充分条件与必要条件全称量词与存在量词新人教B版

核心素养测评二 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

(25分钟 50分)

一、选择题(每小题5分，共35分)

1.命题“∀x∈R，∃n∈N，使得n≥x”的否定形式是 ( ) A.∀x∈R，∃n∈N，使得n【解析】选D.原命题是全称命题，条件为“∀x∈R”，结论为“∃n∈N，使得n≥x”，其否定形式为存在性命题，条件中改量词，并否定结论，只有D选项符合. 2.命题“∀n∈N，f(n)∈N且f(n)≤n”的否定形式是 ( ) A.∀n∈N，f(n)∉N且f(n)>n B.∀n∈N，f(n)∉N或f(n)>n C.∃n∈N，f(n)∉N且f(n)>n D.∃n∈N，f(n)∉N或f(n)>n

【解析】选D.全称命题的否定为存在性命题，因此命题“∀n∈N，f(n)∈N且f(n)≤n”的否定形式是“∃n∈N，f(n)∉N或f(n)>n”.

3.(2019·莆田模拟)王安石在《游褒禅山记》中写道:“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也。”请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的 ( ) A.充要条件

B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件

【解析】选D.“非有志者不能至也”的等价说法是“到达奇伟、瑰怪,非常之观的人是有志的人”,因此“有志”是“到达奇伟,瑰怪,非常之观”的必要条件,但“有志”也不一定“能至”,故充分性不成立;即必要不充分条件. 4.“m>n”是“log2m>log2n”的 ( ) A.充分不必要条件

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

**

*

*

2

*

2

*

2

*

2

*

2

*

2

1

B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.m>n得不到log2m>log2n,比如2>-1,log2(-1)无意义;log2m>log2n,根据对数函数y=log2x在定义域上是增函数便得到m>n;所以“m>n”是“log2m>log2n”的必要不充分条件.

5.“x<0”是“ln(x+1)<0”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.ln(x+1)<0⇔06.(2020·广安模拟)“函数f(x)=-x+2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是( ) A.1B.12

C.2≤m≤3

2

D.22

【解析】选B.f(x)=-x+2mx,对称轴x=m,若函数f(x)=-x+2mx在区间[1,3]上不单调,则14

B.a≤4

C.a≥5

2

2

2

D.a≥6

【解析】选A、C、D.命题“任意x∈[1,2],x-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4,+∞)的真子集,正确选项为A、C、D. 二、填空题(每小题5分,共15分)

8.在△ABC中,“A=B”是“tan A=tan B”的______条件.

【解析】在△ABC中,由A=B,得tan A=tan B,反之,若tan A=tan B,则A=B+kπ,k∈Z.因为02

9.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x∈(a，b)，f(x)+f(-x)≠0”是假命题，则f(a+b)=_________.

【解析】若“∃x∈(a，b)，f(x)+f(-x)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)+f(-x)=0”是真命题，即f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数，所以a+b=0，所以f(a+b)=0. 答案：0

10.已知命题“∀x∈R,x-5x+

2

a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是________.

【解析】由“∀x∈R,x-5x+

2

a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式

x-5x+

2

a>0对任意实数x恒成立.

设f(x)=x-5x+

2

a,则其图象恒在x轴的上方.

故Δ=25-4×a<0,解得a>,即实数a的取值范围为.

答案:

(15分钟 35分)

1.(5分)给出下列命题：

①∃x∈R，ln(x+1)<0；②∀x>2，x>2；

③∀α，β∈R，sin(α-β)=sin α-sin β；④a>b是2>2的充要条件.其中真命题的个数为 A.1

( ) B.2

C.3

D.4

2

2

x

a

b

2

2

x

【解析】选A.由于∀x∈R，y=ln(x+1)≥ln 1=0，故①错；令x=4，则x=2=16，故②错；③应为∀α，β∈R，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，故③错；④因为a>b⇒2>2；2>2⇒a>b，故④正确.其中真命题的个数为1.

2.(5分)若x>5是x>a的充分条件,则实数a的取值范围为 ( )

3

a

b

a

b

A.a>5 B.a≥5 C.a<5 D.a≤5

【解析】选D.由x>5是x>a的充分条件知, {x|x>5}⊆{x|x>a},所以a≤5. 【变式备选】

“m<”是“一元二次方程x+x+m=0有实数解”的________条件. 【解析】x+x+m=0有实数解等价于Δ=1-4m≥0,

2

2

即m≤,因为m<⇒m≤,反之不成立.

故“m<”是“一元二次方程x+x+m=0有实数解”的充分不必要条件. 答案:充分不必要

3.(5分)条件p:-2【解析】设集合A={x|-2因为q是p的充分条件,所以B⊆A. ①当a=2时,B={x|(x+2)<0}=,显然B⊆A. ②当a≠2时,因为B⊆A,所以B={x|-22

2

所以

综上可知,a∈[-4,2]. 答案:[-4,2]

即-4≤a<2.

4.(10分)已知条件p:k-2≤x≤k+5,条件q:02

【解析】q:

解得-14

所以所以-2≤k≤1,即k∈[-2,1].

2

5.(10分)求证:关于x的方程ax+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.

【证明】必要性:若方程ax+bx+c=0有一个根为1,则x=1满足方程ax+bx+c=0,所以a+b+c=0. 充分性:若a+b+c=0,则b=-a-c,

所以ax+bx+c=0可化为ax-(a+c)x+c=0,所以(ax-c)(x-1)=0, 所以当x=1时,ax+bx+c=0,

所以x=1是方程ax+bx+c=0的一个根.

综上,关于x的方程ax+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.

222

2

22

2

5