普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(理科)
参考公式:
如果事件A与B互斥,那么P(AB)P(A)P(B); 标准差:s1[(x1x)2(x2x)2n(xnx)2,其中x1(x1x2nxn).
一、选择题:本大题共10个小题;每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的。 (1)设i是虚数单位,则复数
2i在复平面内所对应的点位于 1i(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
2i1i,选B. 1i(2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是
(A)ycosx (B)ysinx (C)ylnx (D)yx1 选A.
(3)设p:1x2,q:21 ,则p是q成立的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 选A.
4、下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是( )
x2y2x2y2x22221 (B)y1 (C)x1 (D)y1 (A)x44442选.
5、已知m,n是两条不同直线,,是两个不同平面,则下列命题正确的是( ) (A)若,垂直于同一平面,则与平行 (B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行
(C)若,不平行,则在内不存在与平行的直线
(D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面 选D.
6、若样本数据x1,x2,,x10的标准差为8,则数据2x11,2x21,,2x101的标准差为( )
(A)8 (B)15 (C)16 (D)32
2若样本数据x1,x2,,x10的方差为S,数据2x11,2x21,,2x101的方差为
S02,则S024S2,所以所求标准差为16,选C.
7、一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ) (A)13 (B)23 (C)122 (D)22 211正(主)视图11211侧(左)视图1 / 7
2俯视图2
如图,面ABC面ABD,ACBCADBD
8、C是边长为2的等边满足2a,论正确的是( )
2,AB2,E是AB的中点,选B.
C三角形,已知向量a,bC2ab,则下列结
AEDB(A)b1 (B)ab (C)ab1 (D)
因为C是边长为2的等边三角形,所以
4abC
2C2a(2ab)4cos602,即a(2ab)2aab1,又|||2a|2,所以|a|1,因此ab1 ;
因为BCACABb,所以|b|2,因此
C2a+bb2a(4ab)C(4ab)b4abb0,所以选D.
另:可画图,得(A)(B)(C)均错,选D. 9、函数fx2ABaxbxc2的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
(A)a0,b0,c0 (B)a0,b0,c0 (C)a0,b0,c0 (D)a0,b0,c0 由fxaxbxc2的定义域知c0,即c0;由f(0)0知
b0;fxax22bxac22bcxc2,则ax2bxac2bc0有一解为c,另一解
2222为x0(0,c) ;而ax2bxac2bc0的解为x0xc,所以a0,即a0;选
C.
10、已知函数fxsinx(,,均为正的常数)的最小正周期为,
2时,函数fx取得最小值,则下列结论正确的是( ) 3(A)f2f2f0 (B)f0f2f2
当x(C)f2f0f2 (D)
f2f0f2
作图知,选(A)
二、填空题:本大题共5小题。每小题5分,共25分。把答案π-12-2填在答题卡的相应位置
11.(x)的展开式中x的系数是 (用数字填写答案) 31x758π12O5π212x2 / 7
r214r4Tr1C7rx3(7r)xrC7x,由214r5得r4 ,所以C735.
12.在极坐标中,圆8sin上的点到直线画图.6
3(R)距离的最大值是
13.执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n为 n4
14.已知数列{an}是递增的等比数列,a1a49,a2a38,则数列{an}的前n项和等于
2因为a2a3a1a48,所以a1,a4是x9x80的解,又数
开始a=1,n=1列{an}是递增的等比数列,所以
a11
,因此数列{an}的前
a48
|a1.414|0.005?是1a11an=n+1否输出n结束n项和等于2n1 .
15. 设xaxb0,其中a,b均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是 (写出所有正确条件的编号)
3(1)a3,b3;(2)a3,b2;(3)a3,b2;(4)a0,b2;(5)a1,b2.
解:令f(x)xaxb,f(x)3xa,当a0时,f(x)0,则f(x)在R上单调递增函数,此时xaxb0仅有一个实根,所以(4)(5)对;
当a3时,由f(x)3x30得1x1,所以x1 是f(x)的极小值点,由
2323f(1)0,得1331b0,即b2,(3)对.
x1 是f(x)的极大值点,由f(1)0,得(1)33(1)b0,即b2,(1)对.
(1)(3)(4)(5)
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内 16.在ABC中,A长。 解中,
3,AB6,AC32,点D在BC边上,ADBD,求AD的4:
在
ABC2)90,即2BC2AC2AB22ACABcosA18362326(3 / 7
BC310 ; 从而ACBCAB2BCABcosB,cosB222310; 10又ADBD,所以BDcosB310BD3 ,所以ADBD10. 10(17) (本小题满分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值.
解:(1) P(第一次检测出的是次品且第二次检测出是正品)233 ; 5410(2) X的可能取值为200,300,400 X200表示前2次取出的是次品;
X300表示前2次取出的是1件次品和1件正品,第三次取出的是次品;或前3次取出的都是正品;
X400表示前3次取出的是1件次品和2件正品,第四次取出的是1件次品; 前3次取出的是1件次品和2件正品,第四次取出的是1件正品.
11331222C2C3A32A3C2C3A2136;. P(X200)2,P(X300)P(X400)34A510A510A510E(X)200136300400350 . 1010102n2第一次检测出的是次品且第二次检测出是正品
*(18) (本小题满分12分)设nN,xn是曲线yx1在点(1,2) 处的切线与x轴交点的
横坐标.
(1)求数列{xn}的通项公式;
22(2)记Tnx1x32x2n1,证明:Tn1 . 4n2n2解:(1) y(2n2)x2n1,当x1 时,y2n2 ,所以曲线yx1在点(1,2) 处的切
线为y2(2n2)(x1); 因此曲线yx22n21在点(1,2) 处的切线与x轴交点的横坐标xnn; n12x2n1,则f(n)0;
(2)由(1)知x2n12n12(2n1)222(),令f(n)4nTn4nx1x322n4n4 / 7
222x2f(n1)4(n1)x12x3n12n124n24n1n1x2n1因为()1 2222f(n)4nx1x3x2n1n2n24n4n12*2所以f(n)在nN单调递增的,因此f(n)f(1)4x14()1,所以f(n)1,即
21. Tn4n另:可用数学归纳法和放缩求积.
(19) (本小题满分13分)如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形
AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.
(1)证明:EF ∥CD,因此()1证明:因为AA1B1B,ABCD均为正方形,所以A1B1 A1EB1FABCD1四边形A1B1CD是,所以A1D B1,C,D1平面交面A1DE于EF,所以EF A1D面MHD1,设面MHD1交EF于N.连HN,则A1DHN,A1DHM,所以 MHN为二面角EA1DB1的平面角. 由(1)知EF x2y2(20)(本小题满分13分)设椭圆E的方程为221(ab0),点 abO 为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足 |BM|2|MA|,直线OM的斜率为 (1)求E的离心率e; 5. 10(2)设点C坐标为(0,b),N为线段AC中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为E的方程. 7,求2解:(1)由点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|2|MA|, 5 / 7 知BM2MA,即点M分线段BA的比为2,所以点M(52ab,,);又直线OM的斜率为1033所以 b522222,即a5b,由abc得e,e. 2a1055(2)因为N为线段AC中点,,所以N(,)即N(a2b25bb,),而直线AB的方程为22xy1,即x5y5b; abb225(5b5b5b)722b;又点N关于 66而点N关于直线AB的对称点纵坐标为 x2y271为所求. 直线AB的对称点的纵坐标为,所以b2,因此, a5b25,所以 204221. (本小题满分13分)设函数f(x)xaxb. (1)讨论函数f(sinx)在(2,)内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; 222(2)记f0(x)xa0xb0,求函数|f(sinx)f0(sinx)|在[,]上的最大值D; 22a2(3)在(2)中.取a0b00,求zb满足条件D1时的最大值. 4解: (1)令tsinx,x(1)当 a,),t(1,1), f(x)x2axb开口向上,对称轴为x; 222a1,即a2时, f(sinx)在(,)内是单调递增的; 222aa2)当1,即2a2时,函数f(sinx)在t处取得极小值, 22a2f(sinx)极小b; 4a3)当1,即a2 时, f(sinx)在(,)内是单调递减的; 2222另:f(sinx)sinxasinxb,f(sinx)2sinxcosxacosxcosx(2sinxa),因 a为x(,),所以cosx0,由f(sinx)cosx(2sinxa)0得sinx. 222aa1)当1,即2a2时,函数f(sinx)在sinx处取得极小值, 22a2f(sinx)极小b; 42)当a2时, f(sinx)在(,)内是单调递增的; 226 / 7 3)当a2时, f(sinx)在((2) 令tsinx,x[,)内是单调递减的; 22,],t[1,1], 22|f(sinx)f0(sinx)||f(t)f0(t)||(aa0)tbb0||(aa0)t(bb0)|, 所以|f(sinx)f0(sinx)|在[,]上的最大值为22Dmax{|(aa0)因为|(aa0)(bb0)|,|(aa0)()(bb0)|} . 22(bb0)|2|(aa0)()(bb0)|22(aa0)(bb0) 22aa0aa0aa0aa0所以当或时, D|(aa0)(bb0)|;当或时 bbbbbbbb20000D|(aa0)2(bb0)|. aab|,|a()b|}max{|b|,|b|}; 2222a0a0a0aaa由|或时, D|或b|2|b|22ab;所以当b|;当222b0b0b0a0a时D|b|. 2b0a0a0a0a0aa因此,当或时, 由D|或时D|b|1;当b|1. 22b0b0b0b0(3)在(2)中, a0b00时, Dmax{|a 如图,当zb最大, baaa与直线b1或b1相切时,z 422aπ+b=-12265z=b-432212ππ–4–3–2–1O1–1aπ-b=-12–2-–3–4aπ-b=12a24a2a把1b代入zb得a22a4z40,所以4224a2244(4z4)0得z,因此zb满足条件4424. D1时的最大值为4 234aaπ+b=12 7 / 7 因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
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