5页共4页

分）

六﹑证明:必要性

由l1,l2,l3交于一点得方程组

ax2by3c0bx2cy3a0 cx2ay3b0有解，可知

a R(A)R(A)b2b3c1bcc1b由于12c3a0(abc)1ca0 (2分) 2a3b1abc222ca1[(ba)(cb)(ac)]0，所以abc0 （3分） 21ab充分性：abc0b(ac)

a2b2(acb2)2[ac(ac)2][a2c2(ac)2]0b2ca2b3cabc1bc

又因为b2c3a6bca6(abc)1ca0c2a3bcab1abR(A)R(A)2, （5分） 因此方程组

ax2by3c0bx2cy3a0 cx2ay3b0有唯一解，即l1,l2,l3交于一点。 (6分）

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线性代数习题和答案

第一部分 选择题 （共28分)

一、单项选择题(本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是

符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分. 1。设行列式

a11a21a12a=m，13a22a23a11a=n，则行列式11a21a21a12a13a22a23等于（ )

A. m+n

C。 n—m B。 -（m+n） D。 m—n

100—2。设矩阵A=020，则A1等于( )

00313 A. 00012000 1

1B. 00012000 131003 C. 0101002

12D. 000010 301312＊＊

3。设矩阵A=101,A是A的伴随矩阵,则A 中位于（1，2）的元素是（ ）

214 A。 –6 B。 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有( ) A. A =0 B. BC时A=0 C. A0时B=C D. |A|0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩(AT)等于（ ） A. 1 B. 2 C。 3 D. 4

6.设两个向量组α1，α2，…,αs和β1，β2，…，βs均线性相关,则（ )

A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B。有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs(αs+βs）=0

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C。有不全为0的数λ1，λ2，…,λs使λ1（α1—β1）+λ2（α2—β2）+…+λs（αs—βs)=0 D。有不全为0的数λ1，λ2，…,λs和不全为0的数μ1，μ2，…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中( ） A.所有r—1阶子式都不为0 B.所有r—1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A。η1+η2是Ax=0的一个解

B。

11η1+η2是Ax=b的一个解 22 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1—η2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A。秩（A）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量 B。如存在数λ和非零向量α，使(λE-A）α=0,则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的

特征向量，则α1，α2,α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有( ） A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是( ） A。|A|2必为1 B.｜A｜必为1

— C。A1=AT D.A的行(列）向量组是正交单位向量组 13。设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵,B=CTAC.则（ ） A。A与B相似 B. A与B不等价

C。 A与B有相同的特征值 D. A与B合同

14。下列矩阵中是正定矩阵的为( ） A.23 34 B。34 26111D。120

102100 C。023

035

第二部分 非选择题（共72分)

二、填空题(本大题共10小题,每小题2分，共20分）不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格

内。错填或不填均无分。

11115。356 . 92536第8页共4页

16。设A=111123,B=。则A+2B= 。

11112417。设A=(aij）|A｜=2，Aij表示｜A|中元素aij的代数余子式(i,j=1，2，3），则(a11A21+a12A22+a13A23）3×3，

2+(aA+aA+aA）2+(aA+aA+aA)2= 。 212122222323312132223323

18。设向量(2，—3,5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= 。

19。设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 .

20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A的行列式｜A｜=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .

0106223。设矩阵A=133，已知α=1是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 。

2108224。设实二次型f(x1，x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题,每小题6分，共42分）

12023125.设A=340，B=（2）｜4A｜。 .求（1）ABT；

24012131131324。 1326。试计算行列式

51201542327.设矩阵A=110，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B。

1231302301128。给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=. 42204139试判断α4是否为α1,α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。

121022426629.设矩阵A=. 2102333334求：（1）秩（A);

（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。

022—30.设矩阵A=234的全部特征值为1,1和—8。求正交矩阵T和对角矩阵D，使T1AT=D。

432第9页共4页

31。试用配方法化下列二次型为标准形

22 f（x1,x2,x3）=x12x223x34x1x24x1x34x2x3，

并写出所用的满秩线性变换。

四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E—A）-1=E+A+A2。

33。设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 （1)η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； （2)η0，η1，η2线性无关。

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分,共28分) 1。D 2。B 3.B 4.D 5。C 6.D 7.C 8。A 9.A 10.B 11.A 12。B 13.D 14。C 二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分) 15。 6 16. 337

13717。 4 18。 –10

19. η1+c（η2—η1）（或η2+c(η2—η1)),c为任意常数 20。 n-r 21。 –5 22. –2 23。 1

22224。 z1z22z3z4

三、计算题(本大题共7小题,每小题6分，共42分）

1202225。解（1）ABT=34034

1211086=1810. 310（2）|4A｜=43｜A｜=64|A｜,而

120｜A|=3402。 121所以｜4A|=64·（-2）=—128

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26。解

352111051234131351105110511311300

511=1111 55051162301040. =6205555027。解 AB=A+2B即（A—2E）B=A，而

223—（A-2E）1=1101211143153. 164143423所以 B=（A—2E)-1A=153110

164123386=296. 21292130053213011301 28.解一 022401123419013112100010000151200088014140002101,

01100031035112

011000所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为(2，1，1）. 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,

2x1x23x30x3x12即 1

2x2x4233x14x2x39.方程组有唯一解（2,1，1）T，组合系数为（2，1，1）。

29.解 对矩阵A施行初等行变换

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121000A0320960262

82320283=B。 3100212101210328303200000062000217000(1）秩（B)=3，所以秩(A）=秩（B)=3.

（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向

量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。 （A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=（2,-1,0）T， ξ2=(2,0，1)T。

25/525/15经正交标准化，得η1=5/5，η2=45/15.

05/3λ=—8的一个特征向量为

11/3ξ3=2，经单位化得η3=2/3.

22/325/5215/151/3所求正交矩阵为 T=5/545/152/3.

05/32/3100对角矩阵 D=010.

00825/5215/151/35/32/3.） （也可取T=05/545/152/331。解 f（x1，x2，x3）=（x1+2x2-2x3）2—2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2—2x3）2—2(x2—x3）2—5x32。

y1x12x22x3x1y12y2y2y3设y2， x2x3， 即x2xy33yx33120因其系数矩阵C=011可逆，故此线性变换满秩。

001第12页共4页

经此变换即得f（x1,x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 。

四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分） 32。证 由于（E-A）(E+A+A2）=E—A3=E，

所以E-A可逆，且 (E-A)-1= E+A+A2 。

33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.

（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b， 所以η1,η2是Ax=b的2个解。 （2)考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，

即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0。

则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解,矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.

又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0,从而所以η0，η1，η2线性无关。

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l0=0 。