平南县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

平南县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N*），且a2+a4+a6=9，则logA．﹣ B．﹣5 C．5

D．

（a5+a7+a9）的值是（ ）

2． 已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁RB）=（ ） A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}

C．{x|0≤x＜2或x＞4}

D．{x|0＜x≤2或x≥4}

143． 已知数列an的各项均为正数，，若数列则na12，an1an的前n项和为5，

an1anaan1n（ ）

A．35 B． 36 C．120 4． 将函数f=sin2x的图象向右平移（x）A．

B．

C．

D．121

个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（ ）

D．

5． 若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（ ） A．p真q真 B．p假q真

6． 给出以下四个说法：

②线性回归直线一定经过样本中心点，；

③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=；

C．p真q假

D．p假q假

①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；

④对分类变量X与Y它们的随机变量K2的观测值k越大，则判断“与X与Y有关系”的把握程度越小． 其中正确的说法的个数是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

，（k为常数），若z=3x+y的最大值为8，则k的值为（ ）

7． 已知点Py）（x，的坐标满足条件A．

B．

C．﹣6 D．6

28． 若函数f(x)4xkx8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是（ ） A．,4064, B．[40,64] C．,40 D．64,

29． 设曲线f(x)x1在点(x,f(x))处的切线的斜率为g(x)，则函数yg(x)cosx的部分图象

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可以为（ ）

A． B． C. D．

10．已知偶函数f（x）=loga|x﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（ ） A．f（a+1）≥f（b+2） B．f（a+1）＞f（b+2） 11．抛物线x2=4y的焦点坐标是（ ） A．（1，0）

B．（0，1）

C．（

）

C．f（a+1）≤f（b+2） D．f（a+1）＜f（b+2）

）

D．（

12．设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=，an=f（n）（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（ ） A．[，2） B．[，2]

C．[，1） D．[，1]

二、填空题

13．B、C、D四点，在半径为2的球面上有A、若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为 ．

14．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一 个红球的概率为 ．

15．抛物线y2=4x的焦点为F，过F且倾斜角等于为 ．

的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A，则AF的长

16．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意的正整数n，都有an+T=an成立，则称数列{an}为周期为T的周期数列．已知数列{an}满足：a1＞=m （m＞a ），an+1=①若 m=，则a5=2；

②若 a3=3，则m可以取3个不同的值； ③若 m=

，则数列{an}是周期为5的周期数列．

其中正确命题的序号是 ．

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，现给出以下三个命题：

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17．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）

18．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h__________.

三、解答题

319．【南师附中2017届高三模拟二】已知函数fxx（1）试讨论fxx0的单调性；

31ax23ax1,a0． 2（2）证明：对于正数a，存在正数p，使得当x0,p时，有1fx1； （3）设（1）中的p的最大值为ga，求ga得最大值．

20．某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一 次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指 数不低于70，说明孩子幸福感强）．

第 3 页，共 18 页

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（1）根据茎叶图中的数据完成22列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留 守儿童有关？ 留守儿童 非留守儿童 总计 幸福感强 幸福感弱 总计 1111] （2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访， 求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．

n(adbc)2参考公式：K

(ab)(cd)(ac)(bd)2附表：

P(K2k0) k0

0.050 3.841 0.010 6.635 21．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)2x12x3．

（I）若x0R，使得不等式f(x0)m成立，求实数m的最小值M； （Ⅱ）在（I）的条件下，若正数a,b满足3abM，证明：

313. ba第 4 页，共 18 页

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22．已知函数f（x）=alnx+（I）求a、b的值；

（Ⅱ）当x＞1时，不等式f（x）＞

23．某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人参加了5次考试，成绩如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩 乙的成绩 82 75 87 90 86 91 80 74 90 95 恒成立，求实数k的取值范围．

，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2．

（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出1人参加比赛，你认为选谁合适？写出你认为合适的人选并说明理由； （Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．

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24．如图所示，一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2﹣6x﹣91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．

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平南县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

*

【解析】解：∵数列{an}满足log3an+1=log3an+1（n∈N），

∴an+1=3an＞0，

∴数列{an}是等比数列，公比q=3． 又a2+a4+a6=9， ∴则log

=a5+a7+a9=33×9=35，

（a5+a7+a9）=

=﹣5．

故选；B．

2． 【答案】C

【解析】解：∵∴x≥0， ∴A={x|x≥0}；

又x﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，

2

≤1=，

∴2≤x≤4． ∴B={x|2≤x≤4}， ∴∁RB={x|x＜2或x＞4}， ∴A∩∁RB={x|0≤x＜2或x＞4}， 故选C．

3． 【答案】C

【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n项和．由an1an22244a2an1an4，∴n是等差数列，公差为，首项为，∴an44(n1)4n，由an0得

4得

an1anan2n．1111(n1n)，∴数列的前n项和为

an1an2n12n2an1an1111(21)(32)(n1n)(n11)5，∴n120，选C． 22224． 【答案】D

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【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移考察选项不难发现： 当x=∴（

时，sin（2×

﹣

）=0；

个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；

，0）就是函数的一个对称中心坐标．

故选：D．

【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．

5． 【答案】B

【解析】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真， 若“非p”为真，则p为假， ∴p假q真， 故选：B．

【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．

6． 【答案】B

【解析】解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错； ②线性回归直线一定经过样本中心点（，），故②正确； ③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=，正确；

④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④不正确． 故选：B．

【点评】本题考查统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题．

7． 【答案】 B

【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8， 由（

，解得y=0，x=，

，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣

，

故选B．

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【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．

8． 【答案】A 【解析】

试题分析：根据fx4x2kx8可知，函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为x在区间5,8上为单调函数，则应满足：

k，所以若函数fx8kk5或8，所以k40或k64。故选A。 88考点：二次函数的图象及性质（单调性）。 9． 【答案】A 【解析】

试题分析：gx2x,gxcosx2xcosx,gxgx,cosxcosx，ygxcosx为奇函数，排除B，D，令x0.1时y0，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 10．【答案】B

【解析】解：∵y=loga|x﹣b|是偶函数 ∴loga|x﹣b|=loga|﹣x﹣b| ∴|x﹣b|=|﹣x﹣b|

2222∴x﹣2bx+b=x+2bx+b

整理得4bx=0，由于x不恒为0，故b=0 由此函数变为y=loga|x|

当x∈（﹣∞，0）时，由于内层函数是一个减函数，

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又偶函数y=loga|x﹣b|在区间（﹣∞，0）上递增 故外层函数是减函数，故可得0＜a＜1 综上得0＜a＜1，b=0

∴a+1＜b+2，而函数f（x）=loga|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减 ∴f（a+1）＞f（b+2） 故选B．

11．【答案】B

2

【解析】解：∵抛物线x=4y中，p=2， =1，焦点在y轴上，开口向上，

∴焦点坐标为 （0，1）， 故选：B．

2

【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x=2py的焦点坐标为（0，），属基础题．

12．【答案】C

【解析】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）， ∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1）， 即

=

=f（1）=，

∴数列{an}是以为首项，以为等比的等比数列，

n

∴an=f（n）=（），

∴Sn=故选C．

=1﹣（）n∈[，1）．

【点评】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到数列{an}是等比数列，属中档题．

二、填空题

13．【答案】

．

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【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P， 设点P到CD的距离为h， 则有 V=×2×h××2，

，

当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2则四面体ABCD的体积的最大值为故答案为：

．

．

【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．

14．【答案】【

8 9解

析

】

【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用P(A)1P(A)求解较好． 15．【答案】 4 ．

【解析】解：由已知可得直线AF的方程为y=（x﹣1），

复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，(x,y)可以看成是有序的，如1,2与2,1不同；有

2

联立直线与抛物线方程消元得：3x﹣10x+3=0，解之得：x1=3，x2=（据题意应舍去），

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由抛物线定义可得：AF=x1+=3+1=4． 故答案为：4．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．

16．【答案】 ①② ．

【解析】解：对于①由an+1=所以，

＞1，

，

，且a1=m=＜1，

，∴a5=2 故①正确；

对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m． 若

，则

．

若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意． 所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个． 故②正确； 若a1=m=故在a1=

＞1，则a2=

，所a3=

＞1，a4=

时，数列{an}是周期为3的周期数列，③错；

故答案为：①②

【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目

17．【答案】 10 cm

则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm， ∴A′B=

=10cm．

故答案为：10．

【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，

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【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．

18．【答案】 【解析】

试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA底面ABC，且ABC为直角三角形，且

11AB5,VAh,AC6，所以三棱锥的体积为V56h5h20，解得h4.

32

考点：几何体的三视图与体积.

三、解答题

19．【答案】（1）证明过程如解析；（2）对于正数a，存在正数p，使得当x0,p时，有1fx1；（3）ga的最大值为3 3【解析】【试题分析】（1）先对函数fxx31ax23ax1,a0进行求导，再对导函数的值的 2符号进行分析，进而做出判断；（2）先求出函数值

f01,faa3a21分析讨论，推断出存在p0,a使得fp10，从而证得当x0,p时，有1fx1成立；（3） 借助（2）的结论：fx在0,上有最小值为fa，然后分0a1，a1两种情形探求ga的解析表达式和最大值。

2证明：（1）由于fx3x31ax3a3x1xa，且a0，

1232121aa21，进而分fa1和fa1两种情形进行 2第 13 页，共 18 页

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故fx在0,a上单调递减，在a,上单调递增． （3）由（2）知fx在0,上的最小值为fa．

2即2p31ap6a0满足pa的实根，

当0a1时，fa1，则ga是方程fp1满足pa的实根，



所以ga3a19a230a94．

9当a1时，fa1，由于f01,f11a11，

2又ga在0,1上单调递增，故gamaxg13． 故0,p0,1．此时，ga1． 综上所述，ga的最大值为3．

20．【答案】（1）有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关；（2）【解析】

3. 5试题解析：（1）列联表如下：

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留守儿童 非留守儿童 总计 2幸福感强 6 18 24 幸福感弱 9 7 16 总计 15 25 40 40(67918)243.841． ∴K15252416∴有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关．

（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：a1，a2；幸福感强的孩子3人，记作：b1，b2，

b3．

“抽取2人”包含的基本事件有(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(b1,b2)，

(b1,b3)，(b2,b3)共10个．

事件A：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)共6个． 故P(A)63． 105考点：1、 茎叶图及独立性检验的应用；2、古典概型概率公式. 21．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查基本不等式、绝对值三角不等式等基础知识，意在考查转化思想和基本运算能力．

22．【答案】

【解析】解：（I）∵函数f（x）=alnx+

的导数为

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f′（x）=﹣，且直线y=2的斜率为0，又过点（1，2），

∴f（1）=2b=2，f′（1）=a﹣b=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

解得a=b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （II）当x＞1时，不等式f（x）＞即（k﹣1）lnx+

，即为（x﹣1）lnx+

＞（x﹣k）lnx，

＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

，g′（x）=

+1+

=

，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

令g（x）=（k﹣1）lnx+

2

令m（x）=x+（k﹣1）x+1，

①当≤1即k≥﹣1时，m（x）在（1，+∞）单调递增且m（1）≥0，

所以当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增， 则g（x）＞g（1）=0即f（x）＞②当

恒成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

）上单调递减，

＞1即k＜﹣1时，m（x）在上（1，

且m（1）＜0，故当x∈（1，所以函数g（x）在（1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当x∈（1，

）时，m（x）＜0即g′（x）＜0，

）单调递减，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

）时，g（x）＜0与题设矛盾，

综上可得k的取值范围为[﹣1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）解法一： 依题意有

，

答案一：∵

∴从稳定性角度选甲合适．

（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．

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答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．

解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为； 乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为． 所以选乙合适．

（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．

从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况． 恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况． ∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率

．

【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．

24．【答案】

【解析】解：（方法一）设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，

2222

将圆的方程分别配方得：（x+3）+y=4，（x﹣3）+y=100， 当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2…① 当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=10﹣R…② 将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12＞|O1O2|，

∴动圆圆心M（x，y）到点O1（﹣3，0）和O2（3，0）的距离和是常数12， ∴2c=6，2a=12， ∴c=3，a=6

2

∴b=36﹣9=27

所以点M的轨迹是焦点为点O1（﹣3，0）、O2（3，0），长轴长等于12的椭圆．

，轨迹为椭圆．

∴圆心轨迹方程为

（方法二）：由方法一可得方程2

，移项再两边分别平方得：

22

两边再平方得：3x+4y﹣108=0，整理得

所以圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．

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【点评】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键．

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