一.选择题
1.已知U2,3,4,5,6,7,M3,4,5,7,N2,4,5,6,则( )
A.MN4,6 B.MUNU C.(CuN)MU D. (CuM)NN 【答案】B
【解析】由U2,3,4,5,6,7,M3,4,5,7,N2,4,5,6,易知B正确. 2.“x12”是“x3”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】由x12得1x3,所以易知选A.
x1,3.已条变量x,y满足y2,则xy的最小值是( )
xy0,A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C
【解析】如图得可行域为一个三角形,其三个顶点 分别为(1,1),(1,2),(2,2),代入验证知在点
(1,1)时,xy最小值是112.故选C.
yx-y=0(1,2)(2,2)(1,1)y=2O1x4.函数f(x)x2(x0)的反函数是( )
A.fC.f1x=1(x)x(x0) B.f(x)x(x0) D.f1(x)x(x0)
11(x)x2(x0)
【答案】B
【解析】用特殊点法,取原函数过点(1,1),则其反函数过点(1,1),验证知只有答案
B满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”
来解答。
5.已知直线m,n和平面,满足mn,ma,,则( )
A.n B.n//,或n C.n D.n//,或n 【答案】D
【解析】易知D正确.
6.下面不等式成立的是( )
A.log32log23log25 B.log32log25log23 C.log23log32log25 D.log23log25log32 【答案】A
【解析】由log321log23log25 , 故选A.
uuuruuur7.在ABC中,AB=3,AC=2,BC=10,则AB•AC ( )
3223 B. C. D. 2332【答案】D
uuuruuur113【解析】由余弦定理得cosCAB,所以AB•AC32,选D.
4428.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目,
则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( ) A.15 B.45 C.60 D.75 【答案】C A.11121【解析】用直接法:C3C5C3C5C32C515301560,
22或用间接法:C4C6C32C52903060,故选C.
9.长方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=3,
AA11,则顶点A、B间的球面距离是( ) A.
22 B. C.2 D.22 42【答案】B
【解析】QBD1AC12R22,R2,设QBD1IAC1O,则
OAOBR2,AOB
2,lR22,故选B.
10.双曲线
x2a2y221(a0,b0)的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的b距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2] B.[2,) C.(1,21] D.[21,) 【答案】C
a2a2a2【解析】Qex0ax0(e1)x0aa(e1)a,
ccce11a11,e22e10,12e12, ce而双曲线的离心率e1,e(1,21],故选C.
二.填空题
11.已知向量a(1,3),b(2,0),则ab=_____________________. 【答案】2
rrrr【解析】由Qab(1,3),|ab|132.
12.从某地区15000位老人中随机抽取500人,其生活能否自理的情况如下表所示:
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。 【答案】60
15000【解析】由上表得(2321)23060.
500113.记(2x)n的展开式中第m项的系数为bm,若b32b4,则n=__________.
x【答案】5
1rr23(2x)nr()r2nrCnxn2r,得2n2Cn22n3Cn, 【解析】由Tr1Cnx所以解得n5. y
14.将圆x2y21沿x轴正向平移1个单位后所得到的方程是________,若过点(3,0)的直线l和圆COAB圆C,则圆C
PX相切,则
直线l的斜率为_____________. 【答案】(x1)2y21, 3 3【解析】易得圆C的方程是(x1)2y21,
直线l的倾斜角为30o,150o, 所以直线l的斜率为k3. 3515.设x表示不超x的最大整数,(如22,1)。对于给定的nN,
43n(n1)(n2)(nx1)定义C,x1,,则C82________;
x(x1)(xx1)xn当x2,3时,函数C8x的值域是_________________________。 【答案】
1628, (,28] 33328【解析】C81687,当x2时,C8228,当x3时,x2, 33212所以C8x
872828,故函数C8x的值域是(,28]. 3233三.解答题
16.甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格
就签约,乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每人面试
1合格的概率都是,且面试是否合格互不影响。求:
2(I)至少一人面试合格的概率; (II)没有人签约的概率。
解:用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格。由题意知A,B,C相互,且PAPBPC(1)
至少
1. 2有1
人面试合格的概率是
171PABC1PAPBPC1
283(2)
没有人签约的概率为
PAPBPCPAPBPCPAPBPCPABCPABCPABC11122238
333
17.已知函数f(x)cos2xxsin2sinx. 22(I)求函数f(x)的最小正周期;
42(II)当x0(0,)且f(x0)时,求f(x0)的值。
6(2)求二面角A—BE—P和的大小。
解 解法一(Ⅰ)如图年示,连结BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,ΔBCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,BE平面ABCD,所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又BE平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥平面PAB,PB平面PAB,所以PB⊥BE.
又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
在RtΔPAB中,tan∠PBA==60°.
PA3,∠PBAAB故二面角A-BE-P的大小是60°.
解法二 如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),C(
3,0). 23313,,0),D(,,0),2222P(0,0,3),E(1,uuuv3(Ⅰ)因为BE(0,,0),平面PAB的一个法向量是
2uuvvuuuvuun0=(0,1,0),所以BE和n0共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面BEF,所以平面PBE⊥平面PAB.
uuuv13(Ⅱ)易知PB=(1,0,-3), BE=(0,,0),
22x10y13z10,设n1=(x1,y1,z1)是平面PBE的一个法向量,则有
3y10z10.0x12所以y1=0,x1=3z1.故可取n1=(3,0,1). 而平面ABE的一个法向量是n2=(0,0,1). 于是,cos<n1,n2>=
n1gn21.
|n1|g|n2|2故二面角ABEP的大小是60o.
19已知椭圆的中心在原点,一个焦点是F(2,0),且两条准线间的距离为(4)。 (1)求椭圆的方程;
(2)若存在过点A(1,0)的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上,
求的取值范围。
[2(6)]24(4)30,于是,当且仅当2(6) (*)
>0.(4)上述方程存在实根,即直线l存在.
16,16解(*)得3所以4<λ≤.
34<<6.
20.数列an满足a10,a22,an2(1cos2(1)求a3,a4,并求数列an的通项公式;
nn)an4sin2,n1,2,3,, 22(2)设Ska1a3a2k1,Tka2a4a2k,Wk求使Wk1的所有k的值,并说明理由。
2Sk(kN), 2Tk149xx3x2cx有三个极值点。 42(1)证明:27c5; 21.已知函数f(x)
(2)若存在实数c,使函数f(x)在区间a,a2上单调递减,求a的取值范围。 解 (Ⅰ)因为函数fx149xx3x2cx有三个极值点,所以 42fxx33x39xc0有三个互异的实根.
设gxx33x39xc,则gx3x26x93x3x1. 当x<-3时,gx0,g(x)在(-∞,-3)上为增函数,
当-3<x<1时,gx0,g(x)在(-3,1)上为减函数, 当x>1时,gx0,g(x)在(1,+ ∞)上为增函数.
所以函数g(x)在x=-3时取极大值,在x=1时取极小值.
当g(-3) ≤0或g(1) ≥0时,g(x)=0最多只有两个不同实根,因为g(x)=0有三个不同实根,所以g(-3)>0,且g(1)<0.即-27+27+27+c>0,且1+3-9+c<0,解得c>-27,且c<5. 故-27<c<5.
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